四川省成都市蓉城名校聯(lián)盟2025屆高三第一次聯(lián)合診斷性考試數(shù)學試題及答案

四川省高三年級第一次聯(lián)合診斷性考試數(shù)學考試時間120分鐘，滿分150分注意事項：1．答題前，考生務必在答題卡上將自己的姓名、座位號、考籍號用0.5毫米黑色簽字筆填寫清楚，考生考試條形碼由監(jiān)考老師粘貼在答題卡上的“貼條形碼區(qū)”．2．選擇題使用2B鉛筆填涂在答題卡上對應題目標號的位置上，如需改動，用橡皮擦擦干凈后再填涂其它答案；非選擇題用0.5毫米黑色簽字筆在答題卡的對應區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域答題的答案無效；在草稿紙上、試卷上答題無效．3．考試結(jié)束后由監(jiān)考老師將答題卡收回．一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．集合，，則（）．A． B．C． D．2．在復平面內(nèi)，復數(shù)對應的點位于第二象限，則實數(shù)a的取值范圍為（）．A． B． C． D．3．已知，設(shè)甲：；乙：，則甲是乙的（）．A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分又不必要條件4．已知平面向量，，則在上的投影向量為（）．A． B． C． D．5．在2024年巴黎奧運會上，我國網(wǎng)球選手鄭欽文歷經(jīng)6場比賽，勇奪巴黎奧運會女子網(wǎng)球單打冠軍，書寫了中國網(wǎng)球新的歷史．某學校有2000名學生，一機構(gòu)在該校隨機抽取了800名學生對鄭欽文奧運會期間6場單打比賽的收看情況進行了調(diào)查，將數(shù)據(jù)分組整理后，列表如下：觀看場次0123456觀看人數(shù)占調(diào)查人數(shù)的百分比15％5％5％m％10％15％％從表中數(shù)據(jù)可以得出的正確結(jié)論為（）．A．表中m的數(shù)值為15B．觀看場次不超過3場的學生的比例為30％C．估計該校觀看場次不超過2場的學生約為400人D．估計該校觀看場次不低于4場的學生約為1300人6．已知的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且，則（）．A． B． C． D．7．設(shè)雙曲線的離心率為，實軸長為2，則雙曲線C上任意一點到雙曲線C的兩條漸近線的距離的乘積為（）．A． B． C． D．8．已知函數(shù)，且為偶函數(shù)，則滿足不等式的實數(shù)m的取值范圍為（）．A． B． C． D．二、選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，選對但不全的得部分分，有選錯的得0分．9．已知函數(shù)，則（）．A．的最小正周期為B．在上單調(diào)遞增C．的圖象關(guān)于直線對稱D．的圖象可由的圖象向左平移個單位得到10．已知橢圓的左、右焦點分別為，，過點的直線與橢圓E相交于P，Q兩點，則（）．A．以橢圓E的長軸為直徑的圓的方程為B．以為直徑的圓與橢圓E有且僅有2個公共點C．以為圓心，為半徑的圓與橢圓E有3個公共點D．以為直徑的圓與直線相離11．如圖，在正方體中，O是線段的中點，點P在棱上運動，則（）．A．點P在平面上的射影不可能是點OB．點P在平面上的射影到B，D兩點的距離相等C．當點P與頂點A重合時，直線與平面所成角的正切值為D．當點P與頂點重合時，點P到平面的距離等于三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分．12．已知，且，則__________．13．甲、乙、丙、丁、戊5人站成兩排照相，前排站2人，后排站3人，其中甲和乙須左右相鄰，丙不站前排，則不同的站法共有__________種（用數(shù)字作答）．14．人們很早以前就開始探索高次方程的數(shù)值求解問題，牛頓在《流數(shù)法》一書中，給出了高次代數(shù)方程的一種數(shù)值解法——牛頓法，如圖，在橫坐標為的點處作的切線，該切線與x軸的交點為；在橫坐標為的點處的切線與x軸的交點為；一直繼續(xù)下去，得到，，，…，，它們越來越逼近的零點r．在一定精確度下，用四舍五入法取值，當，近似值相等時，該值可作為函數(shù)的一個零點r．用“牛頓法”求方程的近似解r，可以構(gòu)造函數(shù)，若，得到該方程的近似解r約為__________（精確到0.1）．四、解答題：本大題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．（13分）如圖的形狀出現(xiàn)在南宋數(shù)學家楊輝所著的《詳解九章算法·商功》中，后人稱為“三角垛”．“三角垛”的最上層有1個球，第二層有3個球，第三層有6個球……設(shè)各層球數(shù)構(gòu)成一個數(shù)列．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項和．16．（15分）已知某學校為提高學生課外鍛煉的積極性，開展了豐富的課外活動，為了解學生對開展的課外活動的滿意程度，該校隨機抽取了350人進行調(diào)查，整理得到如下列聯(lián)表：性別課外活動合計滿意不滿意男150100250女5050100合計200150350（1）根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，能否認為該校學生對課外活動的滿意情況與性別因素有關(guān)聯(lián)？（2）從這350名樣本學生中任選1名學生，設(shè)事件A＝“選到的學生是男生”，事件B＝“選到的學生對課外活動滿意”，比較和的大小，并解釋其意義，附：0.10.050.012.7063.8416.63517．（15分）如圖，在幾何體中，四邊形是梯形，，，與相交于點N，平面，，H是的中點，，．（1）點P在上，且，證明：平面；（2）求二面角的余弦值．18．（17分）已知F為拋物線的焦點，過點F的直線與拋物線E相交于，兩點．（1）證明：是常數(shù)；（2）過點F作直線的垂線l與拋物線E的準線相交于點P，與拋物線E相交于C，D兩點（點C的橫坐標小于點D的橫坐標）．①求的值；②是否存在最小值？若存在，請求出這個最小值；若不存在，請說明理由．19．（17分）已知函數(shù)．（1）若，求函數(shù)的極值；（2）若，，求實數(shù)a的取值范圍；（3）若，且，證明：．

四川省高三年級第一次聯(lián)合診斷性考試數(shù)學參考答案及評分標準評分說明：1．本解答給出了一種或幾種解法供參考，如果考生的解法與本解答不同，可根據(jù)試題的主要考查內(nèi)容比照評分參考制定相應的評分細則．2．對計算題，當考生的解答在某一步出現(xiàn)錯誤時，如果后繼部分的解答未改變該題的內(nèi)容和難度，可視影響的程度決定后繼部分的給分，但不得超過該部分正確解答應得分數(shù)的一半；如果后繼部分的解答有較嚴重的錯誤，就不再給分．3．解答右端所注分數(shù)，表示考生正確做到這一步應得的累加分數(shù)．4．只給整數(shù)分．一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．12345678DABBDCBC1．【命題意圖】本小題設(shè)置課程學習情境，設(shè)計集合運算問題，主要考查一元一次不等式的解法，集合的交集運算等基礎(chǔ)知識；考查運算求解能力；考查數(shù)學運算等數(shù)學核心素養(yǎng)．【答案】D【解析】由，所以．2．【命題意圖】本小題設(shè)置課程學習情境，設(shè)計復數(shù)的幾何意義，不等式組的解法等基礎(chǔ)知識；考查運算求解能力，數(shù)形結(jié)合思想；考查直觀想象等數(shù)學核心素養(yǎng)．【答案】A【解析】復數(shù)，其對應的點在第二象限，則，解得．3．【命題意圖】本小題設(shè)置課程學習情境，設(shè)計充分條件與必要條件等問題，主要考查充分條件與必要條件、三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)等基礎(chǔ)知識；考查邏輯推理等數(shù)學能力；考查數(shù)學抽象、邏輯推理等數(shù)學核心素養(yǎng)．【答案】B【解析】由，得，，則x不一定滿足；反之，當時，一定有．故甲是乙的必要不充分條件．4．【命題意圖】本小題設(shè)置課程學習情境，設(shè)計平面向量問題，主要考查平面向量的幾何意義與投影向量等基礎(chǔ)知識；考查推理論證等數(shù)學能力；考查直觀想象等數(shù)學核心素養(yǎng)．【答案】B【解析】依題意，，，所以在上的投影向量為．5．【命題意圖】本小題設(shè)置生活實踐情境，設(shè)計統(tǒng)計問題，考查概率、平均數(shù)等統(tǒng)計量的計算，樣本估計總體等相關(guān)知識；考查統(tǒng)計概率思想；考查運算求解能力和應用能力；考查數(shù)據(jù)分析等數(shù)學核心素養(yǎng)．【答案】D【解析】由表可知，15％＋5％＋5％＋m％＋10％＋15％％＝1，解得，選項A錯誤；觀看場次不超過3場的學生的比例為15％＋5％＋5％＋10％＝35％，選項B錯誤；觀看場次不超過2場的學生的比例為15％＋5％＋5％＝25％，則觀看場次不超過2場的學生約為％＝500人，選項C錯誤；觀看場次不低于4場的學生的比例為10％＋15％＋40％＝65％，則觀看場次不低于4場的學生約為％＝1300人，選項D正確．6．【命題意圖】本小題設(shè)置課程學習情境，設(shè)計解三角形問題，主要考查正弦定理、余弦定理，特殊角的三角函數(shù)等基礎(chǔ)知識；考查運算求解能力，推理論證能力；考查數(shù)學運算素養(yǎng)、邏輯推理素養(yǎng)．【答案】C【解析】由，根據(jù)正弦定理有，所以，有，根據(jù)余弦定理，有，由，所以．7．【命題意圖】本小題設(shè)計數(shù)學學習情境，設(shè)計雙曲線的相關(guān)問題，考查雙曲線的標準方程、離心率、漸近線及點到直線的距離等基礎(chǔ)知識；考查化歸與轉(zhuǎn)化等數(shù)學思想；考查數(shù)學運算等數(shù)學核心素養(yǎng)．【答案】B【解析】由已知，，，所以，，則．設(shè)為雙曲線C上任意一點，則，即．而雙曲線C的漸近線為，所以點M到兩條漸近線的距離之積為．8．【命題意圖】本小題設(shè)置課程學習情境，設(shè)計函數(shù)性質(zhì)與不等式等問題，主要考查指數(shù)式的運算、函數(shù)考查邏輯推理等數(shù)學能力；考查數(shù)學抽象、邏輯推理等數(shù)學核心素養(yǎng)．【答案】C【解析】依題意，，令，由于為偶函數(shù)，故只需為奇函數(shù)，由，得，由此可以驗證為奇函數(shù)．又由為偶函數(shù)，得，故的圖象關(guān)于直線對稱．，當時，與單調(diào)遞增且均大于0，易知單調(diào)遞增（或由時，，可知，當時，單調(diào)遞增），則時，單調(diào)遞減．原不等式即為，等價于，即，解得．二、選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，選對但不全的得部分分，有選錯的得0分．91011ACABDBCD9．【命題意圖】本小題設(shè)置課程學習情境，設(shè)計三角函數(shù)圖象與性質(zhì)問題，主要考查兩角和的正弦公式，正弦型函數(shù)的周期、單調(diào)性，圖象的對稱性、圖象平移變換等基礎(chǔ)知識；考查運算求解能力，推理論證能力，抽象概括能力；考查數(shù)學運算、直觀想象、邏輯推理等數(shù)學核心素養(yǎng)．【答案】AC【解析】由，所以最小正周期，選項A正確；當時，，此時先減后增，選項B錯誤；的圖象關(guān)于直線對稱，當時，，選項C正確；的圖象向左平移個單位得到的圖象，選項D錯誤．10．【命題意圖】本小題設(shè)置數(shù)學課程學習的綜合情境，以橢圓和圓的關(guān)系設(shè)置問題，主要考查圓的方程、橢圓的標準方程及其性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查數(shù)與形結(jié)合、函數(shù)與方程、化歸與轉(zhuǎn)化等數(shù)學思想；考查數(shù)學運算、邏輯推理等數(shù)學核心素養(yǎng)．【答案】ABD【解析】以橢圓E的長軸為直徑的圓的半徑為，圓心為原點，其方程為。選項A正確；以為直徑的圓的方程為，與橢圓E有且僅有2個公共點，選項B正確；由于橢圓E上的任意一點H與左焦點的距離（H為左頂點時取“＝”），故以為圓心，為半徑的圓與橢圓E只有一個公共點，選項C錯誤；設(shè)M為線段的中點，過點P，Q，M作直線l的垂線，垂足分別為點，，，則，即以為直徑的圓的圓心到直線l的距離大于該圓的半徑，選項D正確．11．【命題意圖】本小題設(shè)置數(shù)學課程學習情境、探索創(chuàng)新情境，設(shè)計正方體中的問題，體現(xiàn)基礎(chǔ)性和創(chuàng)新性，主要考查點在平面上的射影、點到平面的距離、直線和平面所成的角等基礎(chǔ)知識；考查數(shù)與形結(jié)合、特殊與一般、化歸與轉(zhuǎn)化等思想方法，以及探索性、創(chuàng)新性的思維品質(zhì)；考查直觀想象、數(shù)學運算和邏輯推理等核心素養(yǎng)．【答案】BCD【解析】連接，易知直線，，所以直線平面．當P為線段的中點時，，此時點O是點P在平面上的射影，選項A錯誤；連接，，，易證平面平面，為這兩平面的交線，于是點P在平面上的射影在直線上，顯然為線段的中垂線，選項B正確；顯然直線與平面所成的角等于直線與平面所成的角（等于），而，選項C正確；由上述可知，點C到平面的距離等于，所以點P到平面的距離等于，選項D正確．三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分．12．【命題意圖】本小題設(shè)置課程學習情境，設(shè)計三角函數(shù)求值問題，主要考查同角三角函數(shù)關(guān)系，誘導公式，兩角和的正弦公式，特殊角的三角函數(shù)值等基礎(chǔ)知識；考查運算求解、推理論證能力；考查數(shù)學運算等數(shù)學核心素養(yǎng)．【答案】【解析】由且得，則．13．【命題意圖】本小題設(shè)計生活實踐情境，設(shè)計排列組合相關(guān)問題，考查分類加法和分步乘法計數(shù)原理；考查分類與整合等數(shù)學思想及應用能力；考查數(shù)學抽象、邏輯推理等數(shù)學核心素養(yǎng)．【答案】20【解析】當甲和乙站前排，丙站后排時，不同站法有（種）；當甲和乙站后排，丙站后排時，不同站法有（種），所以不同的站法共有（種）．14．【命題意圖】本小題設(shè)置探索創(chuàng)新情境，設(shè)計函數(shù)與導數(shù)相關(guān)問題，主要考查導數(shù)的幾何意義，函數(shù)零點等基礎(chǔ)知識；考查化歸與轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合，函數(shù)與方程等數(shù)學思想，考查數(shù)學抽象、邏輯推理，直觀想象，數(shù)學建模等數(shù)學核心素養(yǎng)．本小題是根據(jù)選擇性必修二探究與發(fā)現(xiàn)（牛頓法——用導數(shù)方法求方程的近似解）編制而成．【答案】3.3【解析】由，得．當時，，，則過點的切線方程為，令，得．又，，則過點的切線方程為，令，得，此時與近似值相等，故近似解r約為3.3．四、解答題：本大題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．【命題意圖】本小題在數(shù)學文化背景下，設(shè)置數(shù)學課程學習情境、探索創(chuàng)新情境，設(shè)計數(shù)列問題，體現(xiàn)基礎(chǔ)性和創(chuàng)新性，主要考查數(shù)列通項、前n項和的求法、等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合應用等基礎(chǔ)知識：考查特殊與一般、化歸與轉(zhuǎn)化等思想方法，以及探索性、創(chuàng)新性的思維品質(zhì)；考查數(shù)學抽象、數(shù)學運算和邏輯推理等核心素養(yǎng)．【解析】（1）由題意可知，，，，……，（2分）數(shù)列的一個遞推關(guān)系為，，當時，利用累加法可得，，（5分）將代入得，滿足，所以數(shù)列的通項公式為，．（7分）注：學生若根據(jù)示意圖，得到，，，進而得到．（只給5分）（2）由（①）知，，（9分）則．（13分）16.【命題意圖】本小題設(shè)置生活實踐情境，設(shè)計統(tǒng)計與概率等問題，主要考查條件概率與全概率公式、列聯(lián)表與獨立性檢驗等基本知識；考查統(tǒng)計基本思想以及抽象概括、數(shù)據(jù)處理等能力和應用意識；考查數(shù)學運算、數(shù)學建模、數(shù)據(jù)分析等數(shù)學核心素養(yǎng)．【解析】（1）提出零假設(shè)：該校學生對課外活動的滿意情況與性別因素無關(guān)聯(lián)，（1分）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，得到，（5分）所以根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，沒有充分證據(jù)推斷不成立，即認為該校學生對課外活動的滿意情況與性別因素無關(guān)聯(lián)．（7分）（2）方法1依題意得，，（9分）．（11分）方法2依題意得，，，（9分），，（10分）所以，，（11分）則．（13分）意義：男生對課外活動滿意的概率比女生對課外活動滿意的概率大；或者男生對課外活動滿意的人數(shù)比女生對課外活動滿意的人數(shù)多等等．（15分）17．【命題意圖】本小題設(shè)置課程學習情境，設(shè)計立體幾何問題，主要考查空間線面平行、線面垂直、空間角等基礎(chǔ)知識；考查空間想象能力、抽象概括能力、推理論證能力、運算求解能力；考查數(shù)學抽象素養(yǎng)、邏輯推理素養(yǎng)、直觀想象素養(yǎng)和數(shù)學運算素養(yǎng)．【解析】（1）方法1：依題意可知，直線，，兩兩垂直，以點A為坐標原點，直線，，分別為x，y，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，依題意得，，，，（2分）因為，所以，所以，又，所以，（5分）又，，從而得，所以向量，，共面，（7分）又平面，平面，平面，所以平面．（8分）方法2：如圖，在，上取點M，Q，且滿足，，連接，，，因為，，有，所以，且，（3分）又因為，，，所以，有，所以，且，（5分）又，所以，且，所以四邊形為平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面．（8分）（2）由（1）方法1可知，，，，（9分）設(shè)平面的法向量為，則，即，取得平面的一個法向量為，（11分）設(shè)平面的法向量為，則，即．取得平面的一個法向量為，（13分）則，由圖知二面角為鈍角，故二面角的余弦值為．（15分）18．【考查意圖】本小題設(shè)置數(shù)學學習情境、探索創(chuàng)新情境，設(shè)計直線與拋物線相關(guān)的開放性問題，主要考查直線的方程、拋物線的方程及基本性質(zhì)，直線與拋物線的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識；考查函數(shù)與方程、化歸與轉(zhuǎn)化及數(shù)形結(jié)合等思想方法，考查直觀想象、數(shù)學運算及邏輯推理等數(shù)學核心素養(yǎng)．【解析】（1）由已知，點F的坐標為，且可設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組，消去x，得（*），（2分）因為，所以，為方程（*）的兩個實根，且，因為點A，B在拋物線E上，所以，為常數(shù)．（5分）（2）在題設(shè)條件下，直線，都不與坐標軸平行且，由（1）可知直線l的方程為：，①因為拋物線E的準線方程為，代入l的方程可得點P的坐標為，由（1）可知，，，，，因此，，（7分），（10分）即的值為0．②存在最小值，（11分）設(shè)點C，D的坐標分別為，，因為點A，B，C，D均在拋物線E上，所以，，，，由，有，即，變形可得，則（**），同理，，（13分）根據(jù)拋物線的定義可知，，，，，所以．（