2024年9-10月新高考數(shù)學(xué)模擬大題匯編：立體幾何（含答案及解析）

2024年9-10月新高考數(shù)學(xué)名校大題匯編：立體幾何大題

必備基礎(chǔ)知識梳理

【知識點一:空間向量及其加減運算】

(1)空間向量

在空間，我們把具有大小和方向的量叫做空間向量，向量的大小叫做向量的長度或模.空間向量也

可用有向線段表示，有向線段的長度表示向量的模，若向量云的起點是力,終點是瓦則向量之也可

以記作存,其模記為同或|缶1.

(2)零向量與單位向量

規(guī)定長度為。的向量叫做零向量，記作I當(dāng)有向線段的起點力與終點B重合時，缶=I

模為1的向量稱為單位向量.

(3)相等向量與相反向量

方向相同且模相等的向量稱為相等向量.在空間，同向且等長的有向線段表示同一向量或相等向

量.空間任意兩個向量都可以平移到同一個平面，成為同一平面內(nèi)的兩個向量.

與向量4長度相等而方向相反的向量，稱為2的相反向量，記為-匕

(4)空間向量的加法和減法運算

@OC^OA+OB=a+b,BA^OA-OB^a-b.如圖所示.

②空間向量的加法運算滿足交換律及結(jié)合律

a+b—b+a)++c=a+(^+c)

【知識點二:空間向量的數(shù)乘運算】

—_______F

（1）數(shù)乘運算

實數(shù)4與空間向量H的乘積求稱為向量的數(shù)乘運算.當(dāng)4>0時，足與向量4方向相同；當(dāng)4<0時,

向量石與向量工方向相反.石的長度是N的長度的岡倍.

（2）空間向量的數(shù)乘運算滿足分配律及結(jié)合律

A（a+^—Aa+Ab,=（Afi）a.

（3）共線向量與平行向量

如果表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，則這些向量叫做共線向量或平行向

量，4平行于b,記作a//b.

（4）共線向量定理

對空間中任意兩個向量4,取海幣），4〃1的充要條件是存在實數(shù)九使公忒

（5）直線的方向向量

如圖8—153所示，/為經(jīng)過已知點力且平行于已知非零向量日的直線.對空間任意一點。，點P在

直線,上的充要條件是存在實數(shù)3使標(biāo)=示+記①，其中向量N叫做直線/的方向向量，在,上取

=4,則式①可化為標(biāo)=cH+=況+1朝—51）=（IT）CH+力朝②

①和②都稱為空間直線的向量表達(dá)式，當(dāng)±=方，即點P是線段AB的中點時，際=￡（示+朝），此

式叫做線段43的中點公式.

（6）共面向量

如圖8—154所示，已知平面a與向量4,作示=4,如果直線04平行于平面a或在平面a內(nèi)，則說明

向量H平行于平面a.平行于同一平面的向量，叫做共面向量.

__________F

(7)共面向量定理

如果兩個向量a日不共線，那么向量成與向量4,市共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對以妨，

^.p=xa+yb.

推論:①空間一點P位于平面ABC內(nèi)的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對(x,y)，使/=xAB+yAC;或?qū)?/p>

空間任意一點O,有標(biāo)-k=xAB+yAC,該式稱為空間平面ABC的向量表達(dá)式.

②已知空間任意一點O和不共線的三點A,B,。，滿足向量關(guān)系式OP=xOA+yOB+z五(其

中/+g+z=l)的點P與點A,B,。共面;反之也成立.

【知識點三:空間向量的數(shù)量積運算】

(1)兩向量夾角

已知兩個非零向量r,在空間任取一點。，作為=4,而=r，則/力。8叫做向量4,征的夾角，記作

伍冉，通常規(guī)定04何扃《兀,如果僅用=等,那么向量入1互相垂直，記作打立

(2)數(shù)量積定義

已知兩個非零向量a,b,則同碌os伍內(nèi)叫做4,在的數(shù)量積，記作4?唬即a-b=|磯同cos體日”零向量

與任何向量的數(shù)量積為0,特別地，小4=林.

(3)空間向量的數(shù)量積滿足的運算律：

(/la)-b=A^a-b^，4不=隹荔(交換律);

a-(1+匹)=。1+。式分配律).

【知識點四:空間向量的坐標(biāo)運算及應(yīng)用】

(1)設(shè)a=(aiQg)，b=(bi也,3)，則4+日=(a1+b1,a2+b2,a3+b3);

a-b=(電一瓦,。2-匕2，。3—^3)；

Aa=(AaliAa2iAa3);?

a*b=0)也1+a2b2+a3b3;

___________________________________.

4〃b（bW0）=>ai=Ab^電—電,。3—鶴；

aJ_5=>的仇+a2b2+0-3^3=0?

（2）設(shè)人物，%,zi）,B（a；2,統(tǒng),z?），則AB=OB-OA=（a;2—x^y2-yltz2-Zi）.

這就是說，一個向量在直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)等于表示該向量的有向線段的終點的坐標(biāo)減起點的坐

標(biāo).

（3）兩個向量的夾角及兩點間的距離公式.

①已知a=（aj,a2,a3），廠=（仇也,既），則|a|==/=+諂+成;

忖=種=J斤+6升留;

a-b=aj）i+a2b2+a3b3；

cos（叫:a也+電匕=組=.

②已知人（傷,%,21）,B（x-2,y2,Z2）,則\AB\=J（21—3；2）2+（%一紡）2+（Zl-Z2）2,

或者磯AB）=|岳其中d（AB）表示4與B兩點間的距離，這就是空間兩點的距離公式.

（4）向量4在向量日上的投影為忖cos（4冉

【知識點五:法向量的求解與簡單應(yīng)用】

⑴平面的法向量：

如果表示向量日的有向線段所在直線垂直于平面a,則稱這個向量垂直于平面a,記作為，a,如果日

La,那么向量日叫做平面a的法向量.

幾點注意：

①法向量一定是非零向量;②一個平面的所有法向量都互相平行;③向量日是平面的法向量，向量I

濟是與平面平行或在平面內(nèi)，則有m-n=0.

______/

第一步:寫出平面內(nèi)兩個不平行的向日=（卬％,為），b=（電，m，22）；

第二步：那么平面法向量日=（工。,。。y。，?！銁）。，滿足[配=°=嚴(yán)上"zzi=2

[n-b=O[xx2+yy2+zz2^0

（2）判定直線、平面間的位置關(guān)系

①直線與直線的位置關(guān)系:不重合的兩條直線a,b的方向向量分別為4,b.

若4〃口即日=需，則a//b;

若4J_位即日,日=0,則a_Lb.

②直線與平面的位置關(guān)系:直線Z的方向向量為心平面a的法向量為亦且Z±

若all灑即4=脫,則ZJ_a;

若云。_L亦即日,4=0,則4〃a.

（3）平面與平面的位置關(guān)系

平面a的法向量為灑，平面B的法向量為日2.

若落〃n2，即灑=猊2，貝！1a〃6；若落」~心，即灑?游=0，貝1°」一￡.

【知識點六:空間角公式】

⑴異面直線所成角公式:設(shè)分別為異面直線人為上的方向向量，。為異面直線所成角的大小，：

.

則COS0=|cos^a,^|=.

同間

⑵線面角公式:設(shè)Z為平面a的斜線，4為Z的方向向量，4為平面a的法向量，8為

1與a所成角的大小，則sind=|cos（a,n\|=[.

1,磯司

（3）二面角公式:

設(shè)儀電分別為平面a,6的法向量，二面角的大小為0,則”依，而或兀-體面（需要根據(jù)具體情

況判斷相等或互補），其中|cos0|=悟湛.

【知識點七:空間中的距離】

求解空間中的距離

（1）異面直線間的距離:兩條異面直線間的距離也不必尋找公垂線段，只需利用向量的正射影性質(zhì)

直接計算.

如圖，設(shè)兩條異面直線a,&的公垂線的方向向量為灑這時分別在a,6上任取4B兩點，則向量在n

上的正射影長就是兩條異面直線a,b的距離.則4=屆?五=用包即兩異面直線間的距離，等

\n\\n\

于兩異面直線上分別任取兩點的向量和公垂線方向向量的數(shù)量積的絕對值與公垂線的方向向量模

的比值.

B

（2）點到平面的距離

A為平面a外一點（如圖），為為平面a的法向量,過A作平面a的斜線4B及垂線AH.

....______/

\AB-n\_\AB-n\

\AH\=\AB\-sinJ=\AB\?|cos<AB,n>|=\AB\

n

\AB-n\

7a=---------

\n\

【必考題型匯編】

1.（湖南省長沙市2025屆高三六校九月大聯(lián)考解析第16題）

如圖，四邊形ABCD與四邊形ADEF均為等腰梯形，BCIIAD,EFIIAD,AD=4.,AB=V2,BC=

EF=2,AF=Vli,FB_L平面ABCD,M為AD上一點，且FM.LAD,連接BD、BE、BM.

⑴證明：BCV平面BFM;

（2）求平面ABF與平面DBE的夾角的余弦值.

__________P

2.（遼寧省沈陽市郊聯(lián)體2024年高三上學(xué)期開學(xué)聯(lián)考解析第17題）

如圖，已知斜三棱柱ABC-A.B.C.中，側(cè)面BBQC_L側(cè)面AA.B.B，側(cè)面BBQC是矩形，

側(cè)面AA^B是菱形，ABAA,=60°,AB=2BC=2，點E,F,G分別為棱AAX,AXC,BBX的中點.

（1）證明：FG//平面ABC;

（2）求二面角Ai—BC—E的余弦值.

3.如圖，在四棱柱ABCD—AiBQQi中，人4,平面ABCD，底面ABCD為梯形，AD//BC,BC=4

,AB=AD=DC=AA1=2,Q為AD的中點.

（1）在4A上是否存在點P，使直線CQ//平面AC.P,若存在，

請確定點P的位置并給出證明，若不存在,請說明理由；

（2）若⑴中點P存在,求平面AC.P與平面ABBMi所成的銳二面角的余弦值.

__________P

4.(福建泉州市2025屆高中畢業(yè)班模擬檢測(一)解析第16題)

4：如圖，在四棱錐P-ABCD中，PD=PC=CB=BA=^-AD=2,AD//CB,ACPD=ZABC=90°

,平面PCD工平面ABCD,E為PD中點.

(1)求證：PD±平面PCA;

(2)點Q在棱PA上，CQ與平面PDC所成角的正弦值為平，求平面PCD與平面CDQ夾角的

余弦值.

5.(長沙市雅禮中學(xué)2025屆高三上學(xué)期(9月)綜合自主測試解析第17題)

5：如圖(1),在AABC中，CD±AB,BD=2CD=2AD=4，點E為AC的中點.將4ACD沿CD

折起至1」APCD的位置，使,如圖(2).

圖⑵

(1)求證：PB.LPC;

(2)在線段BC上是否存在點尸，使得CP±DF?若存在，求二面角P-DF-E的余弦值；若不存

在，說明理由。

___________F

6.（長郡中學(xué)2024年9月高三上學(xué)期第一次調(diào)研考試解析第16題）

6：如圖，四邊形ABDC為圓臺QQ的軸截面，AC=2BD,圓臺的母線與底面所成的角為45°,母線

長為V2,E是BD的中點.

BUQI

（1）已知圓。2內(nèi)存在點G，使得DEJL平面BEG，作出點G的軌跡（寫出解題過程）；

（2）點K是圓。2上的一點（不同于A,C）,2CK=AC,求平面ABK與平面CDK所成角的正弦

值.

7.（福建省漳州市2025屆高三畢業(yè)班第一次教學(xué)質(zhì)量檢測解析第17題）

7：已知邊長為4的菱形ABCD（如圖1）,ABAD=^-,AC與BD相交于點O,E為線段AO上一

點，將三角形ABD沿BD折疊成三棱錐A-BCD（如圖2）.

（1）證明：BD±CE

⑵若三棱錐A-BCD的體積為8,二面角B-CE-O的余弦值為士號，求OE的長.

8.（湖南長沙一中2025屆高三上學(xué)期階段性檢測（一）解析第16題）

8：如圖，已知四棱柱ABCD—AiBQQi的底面ABCD為平行四邊形，四邊形CCQQ為矩形,平面

CC^D±平面ABCD,E為線段CD1的中點，且8E=CE.

⑴求證：AD±平面BBQQ;

⑵若48=4,40=2,直線A]E與平面BBQQ所成角的正弦值為“里，求二面角D-AB-D,

5

的余弦值.

9.（唐山市2024-2025學(xué)年度高三年級摸底考試解析第16題）

9：在直三棱柱ABC-A^C,中，ABAC=90°,AM=AB=AC=3,BjCABQ=P,G是△4日。1

的重心，點Q在線段AB（不包括兩個端點）上.

⑴若Q為AB的中點，證明：PGH平面AXCQ；

（2）若直線PG與平面A.CQ所成的角正弦值為嚕，求4。.

_____________即

10.（山東百師聯(lián)盟2025屆高三開學(xué)摸底聯(lián)考解析第16題）

10：如圖，在三棱柱ABC—A181G中，人4,平面ABC,AB,±AXC,AB±BC,AB=BC=2.

（1）求證：平面481G±平面AYBC;

（2）（2）設(shè)點尸為4c的中點，求平面ABP與平面BCP夾角的余弦值.

11.（江蘇省南通市2025屆高三九月份調(diào)研考試解析第15題）

11：如圖，在直三棱柱ABC-A.B^中，D,E,F分別為AB,BC,BXB的中點.

（1）證明：4G〃平面BQE；

（2）若AB=1,AB±AC,B1D±A1F,求點E到平面AXFCX的距離.

___________________________________a

12.（江蘇省南通市2025屆高三九月份調(diào)研考試解析第17題）

12：（15分）如圖，四邊形ABCD為菱形，PB±平面ABCD.

（1）證明：平面PAC±平面PBD；

⑵若M，PC,二面角A-BP-C的大小為120°,求PC與所成角的余弦值.

13.（2024年9月嘉興市高三基礎(chǔ)測試解析第16題）

13:如圖，已知四棱錐P-ABCD的底面ABCD是邊長為6的正方形，側(cè)面PCD±底面ABCD,

PC=PD=5，點、E,G分別是DC,DP的中點，點F在棱AB上且AF=3FB.

（1）求證：FGH平面BPE;

（2）求直線FG與平面PBC所成角的正弦值.

_______________________________

14.（江西省紅色十校2025屆高三上學(xué)期第一次聯(lián)考解析第17題）

14：如圖,在四棱錐P-ABCD中，四邊形ABCD是平行四邊形，

PA±PB,PB±PC,PC=PA=2V2,PB=PC=42,AB=AC，點E在8C上，且AE=3

⑴證明：ADA,平面APE；

（2）求直線AE與平面PCD所成角的正弦值.

15.（河北省邯鄲市2024-2025學(xué)年高三第一次調(diào)研解析第16題）

15：如圖，已知正四面體F-ABC的底面與正四棱錐A-BCDE的一個側(cè)面重合.

（1）求證：AF±DE;

（2）求二面角F-BC-D的余弦值.

________r

16.（四川省2025屆高三上學(xué)期9月摸底大聯(lián)考解析第17題）

16：如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，M在棱CD上且CM=2MD,AB=3,BC

=PM=2,PD±平面ABCD,在棱PB上存在一點Q滿足CQII平面PAM.

M.入

⑴證明：平面PCDV平面PBC;

（2）求平面PAB與平面ACQ夾角的余弦值.

17.（湘豫名校聯(lián)考2024-2025學(xué)年新高考適應(yīng)性調(diào)研考試解析第16題）

17：如圖，已知三棱柱ABC—4BG的所有棱長均為1,且AB,=AC1=1.

1.

C

A

⑴求直線7L41與平面ABC所成角的正弦值;

（2）求點A到平面BBQC的距離.

18.（山東省2024年9月高三七校聯(lián)考解析第17題）

18：如圖，四邊形ABCD為菱形，PBV平面ABCD.

⑴證明：平面PACY平面PBD;

⑵若,二面角A-BP-C的大小為120°,求PC與6。所成角的余弦值.

19.（湖南省長沙市2025屆高三九月學(xué)情調(diào)研考解析第18題）

19：在直三棱柱ABC-A.B.C,中，ABAC=90°,A,A=AB=AC=3,B1CH30,=P,G是

的重心，點Q在線段AB（不包括兩個端點）上.

⑴若Q為AB的中點，證明：PGII平面A,CQ;

（2）若直線PG與平面A.CQ所成的角正弦值為嚕，求AQ.

20.（江蘇省鎮(zhèn)江市2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期期初解析第16題）

20：如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA=2V3,AD//BC,AD=1,AB=BC=2,AD1.平面PAB,

PD_LAB,E,F分別是棱PB,PC的中點.

⑴證明：DFII平面ACE；

（2）求二面角A-CE-B的正弦值.

21.（江蘇省鎮(zhèn)江市2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期期初解析第18題）

21：（本小題滿分17分）在如圖所示的平行六面體ABCD—AiBCDi中，ZArAB=ZA1AD=

45°'/BAD=60°,AB=1,AD=2,44i=2g.

⑴求AG的長度：

⑵求二面角B-AA.-D的大小；

⑶求平行六面體ABCD-A.B^D,的體積.

________r

2024年9-10月新高考數(shù)學(xué)名校大題匯編：立體幾何大題

必備基礎(chǔ)知識梳理

【知識點一:空間向量及其加減運算】

(1)空間向量

在空間，我們把具有大小和方向的量叫做空間向量，向量的大小叫做向量的長度或模.空間向量也

可用有向線段表示，有向線段的長度表示向量的模，若向量云的起點是力,終點是瓦則向量之也可

以記作存,其模記為同或|缶1.

(2)零向量與單位向量

規(guī)定長度為。的向量叫做零向量，記作I當(dāng)有向線段的起點力與終點B重合時，缶=I

模為1的向量稱為單位向量.

(3)相等向量與相反向量

方向相同且模相等的向量稱為相等向量.在空間，同向且等長的有向線段表示同一向量或相等向

量.空間任意兩個向量都可以平移到同一個平面，成為同一平面內(nèi)的兩個向量.

與向量4長度相等而方向相反的向量，稱為2的相反向量，記為-匕

(4)空間向量的加法和減法運算

@OC^OA+OB=a+b,BA^OA-OB^a-b.如圖所示.

②空間向量的加法運算滿足交換律及結(jié)合律

a+b—b+a)++c=a+(^+c)

【知識點二:空間向量的數(shù)乘運算】

—_______F

（1）數(shù)乘運算

實數(shù)4與空間向量H的乘積求稱為向量的數(shù)乘運算.當(dāng)4>0時，足與向量4方向相同；當(dāng)4<0時,

向量石與向量工方向相反.石的長度是N的長度的岡倍.

（2）空間向量的數(shù)乘運算滿足分配律及結(jié)合律

A（a+^—Aa+Ab,=（Afi）a.

（3）共線向量與平行向量

如果表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，則這些向量叫做共線向量或平行向

量，4平行于b,記作a//b.

（4）共線向量定理

對空間中任意兩個向量4,取海幣），4〃1的充要條件是存在實數(shù)九使公忒

（5）直線的方向向量

如圖8—153所示，/為經(jīng)過已知點力且平行于已知非零向量日的直線.對空間任意一點。，點P在

直線,上的充要條件是存在實數(shù)3使標(biāo)=示+記①，其中向量N叫做直線/的方向向量，在,上取

=4,則式①可化為標(biāo)=cH+=況+1朝—51）=（IT）CH+力朝②

①和②都稱為空間直線的向量表達(dá)式，當(dāng)±=方，即點P是線段AB的中點時，際=￡（示+朝），此

式叫做線段43的中點公式.

（6）共面向量

如圖8—154所示，已知平面a與向量4,作示=4,如果直線04平行于平面a或在平面a內(nèi)，則說明

向量H平行于平面a.平行于同一平面的向量，叫做共面向量.

__________F

(7)共面向量定理

如果兩個向量a日不共線，那么向量成與向量4,市共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對以妨，

^.p=xa+yb.

推論:①空間一點P位于平面ABC內(nèi)的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對(x,y)，使/=xAB+yAC;或?qū)?/p>

空間任意一點O,有標(biāo)-k=xAB+yAC,該式稱為空間平面ABC的向量表達(dá)式.

②已知空間任意一點O和不共線的三點A,B,。，滿足向量關(guān)系式OP=xOA+yOB+z五(其

中/+g+z=l)的點P與點A,B,。共面;反之也成立.

【知識點三:空間向量的數(shù)量積運算】

(1)兩向量夾角

已知兩個非零向量r,在空間任取一點。，作為=4,而=r，則/力。8叫做向量4,征的夾角，記作

伍冉，通常規(guī)定04何扃《兀,如果僅用=等,那么向量入1互相垂直，記作打立

(2)數(shù)量積定義

已知兩個非零向量a,b,則同碌os伍內(nèi)叫做4,在的數(shù)量積，記作4?唬即a-b=|磯同cos體日”零向量

與任何向量的數(shù)量積為0,特別地，小4=林.

(3)空間向量的數(shù)量積滿足的運算律：

(/la)-b=A^a-b^，4不=隹荔(交換律);

a-(1+匹)=。1+。式分配律).

【知識點四:空間向量的坐標(biāo)運算及應(yīng)用】

(1)設(shè)a=(aiQg)，b=(bi也,3)，則4+日=(a1+b1,a2+b2,a3+b3);

a-b=(電一瓦,。2-匕2，。3—^3)；

Aa=(AaliAa2iAa3);?

a*b=0)也1+a2b2+a3b3;

___________________________________.

4〃b（bW0）=>ai=Ab^電—電,。3—鶴；

aJ_5=>的仇+a2b2+0-3^3=0?

（2）設(shè)人物，%,zi）,B（a；2,統(tǒng),z?），則AB=OB-OA=（a;2—x^y2-yltz2-Zi）.

這就是說，一個向量在直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)等于表示該向量的有向線段的終點的坐標(biāo)減起點的坐

標(biāo).

（3）兩個向量的夾角及兩點間的距離公式.

①已知a=（aj,a2,a3），廠=（仇也,既），則|a|==/=+諂+成;

忖=種=J斤+6升留;

a-b=aj）i+a2b2+a3b3；

cos（叫:a也+電匕=組=.

②已知人（傷,%,21）,B（x-2,y2,Z2）,則\AB\=J（21—3；2）2+（%一紡）2+（Zl-Z2）2,

或者磯AB）=|岳其中d（AB）表示4與B兩點間的距離，這就是空間兩點的距離公式.

（4）向量4在向量日上的投影為忖cos（4冉

【知識點五:法向量的求解與簡單應(yīng)用】

⑴平面的法向量：

如果表示向量日的有向線段所在直線垂直于平面a,則稱這個向量垂直于平面a,記作為，a,如果日

La,那么向量日叫做平面a的法向量.

幾點注意：

①法向量一定是非零向量;②一個平面的所有法向量都互相平行;③向量日是平面的法向量，向量I

濟是與平面平行或在平面內(nèi)，則有m-n=0.

______/

第一步:寫出平面內(nèi)兩個不平行的向日=（卬％,為），b=（電，m，22）；

第二步：那么平面法向量日=（工。,。。y。，?！銁）。，滿足[配=°=嚴(yán)上"zzi=2

[n-b=O[xx2+yy2+zz2^0

（2）判定直線、平面間的位置關(guān)系

①直線與直線的位置關(guān)系:不重合的兩條直線a,b的方向向量分別為4,b.

若4〃口即日=需，則a//b;

若4J_位即日,日=0,則a_Lb.

②直線與平面的位置關(guān)系:直線Z的方向向量為心平面a的法向量為亦且Z±

若all灑即4=脫,則ZJ_a;

若云。_L亦即日,4=0,則4〃a.

（3）平面與平面的位置關(guān)系

平面a的法向量為灑，平面B的法向量為日2.

若落〃n2，即灑=猊2，貝！1a〃6；若落」~心，即灑?游=0，貝1°」一￡.

【知識點六:空間角公式】

⑴異面直線所成角公式:設(shè)分別為異面直線人為上的方向向量，。為異面直線所成角的大小，：

.

則COS0=|cos^a,^|=.

同間

⑵線面角公式:設(shè)Z為平面a的斜線，4為Z的方向向量，4為平面a的法向量，8為

1與a所成角的大小，則sind=|cos（a,n\|=[.

1,磯司

（3）二面角公式:

設(shè)儀電分別為平面a,6的法向量，二面角的大小為0,則”依，而或兀-體面（需要根據(jù)具體情

況判斷相等或互補），其中|cos0|=悟湛.

【知識點七:空間中的距離】

求解空間中的距離

（1）異面直線間的距離:兩條異面直線間的距離也不必尋找公垂線段，只需利用向量的正射影性質(zhì)

直接計算.

如圖，設(shè)兩條異面直線a,&的公垂線的方向向量為灑這時分別在a,6上任取4B兩點，則向量在n

上的正射影長就是兩條異面直線a,b的距離.則4=屆?五=用包即兩異面直線間的距離，等

\n\\n\

于兩異面直線上分別任取兩點的向量和公垂線方向向量的數(shù)量積的絕對值與公垂線的方向向量模

的比值.

B

（2）點到平面的距離

A為平面a外一點（如圖），為為平面a的法向量,過A作平面a的斜線4B及垂線AH.

....______/

\AB-n\_\AB-n\

\AH\=\AB\-sinJ=\AB\?|cos<AB,n>|=\AB\

n

\AB-n\

a7=---------

\n\

【必考題型匯編】

1.（湖南省長沙市2025屆高三六校九月大聯(lián)考解析第16題）

如圖，四邊形ABCD與四邊形ADEF均為等腰梯形，BCIIAD,EFIIAD,AD=4.,AB=V2,BC=

EF=2,AF=Vli,FB_L平面ABCD,M為AD上一點，且FM.LAD,連接BD、BE、BM.

⑴證明：BCV平面BFM;

（2）求平面ABF與平面DBE的夾角的余弦值.

方法提供與解析：

（1）解析：因為FB±平面ABCD，又ADU平面ABCD，所以FB±

AD.又AD,且FBClFM=F,所以AD_L平面BFM.因為

BC//AD,所以BCA,平面BFM.

（2）解析：作EN±AD,垂足為N,則FM//EN.又EFIIAD,所以四邊形FMNE是平行四邊形，又

EN±AD,所以四邊形FMNE是矩形，

又四邊形ADEF為等腰梯形，且AD=4,EF=2,所以AM^l.

由⑴知AD_L平面BFM,所以BM.LAD.又AB=6,所以BM=1.

在Rt/\AFM中，F(xiàn)M=y/AF--AM2=V10.在Rt△FMB中，/.FB=^JFM2-BM2=3.

由上可知，能以BM、BC、BF所在的直線分別為立軸、y軸、z軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系.

則4T，T，0)，B(0,0,0)，0(0,0,3),D(T,3,0),E(0,2,3),

所以，AB=(1,1,0),BF=(0,0,3),BD=(-l,3,0),BE=(0,2,3)

設(shè)平面ABF的法向量為m—(aJi,y1；2i),

,fm-AB=0/曲+%=。

由仁一，仔，

1為=0n

可取茂=(1,-1,0);設(shè)平面BDE的法向量為n=(x2,y2,^),

,n-BD—Qg(—x+3y2—0,、

由一，得2，可取方=(9,3,2).

n-BE=Q1―2%+3Z2=0

__________P

因此，cos<m,n>=告：?=/--913=岑\?

\m\-\n\4TTW81+9+447

依題意可知，平面ABF與平面DBE的夾角的余弦值為佳段.

2.(遼寧省沈陽市郊聯(lián)體2024年高三上學(xué)期開學(xué)聯(lián)考解析第17題)

如圖，已知斜三棱柱ABC-A^C,中，側(cè)面BBCC_L側(cè)面AA.B.B，側(cè)面BB.C.C是矩形，

側(cè)面AA.B.B是菱形，ABAA,=60°,AB=2BC=2，點E,F,G分別為棱AAX,AXC,BBX的中點.

(1)證明：FG//平面ABC;

(2)求二面角4—BC—E的余弦值.

方法提供與解析：

解析：⑴證明：因為點E,F,G分別為棱AA1,A1C,BB1的中點，連接EF,EG,則EF//AC,EG//AB,

又因為EFD平面ABC,AC平面ABC,所以EF//平面ABC,

同理可得EG//平面ABC,

因為EFC\EG=E,EFU平面EFG,EGu平面EFG,

所以平面EFG//平面ABC,

因為FGu平面EFG，所以FG〃平面ABC.

(2)解：側(cè)面BBGC是矩形，所以BC±BB1,

又因為平面BBQC_L平面AA^B,平面平面44戶戶=,所以BC_L平面AA^B,

又BEU平面AA.BiB,因此BC±BE.

在菱形AA.B.B中，/B44i=60°,因此△44出是等邊三角形，又E是441的中點，所以BE±AAj,

從而得BE±BBl.

如圖，以B為坐標(biāo)原點，BE,BB?BC所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系.

因為AB=2BC=2，所以BE=ABsin60°=血，因此8(0,2,0),4(6,1,0),后(5/^,0,0),。(0,0,1),所以

B^C=(0,-2,1),0=(V3,-2,0),BA=(V3)-1.0),

設(shè)平面EBC的法向量為m=(rci.yi.zi),

m±B,C/—2%+zi—0i尸一/2V3.

由一，仔后。，令%=1,付m=（二一,1,92

mYBiElV3z1-2y1=0\3

設(shè)平面AXBXC的法向量為日=（%2,例,22）,

由尸吧‘得令…，得X啥1，2），

麻，國41[V3x2-y2=0\3，

2

17V19

cos〈范云〉=噩：:――，即二面角Ax—BrC—E的余弦值為

?層I.周?/19./167676

3.如圖，在四棱柱ABCD—AiBCn中，/L4i，平面ABCD,底面ABCD為梯形，AD//BC,BC=4：

,AB=AD=DC=AA1=2,Q為AD的中點.

⑴在4。上是否存在點P,使直線CQ//平面AC.P,若存在，

請確定點P的位置并給出證明，若不存在,請說明理由；

（2）若⑴中點P存在,求平面AC.P與平面ABB.A,所成的銳二面角的余弦值.

方法提供與解析：

（1）解析：（幾何法）

存在，證明如下：

在四棱柱ABCD-ArB.C.Dr中，因為平面ABCDII平面,

所以可在平面ABiG。內(nèi)作C.PIICQ,

由平面幾何知識可證ACiDiP陞4CDQ,所以DrP=DQ,可知P是兒。中點，

因為GPU平面AC.P,所以CQ//平面AGP.

即存在線段AA的中點，滿足題設(shè)條件.

滿足條件的點只有一個，證明如下：

當(dāng)CQ//平面ACrP時，因為CQ〃平面AiBxGDx,

所以過G作平行于CQ的直線既在平面4Gp內(nèi)，也在平面4BQQ1內(nèi)，

而在平面4B1GD1內(nèi)過G只能作一條直線GPIICQ,

故滿足條件的點P只有唯---個.

所以，有且只有4A的中點為滿足條件的點P,使直線CQ//平面ACXP.

（2）解析：（坐標(biāo)法）

過點D作DF.LBC,垂足為F,又因為DDil.平面ABCD

所以DA,DF,DD兩兩互相垂直，

X___________F

以D為坐標(biāo)原點，分別以DA,DF,DDr所在直線為立軸，沙軸，z軸建立如圖的空間直角坐標(biāo)系D-xyz,

則A(2;0,0),P(1,0,2),GC-l,VS,2),A(2,0,2),5(3,73,0),

PA=(1,0,-2),PG=(-2,V3,0),AB=(1,73,0),=(0,0,2)

--n-PA—0,(x—2z—0,

設(shè)平面24G的法向量為元=(c,%z),則有《一即《J

n-PC^O,l-2z+V3?/=0.

令x=2V3，得y=4,z=V3，所以n=(2V3,4,^/3).

設(shè)平面ABBiAi的法向量為rh—（x,y、z）.

,.[AB-rh=Q,

則有一

[AAi-m=Q,2z=0.

令x=V3,得g=—l,z=0，所以方=(V3,—1,0).

n-m6-4+0V31

所以cosn,m===

2V31—31

故平面ACP與平面ABB.A,所成的銳二面角的余弦值為V31

X31

4.（福建泉州市2025屆高中畢業(yè)班模擬檢測（一）解析第16題）

4：如圖,在四棱錐P-ABCD中，PD=PC=CB=BA=^-AD=2,AD//CB,ACPD=ZABC=90°

,平面PCD工平面ABCD,E為PD中點.

（1）求證：PD±平面PCA;

（2）點Q在棱PA上，CQ與平面PDC所成角的正弦值為平，求平面PCD與平面CDQ夾角的

O

余弦值.

方法提供與解析:

(1)解析：由題意：BC=AB=2,NABC=90°,4。=dAB1+BC2=2四同理GD=2V2,又AD^4,CD2

+AC2^AD\CDYAC.而CD=2V2=y/PD2+PC2,即PC工PD,

又平面PCD±平面ABCD,平面FGDP平面ABCD=CD,ACu平面ABCD,ACA.平面PCD,PD

c平面PCD,PD±AC,

又PC±PD,且PCu面PCA,AC面PCA,PCC\AC^C,PD±平面PCA.

(2)解析：以C為原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

_____________即

p

則。(0,0,0),4(0,22,0),。(22,0,0),。(2,0,血),

所以CD^(272,0,0),CP=(72,0,72),^4=(-72,272,-72),

設(shè)麗=1用(0<]<1)，有質(zhì)=覆+7向=(2(1—冷,2方用血(1—冷),

取面PCD的一個法向量rh=(0,1,0),則cosCQ,rn=—"叵入,

j4(l-iy+8/32

故國=(奪，血，號).

[n-CD—0（2y/2x=0

令n=（力,U，z）是平面CDQ的一個法向量，則_>，即[2+蓼+V2_。，

IIn-m、只

令y=l,有克=（0,1,-2）,則cos（n,m）=,,=,故平面PCD與平面CDQ夾角的余弦值為

1同同5

V5

5,

5.（長沙市雅禮中學(xué)2025屆高三上學(xué)期（9月）綜合自主測試解析第17題）

5:如圖（1）,在4ABC中，CD±AB,BD=2CD=2AD=4，點E為AC的中點.將4ACD沿CD

折起至1」AFCD的位置，使DEL8C,如圖（2）.

圖⑵

（1）求證：PBVPC;

（2）在線段BC上是否存在點F,使得CP±DF?若存在,求二面角P-DF-E的余弦值；若不存：

在，說明理由。

___________由

解析：⑴依題意可知點E為PC的中點，PD=CD=2,所以DELPC.

又DE_LBC,BCC\PC=C,BC,PCu平面PCB,所以DEL平面PCB.

又PBU平面PCB,所以DEYPB.

依題意可知CD±PD,CD±BD,BDAPL>=D,BD,PDc平面PDB，所以CD±平面PDB.

又PBu平面PDB,所以CD±PB.因為CDCDE=D,CD,DEU平面PCD,所以PB1.平面PCD

.又PCu平面PCD,所以PB±PC.

⑵由題意，得PC=J22+2?==￡=2娓,

由(1)PC±PB,所以PB=V(2V5)2-(2V2)2=2V3.

以點D為坐標(biāo)原點，DP,DC所在直線分別為x軸、z軸，

過點D且平行于PB的直線為y軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

如圖，則￡)(0,0,0),P(2,0,0),(7(0,0,2),S(l,0,l),B(2,2V30)，所以CP=(2,0,-2),PF=(2,0,0),DE=

(1,0,1).

設(shè)BF=tBC(U?),即BF=tBC=(-2t,-2V3t,2t),

則F(2-2i,2V3-2V31,2t),DF=(2-2t,273-2731,2t).

若存在點F,使得CP±DF,則存?萬元=4-8t=0,解得t=y,則5F=(1,V3,1).

FT,，0,.，、,[m-DF=x+V3y+z—0

設(shè)平面PDF的法向量為茂=@,%,zi),則《一111,

[m-DP=2x1=