2024北京重點(diǎn)校初二（下）期中數(shù)學(xué)匯編：平行四邊形章節(jié)綜合（解答題）

2024北京重點(diǎn)校初二（下）期中數(shù)學(xué)匯編

平行四邊形章節(jié)綜合（解答題）1

一、解答題

1.（2024北京人大附中初二下期中）如圖，四邊形ABC。中，AD//BC,/BCD=90。,對(duì)角線8。平分

ZABC,過點(diǎn)A作3。的垂線AE,分別交BC,BD于點(diǎn)E,O,連接￡）及

（1）求證：四邊形ASED是菱形；

（2）連接CO,若AB=3,CE=2,求CO的長(zhǎng).

2.（2024北京西城初二下期中）如圖，在四邊形ABC。中，AB//CD,對(duì)角線AC、8。相交于點(diǎn)0,

BO=DO.求證：四邊形ABCD是平行四邊形.

3.（2024北京房山初二下期中）如圖，在uABCD中，對(duì)角線ACLOC,延長(zhǎng)。C到點(diǎn)E,使CE=OC,連

接AE,交2C于點(diǎn)E連接3E.

（1）求證：四邊形ABEC是矩形.

⑵若CD=3,CF=3,求BE的長(zhǎng).

4.（2024北京第一^t一中學(xué)初二下期中）如圖，在正方形ABCZ）中，E是邊上的一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)尸在邊

BC的延長(zhǎng)線上，且CF=AE,連接DE、DF.

⑴求證：DELDF；

（2）連接E/L取E/中點(diǎn)G,連接DG并延長(zhǎng)交BC于77,連接BG.

①依題意，補(bǔ)全圖形；

②求證：BG=DG；

③若ZEGB=45。,用等式表示線段3G、序與AE之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

5.（2024北京育才學(xué)校初二下期中）如圖，在DABCD中，點(diǎn)E、F分別在BC,AD±,且3匹=/）尸,

連接AE,CF.求證：AE//CF.

6.（2024北京八一學(xué)校初二下期中）已知：如圖所示，在平行四邊形438中，對(duì)角線AC、2。相交于

點(diǎn)。，BD=2AD,E、F、G分別是OC、OD、A3的中點(diǎn).求證：

（1）SE±AC.

（2）EG=EF.

7.（2024北京日壇中學(xué)初二下期中）如圖，在DABCD中，點(diǎn)M、N分別在邊3C、上，且.BM=DN,

連接AM,CN.求證:AM〃CN.

8.（2024北京廣渠門中學(xué)初二下期中）如圖，平行四邊形ABCZ）中，點(diǎn)E,尸分別在邊8C,AD±,

BE=DF,ZAEC=90°.

（1）求證：四邊形AECF是矩形；

（2）連接所，若AB=4,ZABC=60°,BF平分/ABC,求AD的長(zhǎng).

9.（2024北京海淀初二下期中）已知正方形ABC。中，點(diǎn)E是射線BC上一點(diǎn)，連接AE,作AE的垂直平

分線交直線CD于點(diǎn)交直線AB于點(diǎn)N,交AE于點(diǎn)?

⑴如圖1,當(dāng)點(diǎn)E在正方形的邊2C上時(shí).

①依題意補(bǔ)全圖形；

②求證：MN=AE；

（2）如圖2,當(dāng)點(diǎn)E在BC的延長(zhǎng)線上時(shí).連接并延長(zhǎng)交M0的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P,連接PE.

①直接寫出的度數(shù)為一；

②用等式表示線段Pf,PM,RV之間的數(shù)量關(guān)系

10.（2024北京大興初二下期中）如圖，在口ABC。中，AE±BC,CFLAD垂足分別為E,F.求證:

BE=DF.

11.（2024北京匯文中學(xué)初二下期中）如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，8E平分/ABC交AD于E,

DF平分^ADC交于尸.

求證：四邊形￡B￡D是平行四邊形.

12.（2024北京匯文中學(xué)初二下期中）如圖是由邊長(zhǎng)為1的小正方形構(gòu)成的6x4的網(wǎng)格，點(diǎn)A、B均在格

點(diǎn)上.

圖2

⑴在圖1中畫出以AB為邊且周長(zhǎng)為8+2百的平行四邊形ABCD,且C點(diǎn)和。點(diǎn)均在格點(diǎn)上（畫出一個(gè)即

可）；

⑵在圖2中畫出以為對(duì)角線的菱形尸，且點(diǎn)E和點(diǎn)尸均在格點(diǎn)上.

13.（2024北京海淀初二下期中）如圖，在RtAABC中，ZACB=90°,點(diǎn)。是AB的中點(diǎn)，連接C。，過

點(diǎn),B作BE〃CD,過點(diǎn)C作CE〃A3,BE、CE相交于點(diǎn)E.

（1）求證：四邊形CEB。是菱形；

（2）過點(diǎn)。作DFLCE于點(diǎn)足交CB于點(diǎn)G,若AB=10,CF=3,求DG的長(zhǎng).

14.（2024北京海淀初二下期中）已知：在△49。中，ZAOD=90°.求作：菱形ABC。.

作法：

①延長(zhǎng)A。，以點(diǎn)。為圓心，Q4長(zhǎng)為半徑作弧，與AO的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)C；

②延長(zhǎng)。O,以點(diǎn)。為圓心，OD長(zhǎng)為半徑作弧，與。。的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)2；

③連接ABIC,8.

所以四邊形ABCD即為所求作的菱形.

（1）使用直尺和圓規(guī)作圖（保留作圖痕跡）；

（2）完成下面的證明.

證明：VAO=,DO=,

/.四邊形ABC。是平行四邊形.

ZAOD=90。,

ACJ.BD.

平行四邊形是菱形.（—）（填推理的依據(jù)）.

15.（2024北京清華附中初二下期中）如圖，VA3C中，AB=BC,過A點(diǎn)作BC的平行線與—ABC的平

分線交于點(diǎn)。，連接CD.

(1)求證：四邊形ABC。是菱形；

(2)連接AC與8〃交于點(diǎn)0,過點(diǎn)。作DEL3C交BC的延長(zhǎng)線于E點(diǎn)，連接E0,若EO=2逐，

DE=4,求CE的長(zhǎng).

16.(2024北京第六十六中學(xué)初二下期中)如圖1,將邊長(zhǎng)為1的正方形ABC。壓扁為邊長(zhǎng)為1的菱形

ABCD,在菱形438中，/A的大小為a,面積記為S.

(2)填空：由(1)可以發(fā)現(xiàn)單位正方形在壓扁的過程中，菱形的面積隨著NA大小的變化而變化，不妨把

單位菱形的面積S記為S(a).例如：當(dāng)a=30。時(shí)，5=5(30。)=：；當(dāng)々=135。時(shí)，

5=5(135°)=^.由表格可以歸納出S08O。-a)=S(_).

(3)兩塊相同的等腰直角三角板按圖2的方式放置，AD=y/2,ZAOB^a,試探究圖中兩個(gè)帶陰影的三角

形面積是否相等，并說明理由.(注：可以利用(2)中的結(jié)論)

17.(2024北京第六十六中學(xué)初二下期中)按要求畫出圖形：

圖I圖2

（1）在6x6的正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小方格的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)，按下列要求在網(wǎng)格中畫出圖形：

在圖1中，以格點(diǎn)為頂點(diǎn)畫一個(gè)面積為8的正方形；

在圖2中，以格點(diǎn)為頂點(diǎn)畫一個(gè)三角形，使三角形三邊長(zhǎng)分別為4、百、舊；

請(qǐng)你判斷這個(gè)三角形一直角三角形（填“是”或“不是”）.

（2）如圖3,已知點(diǎn)A（-3,1）,8為第二象限內(nèi)的一個(gè)整點(diǎn)（即橫縱坐標(biāo)都為整數(shù)的點(diǎn)），且。4=08.

①直接寫出點(diǎn)B的坐標(biāo)為二

②畫出以A、B,。及合適的第四個(gè)點(diǎn)C為頂點(diǎn)的所有平行四邊形.

18.（2024北京第六十六中學(xué)初二下期中）如圖，在菱形ABC。中，延長(zhǎng)AD到點(diǎn)E,使。E=AD,延長(zhǎng)

C。到點(diǎn)R使=連接AC、CE、EF、AF.

（1）求證：四邊形ACEF是矩形；

⑵若/B=60。，AB=1,求四邊形ACEb的周長(zhǎng).

19.（2024北京第十八中學(xué)初二下期中）如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD,CB=CD,我們把這種兩

組鄰邊分別相等的四邊形叫做箏形.請(qǐng)?zhí)骄抗~形的性質(zhì).

小南根據(jù)學(xué)習(xí)平行四邊形、菱形、矩形、正方形的經(jīng)驗(yàn)，對(duì)箏形的性質(zhì)進(jìn)行了探究.

(1)根據(jù)箏形的定義，寫出一種你學(xué)過的滿足箏形的定義的四邊形是」

(2)小南通過觀察、實(shí)驗(yàn)、猜想、證明得到箏形角的性質(zhì)是“箏形有一組對(duì)角相等”.

請(qǐng)你幫他將證明過程補(bǔ)充完整.

己知：如圖，在箏形ABCD中，AB=AD,CB=CD,

求證：

證明：

(3)連接箏形的兩條對(duì)角線，探究發(fā)現(xiàn)箏形的另一條性質(zhì)；箏形的一條對(duì)角線平分另一條對(duì)角線.結(jié)合圖

形，角，對(duì)角線等方面寫出箏形的其他性質(zhì)(一條即可)

20.(2024北京交大附中初二下期中)如圖，平行四邊形ABC。，E、P兩點(diǎn)在對(duì)角線8D上，且

BE=DF,連接AE,EC,CF,FA.求證：四邊形是平行四邊形.

21.(2024北京第十八中學(xué)山初二下期中)如圖，在VABC中，AB=AC,D,E分別是AB,的中

點(diǎn)，BF//DE,EF//DB.

(1)求證：四邊形3DEF是菱形；

(2)連接CD,若BE=4,AC=2百，求CD的長(zhǎng).

22.(2024北京日壇中學(xué)初二下期中)如圖，矩形中，AB=4,AD=3,將矩形ABCD沿對(duì)角線AC

折疊，使點(diǎn)B落在點(diǎn)E處，AE交于點(diǎn)足

(1)寫出折疊后的圖形中的等腰三角形：;

(2)求CF的長(zhǎng).

23.(2024北京廣渠門中學(xué)初二下期中)在正方形ABCZ)中，點(diǎn)￡為邊上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)E不與點(diǎn)2,C

重合)，連接AE,點(diǎn)尸在對(duì)角線AC的延長(zhǎng)線上，連接E尸，使得跖=AE.作點(diǎn)廠關(guān)于直線BC的對(duì)稱點(diǎn)

G,連接CG,EG.

(1)依題意補(bǔ)全圖形；

(2)求證：ZBAE=AGEC-,

(3)用等式表示線段AC,CE,CG之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

24.(2024北京海淀初二下期中)正方形ABCD中，點(diǎn)尸是射線8。上一動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)AP,過尸作

PE±AP,交射線CD于E,連結(jié)AE.

(1)如圖①，請(qǐng)補(bǔ)全圖形：

(2)如圖②，當(dāng)點(diǎn)E在CD的延長(zhǎng)線上時(shí)，試確定線段與CE之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由：

(3)如圖③，當(dāng)點(diǎn)P在50的延長(zhǎng)線上，若AB=3,DPf,直接寫出四邊形ADPE的面積.

25.(2024北京朝陽初二下期中)下面是小明設(shè)計(jì)的“利用已知矩形作一個(gè)內(nèi)角為30。角的平行四邊形”的尺

規(guī)作圖過程.

已知：矩形A3CD.

求作：平行四邊形4GHD,使NG4D=30。.

作法：如圖，

①分別以A,8為圓心，以大于長(zhǎng)為半徑，在4B兩側(cè)作弧，分別交于點(diǎn)E,F；

②作直線所；

③以點(diǎn)A為圓心，以A3長(zhǎng)為半徑作弧，交直線族于點(diǎn)G,連接AG；

④以點(diǎn)G為圓心，以AD長(zhǎng)為半徑作弧，交直線EF于點(diǎn)H,連接則四邊形AGHD即為所求作的平

行四邊形.

根據(jù)小明設(shè)計(jì)的尺規(guī)作圖過程，填空：

(1)NBAG的大小為；

(2)判定四邊形AGHD是平行四邊形的依據(jù)是.

26.(2024北京十一學(xué)校初二下期中)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，對(duì)于點(diǎn)尸和正方形OABC,給出如下定

義：若點(diǎn)尸關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)P到正方形。4BC,的邊所在直線的最大距離是最小距離的2倍，則稱點(diǎn)尸

是正方形Q4BC,的“最佳距離點(diǎn)”.

2345678x

備用圖備用圖

已知：點(diǎn)2(a,0),

(1)當(dāng)。=6時(shí)，①點(diǎn)C的坐標(biāo)是一;

②在a-U),6(-2,2),4(<4),乙(-3,2)四個(gè)點(diǎn)中，一是正方形。4BC,的“最佳距離點(diǎn)”;

(2)當(dāng)a=9時(shí)，點(diǎn)尸(-6,2〃)(其中">0)是正方形OABC,的“最佳距離點(diǎn)”，求"的取值范圍;

(3)點(diǎn)M(-3,3),N(-5,5),若線段腦V上存在正方形。4BC,的“最佳距離點(diǎn)”，直接寫出。的取值范圍.

27.(2024北京西城初二下期中)如圖，平行四邊形ABC。中，AB=6cm,BC=10cm,ZB=60。，點(diǎn)G

是CD的中點(diǎn)，點(diǎn)E是邊AD上的動(dòng)點(diǎn)，EG的延長(zhǎng)線與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P，連接CE,。尸.

(1)求證：四邊形CEE廳是平行四邊形.

請(qǐng)補(bǔ)全證明過程：

?.?點(diǎn)G是C。的中點(diǎn)，

①=.

四邊形A2CZ)是平行四邊形，

:.BC//AD(依據(jù)：②).

③Z=N_____.

又一；NFGC=NEGD,

:.AFCG%EDG（ASA）.

CF=DE.

又?：CE“DE,

，四邊形CEE不是平行四邊形（依據(jù)：④）.

（2）直接寫出：當(dāng)鉆二⑤cm時(shí)，四邊形CEL用是菱形；

當(dāng)cm時(shí)，四邊形CEL中是矩形.

28.（2024北京第八十中學(xué)初二下期中）在菱形ABCD中，/54。=120。，動(dòng)點(diǎn)尸在直線BC上運(yùn)動(dòng)，作

NAPM=60。，且直線PM與直線C。相交于點(diǎn)G,G點(diǎn)到直線BC的距離為GH.

⑴證明：ZBAP=ZGPC；

（2）若P在線段BC上運(yùn)動(dòng)，求證：CP=DG；

（3）若尸在線段上運(yùn)動(dòng)，探求線段AC6,CH的一個(gè)數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

29.（2024北京日壇中學(xué)初二下期中）下面是小明設(shè)計(jì)的作菱形AB跖的尺規(guī)作圖過程.

已知：四邊形ABCZ）是平行四邊形.

求作：菱形ABEF（點(diǎn)E在BC上，點(diǎn)產(chǎn)在AD上）.

作法：如圖，

①以A為圓心，A3長(zhǎng)為半徑作弧，交AD于點(diǎn)產(chǎn)；

②以2為圓心，A3長(zhǎng)為半徑作弧，交3C于點(diǎn)E；

③連接跖，所以四邊形4?跖為所求的菱形.

（1）根據(jù)小明設(shè)計(jì)的尺規(guī)作圖過程，使用直尺和圓規(guī)，補(bǔ)全圖形（保留作圖痕跡）;

（2）完成下面的證明.

證明：VAF^AB,BE=AB,

在平行四邊形ABCZ）中，AD//BC,即A尸〃BE,

二四邊形ABEF為形，

,/AF^AB,

，四邊形ABEF為菱形.

30.（2024北京第一六六中學(xué)初二下期中）如圖，在正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1,每個(gè)小正

方形的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)，以格點(diǎn)為頂點(diǎn)按下列要求畫圖:

圖①圖②圖③

(1)在圖①中畫一條線段MN,使得=

(2)在圖②中畫一個(gè)菱形ABCD,使其周長(zhǎng)為4百；

(3)在圖③畫一個(gè)等腰RbABC,使得它的面積為4.

31.(2024北京第一六六中學(xué)初二下期中)如圖，在DABCD中，點(diǎn)E,尸分別在上，BE=DF,

E尸與對(duì)角線AC相交于點(diǎn)O.

(1)求證：OE=OF-

(2)連接CE,若點(diǎn)G為CE的中點(diǎn)，連接OG.若AE=6,求OG的長(zhǎng).

32.(2024北京海淀初二下期中)如圖，四邊形A2CZ)是菱形，對(duì)角線AC,8。交于點(diǎn)。，E是C4延長(zhǎng)

線上一點(diǎn)，且AE=AO,BC=5,BD=8,求的的長(zhǎng)度.

參考答案

1.（1）證明見解析；

（2）回.

2

【分析】（1）先證明AB=AD,再由等腰三角形的性質(zhì)得05=0。，然后證△<?班經(jīng)△OZM（ASA）,得

OE=OA,則四邊形至瓦>是平行四邊形，然后由菱形的判定即可得出結(jié)論；

（2）由勾股定理得8=6，BD=圓,根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，即可得出CO.

【詳解】（1）證明：??,4）〃3C,

ZADB=ZDBE,

平分2ABC,

ZABD=ZDBE,

:.ZABD;ZADB,

:.AB=AD,

?；AE_LBD,

:.BO=DO,

'：AD//BC,

在石和M0D4中，

ZDBE=ZADB

OB=OD,

ZBOE=ZDOA

:.△OBE%ODA（AS0,

/.OE=OA,

四邊形ABED是平行四邊形，

5L-.-AB=AD,

,平行四邊形A5ED為菱形；

（2）解：：四邊形ABED為菱形，

ABE=DE=AB=3,BO=DO,

,?/BCD=90。，

:.CD=y/DE2-CE2=V32-22=如，

BC=BE+CE=3+2=5,

.?.在RtZXBCD中，根據(jù)勾股定理得：

BD=VBC2+CD2=J5?+（灼?=癡,

VBO=DO,△BCD為直角三角形,

CO=LBD=L屈.

22

【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)以及勾股定理、直

角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，二次根式的混合運(yùn)算等知識(shí)，熟練掌握菱形的判定與性質(zhì)是解題

的關(guān)鍵.

2.見解析

【分析】本題考查了平行四邊形的判定、全等三角形的判定與性質(zhì)、平行線的性質(zhì)，通過證明三角形全等

可以等到AO=CO,再由對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形可得結(jié)論.

【詳解】證明：

AZOAB=ZOCD,ZOBA=ZODC,

又：OB=OD,

：.AOAB^OCD(AAS),

：.OA=OC,

四邊形ABC。是平行四邊形.

3.(1)證明見解析

(2)373

【分析】此題考查了矩形的判定和性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，熟練掌握矩形的判定和性

質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

(1)利用平行四邊形的性質(zhì)得到AB=C2AB||CD,得到CE〃AB,再禾獅CE=DC得至UCE=M,則四

邊形ABEC是平行四邊形.再利用AC_LDC得到NACE=90。，即可證明四邊形ABEC是矩形.

(2)證明CE=AB=CD=3,BC=2CF=6,NBEC=90°,利用勾股定理即可得到答案.

【詳解】(1)證明：在DMCD中，AB=CD,AB\\CD,

CE//AB,

CE=DC,

：.CE=AB,

???四邊形ABEC是平行四邊形.

AC.LDC,

：.NACE=90。，

???四邊形ABEC是矩形.

⑵解：VCD=3,CE=DC,CE=AB

：.CE=AB=CD=3,

VCF=3,四邊形ABEC是矩形，

ABC=2CF=6,/BEC=9伊,

在RUBCE中，BE=^BC2-CE2=762-32=373；

4.(1)證明見解析

(2)①作圖見解析；②證明見解析；③BG2+HG2=4AE2,證明見解析

【分析】(1)證AADE絲ACDb(SAS),得ZADE=/CDF,再證NED產(chǎn)=90。，即可得出結(jié)論;

(2)①依題意，補(bǔ)全圖形即可；

②由直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得。G=工即，BG=-EF,即可得出結(jié)論；

22

③先證ADEF是等腰直角三角形，得NDEG=45°,再證。GLE尸，DG=^EF=EG,

BG=-EF=EG=FG,得NG。尸=45°,/EDG=/DEG=45°,Z.GBF=Z.GFB,然后證

2

ACDH^ACDF（ASA）,得CH=CF,再由勾股定理即可求解.

【詳解】（1）證明：,??四邊形A3CL（是正方形，

:.AD=CD,ZA=NB=NBCD=ZADC=90。,

:.ZDCF=90°,

又?.?A￡=CF,

.-.△ADE^ACDF（SAS）,

\?ADE2CDF,

ZADE+ZCDE=90°,

ZCDF+ZCDE=90°,即ZEDF=90°,

:.DE.LDF；

（2）解：①解：依題意，補(bǔ)全圖形如圖所示：

②證明：由(1)可知，ADE尸和ABEF都是直角三角形,

,.?G是E尸的中點(diǎn)，

:.DG=-EF,BG=-EF,

22

:.BG=DG；

③解：BGr+HG1=4AE2,

證明如下：

由(1)可知，AADE^ACZ)F(SAS),DELDF,

:.DE=DF,

.?aDEF是等腰直角三角形，

.."EG=45°,

???G為￡尸的中點(diǎn)，

：.DGLEF,DG=-EF=EG,BG=-EF=EG=FG,

22

:.NEGD=NHGF=NDGF=9Q°,ZGDF=45°,NEDG=/DEG=45°,/GBF=/GFB,

?;NEGB=45。,

NGBF=NGFB=22.5°,

ZDHF+ZHFG=ZDHF+ACDH=90°,

NHFG=NCDH=22.5°,

NCDF=/GDF-NHDC=22.5°=NCDH,

X?.-ZDCH=ZDCF=90°,CD=CD,

.-.ACDH^ACDF(ASA),

:.CH=CF,

在RtAGHF中，由勾股定理得GF2+HGr=HF2,

-.-HF=2CF=2AE,GF=BG,

BG2+HG2=(2AEf,

.-.BG2+HG2=4AE2.

【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題，考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定

與性質(zhì)、直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)；熟練掌握正方形的性質(zhì)和等腰直角三

角形的判定與性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵，屬于中考?？碱}型.

5.證明見解析.

【分析】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)和判定，先證明四邊形AEb是平行四邊形，再根據(jù)平行四邊形的

性質(zhì)即可，靈活運(yùn)用平行四邊形的性質(zhì)和判定是本題的關(guān)鍵.

【詳解】證明：???四邊形ABCD是平行四邊形，

AAD//BC,AD=BC,

BE=DF,

：.AD-DF=BC-BE,

即AF=CE,

VAD//BC,即有A尸〃CE,

/.四邊形AECF是平行四邊形，

AE//CF.

6.(1)見解析

(2)見解析

【分析】本題考查三角形中位線定理、等腰三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形斜邊上的中線和平行四邊形

的性質(zhì)，熟練掌握這些知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

(1)由已知條件易證03=3C,再根據(jù)等腰三角形中底邊上的高與中線合一的性質(zhì)知跖，AC.

(2)利用直角三角形中斜邊上的中線等于斜邊的一半及中位線定理可證EF=GE.

【詳解】(1)證明：,??四邊形A3CD是平行四邊形，

:.AD=BC,OD=OB,

?：BD=2AD,

:.OB=BC,

...△BCO是等腰三角形，

??,E是OC的中點(diǎn)，

:.BE±AC.

(2)證明：由(1)知/fiEA=90。，

.[△ABE是直角三角形，

1--G是AB的中點(diǎn)，

:.GE=-AB,

2

??.￡、尸分別是OC,的中點(diǎn)，

:.EF=-DC=-AB,

22

:.EF=GE.

7.見解析

【分析】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)、平行四邊形的判定等知識(shí)點(diǎn)，靈活運(yùn)用平行四邊形的判定與

性質(zhì)成為解題的關(guān)鍵.

根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得3C=AD，BC//AD,再結(jié)合創(chuàng)/=可得CM=AN,易證四邊形AMOV是

平行四邊形，最后根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)即可證明結(jié)論.

【詳解】證明：：四邊形ABCD是平行四邊形，

BC=AD,BC//AD,

"：BM=DN,

:.CM=AN,

CM//AN,

：.四邊形AMCN是平行四邊形，

：.AM//CN.

8.(1)詳見解析

(2)6

【分析】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)與判定，矩形的判定，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，角平分線

的定義，熟練以上知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)已知條件先證明四邊形AEC尸為平行四邊形，再根據(jù)/AEC=90。即可得證；

(2)由M平分/ASC,可求得=在中，ZABC=60°,則Z&4E=30。，根據(jù)含30度角

的直角三角形的性質(zhì)，求得8E,由已知=進(jìn)而即可求得AD.

【詳解】(1)證明：??,平行四邊形ABC。，

:.BC=AD,BC//AD,

又；BE=DF,

:.BC-BE=AD-DF,

即EC=AF,

■.■EC//AF,EC=AF

四邊形AECP為平行四邊形，

又?；ZAEC=90。,

四邊形AEC歹是矩形.

(2)解：?.?3尸平分ZABC,

:.ZABF=/FBC,

■.BC\\AD,

:.ZAFB=ZFBC,

:.ZAFB=ZABF,

.-.AF=AB=4,

在RtZWE中，

ZA￡B=90°,ZABE=60°,AB=4,

:.ZBAE^30°,

:.BE=2,

：.FD=BE=2,

:.AD^AF+FD^6.

9.(1)①見解析；②見解析

⑵①45°；@FN=PF+PM

【分析】(1)①根據(jù)題意畫圖即可；

②證明四邊形是矩形，得出NH=BC,ZANH=ZBNH=90°,證明AABE絲ANHM(ASA),得出

=即可；

(2)①過尸作尸TLAB交54延長(zhǎng)線于T,過E作EKLPT于K,證明四邊形BEKT是矩形，得出

BT=EK,NK=90。，證明RtA^PT咨RtAPEK(HL),得出NAPT=NPEK,證明VAPE是等腰直角三角

形，得出NA￡P(guān)=45。；

②根據(jù)VAPE是等腰直角三角形，PFLAE,得出AF=￡F=PF,求出

AE=2PF=2(PM+MF)=2PM+2MF,根據(jù)肱V=2PM+2MF,得出

MN-MF=2PM+MF=(PM+MF)+PM=PF+PM,即可得出結(jié)論.

【詳解】(1)①解：補(bǔ)全圖形如下：

②證明：過N作NHLCD于H,

：?4NHM=90°,

四邊形ABCO是正方形，

AZB=ZC=90°,AB=BC,

：.ZCHN=ZB=ZC=90°,

J四邊形5cHV是矩形，

:.NH=BC,ZANH=ZBNH=90°,

:.NH=AB,

9

\NM±AEf

：.ZAFN=90°f

：.ZBAE+ZANF=ZANF+ZHNM=90°,

JZBAE=ZHNM,

在石和△NWM中，

ZBAE=ZHNM

<AB=MH,

ZB=/NHM

：.^ABE^NHM(ASA),

：.AE=MN；

(2)解：①過尸作FT，AB交BA延長(zhǎng)線于T,過￡作雙，「7于K,如圖:

N

???四邊形ABC。是正方形,

：.ZABD=45°f

???△3PT是等腰直角三角形，

BT=PT,

,/ZTBE=ZBTK=ZTKE=90°,

???四邊形3EKT是矩形，

：?BT=EK,ZK=90°,

:.PT=EK,

P/是A￡的垂直平分線，

:?AP=EP,

：.Rt△APT^Rt(HL),

:.ZAPT=ZPEK,

NPEK+NEPK=9。。,

：.ZAPT+ZEPK=90°,

：.TAPE=90。,

???VAP石是等腰直角三角形，

???ZAEP=45°；

故答案為：45°；

②由①可知，VAPE是等腰直角三角形，

■:PF^AE,

:.AF=EF=PF,

：.AE=2PF=2(PM+MF)=2PM+2MF,

同(1)可得AE=MN,

:.MN=2PM+2MF,

：.MN-MF=2PM+MF=(PM+MF)+PM=PF+PM,

即=+

N

【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，三角形全等的判定

和性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是作出圖形，熟練掌握相關(guān)的判定和性質(zhì).

10.見解析

【分析】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)，先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和垂直定義得

到AB=C。，ZB=ZD,ZAEB=ZCFD=90°,進(jìn)而證明AABE咨ACDB(AAS),然后利用全等三角形的

對(duì)應(yīng)邊相等可得結(jié)論.

【詳解】證明：：四邊形ABCD是平行四邊形，

AAB=CD,ZB=ZD.

；AE-LBC,CF±AD,

：.ZAEB=/CFD=90。,

在AABE和VCDP中，

,NB=ND

<NAEB=ZFD,

AB=CD

：.AABE^ACDF(AAS),

BE=DF.

11.見解析

【分析】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)與判定，等角對(duì)等邊，角平分線的定義，先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)

得出ZAEB=NCBE,結(jié)合角平分線的定義以及角的等量代換，得出NABE=NAEB,等角對(duì)等邊，則

AS=他，同理B=CD，根據(jù)一組對(duì)邊平行且相等的四邊形，證明是平行四邊形，即可作答.

【詳解】證明：在平行四邊形A5CD中，

貝AB=CD,

：.ZAEB=ZCBE,

又BE平分/ABC,

：.ZABE=ZEBC,

ZABE^ZAEB,

即AB=AE,

同理CF=CD,

又AB=CD,

：.CF=AE,

/.BF=DE,

'：AD//BC,

.,?四邊形EBFD是平行四邊形.

12.⑴見解析

(2)見解析

【分析】本題主要考查了平行四邊形的判斷，菱形的判定，勾股定理：

(1)由AB=CD=4,則AD=BC=君，結(jié)合網(wǎng)格的特點(diǎn)作圖即可；

（2）根據(jù)網(wǎng)格的特點(diǎn)，結(jié)合^￡=圮=河=8下作圖即可.

【詳解】（1）解：如圖1所示：四邊形ABCD即為所求；

圖1

（2）解：如圖2所示，四邊形AEM即為所求.

【分析】本題考查了菱形的判定及性質(zhì)、勾股定理、全等三角形的判定及性質(zhì)、直角三角形的特征，熟練

掌握其判定及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

（1）利用菱形的判定及直角三角形的特征即可求證結(jié)論；

（2）利用直角三角形的特征及勾股定理求得DF=4,利用菱形的性質(zhì)及SAS可得ADCG=AECG,進(jìn)而可

得DG=GE,根據(jù)尸G'E尸?=EG?即可求解；

【詳解】（1）證明：：3E〃CD,CE//AB,

???四邊形CEBD是平行四邊形，

在RtaABC中，ZACB=90°,且點(diǎn)。是A8的中點(diǎn)，

;.CD=BD=-AB,

2

.,?四邊形CEBD是菱形.

（2）解：vAB=10,

:.CD=-AB=5,

2

■.■DFICE,

:"DFC=90。,

在RtZ\CDF中，CF=3,

：.DF=-JCD2-CF2=4>

??,四邊形CEB。是菱形，

:.CE=CD=5,ZDCG=ZECG,

:.EF=CE-CF=2,

在ADCG與ziECG中,

CD=CE

<NDCG=NECG,

CG=CG

/.△DCG^AECG（SAS）,

:.DG=GE,

FG2+EF2=EG2,

/.（4-DG）2+22=DG2,

/.DG=~,

2

故￡>G的長(zhǎng)為

2

14.（1）見詳解

（2）見詳解

【分析】本題考查作圖-復(fù)雜作圖，平行四邊形的判定和性質(zhì)，菱形的判定等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題

意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題.

（1）根據(jù)要求作出圖形；

（2）根據(jù)對(duì)角線垂直的平行四邊形是菱形證明即可.

【詳解】（1）解：如圖，菱形ABCD即為所求；

（2）證明：VAO=OC,DO=OB,

/.四邊形ABC。是平行四邊形.

???ZAOD=90°,

：.AC.LBD.

平行四邊形是菱形（對(duì)角線垂直的平行四邊形是菱形）.

故答案為：OC,OB,對(duì)角線垂直的平行四邊形是菱形.

15.（1）證明見解析

⑵3

【分析】（1）由角平分線的定義和平行線的性質(zhì)可得=可得AB=AD=3C,由菱形的判定

可證四邊形ABCD是菱形；

(2)由勾股定理求得==8,設(shè)CE=x,則CE>=8—x,在RtACDE中，

CD。=CE2+DE2,代入數(shù)據(jù)解答即可得解.

【詳解】(1)解：證明：QBO平分工ABC,

:.ZABD=ZDBC,

?：AD//BC,

:.ZADB=/DBC,

:.ZABD=ZADB

:.AB=AD,&AB=BC,

:.AD=BC,且仞〃3。，

二.四邊形ABC。是平行四邊形，且AB=3C,

*'?四邊形ABCD是菱形；

(2)解：?:BO=DO,DE1BC,

:.OE=-BD=2-j5,

2

BD=4A/5,

BE=NBD。-DE。=J(4百『一4?=8,

設(shè)CE=X,貝!|8C=BE-CE=8-x,

.-.CD=BC=8-x,

在RtACDE1中，CD2=CE2+DE2,

(8-x)2=x2+42,

解得：x=3,

;.CE的長(zhǎng)為3.

【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的判定和性質(zhì)，角平分線的定義，直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性

質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，熟練運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行推理是本題的關(guān)鍵.

16.(l)i,也，B,B,1

22222

⑵a

(3)相等，見解析

【分析】(1)a=45°,h=ADsinZA,a=60°,h=ADsinZA92=120。，h=ADsinZDAE,a=150。，

h=AD-sinZDAE,可補(bǔ)全表格；

(2)觀察上表可得，5(30°)=5(150°),S(45°)=S(135°),5(60。)=S(120。)，5(90°)=5(90°),所以

5(180?！?。)=S(a).

(3)因?yàn)椤鰽O。、ABOC是兩塊相同的等腰直角三角板，AD=y/2,可得圖中兩個(gè)帶陰影的三角形都是

等腰三角形，且兩個(gè)等腰三角形的腰相等，ZCOD=180°-?,因?yàn)?(180。-&)=S(e),所以圖中兩個(gè)帶陰影

的三角形面積相等.

本題考查了菱形的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握菱形、等腰三角形的面積公式.

【詳解】（1）解：依題意，1=30。，h=ADsmZA=-

29

a=45。，h=AD?sinZA=，

2

a=60°,h=AD?sinZA=—

2

a=135°,h=AD-sinZDAE=——，

2

a=150。，h=ADsinZDAE=~；

2

故答案為：3B,受，I；

22222

(2)解：v5(30°)=5(150°),5(45°)=5(135°),5(60°)=5(120°),5(90°)=S(90°),

.-.S(180°-a)=S(?),

故答案為：a;

(3)解：???△AOD、ABOC是兩塊相同的等腰直角三角板，AD=血,

ZAOD=ZBOC=90°,OA=OD=OC=OB=2,

:.ZAOB+ZCOD=180°,即NCOD=180。-。，圖中兩個(gè)帶陰影的三角形都是等腰三角形，且兩個(gè)等腰三角

形的腰相等，

5(180°-a)=5(?),

???圖中兩個(gè)帶陰影的三角形面積相等.

17.(1)圖見解析，不是

⑵①(-1,3)；②見解析

【分析】(1)根據(jù)面積為8的正方形的邊長(zhǎng)畫出正方形即可；根據(jù)指=百聲，上=在仔畫出三角

形，根據(jù)勾股定理逆定理判斷三角形是否為直角三角形即可；

(2)①根據(jù)勾股定理可知也是兩直角邊長(zhǎng)分別為1和3的斜邊，再結(jié)合點(diǎn)B是第二象限內(nèi)的整點(diǎn)即可

得到答案；②根據(jù)平行四邊形的判定定理作圖即可.

【詳解】(1)解：???正方形的面積為8,

,正方形的邊長(zhǎng)為網(wǎng)=20,

則面積為8的正方形,

圖1

解：VA2C為所求作的三角形，如圖2所示:

AB=Jl2+2?=下>AC=>/22+32=-\/13，BC=4，

V(75)-+(713)-=18^42,

這個(gè)三角形不是直角三角形;

A

/

/

BC

圖2

(2)①：是兩直角邊長(zhǎng)分別為1和3的斜邊，OA=OB,

???02也是兩直角邊長(zhǎng)分別為1和3的斜邊，

8(-1,3),

故答案為：(-13)；

②以A、8、。及合適的第四個(gè)點(diǎn)C為頂點(diǎn)的所有平行四邊形如圖3所示:

（2）2+24

【分析】（1）由菱形的性質(zhì)可得AD=CD,根據(jù)題意可得則AE=CF,即可判斷四

邊形AC砂是矩形；

（2）根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)，求得AC,在Rt^ACE中，勾股定理求得CE,進(jìn)而即可求得四

邊形AC所的周長(zhǎng).

【詳解】（1）,,?四邊形ABCD是菱形，

/.AD=CD9

AD=DE,CD=DF,

，四邊形ACE/MC跖是平行四邊形；

AE=CF；

二.四邊形ACM是矩形；

（2）???四邊形ABC。是菱形，

/.AB=CD=AD=BC=1,

???四邊形ACE尸是矩形；

:.ZACE=90°,AC=EF,AF=CE,

???N5=60。，AB=1,

:.ZADC=60°,

?：AD=CD,AB=BC,

.?.△ACD是等邊三角形，

.\ZCAD=60°,AC=lf

:.ZAEC=30°,

AC=-AE

2f

AE=2,

在RQACE中，CE=y/AE2-AC2

四邊形ACEb的周長(zhǎng)=2(AC+CE)=2(1+若)=2+26.

【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判

定和性質(zhì)，勾股定理，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

19.(1)菱形或正方形

(2)見解析

(3)箏形的兩條對(duì)角線互相垂直

【分析】(1)根據(jù)箏形的定義知，正方形和菱形都符合題意；

(2)首先根據(jù)圖形，寫出已知求證；然后證明；首先連接AC,由SSS,易證得/△ADC,即可證

得結(jié)論；

(3)易得箏形的其他性質(zhì)：①箏形的兩條對(duì)角線互相垂直；②箏形是軸對(duì)稱圖形等.

【詳解】(1)解：因?yàn)閮山M鄰邊分別相等的四邊形是箏形，所以菱形或正方形符合題意.

故答案為：菱形或正方形；

(2)已知：如圖，在箏形ABC。中，AB^AD,CB=CD,

求證：ZB=ZD,

證明：連接AC,

在VA5C和八4￡)。中,

AB=AD

<AC=AC,

BC=DC

.".△ABC^AADC(SSS),

.-.ZB=ZD；

故答案為：ZB=ZD-,

(3)解：箏形的其他性質(zhì)：①箏形的兩條對(duì)角線互相垂直；②箏形是軸對(duì)稱圖形.

故答案為：箏形的兩條對(duì)角線互相垂直(答案不唯一).

【點(diǎn)睛】此題屬于四邊形的綜合題.屬于新定義類題目，考查了軸對(duì)稱圖形的定義、線段垂直平分線的性

質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì).注意準(zhǔn)確作出輔助線是解此題的關(guān)鍵.

20.證明見解析

【分析】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)與判定，連接AC與交于O,由平行四邊形的性質(zhì)可得

OA=OC,OB=OD,再證明OE=O9，即可證明四邊形AEB是平行四邊形.

【詳解】證明：如圖所示，連接AC與8。交于。，

?..四邊形ABC。是平行四邊形，

AOA=OC,OB=OD,

,/BE=DF,

：.OB-BE=OD-DF,

：.OE=OF,

四邊形AECF是平行四邊形.

21.⑴見解析

⑵歷

【分析】本題考查菱形的判定和性質(zhì)，勾股定理，三角形中位線定理.掌握特殊四邊形的判定和性質(zhì)，三

角形中位線定理是解題關(guān)鍵.

（1）根據(jù)題意可直接證明四邊形fiD斯是平行四邊形.根據(jù)三角形中位線定理和線段中點(diǎn)的性質(zhì)可證

BD=DE,即得出平行四邊形3D卯是菱形；

（2）連接CD,DF.由菱形性質(zhì)可得出BED1,BM=EM=^BE=2.結(jié)合（1）可求出小=石，

BC=8,CE=4,從而可求出C0=6,最后先根據(jù)勾股定理求出DM=1,再根據(jù)勾股定理即可求出

CD=屈.

【詳解】（1）證明：???3E〃DE,EF//DB,

四邊形BDEF是平行四邊形.

VD,E分別是A3,2C的中點(diǎn)，

BD=-AB,DE=-AC.

22

,/AB=AC,

/.BD=DE,

平行四邊形BDEF是菱形；

（2）解：如圖，連接CO,DF.￡）歹與8C交于點(diǎn)

:四邊形成史F是菱形,

；?BELDF,BM=EM=-BE=2.

2

由(1)可知。E=,AC=A/?,BC=2CE=2BE=8,

2

：.CM=EM+CE=2+4=6.

在RLDEM中，DM=yjDE2-EM2=扃-2?=1,

在RtACDM中，CD=y/CM2+DM2=代+儼=屈.

22.(l)AACF

(2)CF=y

【分析】本題考查矩形與折疊，等腰三角形的判定，勾股定理：

Q)依據(jù)折疊的性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)，即可得到AF=b,進(jìn)而得出△ACT是等腰三角形;

(2)設(shè)C5=x,則A/=x,DF=4-x,依據(jù)勾股定理即可得到x的值.

【詳解】(1)解：由折疊可得，NBAC=NEAC,

:矩形ABCD,

AB//CD,

：.ZBAC=NDCA,

：.ZEAC^ZDCA,

：.AF=CF,

AACF是等腰三角形.

故答案為：AACF

(2)解：設(shè)CF=x,貝=DF=4-x,

■:7D90?,

.,.RtAAD/中，AD2+DF2=AF2?即3?+(4-x)2=/,

解得尤=9言5，

o

?e_25

??CF=—.

8

23.(1)見解析

(2)見解析

(3)AC=&CE+CG,證明見解析

【分析】⑴作Fa_L3C交8C延長(zhǎng)線于X,延長(zhǎng)收到G,使HG=FH,連接CG,EG即可；

(2)根據(jù)A￡=EF,得NEAC=NEFC,再根據(jù)ZBAE+Z￡XC=ZBAC=45。，ZFEC+ZEFC=ZACB=45°,

得到N&VfinN/ffiF,再根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)得NGEC=ZHEF,即可得出結(jié)論；

(3)先證明AC="42，CH=^-CG,不規(guī)則證明△ABE0AEAG(AAS),得AB=EH,根據(jù)

*CE+S=CE+*G,代入即可得出結(jié)論.

【詳解】（1）解：如圖所示，

(2)解：???正方形ABC。，

AZBAC=ZACB=45°,IB90?,

AE=EF,

：.ZEAC=NEFC,

*：ZBAE+ZEAC=ABAC=45°,

/.ZFEC+ZEFC=ZACB=45°,

:?ZBAE=/FEC,

丁點(diǎn)方與點(diǎn)G關(guān)于直線BC的對(duì)稱，

/.ZHEF=ZGEC

：.ZBAE=AGEC

(3)解：AC=6CE+CG

證明：??,正方形ABCD,

AAB=BC,ZACB=45。，IB90?,

?*.AC=CAB,

：.ZFCH=ZACB=45°

丁點(diǎn)方與點(diǎn)G關(guān)于直線BC的對(duì)稱，

ZGCH=ZFCH=45°,EF=EG,

：.AE=EG,

???FHLBC交BC延長(zhǎng)線于H,

：.ZGHC=90°

ZHGC=ZHCG=45°

：.CH=GH

CG=y/2CH

CH=—CG,

2

在石和AEHG中,

NBAE=NGEH

<ZB=ZEHG,

AE=EG

/.AABE經(jīng)AEHG(AAS),

AB=EH

"：EH=CE+CH

：.AC=V2(CE+CH)=A/2CE+^CG^=^/2CE+CG,

即AC=41CE+CG.

【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)，勾股定理，全等三我的判定與性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，對(duì)頂角性質(zhì),

軸對(duì)稱的性質(zhì).熟練掌握相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

24.(1)見解析

⑵0BP=CE

(3)10

【分析】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理；

(1)根據(jù)題意作出圖形，即可求解；

(2)過點(diǎn)尸分別作CD,3C的垂線，垂足分別為RG,尸產(chǎn)交于點(diǎn)則5〃AD,證明

NPEF=a=NPCF得出PC=PE,FC^-EC,進(jìn)而證明四邊形PGCF是矩形，得出PG=FC,根據(jù)

2

△P8G是等腰直角三角形，得出尸6=也2尸=尸。=」石。，即可得出結(jié)論；

22

(3)過點(diǎn)尸作尸尸，EC于點(diǎn)/，同理可得PE=PC,則EF=FC,進(jìn)而得出ED=PF=1,CF=EF=4,

根據(jù)四邊形ADPE的面積=S，ME+S?p即可求解.

【詳解】(1)解：如圖所示，

⑵拒BP=CE

理由如下，如圖所示，過點(diǎn)P分別作CD,BC的垂線，垂足分別為尸,G,PF交AB于點(diǎn)H,則5〃AD

/.ZDAP=ZAPH

設(shè)ZZMP=ZAP//=a,

:四邊形ABCD是正方形，是對(duì)角線,

:.AD=CD,ZADP=ZCDP,ZPBC=45°

又,：DP=DP

:.AADP^ACDP

：.PA=PC,ZDCP=ZDAP=a

*.*AP±PE

：.ZEPF=90°-ZAPH=90°-6/

■:PFLCD,

：.ZPEF=a=ZPCF

：.PC=PE,FC=-EC,

2

,/ZBCD=90°,PF±CD,PG±BC

四邊形PGCF是矩形，

PG=FC,

又/P3c=45°

△PBG是等腰直角三角形，

B]

/.PG=-BP=FC=-EC

22

y/2BP=EC;

(3)解：如圖所示，過點(diǎn)尸作比_LEC于點(diǎn)尸,

同理可得PE=PC,則砂=/C,

APTO是等腰直角三角形，

AB=3,DP=C

：.FD=PF=\,CF=EF=4,

：.DE=DF+EF=l+4=5,

二四邊形ADPE的面積=SAADE+S@DP

=-xADxDE+-xDExFP

22

=1xDEx(AD+FP)

=1x5x4=10

2

故答案為：10.

25.(1)60°

(2)一組對(duì)邊平行