2024-2025學年銀川某中學高一數(shù)學上學期期中考試卷（附答案解析）

銀川一中2024/2025學年度（上）高一期中考試

數(shù)學試卷

命題教師：朱建鋒

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項中，只有一項是符

合題目要求的.

1,已知集合”=｛（2心—一2X+1｝I=｛（2）"=2X-3｝,C=NC8,則0的真子集的個數(shù)為

（）

A.0B.1C.2D.3

【答案】B

【解析】

y=x2-2x+l,

【分析】聯(lián)立方程組得必一4x+4=0有一解，即C有一個元素，即可求解.

y=2x-3,

y=x2-2x+l,_

【詳解】聯(lián)立方程組上，整理得必一4X+4=0,解得X=2,

y=2x-3,

則。=｛（2』）｝,故。的真子集的個數(shù)為1.

故選：B.

2.已知點（。,27）在塞函數(shù)/（》）=（4一2）%"'（4,機61<）的圖象上，則口+機=（）

A.4B.5C.6D.7

【答案】C

【解析】

【分析】直接由哥函數(shù)的定義列方程組即可求解.

。-2=1a=3

【詳解】由題意〈...=>a+m=6.

a"'=27[m=3

故選：C.

IVI

3.函數(shù)y=x的圖象是（）.

x

【答案】c

【解析】

【分析】將函數(shù)表達式化簡成分段函數(shù)形式即可判斷.

|x|x+l,x>0

【詳解】v=x+對比選項可知，只有C符合題意.

x[x-l,x<0

故選：C.

4.函數(shù)〃x)=一2工的單調遞減區(qū)間是()

A.[-1,0]B,[0,1]C,[2,+8)D.(-oo,2]

【答案】A

【分析】求得/(x)的定義域，利用復合函數(shù)的單調性，結合二次函數(shù)單調性可得答案.

【詳解】函數(shù)一2》中,—必一2》之0,解得—24xW0,

又y=—X?一2%的開口向下，對稱軸方程為％=-1,

函數(shù)y=———2x在［―1,0］上單調遞減，在［—2,-1］上單調遞增，又了=?在［0,1］上單調遞增,

因此函數(shù)_2x在［-1,0］上單調遞減,在［-2,-1］上單調遞增，

所以函數(shù)/㈤=J-x1-2x的單調遞減區(qū)間是［T,0］.

故選：A

5.已知。，b,c,d均為實數(shù)，則下列命題正確的是()

A.若a>b,c>d,則Q+b>c+dB.a2>b2則一〃

C.若c>Q>b>0,則——>bD.若Q>6>0且加>0,貝！ja+m>—

c-ac-bb+mb

【答案】C

【解析】

【分析】由不等式的性質及特例逐項判斷即可.

【詳解】選項A,取。=1,b=0,c=2,d=\,則a+bvc+d,A錯誤；

選項B,當。二一1,b=0時，/〉力2,但一。>一^,不成立，B錯誤；

ab

選項C,當c>a>b>0時，---->-----=a(c-b)〉b(c-a)=ac>be=a>b,

c—cic—b

C正確；

h+YYIha+ma

選項D,根據(jù)糖水不等式可知—>->0,再根據(jù)倒數(shù)不等式可得^~D錯誤.

a+mab+mb

故選:C.

6.函數(shù)y=/(x)為定義在R上的減函數(shù)，若則()

A./(a)>/(2a)B./(a2)>/(a)

C./(a2+a)</(a)D./(a2+?)>/(a+1)

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)/(x)是定義域R上的減函數(shù)，且a70,然后比較a與2a的大小關系，從而得出選項A錯誤

比較/與a的大小即可得出選項B錯誤；可得出/+a〉a，從而得出選項C正確；比較/+々,。+1大小

即可判斷D.

【詳解】???y=/(x)是定義在R上的減函數(shù)，aa0,

a與2a的大小關系不能確定，從而/(a),/(2a)關系不確定，故A錯誤；

a2-a=a(a-V),a>l時，/〉口；0<。<1時，/<。，故/(/b/(4)的關系不確定，故B錯誤;

a~+a-a-a2>0>:.a2+a>a>'''/(q2+a)</(fl)>故C正確.

a~+a—a—1=a~-1=(a+l)(a—1),a>l時，a2+a>a+1；0<a<l時，a2+a<a+1>故

/(/+a),/S+i)關系不確定，口錯誤，

故選：C.

7.已知函數(shù)/(x)=F-2x^-°在(加，加+1)上單調遞增，則實數(shù)切的取值范圍為()

—x—2x,x<0

A.(-oo,-2]U[l,+?)B.[-2,1]

C.(-co,-l]u[2,+oo)D,[-1,2]

【答案】A

【解析】

【分析】作出分段函數(shù)的函數(shù)圖象，由圖象得到單調區(qū)間，建立不等式，得出加取值范圍.

"~2x^X-°的圖象，如圖所示，所以要使函數(shù)在（加，加+上單

【詳解】畫出分段函數(shù)/（》）=</（X）1）

-x-2x,x<0

調遞增,

則加N1或加+1W—1,解得加或加工一2,所以實數(shù)加的取值范圍為（一0°,一2川［1,+8）.

故選：A

8.定義max{a,"c}為a,6,c中的最大值，設力（x）=max卜2,：蒼6-》卜則人（力的最小值為（

).

【答案】D

【解析】

【分析】分別畫出y=x2,y=§x,y=6-x的圖象，即可得函數(shù)攸X）的圖象，根據(jù)圖象分析最值.

【詳解】分別畫出y=x24=§x,j；=6—x的圖象，則函數(shù)九（X）的圖象為圖中實線部分.

由圖知：函數(shù)h（x）的最低點為力,

8

y=

y=6-x

所以八（x）的最小值為五.

故選：D.

二、多選題：本題共4小題，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.

9.下列說法中正確的有（）

12*4

A.命題p3x0eR,Xg+2x0+2<0"則命題P的否定是VxeR,x+2x+2>0

11

B.“一〉一”是“％<廣’的必要不充分條件

xy

C.命題“VxeZ,/〉0”是真命題

D.<0”是“關于龍的方程x2-2x+m=0有一正一負根”的充要條件

【答案】AD

【解析】

【分析】利用特稱量詞命題的否定求解選項A；利用不等式的性質確定選項B；利用全稱量詞命題的真假判

斷選項C;利用一元二次方程根與系數(shù)的關系確定選項D.

【詳解】對于A,命題?的否定是VxeR,X2+2X+2>0,故A正確；

對于B,由一〉一可知由兩種情況，①肛>0且>>x；（2）y<0<x,

xy

1111

故一〉一不能推出x<y,由X<y也不能推出一〉一,

XyXy

11

所以一〉一是x<y的既不充分也不必要條件，故B錯誤;

xy

對于C,當x=0時，x2-0<故C錯誤;

4—4加〉0

對于D,關于x的方程入21+“。有一正一負根，則機（。，解得腔。?

所以"<0"是"關于x的方程一一2%+加=0有一正一負根”的充要條件，故D正確.

故選：AD.

10.已知函數(shù)/(G+1)=》+24，貝!］()

A./(x)=x2-l(xeR)

B./(x)的最小值為0

C./(2x-3)的定義域為［2,+8)

D.的值域為(T+8)

【答案】BC

【解析】

【分析】根據(jù)給定條件，利用配湊法求出函數(shù)/(x)的解析式，再逐項判斷即得答案.

【詳解】由/(4+1)=X+24=(4+1)2-1,而6+121，

所以/(x)=》2—1(x21),故A錯誤；

當x21時，/(x)=x2-l>0,因此/(x)的最小值為0,故B正確；

在函數(shù)/(2x-3)中，2x—321,即x22,

所以函數(shù)〃2x-3)的定義域為［2,+8),故C正確；

/—］=二一1,由一21,即0<xWl,

XX

所以4e［l,+s),所以的值域為［0,+“)，故D錯誤.

X\Xy

故選：BC.

V—3

11.已知函數(shù)/(x)=-------,則()

2x—8

A./(x)的定義域為(―8,4)U(4,+CO)B,/(x)的值域為［一叫

C./(x)的圖象關于點〔4,g］對稱D.若/(x)在(a,a+l)上單調遞減，則

【答案】ABC

【解析】

【分析】求出函數(shù)的定義域和值域可判斷A、B；根據(jù)圖象的平移法可判斷C；根據(jù)函數(shù)的單調性解不等式

可判斷D

【詳解】由2x—8wO得XH4,所以/(X)的定義域為(一8,4)D(4,+OQ),A正確;

由/(x)=及/0,

''2x-82x-822x-82x-8

可得/(x)的值域為［-*萬］D15，+Q0］，B正確；

/(x)='+」下的圖象可由奇函數(shù)歹=；的圖象向右平移4個單位，

22x—82x

再向上平移g個單位得到，所以/(X)的圖象關于點［4,對稱，c正確；

/(x)在(a,a+1)上單調遞減，則a?4或a+l<4,即a?4或a<3,D錯誤.

故選：ABC.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.已知函數(shù)/(x)為R上的偶函數(shù)，當x>0時，/(X)=X2+2X-3,則x<0時，/(x)=

【答案】X2-2X-3

【解析】

【分析】根據(jù)題意，當x<0時，-x>0,由函數(shù)的解析式求出/(-x)的表達式，結合奇偶性分析可得答

案.

【詳解】解：根據(jù)題意，當x<0時，-x>0,

則=(-x)2+2(-x)-3=X2-2X-3,

又由函數(shù)/(x)為R上的偶函數(shù)，則/(x)=/(-X)=X2-2X-3.

則x<0時，/(x)=x2-2x-3.

故答案為：x2-2x-3-

x+l,x<0

13.已知函數(shù)/(x)=<,則/(3)的值等于

/(x-l)-/(x-2),x>0

【答案】-1

【解析】

【分析】根據(jù)分段函數(shù)的表達式直接代入即可.

【詳解】由分段函數(shù)可知，/(3)=/(2)-/(1),

而/(2)=/⑴—/(0),

.?"⑶=/(2)-/(I)=/(1)-/(0)-/⑴=-/(0)=-1.

故答案為：-1.

【點睛】本題考查分段函數(shù)求值的問題，屬于基礎題.

14.若函數(shù)/(x)在定義域［見可上的值域為"⑷,/他)］,則稱/(x)為“Q函數(shù)”.已知函數(shù)

、［5x,0<x<2

/(x)={2,C“是“。函數(shù)”，則實數(shù)加的取值范圍是(用區(qū)間表示)

【答案】［10,14］

【解析】

/、f5x,0<x<2

【分析】根據(jù)“。函數(shù)”的定義確定/(x)=2，c，的值域為［0,加］,結合每段上的函數(shù)的

'/x-4x+m,2<x<4

取值范圍列出相應不等式，即可求得答案.

,、［5x,0<x<2

【詳解】由題意可知/X=2“c"的定義域為［0,4］,

x-4x+m,2<x<4

〃/、f5x,0<x<2/、/、

又因為函數(shù)/(x)=<j249<4是“Q函數(shù)”，故其值域為［/(0),/(4)］；

而/(0)=0,/(4)=加，則值域為［0,切］;

當0WxW2時，/(x)=5xe[0,10],

當2cx<4時，/(x)=x2-4x+m,此時函數(shù)在(2,4］上單調遞增，則/(x)e(加一4,加］,

,、5x,0<x<20<m-4<10

故由函數(shù)/(X)={2“c”是“C函數(shù)”可得《

'7x2-4x+m,2<x<4m>10

解得10W加<14,即實數(shù)冽的取值范圍是［10,14］,

故答案為：［10,14］

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.

15.(1)求函數(shù)y=(x+5)(x+2).〉_］)的最小值;

x+1

19

(2)已知x>0,y>0且一+—=1,求使不等式x+y2機恒成立的實數(shù)小的取值范圍.

xy

【答案】(1)9；(2)m<16

【解析】

【分析】(1)對函數(shù)解析式變形，利用基本不等式求解最值；

(2)先常數(shù)代換變形，再利用基本不等式求解最值；

【詳解】(1)由X〉一1,得x+l>0,

田吟,-(X+5)(x+2)_[(x+l)+4][(x+1)+1]

囚此y二----------------------------------

x+1x+1

=(x+1)2+5(x+1)+4=x+l+—+5>2A/4+5=9,

x+lx+1

4

當且僅當X+1=——，即x=l時取等號，所以原函數(shù)的最小值為9.

X+1

191

(2)由一+—=1,

xy

則"+片(^)&)1。+三+臺1。+2配

=16.

x+v=16

當且僅當｛x=4

9x=y即《，?時取到最小值16.

3=12

、Jx

若x+機恒成立，則m<16.

x+2,x<-1

16.已知函數(shù)/(X)的解析式為/(x)=<X2,-1<X<2

-x+6,x>2

(1)畫出這個函數(shù)的圖象，并解不等式/(x)<2；

(2)若直線歹=左(左為常數(shù))與函數(shù)/(x)的圖象有兩個公共點，直接寫出上的范圍.

【答案】(1)圖象見解析，｛x|x<收或x〉4｝

(2)左<0或1(左<4

【解析】

【分析】(1)根據(jù)解析式畫出圖像，結合圖像即可求解不等式;

(2)由圖像即可求解.

【小問1詳解】

根據(jù)分段函數(shù)的解析式，畫出函數(shù)的圖象,

當-1時，x+l<l,所以/(x)<2恒成立,

當一l<x42時，x2<2-V2<x<42>所以—l<x<JL

當x>2時，一%+6<2=%>4,所以x>4,

綜上可知，或%>4,

所以不等式的解集為｛X卜(后或X>4｝；

【小問2詳解】

如圖，歹=左與J=/(x)有2個交點，則左<0或1(左<4.

17.已知函數(shù)/(x)=ax+6是R上的奇函數(shù)，且/⑴=2.

(1)若函數(shù)〃(》)=/+機?/(乃在區(qū)間［2,+8)遞增，求實數(shù)加的取值范圍;

⑵設g(x)=e+26+1(左wo),若對1,1］,Bx2e［-1,2］,使得/(xj=g(9)成立，求實

數(shù)上的取值范圍.

【答案】(1)［-2,+co);

(2)(-oo,-l］U［3,+oo).

【解析】

【分析】(1)利用奇函數(shù)求出/(X),再利用二次函數(shù)單調性求出機的范圍.

(2)分別求出函數(shù)/(x)在［-L1］上的值域、函數(shù)g(x)在區(qū)間［-1,2］上值域，利用集合的包含關系列式求

解即得.

【小問1詳解】

f(0)=b=0［a=2

由函數(shù)/(x)="+b是R上的奇函數(shù)，且/⑴=2,得［二］解得「A，

j(l)=a+b=2［6=0

由函數(shù)人(%)=x2+2加工在區(qū)間［2,+00)上單調遞增，得-m42,解得加2-2,

所以實數(shù)冽的取值范圍是［-2,+8).

【小問2詳解】

對于f(x)=2x,當xe［-1,1］,f(x)的值域為［一2,2］,

由對7%《［一1,』,*2e［—1,2］,使得/(xj=g(x2)成立，

得函數(shù)/(x)在區(qū)間［T』］的值域為g(x)在區(qū)間［-1,2］上值域的子集，

g(x)=kx2+2kx+\(kw0)的對稱軸為x=-1,

當先＞0時，函數(shù)g(x)在區(qū)間［-1,2］上單調遞增，g(x)的值域為［1-左,1+8打，

f-2＞l-k

由卜2,2仁［1-左,1+8打，得2＜；+8左’解得左之3；

當左＜0時，函數(shù)g(x)在區(qū)間［-1,2］上單調遞減，g(x)的值域為［1+8左,1-句，

「1「1—221+8k

由［-2,2仁［1+8左,1—左］,得2＜i—左，解得左(一1，

所以實數(shù)左的取值范圍(一“，-

18.已知函數(shù)/(x)=3x+X

(1)證明：函數(shù)/(x)是奇函數(shù)；

(2)用定義證明：函數(shù)/(x)在(0,+e)上是增函數(shù)；

(3)若關于光的不等式/(以2+3辦)+/(1-辦)20對于任意實數(shù)》恒成立，求實數(shù)。的取值范圍.

【答案】(1)證明見解析

(2)證明見解析(3)[0川

【解析】

【分析】(1)根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義和判定方法，即可可證；

(2)根據(jù)函數(shù)單調性的定義和判定方法，即可得證；

(3)根據(jù)題意，得到函數(shù)/(x)為定義域R上的奇函數(shù)，且為單調遞增函數(shù)，不等式轉化為

。必+34》2。》-1對于任意實數(shù)無恒成立，分。=0和awO,結合二次函數(shù)的性質，列出不等式組，即

可求解.

【小問1詳解】

證明：由函數(shù)/(x)=3x+/y

可得其定義域為R，關于原點對稱,

又由〃"3x一言=—(3x+點).()

所以函數(shù)/(X)為定義域R上的奇函數(shù).

【小問2詳解】

X1

證明：當工￡(0,+8)時，f(x)=3x+----=3x+l------，

X+1X+1

任取國,％2￡(°，+8)，且再＜X2,

可得/(再)一/(%2)=3%1+1-------(3X2+1-------)=3(石—x2)+(-----------7)

玉+1x2+1工2+1再+1

=3(…々/Hr(…)F+gik+i)]

因為國,％2￡(°，+°°),且再<%2，可得占一工2<0，(工2+1乂西+1)>0，

所以/(再)—/(/)<0，即/(七)</(》2)，

所以函數(shù)/(x)在(0,+8)上是增函數(shù).

【小問3詳解】

因為函數(shù)/(x)為定義域R上的奇函數(shù)，且在(0,+8)上是增函數(shù)，

所以函數(shù)/(x)在(-。,0)上也是增函數(shù)，

又因為/(0)=0,所以函數(shù)/(x)在R上是增函數(shù)，

又由/(ax2+3ax)+f(1-ax)>0,可得/{ax1+3ax)>-f(1-ax)=f(ax-1),

因為不等式/(aY+3")+/(1-辦)20對于任意實數(shù)x恒成立，

即不等式/(ax2+3ax)>于(ax-1)對于任意實數(shù)無恒成立，

可得不等式ax2+3ax>ax-l對于任意實數(shù)無恒成立，

即不等式ax2+2辦+1N0對于任意實數(shù)x恒成立,

當。=0時，不等式即為1?0恒成立，符合題意;

Q〉0

當QW0時，則滿足/、解得0<Q<1,

卜=伽)-4(2<0

綜上可得，即實數(shù)〃的取值范圍［0,1］.

19.設函數(shù)y=/(x)的定義域為河，且區(qū)間/口拉.若函數(shù)y=/(x)+x在區(qū)間/上單調遞增，則稱函

數(shù)/(X)在區(qū)間/上具有性質/；若函數(shù)y=/(x)-x在區(qū)間/上單調遞增，則稱函數(shù)/(X)在區(qū)間/上具

有性質B.

⑴試證明：“函數(shù)/(x)在區(qū)間/上具有性質2”是“函數(shù)/(x)位區(qū)間/上單調遞增”的充分不必要條

件；

(