2024-2025學年重慶市北碚區(qū)某中學九年級（上）期中數(shù)學試卷

2024-2025學年重慶市北宿區(qū)西南大學附中九年級（上）期中數(shù)學試卷

一、選擇題：本題共10個小題，每小題4分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題

目要求的.請將答題卡上對應題目的正確答案標號涂黑.

1.（4分）-2024的絕對值是（）

A.2024B.-2024

20242024

2.（4分）下列圖形是中心對稱圖形的是（

3.（4分）已知點（-2,1）在反比例函數(shù)了上年#0）的圖象上（）

B.-21

2

4.（4分）下列調(diào)查中，適合采用全面調(diào)查的是（）

A.調(diào)查一批圓珠筆的使用壽命

B.調(diào)查全國九年級學生的睡眠情況

C.調(diào)查重慶市民坐輕軌出行的意愿

D.調(diào)查“神十八”載人飛船各零部件質(zhì)量

5.（4分）兩個相似三角形的面積比為1：4,那么這兩個三角形的周長比為（）

A.1：2B.1：4C.1：8D.1：16

6.（4分）如圖，點/、B、。在OO上，NACB=55°（）

A.30°B.35°C.40°D.55°

7.（4分）估計、/§X片）的值在（

第1頁（共34頁）

A.4和5之間B.5和6之間C.6和7之間D.7和8之間

A.43B.47C.53D.57

9.（4分）如圖，正方形/BCD邊3c上有一點E,C8延長線上有一點尸,若NE/尸=45°，tanZAFB=2,

則巫（）

B.2cD.1

A?亨7-i2

10.（4分）給定一列數(shù)，我們把這列數(shù)中第一個數(shù)記為第二個數(shù)記為。2,第三個數(shù)記為。3,以比類

推，第”個數(shù)記為即.已知ai=x,并規(guī)定：a-=------T，5一幻+及+內(nèi)+…

“n+1i_1n1a2a3

an

+an.下列說法：

②乃+T2+T3+…+72024=0；

S-ST

③對于任意正整數(shù)匕都有/也~"=一^+丁4狂1-撼立.

T4k-1T4k+1

其中正確的個數(shù)是（）

A.0B.1C.2D.3

二、填空題：本大題共8小題，每小題4分，共32分.請將正確答案寫在答題卡中對應的位置上.

11.（4分）計算：（工）-（n+1）0=-

12.（4分）一個多邊形的每一個內(nèi)角都是108°,那么這個多邊形的邊數(shù)是.

第2頁（共34頁）

13.（4分）甲、乙兩個不透明的盒子中，分別裝有除顏色外完全相同的小球，甲盒中裝有1個紅球、2個

白球，從甲、乙兩盒中各取一個球，則兩球顏色相同的概率為.

14.（4分）為改善農(nóng)民生活質(zhì)量，落實惠農(nóng)政策，我國農(nóng)村燃氣普及率逐年上升.某地區(qū)農(nóng)村2022年新

開通燃氣20萬戶，則該地區(qū)農(nóng)村這兩年新開通燃氣的年平均增長率是.

15.（4分）如圖，AD為斜邊NC上的中線，過點。作8C的垂線交8C于點￡,AB=BE=\,

‘2x》x+l

16.（4分）若關于x的不等式組x-3y+a至少有3個整數(shù)解，且關于y的分式方程也■^更=引

y-i1-y

則符合條件的所有整數(shù)a的和為.

17.（4分）如圖，以為直徑的。。與工￡相切于點與O。交于點，連接CE交于點R交

18.（4分）我們規(guī)定：若一個四位自然數(shù)各個數(shù)位均不為零，且千位與百位的積等于十位與個位的和，千

位與十位的和為10,滿足2義7=8+6,且2+8=10,最小的“加乘數(shù)”為；將一個“加乘

數(shù)”M的千位與十位對調(diào)、百位與個位對調(diào)，得到新的數(shù)記為N,若M+N能被11整除.

三、解答題：本大題8小題，共78分.解答時每小題必須給出必要的演算過程或推理步驟，畫出必要的

圖形（包括輔助線），請將解答過程書寫在答題卡中對應的位置上.

19.（8分）計算：

（1）x（x+4y）+（x-2y）2；

第3頁（共34頁）

⑵（1旦）小事?

mm+m

20.（10分）傳統(tǒng)節(jié)日是中華民族悠久歷史文化的重要組成部分，也是傳承和弘揚傳統(tǒng)文化的重要載體.某

中學在全校七、八年級學生中開展了“傳統(tǒng)節(jié)日彰顯中華文化”知識競賽，并從七、八年級學生中各抽

取20名學生的競賽成績（百分制）（成績得分用x表示，共分為四組：A.x<85,B.85Wx<90,C.90

Wx<95,D.95WxW100）下面給出了部分信息：

七年級20名學生的競賽成績是：78,79,82,84,85,87,88,90,90,93,94,95,96,100.

八年級20名學生的競賽成績在C組中的數(shù)據(jù)是：90,91,91,93,94.

七、八年級抽取的學生的競賽成績統(tǒng)計表

年級平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)

七年級8989.5a

八年級89b91

根據(jù)以上信息，解答下列問題：

（1）填空：a=,b=,m=；

（2）根據(jù)以上數(shù)據(jù)，你認為在此次知識競賽中，該校七、八年級中哪個年級的成績更好？請說明理由

（一條理由即可）；

（3）該校七年級有500名學生、八年級有600名學生參加了此次知識競賽，請估計七、八年級參加此

次知識競賽的學生中成績優(yōu)秀（x290）的學生共有多少人？

八年級抽取的學生的競賽成績扇形統(tǒng)計圖

21.（10分）在學習了平行四邊形與矩形的相關知識后，某數(shù)學興趣小組進行了更深入的研究，他們發(fā)現(xiàn),

與平行四邊形兩邊相交的兩點和這條對角線的兩個端點構(gòu)成的四邊形是矩形，可利用證明三角形全等得

到此結(jié)論.根據(jù)他們的想法與思路

（1）如圖，在平行四邊形/BCD中，CELAD于點、E.用尺規(guī)過點N作8C的垂線（不寫作法，保留

作圖痕跡）.

第4頁（共34頁）

（2）已知：平行四邊形/BCD中，C￡_L4。于點￡,于點尸.求證：四邊形NFCE是矩形.

證明：?.?四邊形/BCD是平行四邊形，

：.AB=CD,AD=BC,①.

"：CELAD,AF±BC,

：.ZAFB=ZCED=90°.

在△NAF和△CDE中，

，ZAFB=ZCED

-ZB=ZD，

LAB=CD

:.AABF咨ACDE（AAS）.

：.AF=CE,②.

：.BC-BF=AD-DE,即③.

，四邊形/FCE是平行四邊形.

又：C￡_L/D,

四邊形/尸CE是矩形.

進一步思考，如果四邊形/8C〃是菱形呢？請你模仿題中表述，寫出你猜想的結(jié)論：過菱形的一條對

角線的兩個端點分別作一組對邊的垂線.

22.（10分）某茶具生產(chǎn)車間有25名工人生產(chǎn)茶壺和茶杯，1個茶壺和6個茶杯配成一套.已知一名工人

一天可以生產(chǎn)3個茶壺或7個茶杯.

（1）要使一天生產(chǎn)的茶壺和茶杯正好配套，應分別安排多少名工人生產(chǎn)茶壺和茶杯？

（2）10月一套茶具的成本比9月提高了20%,9月投入了10萬元，10月投入的比9月多5000元，求

10月每套茶具的成本是多少元？

23.（10分）如圖1,在△/8C中，48=6,點P為4B上一點，AP=x,0的距離為yi,△N5C的周長與

△4P。的周長之比為

（1）請直接寫出刀，”分別關于x的函數(shù)表達式，并注明自變量x的取值范圍；

（2）在給定的平面直角坐標系中，畫出函數(shù)”的圖象，并分別寫出函數(shù)力，”的一條性質(zhì)；

（3）結(jié)合函數(shù)圖象，請直接寫出時x的取值范圍（近似值保留小數(shù)點后一位，誤差不超過0.2）.

第5頁（共34頁）

9---r--r--T--7--i--1--1

8---1--1

7

6

。123456789%

圖1圖2

24.（10分）如圖，A,B,C,D,￡分別是某湖邊的五個打卡拍照點，為了方便游客游玩，在3,。之間

修了一座橋.B,。在8的正南方向，且在。的南偏西60°方向，且在。的北偏西30°方向，/2=100

米（參考數(shù)據(jù)：&=1.414,我比1.732,遍比2.449）

（1）求8。的長度（結(jié)果保留小數(shù)點后一位）；

（2）甲、乙兩人從拍照點/出發(fā)去拍照點D,甲選擇的路線為：A-B-C-D,乙選擇的路線為：A-

.請計算說明誰選擇的路線較近？

25.（10分）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線尸a/+6x+4（aWO）經(jīng)過點（3,Q與x軸交于/,

與y軸交于點C,拋物線的對稱軸是直線x=l.

第6頁（共34頁）

備用圖

(1)求拋物線的表達式;

(2)點尸是直線上方拋物線上的一動點，過點尸作尸￡>〃>軸，交BC于點D.點又是y軸上的一

動點，DM.當線段長度取得最大值時，求周長的最小值;

(3)將該拋物線進行平移，使得平移后的拋物線經(jīng)過(2)中△尸。“周長取得最小值時的點M(-4,

0),9兩點(￡在9的左側(cè))，連接.點N為平移后的拋物線上的一動點，請直接寫出所有符合條

件的點N的坐標.

26.(10分)如圖，在等腰△/BC中，AB=AC

(1)如圖1,若NA4C=a,線段4D旋轉(zhuǎn)到R4延長線上，交BC、4c于E,F,求/4FD的度數(shù)(用

含a的式子表示)；

(2)如圖2,若/A4C=90°,線段4D繞點/旋轉(zhuǎn)過程中，過點C作CE〃/2,連接DE,試用等式

表示線段⑦、AC,C￡之間的數(shù)量關系，并說明理由；

(3)如圖3,若/B/C=90°,AD」AB，連接5。，交BD延長線DE于點E.當取最大值時，請

3

直接寫出些

BE

第7頁(共34頁)

2024-2025學年重慶市北宿區(qū)西南大學附中九年級（上）期中數(shù)學試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題：本題共10個小題，每小題4分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題

目要求的.請將答題卡上對應題目的正確答案標號涂黑.

1.（4分）-2024的絕對值是（）

A.2024B.-2024C.―」D.一」

20242024

【解答】解：-2024的絕對值是2024.

故選：A.

2.（4分）下列圖形是中心對稱圖形的是（）

【解答】解：選項/、B、。的圖形都不能找到一個點，所以不是中心對稱圖形;

選項C的圖形能找到一個點，使圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)180度后與原來的圖形重合.

故選：C.

3.（4分）已知點（-2,1）在反比例函數(shù)y工＞（k#0）的圖象上（）

X

A.2B.-2C.AD.-X

22

【解答】解：；點（-2,1）在反比例函數(shù)y上508），

X

1=工

-2

：.k=-3X1=-2,

故選：B.

4.（4分）下列調(diào)查中，適合采用全面調(diào)查的是（）

A.調(diào)查一批圓珠筆的使用壽命

B.調(diào)查全國九年級學生的睡眠情況

C.調(diào)查重慶市民坐輕軌出行的意愿

第8頁（共34頁）

D.調(diào)查“神十八”載人飛船各零部件質(zhì)量

【解答】解：/、調(diào)查一批圓珠筆的使用壽命，故本選項不符合題意；

5、調(diào)查全國九年級學生的睡眠情況，故本選項不符合題意；

C、調(diào)查重慶市民坐輕軌出行的意愿，故本選項不符合題意；

。、調(diào)查“神十八”載人飛船各零部件質(zhì)量，故本選項符合題意.

故選：D.

5.（4分）兩個相似三角形的面積比為1：4,那么這兩個三角形的周長比為（）

A.1：2B.1：4C.1：8D.1：16

【解答】解：???兩個相似三角形的面積比是1：4,

...它們的相似比是3：2,

...它們的周長比是1：6.

故選：A.

6.（4分）如圖，點4B、C在。。上，NACB=55°（.）

C

A.30°B.35°C.40°D.55°

【解答】解：：//C8=55°,

AZAOB=2ZACB=110°,

'：OB=OA,

：.ZABO=ZBAO=1-(180°-ZAOB)=：,5°,

5

故選：B.

7.(4分)估計x(2A而4工)的值在(

)

A.4和5之間B.5和6之間C.6和7之間D.7和8之間

【解答】解：yX(2V8-^1-)=4V15>

V3.5<V15<6,

.1.6<2V15-8<7,

第9頁（共34頁）

?t-73x（2>/5）的值在6到7之間，

A.43B.47C.53D.57

【解答】解：第1個圖形白色正方形共8個，黑色3個，

第2個圖形比第1個圖形白色比黑色又多了2個，即白色比黑色多（7+4）個，

第5個圖形比第2個圖形白色比黑色又多了4個，即白色比黑色多（6+4X2）個，

類推，第〃個圖案中白色正方形比黑色正方形多［6+4（?-1）］個，

故第〃個圖案中白色正方形比黑色正方形多（8〃+3）個.

.?.第10個圖案中白色正方形比黑色正方形多：4X10+2=43（個）.

故選：A.

9.（4分）如圖，正方形/8CQ邊8C上有一點應C3延長線上有一點R若NE4/=45°,tanZAFB=2,

則廖（）

A.近B.2C.旦D.-L

2352

【解答】解：作EK工4c于H點、,如圖，

:四邊形/2C。為正方形，

：.AB=BC,ZABC^90°,

VZEAF=45°,

即NEN8+NE4B=45°,ZHAE+ZEAB=45°,

第10頁（共34頁）

???/HAE=/BAF,

：.ZAEH=NAFB,

tanNAEH=tanZAFB=2,

在RtAAEH中，tanZAEH=型,

HE

:.設HE=x,AH=2x,

：.CH=HE=x,

,:AC=AH+CH=2x+x=6x,

:.AB=BC=~J^AC=,

22

：.BE=BC-CE=返_我區(qū)

22

在尸中，\'tanABF^^L,

BF

：.BF=^B=入?x,

24

返

?BE-3X___2

"BF3施T

8x

10.（4分）給定一列數(shù)，我們把這列數(shù)中第一個數(shù)記為41,第二個數(shù)記為02,第三個數(shù)記為。3,以比類

1+a

推，第幾個數(shù)記為ctn?已知=Xf并規(guī)定：a=-----—,T=A*An*an***a'S〃=41+。2+。3+…

°n+ll-1n1Q2a3）

*?an

+劭.下列說法：

①Q(mào)2=Q10；

②T1+T2+T3+…+及024=0;

第11頁（共34頁）

③對于任意正整數(shù)后，都有$4什3-S4k二［^+撼立.

T4k-1T4k+1

其中正確的個數(shù)是（）

A.0B.1C.2D.3

【解答】解：根據(jù)題意可知，ai=x,

.."n

ai=1+x,

8-x

］鏟

°3=^^=上"區(qū)=2=-1

1__3+x1-x-l-x-2xx

l-x

r/1、X-l

1+（）------1

_X_XX_1

46=------------Z-=-=r,

2一（二）匹2X+1

XX

02=與率=X+1+X74f

1__x-lx+2-x+l3

x+4

.??每四個數(shù)為一個循環(huán),

.*.104-3=2........2,

故〃10=空空，

1-x

??。2=。10，

故①正確;

第12頁（共34頁）

由題意可知T5=ai=x,

T2=a8'a2=x,1+'_=X(l+x),

5-x1-x

Z4=Q1?Q2?〃5=X?上區(qū)?(-匡―1+X,

l-xX1-X

乃=4]".〃4.44=x+]■X—l-=6,

x~3x+1

75=^1*^5*^3*^4*^8=1Xx=X,

76=。5x02義。3X05X05Xg6^X(2+X)

1-x

71+76+r3+74

=X(6+x)l+x

x+~1-x-7-x+1

X(4+x)l+x

x+1+-^

(l+x)(1-x)/(l+x)_4+x

7-xl-x1-x

=1-x*+x+x2-1-x

6-x

=0,

由此可得即，意都是以4個數(shù)為一周期的數(shù)列,

720244-5=506,

71+72+75+74+...72024—0,

故②正確；

?.?⑸=1,丁*5=巖=-3'&+~=%

■T4k+TR

..yrT14k+「5

Uk+8

=~+a-3

al6

=~+x-8

x

2

=X-3X+7

x

;S4左=Q1+。5+的+...+S4左，S7k+3=41+Q4+Q3+,*+S4左+Q5+Q2+Q3，

:?S6k+3-844=。8+。2+。3，

第13頁（共34頁）

S7k4~3-S4k

T2k-1

al+a4+a3

8-x

=(x-1)2x

X2-3X+8

S_ST

.4k+36k_3k.o

----r-T+T3k+1-3，

14k-l14kx

故③正確，

綜上所述，正確的有①②③.

故選：D.

二、填空題：本大題共8小題，每小題4分，共32分.請將正確答案寫在答題卡中對應的位置上.

11-（4分）計算：（」_）-（K+1）0

【解答】解：原式=2-1

=5.

故答案為：1.

12.（4分）一個多邊形的每一個內(nèi)角都是108°,那么這個多邊形的邊數(shù)是5.

【解答】解：180-108=72,

多邊形的邊數(shù)是：360+72=5.

則這個多邊形是五邊形.

故答案為：5.

13.（4分）甲、乙兩個不透明的盒子中，分別裝有除顏色外完全相同的小球，甲盒中裝有1個紅球、2個

白球，從甲、乙兩盒中各取一個球，則兩球顏色相同的概率為_3一.

【解答】解：列表如下:

第14頁（共34頁）

紅白白

紅（紅，紅）（紅，白）（紅，白）

紅（紅，紅）（紅，白）（紅，白）

白（白，紅）（白，白）（白，白）

共有9種等可能的結(jié)果，其中兩球顏色相同的結(jié)果有4種，

，兩球顏色相同的概率為旦.

9

故答案為：1.

8

14.（4分）為改善農(nóng)民生活質(zhì)量，落實惠農(nóng)政策，我國農(nóng)村燃氣普及率逐年上升.某地區(qū)農(nóng)村2022年新

開通燃氣20萬戶，則該地區(qū)農(nóng)村這兩年新開通燃氣的年平均增長率是40%.

【解答】解：設該地區(qū)農(nóng)村這兩年新開通燃氣的年平均增長率是X,

由題意得：20（1+x）2=39.6,

解得：xi=0.8=40%<X2=-2.5（不符合題意,舍去），

即該地區(qū)農(nóng)村這兩年新開通燃氣的年平均增長率是40%,

故答案為：40%.

15.（4分）如圖，AD為Rt4/BC斜邊/C上的中線，過點。作2C的垂線交2C于點E,AB=BE=\,

【解答】解：為Rt448C斜邊/C上的中線,

".BD=AD=CD=^AC,

2

NDBA=/4,

DELBC,

：.BE=CE,

;AB=BE=3,

第15頁（共34頁）

:.AB=BE=CE=1,

在RtZ\45C中，AB=1,

由勾股定理得：AC=7AB3+BC2=9

：.BD=AD=CD=五，

2

VZACB=90°,BDLDF,

：.N4BC=/BEF=9Q°,

：.ZDBA+ZDBC=90°,ZDBC+ZEBF=90°,

ZDBA^ZEBF,

：.ZA=ZEBF,

在△45C和斯中，

2A=NEBF

,AB=BE，

1ZABC=ZBEF=90°

:.AABC咨4BEF(ASA),

：.AC=BF=J5,

42=

在RtZkBDF中，由勾股定理得：DF=VBD+BF^(^)2+(71/-

故答案為：2.5.

‘2x》x+l

1+yay

16.（4分）若關于x的不等式組《x-3x+a至少有3個整數(shù)解，且關于y的分式方程=3,

y-l1-y

則符合條件的所有整數(shù)a的和為-4

【解答】解：解不等式組，得IWXW2a+7,

..?原不等式組少有3個整數(shù)解,

.**2Q+3三3,

二?。三一3；

解分式方程，得y=_E,

a+2

,?》=1是分式方程的增根,

4.W],

a+2

:.a豐7,

??u2-3月.aW2.

第16頁（共34頁）

???原分式方程有整數(shù)解,

，。+2=±4,±2,

:?。=-2,-4,-1,5,2,

「心-3且24,

??a=-3,-1,6,

-3-1+5=-4,

符合條件的所有整數(shù)。的和為-4.

故答案為：-6.

17.（4分）如圖，以43為直徑的。。與相切于點BE與OO交于點D,連接CE交于點尸、交

；?AB=BH+AH=TO,

??Z5為。。的直徑,

.\OA=OB—OD=5,

：.OH=OB-BH=3,

u：CDLAB,

:.CH=DH,BPCD=2DH,

在RtAOOHD中，OH=2,

由勾股定理得：DH=Q2_Q2=4,

第17頁（共34頁）

:.CD=2DH=8；

在RtZXBHC中，CH=DH=5,

由勾股定理得：5c={CH2+BH2=2A/5)

,/以AB為直徑的。。與AE相切于點N,

C.AE//AB,

5L'：CDLAB,

C.CD//AE,

:.dBDHsABEA,

：.BH：AB=DH：EA,

即2：10=7：EA,

.,./E=20,

設HF=a,貝-9=8-a,

?:CD"AE,

.,.△CHFsdEAF,

：.CH：EA=HF：AF,

即4：20=a：(8-a),

解得：a=A,

3

:.HF=a=

3

:.BF=BH+HF=D3=^-，AF=?>-a=o_￡=^P.,

3373

在中，由勾股定理得：C-=JAH2+HF8=42十卷)2=,

u：ZCBA=CGA,ZAFB=ZAFG,

：.△AFBs/\AFG,

：.CF：AF=BC：AG,

:?CF?AG=AF*BC,

gp4-\Ho,AG=^.，2^,

DO

；./G=572.

故答案為：5；5>/2.

18.(4分)我們規(guī)定：若一個四位自然數(shù)各個數(shù)位均不為零，且千位與百位的積等于十位與個位的和，千

第18頁（共34頁）

位與十位的和為10,滿足2X7=8+6,且2+8=10,最小的“加乘數(shù)”為足84；將一個“加乘數(shù)”

M的千位與十位對調(diào)、百位與個位對調(diào)，得到新的數(shù)記為N,若M+N能被11整除3564.

【解答】解：設abed是加乘數(shù)，a+c=10,

Va+c=10,

??。=10-a,

ab=10-a+d,

???“Cl=1-0--+--d-,

b+1

要使得abed最小，其次是6；

當q=l時，則有6+3=10+d,而Q,b,c,所以Q=1不符合題意；

當q=2時，則有2(b+1)=10+^—,6是正整數(shù)，而〃=5,要使得最b取最小，可得6=4+生

28

。=2,。+。=10,

??。=2,b=4,d=4,

?**abcd=2684，

故答案為：2684；

設M=abcd，則N=cdab,

M+N=abcd^-cdab=1000tz+100/>+10c+t7+1000c+100(7+1Oa+b=1010(q+c)+101(b+d),

Va+c=10,

.\A/+7V=10100+101(W)=918X11+2+(2X11+2)(b+d)=918X11+9X11(W)+7(b+d+1)=

11X[918+9(b+d)]+7(6+d+l),

要使得M+N能被11整除，則需要滿足llX[918+9(b+d)]+6(b+d+1)能被11整除，而b,

b+d+\=11,BPb+d=10

由a+c=10,b+d=10,即c+d=20-a-b,

?ab=c+d,

：.ab=20-a-b,即。(6+4)=20-b,

???〃u=.2--0-----b--,

b+l

a,6,c,d是互不相等且小于等于9的正整數(shù)型主成立，則[a=6或1a=5,

b+4{b=2(b=6

當。=6,6=2時，d=8&bcd=6248為最大值；

當。=2,6=6時，d=4&bcd=2684為最小值；

第19頁（共34頁）

6248-2684=3564,

滿足條件的M的最大值與最小值的差為3564.

故答案為：3564.

三、解答題：本大題8小題，共78分.解答時每小題必須給出必要的演算過程或推理步驟，畫出必要的

圖形（包括輔助線），請將解答過程書寫在答題卡中對應的位置上.

19.（8分）計算：

（1）x（x+4y）+（x-2y）2；

⑵（1人事.

mm+m

【解答】解：（1）原式=f+4孫-4xy+4y5

=2x2+8y2；

（2）原式=叵3?m（m+3）―

m-（m+3）（m-3）

=_m+3

m+3

20.（10分）傳統(tǒng)節(jié)日是中華民族悠久歷史文化的重要組成部分，也是傳承和弘揚傳統(tǒng)文化的重要載體.某

中學在全校七、八年級學生中開展了“傳統(tǒng)節(jié)日彰顯中華文化”知識競賽，并從七、八年級學生中各抽

取20名學生的競賽成績（百分制）（成績得分用x表示，共分為四組：A.x<85,B.85Wx<90,C.90

Wx<95,D.95WxW100）下面給出了部分信息：

七年級20名學生的競賽成績是：78,79,82,84,85,87,88,90,90,93,94,95,96,100.

八年級20名學生的競賽成績在C組中的數(shù)據(jù)是：90,91,91,93,94.

七、八年級抽取的學生的競賽成績統(tǒng)計表

年級平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)

七年級8989.5a

八年級89b91

根據(jù)以上信息，解答下列問題:

（1）填空：a=90,b=90,5,m=25；

（2）根據(jù)以上數(shù)據(jù)，你認為在此次知識競賽中，該校七、八年級中哪個年級的成績更好？請說明理由

（一條理由即可）；

（3）該校七年級有500名學生、八年級有600名學生參加了此次知識競賽，請估計七、八年級參加此

次知識競賽的學生中成績優(yōu)秀（x290）的學生共有多少人？

第20頁（共34頁）

八年級抽取的學生的競賽成績扇形統(tǒng)計圖

【解答】解：(1)根據(jù)七年級成績可知90分的最多有3人，所以眾數(shù)為。=90,

八年級/、2組的頻數(shù)和為20X(20%+25%)=9,

所以將八年級20名學生的成績按從大到小排序后，第10個數(shù)和第11個數(shù)在。組，91,

則其中位數(shù)6=90+”=90.5,

6

Vm%=100%-20%-25%--Lxi00%=25%,

20

所以加=25；

故答案為：90,90.7；

(2)八年級的成績更好，理由如下：

七、八年級的平均數(shù)相同，所以八年級的更好；

(3)500X12+600X(1-20%-25%)=250+330=580(人)，

20

答：估計七、八年級參加此次知識競賽的學生中成績優(yōu)秀(x290)的學生共有580人.

21.(10分)在學習了平行四邊形與矩形的相關知識后，某數(shù)學興趣小組進行了更深入的研究，他們發(fā)現(xiàn),

與平行四邊形兩邊相交的兩點和這條對角線的兩個端點構(gòu)成的四邊形是矩形，可利用證明三角形全等得

到此結(jié)論.根據(jù)他們的想法與思路

(1)如圖，在平行四邊形/BCD中，于點￡.用尺規(guī)過點/作2C的垂線(不寫作法，保留

作圖痕跡).

(2)已知：平行四邊形48CD中，于點E,4F_L3C于點足求證：四邊形/FCE是矩形.

證明：?.?四邊形/8CO是平行四邊形，

:.AB=CD,AD=BC,①NB=/D.

\'CELAD,AFLBC,

:./AFB=NCED=90°.

在△NB尸和△COE中，

第21頁(共34頁)

，ZAFB=ZCED

,ZB=ZD，

,AB=CD

:.AABF咨ACDE(AAS).

：.AF=CE,@BF=DE.

，BC-BF=AD-DE,即@CF=AE.

，四邊形/FCE是平行四邊形.

又

，四邊形/PCE是矩形.

進一步思考，如果四邊形/BCD是菱形呢？請你模仿題中表述，寫出你猜想的結(jié)論：過菱形的一條對

角線的兩個端點分別作一組對邊的垂線矩形.

(2)證明：?..四邊形/BCD是平行四邊形,

：.AB=CD,AD=BC.

；/4FB=/CED=9G°.

在△48月和△COE中，

rZAFB=ZCED

<ZB=ZD，

LAB=CD

AAABF^ACDE(AAS).

：.AF=CE,BF=DE.

：.BC-BF=AD-DE,即CF=AE.

四邊形AFCE是平行四邊形.

又：C￡_LAD,

...四邊形/是矩形.

第22頁(共34頁)

過菱形的一條對角線的兩個端點分別作一組對邊的垂線，與菱形兩邊相交的兩點和這條對角線的兩個端

點構(gòu)成的四邊形是矩形.

故答案為：①48=ND；@BF=DE；④矩形.

22.（10分）某茶具生產(chǎn)車間有25名工人生產(chǎn)茶壺和茶杯，1個茶壺和6個茶杯配成一套.已知一名工人

一天可以生產(chǎn)3個茶壺或7個茶杯.

（1）要使一天生產(chǎn)的茶壺和茶杯正好配套，應分別安排多少名工人生產(chǎn)茶壺和茶杯？

（2）10月一套茶具的成本比9月提高了20%,9月投入了10萬元，10月投入的比9月多5000元，求

10月每套茶具的成本是多少元？

【解答】解：（1）設應安排x名工人生產(chǎn)茶壺，則安排（25-x）名工人生產(chǎn)茶杯，

根據(jù)題意得：6X3x=2（25-x）,

解得：x=7,

；.25-x=25-7=18.

答：應安排4名工人生產(chǎn)茶壺，18名工人生產(chǎn)茶杯；

（2）設9月每套茶具的成本是y元，則10月每套茶具的成本是（1+20%）〉元，

根據(jù)題意得：100000」.105000=50,

y（6+20%）y

解得：j=250,

經(jīng)檢驗，＞=250是所列方程的解，

（1+20%）y=（1+20%）X250=300.

答：10月每套茶具的成本是300元.

23.（10分）如圖1,在△/BC中，48=6,點尸為48上一點，AP=x,。的距離為yi,△4BC的周長與

△/尸。的周長之比為

（1）請直接寫出口，”分別關于x的函數(shù)表達式，并注明自變量x的取值范圍；

（2）在給定的平面直角坐標系中，畫出函數(shù)v，”的圖象，并分別寫出函數(shù)yi,"的一條性質(zhì)；

（3）結(jié)合函數(shù)圖象，請直接寫出yi時x的取值范圍（近似值保留小數(shù)點后一位，誤差不超過0.2）.

第23頁（共34頁）

【解答】解：(1)'：PQ//BC,

：.△APQsAABC,

C

-AP_PQ；AABC_AB

ABBCC△.QAP

?xyl6

,,—=---，y2——,

66x

???點尸為45上一點，

.\y2=-^x(5<x<6),y2=—(0<x<6)；

3x

(2)圖象如圖所示：

圖2

/=￡的圖象性質(zhì)：在8cx<6,

-3

第24頁（共34頁）

?=旦的圖象性質(zhì)：在0<x<6；

X

（3）?R〉/，

.?.芻〉旦，

8x

2

.,.x<-3泥（舍去）3我,

22

,\2.7<x<6.

24.（10分）如圖，A,B,C,D,￡分別是某湖邊的五個打卡拍照點，為了方便游客游玩，在B,。之間

修了一座橋.B,C在8的正南方向，且在。的南偏西60°方向，且在。的北偏西30°方向，AB^lOO

米（參考數(shù)據(jù)：&g1.414,百~1.732,遍-2.449）

（1）求3。的長度（結(jié)果保留小數(shù)點后一位）；

（2）甲、乙兩人從拍照點/出發(fā)去拍照點。，甲選擇的路線為：A-B-C-D,乙選擇的路線為：A-

.請計算說明誰選擇的路線較近？

【解答】解：（1）作昉，于點尸，如圖，

由已知可得，ZEAF=45°,NEFD=90°,DE=400米，

9=200米，￡r=200%米，

尸=4F=200百米，

?；/8=100米，

：.BD=AD-AB=AF+DF-AB=200遙+200-100=200、/^,

即BD的長度約為446.4米；

（2）由（1）知，

第25頁（共34頁）

BD=（200-./8+100）米，

：NCBD=90°,NCDB=3Q°,

:.BC=（200+I。。愿）米一200弧）米，

33_

，甲選走的路線長為：AB+BC+CD^100+（200+.1。。追.）+（400+20°近我）米;

53

由（1）知：￡尸=/9=200愿米，ZEAF=90°,

，/￡=200加米，

"￡=400米，

乙選走的路線長為：AE+DE=（20077+400）米，

甲乙路線之差為：（500+10073）-（200遙

=500+10076-200遙

=100+100%-200M

弋-216,6<0,

.-.A選擇的路線較近.

25.（10分）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線尸療+區(qū)+4（"0）經(jīng)過點（3,Q與x軸交于/,

與y軸交于點C,拋物線的對稱軸是直線x=l.

第26頁（共34頁）

yy，

備用圖

(D求拋物線的表達式;

(2)點尸是直線上方拋物線上的一動點，過點尸作尸?！溯S，交2。于點D點又是y軸上的一

動點，DM.當線段PD長度取得最大值時，求周長的最小值；

(3)將該拋物線進行平移，使得平移后的拋物線經(jīng)過(2)中周長取得最小值時的點M(-4,

0),9兩點(￡在9的左側(cè))，連接￡”.點N為平移后的拋物線上的一動點，請直接寫出所有符合條

件的點N的坐標.

【解答】解：(1):拋物線了=°/+加+4QW6)經(jīng)過點(3,立)，對稱軸是直線x=l,