數(shù)學(xué)?？?jí)狠S題九年級(jí)湘教版專題01利用反比例函數(shù)中k的幾何意義求面積的五種考法含答案及解析

專題01利用反比例函數(shù)中k的幾何意義求面積的五種考法目錄TOC\o"1-3"\h\u解題知識(shí)必備 1壓軸題型講練 2類型一、反比例函數(shù)中利用k值求三角形的面積 2類型二、反比例函數(shù)中利用k值求等腰三角形的面積 5類型三、反比例函數(shù)中利用k值求平行四邊形的面積 7類型四、反比例函數(shù)中利用k值求矩形的面積 11類型五、反比例函數(shù)中利用k值求陰影部分的面積 14壓軸能力測評(píng)（12題） 19解題知識(shí)必備1.求三角形的面積2.求等腰三角形的面積3.求平行四邊形的面積4.求矩形的面積5.求陰影部分的面積壓軸題型講練類型一、反比例函數(shù)中利用k值求三角形的面積例題：如圖，已知點(diǎn)A為反比例函數(shù)的圖象上任意一點(diǎn)，過A作軸于B，的面積為（

）

A．2 B．2 C．1 D．【變式訓(xùn)練】1．如圖，點(diǎn)是反比例函數(shù)圖象上一點(diǎn)，過點(diǎn)作軸，垂足為點(diǎn)，點(diǎn)在軸上，則的面積是（

）

A． B．1 C．2 D．42．如圖，點(diǎn)A在雙曲線點(diǎn)B在雙曲線上，軸，點(diǎn)C是x軸上一點(diǎn)，連接，．若的面積是4，則k的值為（）

A． B． C． D．3．如圖，點(diǎn)在雙曲線上，點(diǎn)B在雙曲線上，且軸，則的面積等于．

類型二、反比例函數(shù)中利用k值求等腰三角形的面積例題：如圖，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過正的頂點(diǎn)P，則的面積為．

【變式訓(xùn)練】1．如圖，點(diǎn)A在反比例函數(shù)第二象限內(nèi)的圖象上，點(diǎn)B在x軸的負(fù)半軸上，若，則的面積為．

2．如圖，點(diǎn)在反比例函數(shù)第一象限內(nèi)的圖象上，點(diǎn)在軸的正半軸上．若是等邊三角形，則的面積為．類型三、反比例函數(shù)中利用k值求平行四邊形的面積例題：如圖，點(diǎn)A是反比例函數(shù)的圖象上的一點(diǎn)，過點(diǎn)A作平行四邊形，使點(diǎn)B、C均在x軸上，點(diǎn)D在y軸上，則平行四邊形的面積為．【變式訓(xùn)練】1．如圖，的頂點(diǎn)A、B在x軸上，頂點(diǎn)D在y軸上，頂點(diǎn)C在第一象限，反比例函數(shù)的分支過點(diǎn)C，若的面積為6，則．2．如圖，四邊形是平行四邊形，點(diǎn)A、B分別在反比例函數(shù)和的圖像上，點(diǎn)C、D都在x軸上，則的面積為．

3．如圖，點(diǎn)A是雙曲線上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)A作x軸的平行線交雙曲線于點(diǎn)B，作軸于點(diǎn)C，連接，若四邊形為平行四邊形，則k的值是．類型四、反比例函數(shù)中利用k值求矩形的面積例題：（2023·廣東佛山·佛山市汾江中學(xué)?？既＃┤鐖D，是函數(shù)圖象上的一點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的垂線，垂足為，過點(diǎn)作軸的垂線，垂足為，則四邊形的面積是．

【變式訓(xùn)練】1．（2022秋·山東濱州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)在雙曲線上，點(diǎn)在雙曲線上，且軸，點(diǎn)、在軸上，若四邊形為矩形，則它的面積為（

）A．2 B．4 C．6 D．82．（2023秋·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，是反比例函數(shù)的圖象上的一點(diǎn)，則矩形的面積為．3．（2023春·山東菏澤·九年級(jí)統(tǒng)考開學(xué)考試）如圖，若點(diǎn)與點(diǎn)是反比例函數(shù)的圖象上的兩點(diǎn)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，軸于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，軸于點(diǎn)，設(shè)矩形的面積為，矩形的面積為，則與的大小關(guān)系為：（填“”，“”或“”）．類型五、反比例函數(shù)中利用k值求陰影部分的面積例題：（2023·黑龍江佳木斯·統(tǒng)考三模）如圖，設(shè)點(diǎn)作反比例函數(shù)的圖象上，軸于點(diǎn)，交反比例函數(shù)的圖象于點(diǎn)A，軸于點(diǎn)，交反比例函數(shù)的圖象于點(diǎn)，則四邊形的面積為（

）

A． B． C． D．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·河南洛陽·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，兩個(gè)反比例函數(shù)和（其中）在第一象限內(nèi)的圖象依次是和，設(shè)點(diǎn)P在上，軸于點(diǎn)C，交于點(diǎn)A，軸于點(diǎn)D，交于點(diǎn)B，則四邊形的面積為．

2．（2023·河北石家莊·校聯(lián)考模擬預(yù)測）點(diǎn)，，在反比例函數(shù)（常數(shù)，）圖象上的位置如圖所示，分別過這三個(gè)點(diǎn)作軸、軸的平行線．圖中所構(gòu)成的陰影部分面積從左到右依次為，，．，若四邊形的面積是27，則的值為；若，則的值為；若，則的值為．

3．（2023春·八年級(jí)單元測試）如圖，已知正方形的面積為9，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)在y軸上，點(diǎn)B在函數(shù)（，）圖象上，點(diǎn)P是函數(shù)（，）圖象上異于點(diǎn)B的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)P分別作x軸、y軸的垂線，垂足分別為點(diǎn)E、F．設(shè)矩形和正方形不重合部分的面積為S．

(1)點(diǎn)B的坐標(biāo)是______，k=______；(2)當(dāng)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)求出S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式．壓軸能力測評(píng)（12題）一、單選題1．（2024·云南文山·模擬預(yù)測）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P在反比例函數(shù)的圖象上，過點(diǎn)P作軸，軸，垂足分別為A、B，則矩形的面積是（

）A．12 B．9 C．6 D．32．（2024·海南?？凇つM預(yù)測）如圖，直線平行于軸，且分別與反比例函數(shù)、的圖象交于點(diǎn)、，則面積為（

）A．1 B．2 C．3 D．43．（2024·云南曲靖·二模）如圖，A，B為反比例函數(shù)圖象上任意兩點(diǎn)，分別過點(diǎn)A，B作y軸的垂線，垂足分別為C，D，連接，設(shè)和的面積分別為，，則（

）A． B． C． D．無法確定4．（23-24八年級(jí)下·浙江杭州·期末）如圖，過的圖象上點(diǎn)，分別作軸，軸的平行線交的圖象于，兩點(diǎn)，以，為鄰邊的矩形被坐標(biāo)軸分割成四個(gè)小矩形，面積分別記為，，，，若，則的值為（

）A． B． C．4 D．二、填空題5．（2024·河南南陽·三模）如圖，點(diǎn)A是反比例函數(shù)圖象上的一點(diǎn)，過點(diǎn)A作軸于點(diǎn)B，點(diǎn)Q是x軸上任意一點(diǎn)，連接，則的面積為．

6．（23-24八年級(jí)下·山西臨汾·期末）如圖，兩個(gè)正方形的中心與原點(diǎn)重合，邊分別與兩坐標(biāo)軸平行，反比例函數(shù)的圖象與大正方形的一邊交于點(diǎn)，且經(jīng)過小正方形的頂點(diǎn)，則圖中陰影部分的面積為．7．（2024·山東煙臺(tái)·一模）如圖，在x軸的正半軸上依次截取，過點(diǎn)，，分別作x軸的垂線與反比例函數(shù)（）的圖象相交于點(diǎn)，，，得，，，并設(shè)其面積分別為，，，以此類推，則的值為．8．（2024·湖南益陽·二模）如圖，在反比例函數(shù)的圖象上有，，，，等點(diǎn)，它們的橫坐標(biāo)依次為1，2，3，，2025，分別過這些點(diǎn)作軸與軸的垂線，圖中所構(gòu)成的陰影部分的面積從左到右依次為，，，，，，則．三、解答題9．（2024·吉林松原·模擬預(yù)測）如圖，點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上，過點(diǎn)P作軸交反比例函數(shù)的圖象于點(diǎn)M，作軸交反比例函數(shù)的圖象于點(diǎn)N，連接．(1)求k的值；(2)求的面積．10．（22-23九年級(jí)下·河南新鄉(xiāng)·開學(xué)考試）如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，反比例函數(shù)與矩形的兩條邊的交點(diǎn)分別是M，N，其中點(diǎn)M的坐標(biāo)為．連接，，已知的面積是矩形面積的．

(1)求反比例函數(shù)的解析式；(2)求四邊形的面積．11．（2024·山西運(yùn)城·一模）閱讀與思考閱讀以下材料，并按要求完成相應(yīng)的任務(wù)：反比例函數(shù)是初中函數(shù)學(xué)習(xí)的重要組成部分，它與物理、化學(xué)等密切相關(guān)，函數(shù)本身又是一個(gè)重要的數(shù)學(xué)思想，利用函數(shù)的思想和方法可以加深對(duì)一些代數(shù)問題的理解，現(xiàn)從反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義出發(fā)來探究反比例函數(shù)的一些規(guī)律．逐夢學(xué)習(xí)小組在熟練掌握k的幾何意義基礎(chǔ)之上又進(jìn)行了深入的探究后發(fā)現(xiàn)：如圖1，以矩形的頂點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線為x軸正半軸、射線為y軸的正半軸建立平面直角坐標(biāo)系，若反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)E，交于點(diǎn)F，當(dāng)時(shí)，則，在老師指導(dǎo)下逐夢學(xué)習(xí)小組進(jìn)行了如下推理，證明了這一結(jié)論是正確的．證明：在圖1中，過點(diǎn)E作軸，垂足為G，過點(diǎn)F作軸，垂足為H根據(jù)k的幾何意義，易知，∵，∴，∴，∴，即．任務(wù)：(1)在圖1中，已知，若反比例函數(shù)的系數(shù)，則矩形的面積______；(2)逐夢學(xué)習(xí)小組繼續(xù)探究后發(fā)現(xiàn)，如圖2，若反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)E，交于點(diǎn)F，若，則，請幫助逐夢學(xué)習(xí)小組完成證明；(3)如圖3，反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)E，交于點(diǎn)F，若，則圖中陰影部分（即四邊形）的面積______．12．（22-23八年級(jí)下·江蘇常州·期末）在平面直角坐標(biāo)系中，反比例函數(shù)的圖像與一次函數(shù)的圖像在第一象限交于A、B兩點(diǎn)．探究一：P是平面內(nèi)的一點(diǎn)，過點(diǎn)A、B、P分別作x軸、y軸的垂線，相應(yīng)的兩條垂線與坐標(biāo)軸所圍成的矩形面積記為、、，矩形周長記為、、，（1）如圖1，P是線段上不與點(diǎn)A、B重合的一點(diǎn)，．______，______（填“＞”、“＜”或“＝”）：猜想：當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，的變化規(guī)律是____________；（2）如圖2，P是雙曲線段上不與點(diǎn)A、B重合的一點(diǎn)，，．______，______（填“＞”、“＜”或“＝”）；猜想：當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，的變化規(guī)律是____________；探究二：如圖3，過點(diǎn)A作x軸的垂線，過點(diǎn)B作y軸的垂線，兩條垂線交于直線右上方的點(diǎn)Q，與反比例函數(shù)的圖像交于點(diǎn)G．若G是的中點(diǎn)，且的面積為9，求k的值．

專題01利用反比例函數(shù)中k的幾何意義求面積的五種考法目錄TOC\o"1-3"\h\u解題知識(shí)必備 1壓軸題型講練 2類型一、反比例函數(shù)中利用k值求三角形的面積 2類型二、反比例函數(shù)中利用k值求等腰三角形的面積 5類型三、反比例函數(shù)中利用k值求平行四邊形的面積 7類型四、反比例函數(shù)中利用k值求矩形的面積 11類型五、反比例函數(shù)中利用k值求陰影部分的面積 14壓軸能力測評(píng)（12題） 19解題知識(shí)必備1.求三角形的面積2.求等腰三角形的面積3.求平行四邊形的面積4.求矩形的面積5.求陰影部分的面積壓軸題型講練類型一、反比例函數(shù)中利用k值求三角形的面積例題：如圖，已知點(diǎn)A為反比例函數(shù)的圖象上任意一點(diǎn)，過A作軸于B，的面積為（

）

A．2 B．2 C．1 D．【答案】D【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的系數(shù)的幾何意義，即可得出解．【詳解】解：由題意，得：的面積；故選D．【點(diǎn)睛】本題考查已知反比例函數(shù)的系數(shù)，求特殊圖形的面積，熟練掌握反比例函數(shù)的系數(shù)的幾何意義，是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．如圖，點(diǎn)是反比例函數(shù)圖象上一點(diǎn)，過點(diǎn)作軸，垂足為點(diǎn)，點(diǎn)在軸上，則的面積是（

）

A． B．1 C．2 D．4【答案】B【分析】連接，根據(jù)平行線之間的距離處處相等可得，再根據(jù)k的幾何意義即可得解．【詳解】解：如圖，連接，

∵軸，∴，故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)的比例系數(shù)的幾何意義，解題的關(guān)鍵是應(yīng)用平行線間的距離處處相等得到和的面積相等．2．如圖，點(diǎn)A在雙曲線點(diǎn)B在雙曲線上，軸，點(diǎn)C是x軸上一點(diǎn)，連接，．若的面積是4，則k的值為（）

A． B． C． D．【答案】A【分析】連接、，設(shè)與y軸交點(diǎn)為M，得到，再利用反比例函數(shù)系數(shù)的幾何意義，得到，，然后根據(jù)列方程求出k的值，即可得到答案．【詳解】解：如圖，連接、，設(shè)與y軸交點(diǎn)為M，軸，軸，，點(diǎn)A在雙曲線點(diǎn)B在雙曲線上，，，，，解得：，，，故選：A．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了考查了反比例函數(shù)系數(shù)的幾何意義，熟記反比例函數(shù)面積與k的關(guān)系是解題關(guān)鍵．3．如圖，點(diǎn)在雙曲線上，點(diǎn)B在雙曲線上，且軸，則的面積等于．

【答案】1【分析】延長交軸于，連接、，可求，，即可求解．【詳解】解：如圖，延長交軸于，連接、，

軸，，，，故答案：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了反比例函數(shù)中的幾何意義，理解的幾何意義是解題的關(guān)鍵．類型二、反比例函數(shù)中利用k值求等腰三角形的面積例題：如圖，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過正的頂點(diǎn)P，則的面積為．

【答案】【分析】過點(diǎn)作，設(shè)，則，，由為正三角形可得，，求解即可．【詳解】解：過點(diǎn)作，如下圖：

設(shè)，則，，∵為正三角形，，∴，．故答案為：．【點(diǎn)睛】此題考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握反比例函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)．【變式訓(xùn)練】1．如圖，點(diǎn)A在反比例函數(shù)第二象限內(nèi)的圖象上，點(diǎn)B在x軸的負(fù)半軸上，若，則的面積為．

【答案】4【分析】過A作于H，依據(jù)可得的面積為2，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可得出答案．【詳解】解：如圖，過A作于H，

∵點(diǎn)A在反比例函數(shù)第二象限內(nèi)的圖象上，∵的面積為，∵，∴的面積為．故答案為：4．【點(diǎn)睛】本題主要考查了反比例函數(shù)比例系數(shù)k的幾何意義：反比例函數(shù)圖象上任意一點(diǎn)向坐標(biāo)軸作垂線，這一點(diǎn)和垂足以及坐標(biāo)原點(diǎn)所構(gòu)成的三角形的面積是，且保持不變．2．如圖，點(diǎn)在反比例函數(shù)第一象限內(nèi)的圖象上，點(diǎn)在軸的正半軸上．若是等邊三角形，則的面積為．【答案】2【分析】過點(diǎn)A作軸于C，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到，再根據(jù)反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義得到即可求解．【詳解】解：過點(diǎn)A作軸于C，∵點(diǎn)在反比例函數(shù)第一象限內(nèi)的圖象上，是等邊三角形，∴，∴，故答案為：2．【點(diǎn)睛】本題考查反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義、等邊三角形的性質(zhì)，熟知反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義是解答的關(guān)鍵．類型三、反比例函數(shù)中利用k值求平行四邊形的面積例題：如圖，點(diǎn)A是反比例函數(shù)的圖象上的一點(diǎn)，過點(diǎn)A作平行四邊形，使點(diǎn)B、C均在x軸上，點(diǎn)D在y軸上，則平行四邊形的面積為．【答案】6【分析】作于，根據(jù)四邊形為平行四邊形得軸，則可判斷四邊形為矩形，所以，根據(jù)反比例函數(shù)的幾何意義得到，據(jù)此即可得到答案．【詳解】解：過點(diǎn)A作于，如圖，四邊形為平行四邊形，軸，四邊形為矩形，，∵，故答案為：6．【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)系數(shù)的幾何意義，解題的關(guān)鍵是掌握從反比例函數(shù)圖象上任意一點(diǎn)向軸和軸作垂線，垂線與坐標(biāo)軸所圍成的矩形面積為．【變式訓(xùn)練】1．如圖，的頂點(diǎn)A、B在x軸上，頂點(diǎn)D在y軸上，頂點(diǎn)C在第一象限，反比例函數(shù)的分支過點(diǎn)C，若的面積為6，則．【答案】6【分析】過點(diǎn)C作于點(diǎn)E，連接，利用平行四邊形的性質(zhì)，證明，得到，進(jìn)而得到，再根據(jù)反比例函數(shù)系數(shù)的幾何意義，即可求出的值．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)C作于點(diǎn)E，連接，，∴，，，在和中，，，，，，設(shè)，點(diǎn)C在第一象限，，，，，，反比例函數(shù)的分支過點(diǎn)C，，故答案為：6．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，反比例函數(shù)系數(shù)的幾何意義，作輔助線構(gòu)造全等三角形，利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問題是解題關(guān)鍵．2．如圖，四邊形是平行四邊形，點(diǎn)A、B分別在反比例函數(shù)和的圖像上，點(diǎn)C、D都在x軸上，則的面積為．

【答案】10【分析】過點(diǎn)A作規(guī)于E，過點(diǎn)B作規(guī)于F，設(shè)與y軸交于G，MJ，，再根據(jù)平等四邊形與矩形的性質(zhì)得出，即可求解．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)A作規(guī)于E，過點(diǎn)B作規(guī)于F，

∵，∴，即，∵，，∴，∴四邊形是矩形，四邊形是矩形，∴，∵點(diǎn)A、B分別在反比例函數(shù)和的圖像上，∴，，∴，∴．故答案為：10．【點(diǎn)睛】本題考查反比例函數(shù)的系數(shù)k的幾何意義，平行四邊形的性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，熟練掌握反比例函數(shù)的系數(shù)k的幾何意義是解題的關(guān)鍵．3．如圖，點(diǎn)A是雙曲線上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)A作x軸的平行線交雙曲線于點(diǎn)B，作軸于點(diǎn)C，連接，若四邊形為平行四邊形，則k的值是．【答案】【分析】延長交y軸于點(diǎn)D，過B作軸，結(jié)合反比例函數(shù)k的幾何意義即可得到答案；【詳解】解：延長交y軸于點(diǎn)D，過B作軸，∵點(diǎn)A是雙曲線，軸，∴，，∵四邊形為平行四邊形，∴，∵軸，軸，軸，∴，∵點(diǎn)B在上，∴，解得：，故答案為；【點(diǎn)睛】本題考查反比函數(shù)k的幾何意義，解題的關(guān)鍵是根據(jù)平行四邊形對(duì)角線將四邊形分成兩個(gè)全等的三角形得到面積．類型四、反比例函數(shù)中利用k值求矩形的面積例題：（2023·廣東佛山·佛山市汾江中學(xué)?？既＃┤鐖D，是函數(shù)圖象上的一點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的垂線，垂足為，過點(diǎn)作軸的垂線，垂足為，則四邊形的面積是．

【答案】【分析】直接根據(jù)反比例函數(shù)比例系數(shù)的幾何意義求解．【詳解】解：∵是函數(shù)圖象上的一點(diǎn)，又，∴四邊形是矩形∴矩形的面積．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)比例系數(shù)的幾何意義：在反比例函數(shù)圖象中任取一點(diǎn)，過這一個(gè)點(diǎn)向軸和軸分別作垂線，與坐標(biāo)軸圍成的矩形的面積是定值．【變式訓(xùn)練】1．（2022秋·山東濱州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)在雙曲線上，點(diǎn)在雙曲線上，且軸，點(diǎn)、在軸上，若四邊形為矩形，則它的面積為（

）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】B【分析】延長交軸于點(diǎn)，根據(jù)反比例函數(shù)的幾何意義可得答案．【詳解】解：延長交軸于點(diǎn)，則軸，四邊形是矩形，如圖：∵點(diǎn)在雙曲線上，點(diǎn)在雙曲線上，∴，，∴，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)系數(shù)的幾何意義，熟練掌握過反比例函數(shù)上一點(diǎn)作坐標(biāo)軸垂線組成的四邊形面積為是解答本題的關(guān)鍵．2．（2023秋·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，是反比例函數(shù)的圖象上的一點(diǎn)，則矩形的面積為．【答案】【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的幾何意義，直接求出即可．【詳解】解：∵點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上，∴矩形的面積，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)的幾何意義，理解反比例函數(shù)的幾何意義并熟練運(yùn)用是解題關(guān)鍵．3．（2023春·山東菏澤·九年級(jí)統(tǒng)考開學(xué)考試）如圖，若點(diǎn)與點(diǎn)是反比例函數(shù)的圖象上的兩點(diǎn)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，軸于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，軸于點(diǎn)，設(shè)矩形的面積為，矩形的面積為，則與的大小關(guān)系為：（填“”，“”或“”）．【答案】【分析】根據(jù)反比例函數(shù)k的幾何意義可求出與的值．【詳解】∵點(diǎn)A與點(diǎn)B是反比例函數(shù)的圖象上的兩點(diǎn)，過點(diǎn)A作軸于點(diǎn)M，軸于點(diǎn)N，過點(diǎn)B作軸于點(diǎn)G，軸于點(diǎn)H，∴，，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查反比例函數(shù)k的幾何意義，掌握數(shù)形結(jié)合的思想是解決本題的關(guān)鍵．類型五、反比例函數(shù)中利用k值求陰影部分的面積例題：（2023·黑龍江佳木斯·統(tǒng)考三模）如圖，設(shè)點(diǎn)作反比例函數(shù)的圖象上，軸于點(diǎn)，交反比例函數(shù)的圖象于點(diǎn)A，軸于點(diǎn)，交反比例函數(shù)的圖象于點(diǎn)，則四邊形的面積為（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意得，，，即可得四邊形的面積．【詳解】解：∵點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上，軸于點(diǎn)，交反比例函數(shù)的圖象于點(diǎn)A，軸于點(diǎn)，交反比例函數(shù)的圖象于點(diǎn)，∴，，，∴四邊形的面積為：，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)中k的幾何意義，解題的關(guān)鍵是理解題意，掌握反比例函數(shù)中k的幾何意義．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·河南洛陽·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，兩個(gè)反比例函數(shù)和（其中）在第一象限內(nèi)的圖象依次是和，設(shè)點(diǎn)P在上，軸于點(diǎn)C，交于點(diǎn)A，軸于點(diǎn)D，交于點(diǎn)B，則四邊形的面積為．

【答案】/【分析】根據(jù)反比例函數(shù)k值的意義，求出四邊形的面積和，的面積即可得出答案．【詳解】解：∵，，∴四邊形的面積為：．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了反比例函數(shù)k值的意義，解題的關(guān)鍵是熟練掌握反比例函數(shù)中的k值與矩形和三角形的面積關(guān)系．2．（2023·河北石家莊·校聯(lián)考模擬預(yù)測）點(diǎn)，，在反比例函數(shù)（常數(shù)，）圖象上的位置如圖所示，分別過這三個(gè)點(diǎn)作軸、軸的平行線．圖中所構(gòu)成的陰影部分面積從左到右依次為，，．，若四邊形的面積是27，則的值為；若，則的值為；若，則的值為．

【答案】2727【分析】利用反比例函數(shù)系數(shù)的幾何意義可得，根據(jù)求解，然后利用列方程求解即可得到答案．【詳解】解：由題意知：四邊形是矩形，若四邊形的面積是27，∵在反比例函數(shù)（常數(shù)，）圖象上，且四邊形的面積是27，∴；若，同理：矩形，矩形的面積都為，∴；若，，，，∴故答案為：27，27，【點(diǎn)睛】本題主要考查了反比例函數(shù)比例系數(shù)的幾何意義，熟知反比例函數(shù)比例系數(shù)的幾何意義是解題的關(guān)鍵．3．（2023春·八年級(jí)單元測試）如圖，已知正方形的面積為9，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)在y軸上，點(diǎn)B在函數(shù)（，）圖象上，點(diǎn)P是函數(shù)（，）圖象上異于點(diǎn)B的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)P分別作x軸、y軸的垂線，垂足分別為點(diǎn)E、F．設(shè)矩形和正方形不重合部分的面積為S．

(1)點(diǎn)B的坐標(biāo)是______，k=______；(2)當(dāng)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)求出S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式．【答案】(1)，9(2)點(diǎn)的坐標(biāo)（，6）或（6，）(3)【分析】（1）由正方形的面積公式求出正方形的邊長，確定出及的長，得到點(diǎn)B的坐標(biāo)，將B的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式中即可求出k值；（2）分兩種情況考慮：①當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B的左邊時(shí)，不重合部分為矩形，將P的坐標(biāo)代入第一問確定出的反比例函數(shù)解析式中，得到的值，根據(jù)P及B的坐標(biāo)，表示出與，利用矩形的面積公式表示出矩形的面積，將的值及已知的面積代入，即可求出m的值，進(jìn)而得到n的值，確定出此時(shí)P的坐標(biāo)；②當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B的右邊時(shí)，不重合部分為矩形，由P及B的坐標(biāo)表示出及，利用矩形的面積公式表示出矩形的面積，將的值及已知的面積代入求出n的值，進(jìn)而求出m的值，確定出此時(shí)P的坐標(biāo)，綜上，得到所有滿足題意的P的坐標(biāo)．（3）分兩種情況考慮：①當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B的左邊時(shí)，不重合部分為矩形，將P的坐標(biāo)代入第一問確定出的反比例函數(shù)解析式中，得到的值，根據(jù)P及B的坐標(biāo)，表示出與，利用矩形的面積公式表示出矩形的面積，化簡即可得到S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式；②當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B的右邊時(shí)，不重合部分為矩形，由P及B的坐標(biāo)表示出及，利用矩形的面積公式表示出矩形的面積，化簡即可得到S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式，綜上，可得到S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式．

【詳解】（1）∵正方形的面積為9，，．又∵點(diǎn)在函數(shù)（，）的圖象上，．故答案為：，9．（2）

分兩種情況：①當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B的左側(cè)時(shí)，矩形和正方形不重合部分為矩形．∵在函數(shù)上，∴．∵，，∴，又，∴，解得：，可得，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為；②當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B的右側(cè)時(shí)，矩形和正方形不重合部分為矩形．∵在函數(shù)上，∴．∵，，∴，

又，∴，解得，可得，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為．綜上所述：P的坐標(biāo)為或．（3）

分兩種情況：①當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B的左側(cè)時(shí)，即時(shí)，矩形和正方形不重合部分為矩形．∵在函數(shù)上，∴．∵，，∴，又，∴，即S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式為（）②當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B及點(diǎn)B的右側(cè)，即時(shí)，矩形和正方形不重合部分為矩形．∵在函數(shù)上，∴，即．∵，，∴，

又，∴，即S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式為（）綜上所述：S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了反比例函數(shù)的系數(shù)與矩形的面積的關(guān)系，把線段的長的問題轉(zhuǎn)化為點(diǎn)的坐標(biāo)問題是解決本題的關(guān)鍵，需要注意分點(diǎn)P在點(diǎn)B的左邊與右邊兩種情況進(jìn)行討論求解，避免漏解而導(dǎo)致出錯(cuò)．壓軸能力測評(píng)（12題）一、單選題1．（2024·云南文山·模擬預(yù)測）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P在反比例函數(shù)的圖象上，過點(diǎn)P作軸，軸，垂足分別為A、B，則矩形的面積是（

）A．12 B．9 C．6 D．3【答案】C【分析】本題考查了反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義：從反比例函數(shù)圖象上任意一點(diǎn)向x軸和y軸作垂線，垂線與坐標(biāo)軸所圍成的矩形面積為．因?yàn)檫^雙曲線上任意一點(diǎn)引x軸、y軸垂線，所得矩形面積S是個(gè)定值，即，據(jù)此解答即可．【詳解】解：∵點(diǎn)P在反比例函數(shù)的圖象上，過點(diǎn)P作軸，軸，∴矩形的面積．故選：C．2．（2024·海南海口·模擬預(yù)測）如圖，直線平行于軸，且分別與反比例函數(shù)、的圖象交于點(diǎn)、，則面積為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】本題考查了反比例函數(shù)值的幾何意義，令直線交軸于，根據(jù)反比例函數(shù)值的幾何意義解答即可，熟練掌握反比例函數(shù)值的幾何意義是解此題的關(guān)鍵．【詳解】解：如圖，令直線交軸于，，∵直線平行于軸，且分別與反比例函數(shù)、的圖象交于點(diǎn)、，∴，，∴，故選：A．3．（2024·云南曲靖·二模）如圖，A，B為反比例函數(shù)圖象上任意兩點(diǎn)，分別過點(diǎn)A，B作y軸的垂線，垂足分別為C，D，連接，設(shè)和的面積分別為，，則（

）A． B． C． D．無法確定【答案】B【分析】本題主要考查了反比例函數(shù)中的幾何意義．過雙曲線上任意一點(diǎn)與原點(diǎn)所連的線段、坐標(biāo)軸、向坐標(biāo)軸作垂線所圍成的直角三角形面積是個(gè)定值，即．【詳解】解：依題意有：和的面積是個(gè)定值．所以．故選：B．4．（23-24八年級(jí)下·浙江杭州·期末）如圖，過的圖象上點(diǎn)，分別作軸，軸的平行線交的圖象于，兩點(diǎn)，以，為鄰邊的矩形被坐標(biāo)軸分割成四個(gè)小矩形，面積分別記為，，，，若，則的值為（

）A． B． C．4 D．【答案】D【分析】本題考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)，設(shè)，則，，，根據(jù)坐標(biāo)求得，，推得，即可求得．【詳解】解：依題意，設(shè)，則，，∵點(diǎn)A在的圖象上則，同理∵B，D兩點(diǎn)在的圖象上，則∵∴，又∵，故，∴，故選：D．二、填空題5．（2024·河南南陽·三模）如圖，點(diǎn)A是反比例函數(shù)圖象上的一點(diǎn)，過點(diǎn)A作軸于點(diǎn)B，點(diǎn)Q是x軸上任意一點(diǎn)，連接，則的面積為．

【答案】4【分析】本題考查了反比例函數(shù)值的幾何意義，連接，根據(jù)反比例函數(shù)值的幾何意義解答即可，熟練掌握值的幾何意義是關(guān)鍵．【詳解】解：如圖，連接，過點(diǎn)A作軸于點(diǎn)B，軸，，故答案為：4．

6．（23-24八年級(jí)下·山西臨汾·期末）如圖，兩個(gè)正方形的中心與原點(diǎn)重合，邊分別與兩坐標(biāo)軸平行，反比例函數(shù)的圖象與大正方形的一邊交于點(diǎn)，且經(jīng)過小正方形的頂點(diǎn)，則圖中陰影部分的面積為．【答案】48【分析】本題主要考查了待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式，反比例函數(shù)系數(shù)的幾何意義，正方形的性質(zhì)，熟練掌握反比例函數(shù)系數(shù)的幾何意義是解決問題的關(guān)鍵．根據(jù)待定系數(shù)法求出即可得到反比例函數(shù)的解析式；利用反比例函數(shù)系數(shù)的幾何意義求出小正方形的面積，再求出大正方形在第一象限的頂點(diǎn)坐標(biāo)，得到大正方形的面積，根據(jù)圖中陰影部分的面積大正方形的面積小正方形的面積即可求出結(jié)果．【詳解】解：反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，，反比例函數(shù)的解析式為；小正方形的中心與平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)重合，邊分別與坐標(biāo)軸平行，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，，，小正方形的面積為，大正方形的中心與平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)重合，邊分別與坐標(biāo)軸平行，且，大正方形在第一象限的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，大正方形的面積為，圖中陰影部分的面積大正方形的面積小正方形的面積，故答案為：48．7．（2024·山東煙臺(tái)·一模）如圖，在x軸的正半軸上依次截取，過點(diǎn)，，分別作x軸的垂線與反比例函數(shù)（）的圖象相交于點(diǎn)，，，得，，，并設(shè)其面積分別為，，，以此類推，則的值為．【答案】【分析】本題考查的是反比例函數(shù)綜合題，根據(jù)題意作出輔助線，利用反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義求解是解答此題的關(guān)鍵．連接，根據(jù)反比例函數(shù)的幾何性質(zhì)，可得，又，可得到，，，按此規(guī)律，可得．【詳解】解：連接，如圖所示，，，，是反比例函數(shù)的圖象上的點(diǎn)，都垂直于x軸，，根據(jù)反比例函數(shù)的幾何性質(zhì)可得，，，，，，依此規(guī)律，可得．故答案為：．8．（2024·湖南益陽·二模）如圖，在反比例函數(shù)的圖象上有，，，，等點(diǎn)，它們的橫坐標(biāo)依次為1，2，3，，2025，分別過這些點(diǎn)作軸與軸的垂線，圖中所構(gòu)成的陰影部分的面積從左到右依次為，，，，，，則．【答案】【分析】本題考查了反比例函數(shù)的幾何意義，熟練掌握反比例函數(shù)的圖象性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．將面積為，，，的矩形向左平移到面積為的矩形的下方，再利用矩形的面積差求解即可．【詳解】解：∵，，，，的橫坐標(biāo)依次為1，2，3，2025，∴陰影矩形的一邊長都為1，記軸于點(diǎn)，軸于點(diǎn)，軸于點(diǎn)，且交于點(diǎn)，如圖所示：將面積為，，，的矩形向左平移到面積為的矩形的下方，則，把代入得：，即，∴，根據(jù)反比例函數(shù)中的幾何意義，可得：，∴，故答案為：．三、解答題9．（2024·吉林松原·模擬預(yù)測）如圖，點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上，過點(diǎn)P作軸交反比例函數(shù)的圖象于點(diǎn)M，作軸交反比例函數(shù)的圖象于點(diǎn)N，連接．(1)求k的值；(2)求的面積．【答案】(1)(2)的面積為【分析】本題考查反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，理解反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義以及反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征是正確解答的關(guān)鍵．（1）將點(diǎn)代入反比例函數(shù)可求出k的值；（2）設(shè)點(diǎn)，則，，根據(jù)進(jìn)行求解即可．【詳解】（1）解：∵點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上，，；（2）設(shè)點(diǎn)，則，．10．（22-23九年級(jí)下·河南新鄉(xiāng)·開學(xué)考試）如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，反比例函數(shù)與矩形的兩條邊的交點(diǎn)分別是M，N，其中點(diǎn)M的坐標(biāo)為．連接，，已知的面積是矩形面積的．

(1)求反比例函數(shù)的解析式；(2)求四邊形的面積．【答案】(1)(2)18【分析】（1）將M代入反比例函數(shù)的表達(dá)式中求解即可；（2）利用k的幾何意義求出、的面積，進(jìn)而求出矩形的面積，借助割補(bǔ)法求解面積即可．【詳解】（1）解：∵反比例函數(shù)經(jīng)過點(diǎn)，∴．∴．∴反比例函數(shù)的解析式為．（2）解：由反比例函數(shù)k的幾何意義可知的面積的面積．∵的面積是矩形面積的，∴矩形的面積．∴．【點(diǎn)睛】本題考查坐標(biāo)與圖形性質(zhì)、待定系數(shù)法求函數(shù)表達(dá)式、反比例函數(shù)比例系數(shù)k的幾何意義，熟練反比例函數(shù)比例系數(shù)k的幾何意義，利用割補(bǔ)法求解圖形面積是解答的關(guān)鍵．11．（2024·山西運(yùn)城·一模）閱讀與思考閱讀以下材料，并按要求完成相應(yīng)的任務(wù)：反比例函數(shù)是初中函數(shù)學(xué)習(xí)的重要組成部分，它與物理、化學(xué)等密切相關(guān)，函數(shù)本身又是一個(gè)重要的數(shù)學(xué)思想，利用函數(shù)的思想和方法可以加深對(duì)一些代數(shù)問題的理解，現(xiàn)從反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義出發(fā)來探究反比例函數(shù)的一些規(guī)律．逐夢學(xué)習(xí)小組在熟練掌握k的幾何意義基礎(chǔ)之上又進(jìn)行了深入