2024年10月新高考數(shù)學模擬大題匯編：三角函數(shù)、解三角形（解析版）

2024年A10月三角函數(shù)、解三角形大題匯編

知識點一:基本定理公式

⑴正余弦定理:在中，角4B,。所對的邊分別是a,b,c,72為△ABC外接圓半徑，則

定理正弦定理余弦定理

a2=62+c2-2bccosA；

a=b=c=ZR

公式b2=c2+a2-2accosB；

sinAsinBsinC

c2=a^+b2-2abcosC.

b2+c2-a2

cosA=~；

(1)Q=2AsinA,b=2AsinB,c=2五sin。；2bc

c2+a2—62

常見變形(2)sinA=檢，sinB=條，sinC=/；D

Z/tZrtZrt2ac

「a2+b2-c2

2ab

(2)面積公式：

S^ABC=-^-absinC=《besinA=-^-acsinB

△222

$鑄6。=嚕=43+匕+°)?『(『是三角形內(nèi)切圓的半徑,并可由此計算凡,.)

4/tZ

知識點二:相關應用

(1)正弦定理的應用

①邊化角，角化邊0a:b:c=sinA:sinB:sinC

②大邊對大角大角對大邊

a>b=A>BosinA>sinBocosA<cosB

③八分比?a+"c=a+b=b+c=a+c=a=b=c

口?sinA+sinB+sinCsinA+sinBsinB+sinCsinA+sinCsinAsinBsinC

2R

⑵4ABe內(nèi)角和定理：4+石+。=兀

①sin。=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=c=acosB+5cosA

同理有：a=bcosC+ccosB,b=ccosA+acosC.

②—cosC=cos(A+B)=cosAcosB—sinAsinB；

③斜三角形中，—tan。=tan(A+B)='an'ltan%=tanA+tanB+tanC=tanA?tanB*tanC

1-tanA-tanB

公.(A~\-B\C(A-\-B\.C

⑷—~~)=cos萬；cos(---)=sm—

⑤在AABC中，內(nèi)角。成等差數(shù)列=+李.

知識點三:實際應用

(1)仰角和俯角

在視線和水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫仰角，在水平線下方的角叫俯角(如圖①).

視線

鉛福角婁

垂

線、迎視角線S

圖①

【解題方法總結】

1、方法技巧:解三角形多解情況

在△ABC中，已知a,6和人時，解的情況如下:

A為銳角A為鈍角或直角

C

ccX

-A

圖形

A了…-EA''……-BAB

AB

關系式a=6sinA&sinA<a<6Q〉ba>ba&b

解的個數(shù)一解兩解一解一解無解

2、在解三角形題目中，若已知條件同時含有邊和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要選擇

“邊化角”或“角化邊”，變換原則常用：

（1）若式子含有sinx的齊次式,優(yōu)先考慮正弦定理，“角化邊”；

（2）若式子含有a,b,c的齊次式,優(yōu)先考慮正弦定理，“邊化角”；

（3）若式子含有cos①的齊次式，優(yōu)先考慮余弦定理，“角化邊”；

（4）代數(shù)變形或者三角恒等變換前置；

（5）含有面積公式的問題,要考慮結合余弦定理使用；

（6）同時出現(xiàn)兩個自由角（或三個自由角）時,要用到A+8+。=兀.

3、三角形中的射影定理

在/\ABC中，a=bcosC+ccosB；b=acosC+ccosA；c=bcosA+acosB.

【題型分類匯編】

L（湖南省長沙市2025屆高三六校九月大聯(lián)考解析第15題）

記AABC的內(nèi)角48。的對邊分別為a,b,c,已知（血匕—a）sin/=（6+c）（sinB—sinC）.

（1）求角G

（2）若AABC外接圓的半徑為2,求面積的最大值.

方法提供與解析：

（1）解析：由已知及正弦定理可得b—a）a=（b+c）（b—c）,整理得d2+b2—c2=V^ab,

cosC=aj~C=CE（0,7r）,/.C=^~.

2ab26

（2）解析:?.?△48。外接圓的半徑為2,.?.-=4,得0=2,：.（12+〃=4+四而，又

smC77

a2+b22ab,ab<4（2+V3）,當且僅當a—b—V6+V2時，等號成立，

S^ABC=~~dbs\iiC<x4（2+A/3）x]=2+A/3^5即\ABC面積的最大值為2+.

2.（遼寧省沈陽市郊聯(lián)體2024年高三上學期開學聯(lián)考解析第16題）

已知函數(shù)/（力）=2V^cos2（/_20；5兀）+2sinQ—2024兀）cos/—V3.

（1）求曲線g=/（c）的對稱軸；

（2）已知25/（m—聿）=14,mE[爭，菁），求sin27n的值

方法提供與解析：_______>

解析:(1)/(劣)=2A/^COS、(N-20：5兀)+2sin(力—2024兀)cos6—V3,

=2A/3sin2a?+2sin/cosj;—V3=2sin/cos力—V3(1—2sin2T),

=sin2c—，5cos27=2sin(2x—

由2x—=卷+k兀(kGZ),

o/

得曲線g=/（N）的對稱軸為T=EZ）;

⑵由題意可得了他一方人”，即sin（2m一爭）=擊，

G

又mG［爭，警），則2M一等［奢，兀），即cos（2nz一半）V0,

所以cos（2m—=-Jl-sin2（27n—^^）=一瑞，

.2兀

故sin2?7z=sin[(2?n-亨■)=sin(2m一等)cos^+cos(2m-sm—

+警o

>T+--y

3.(福建泉州市2025屆高中畢業(yè)班模擬檢冽(一)解析第15題)

記AAB。的內(nèi)角人,瓦。的對邊分別為Q,b,c.已知acos2m+ccos2j^=-|-6.

(1)證明:sinA+sinC=2sinB;

⑵若b=2,屆?丞?=3,求AABC的面積.

方法提供與解析：

小板將同冉2。,2A3,a(l+cosC)+c(l+cosA)3,

(1)解析：因為acos2—-+Ceos--=-0,貝U-----------------------=-6,

乙乙乙乙乙

即a+c+acosC+ccosA=3b,

由正弦定理可得3sinB=sinA+sinC+(sinAcosC+cosAsinC)=sinA+sinC+sin(A+C)

=sinA+sin。+sin(7r—B)=sinA+sinC+sinB,因止匕sinA+sin(7=2sinB.

(2)解析：因為sinA+sinC=2sinB,由正弦定理可得Q+c=2b=4,

由平面向量數(shù)量積的定義可得AB,AC=cbcosA=3,所以2c?萬十：—里=、十°——3,可得。?—Q2=

Zbc2

2,

即(c—Q)(c+Q)=4(C—Q)=2,所以C—Q=2~,則。="|~,。=+，

所以cosA=^-=—=2■,則4為銳角，得sim4=，l—cos2.=Jl—器丫=項,

be2x^3Vv373

因此S、ABC--ybesinA=1=1X2X?X=3/.

4.（長沙市雅禮中學2025屆高三上學期（9月）綜合自主測試解析第16題）

2

在XABC中，角A,B,C的對邊分別為abc4ABe的面積為S,挈S=bsin(2A+B)1

O

⑴求角A;

⑵若A4BC的面積為3A③a=m,。為邊8C的中點，求AD的長.

方法提供與解析：

sin2AcosB+cos2AsinB..\,

(1)解析：由題意得髭之S=+1b2

O-------->-

_2sin4cosAcosB+2cos2/,sin8.,2_2cos恁①缶+B)2_2cosAsin。,2

sinBsinBsinB'

由正弦定理，得4^^s=2cc：s”,牝即x-^-bcsinA=2bccosA,所以tanA=V3.

又AC(0,兀)，所以A=).

o

(2)解析：因為XABC的面積為3V3,所以Jbcsin卷=3V3,所以be=12.

因為a=6X所以〃+c2—2bccos看=13,即〃+c?—be=13,所以〃+c?=25.

o

因為。是邊BC的中點，所以國5=<(也?+毋)，

所以延|2=1(〃+c2+2bccosA)=。(〃+c?+be)=苧所以同I=卷N，所以AD的長為乂。.

5.(山東省日照市2024-2025學年高三上學期開學校際聯(lián)考解析第16題)

記A4BC的內(nèi)角ABC的對邊分別為a,be已知4=9a=2.

o

⑴若sinB—sin(7=(，求b；

⑵若sinB+sin。=2sinA,求A4BC的面積.

方法提供與解析:

⑴解析:(正余弦定理)

由正弦定理可得=」一=早，

smBsmCsmAsjnA3

貝UsinB=b,sinC=c,由sinB—sinC=可得—=J,即b—c=

由余弦定理可得,Q2=/+。2_2bccosA,

即4=〃+c2—be,即4=(b-cy+bc,解得bc=1~,

o

fec=-Tfb=.

u

聯(lián)立一"解得3

-2VI

(Cr—3

(2)解析：(正余弦定理)

因為sinB+sinC=2sinA,由正弦定理的邊角互化可得,b+c=2a=4,

由余弦定理可得,a*=fe2+c2-2bccosA,即4=力+如一be,

所以4=(b+。戶一3&c,解得be=4,則S&ABC=-^-besinA=[*x4x=V3.

6.(黃岡市2024年高三年級9月調(diào)研考試解析第16題)

函數(shù)/(⑼=sincoa?-cos&xr+COS2&)T,a>>0,函數(shù)的最小正周期為K.

(1)求函數(shù)/(c)的單調(diào)遞增區(qū)間以及對稱中心；

(2)將函數(shù)/(⑼的圖象先向右平移卷個單位，再向下平移J個單位，得到函數(shù)g(c)的圖象，在函數(shù)

o2

g{x}圖象上從左到右依次取點4,4,…，42024,該點列的橫坐標依次為如亞，???，電024,其中g=嗎+1

—6n=&(nCN"),求9(電)+g(22)+---+9(^2024)?

O

方法提供與解析：

(1)解析:/(2)=-^-sin2(7)T+1+c；s2“*=^-+^^sin(2℃+￡

因為/（力）的最小正周期為兀，故、號=兀，即8=1,所以/（/）=1+sin(2%+￡

2a）2

令2/C7T—，42/+~~&2kn+9,keZ,故卜兀—《力&kn+1,kEZ,

242o8

故/（，）的增區(qū)間為上元一爭,%兀+1],&CZ.

令2,+與=阮％”,則2=萼—1,zez,故/㈤圖象的對稱中心為（與一[,（）,zez.

42o'232，

^^sin(2c-]=^-sin2rr,則g(力)的周期為

（2）解析:由題設有g（0=y-y+兀,

而6n+3一3=看x3=兀，故g(xn+3)=g(*n),而g(g)=乎

O/

/\/兀兀、孱./兀2兀、V2/x（兀2兀、.（兀上4兀、V2

g3）=9（4+可）=虧sm（1+工廠—丁，9（斕=改彳+丁尸V〒2sm（1+工廠一丁,

故gOi)+g(22)T---卜g(82024)=g(0)+g(*2)+674[g(g)+g(a；2)+g(g)]

與T+674（奪—**=卓

7.（黃岡市2024年高三年級9月調(diào)研考試解析第18題）

在A4BC中，角48,。所對的邊分別為a,b,c.

/1\、下口目人A1—cosAsinA

⑴證明:tan^=F-=正力

⑵若a,b,c成等比數(shù)列.

⑴設々=%求q的取值范圍;

a

⑻求tan看targ"的取值范圍.

方法提供與解析:

2sin嚕

（1）解析:上岸洛

tan萬,

smA2sin等cos等2sin等cos等

sinA2sinycosy2sinycosy/1—cosAsinA

--------=-----------=-=tan—,故tan—=-------=--------—

1+cosA1+(2COS24-1)-----2cos2等---------22sim4-----1+cosA

(2)解析:(i)由題意設b=aq,c=ag2,

q>Q

ayq；aq2,解之得

由三角形三邊關系知＜(+]\

a+aqz>aqv22)

aq+a/>a

1a2+b2-c2

（u）由⑴的結論可知:tangtan亨二sinA1—cosC__sinA1—cosC__a2ab

1+cosAsinCsin。1+cosAC1|b2+c2-g2

十2bc

a+c—6a+aq2—aql+q?—q(l+,+q)—2q2q2「「13~V5\

a+c+ba+aq2+aql+q2+q1+Q2+Q1+Q2+Qq+：lL3，2)

故tan告tan亨的取值范圍為優(yōu)).

_______________5'

&(福建省漳州市2025屆高三畢業(yè)班第一次教學質(zhì)■:檢測解析第15題)

在^ABC中,4BC的對邊分別為a,b,c,且滿足.

請在①(a—b)sin(A+C)=(a—c)(sin?l+sin。);②sin(1—C^cos(C+等)=生，這兩個中任選一個

作為條件,補充在橫線上,并解答問題.

⑴求。；

⑵若的面積為5代,。為AC的中點，求BD的最小值.

方法提供與解析：

(1)解析:選擇條件①,(Q—b)sin(A+。)=(a—c)(sinA+sinC),則(a—b)sinB=(a—c)(sin.4+sinC),

由正弦定理可得(a—b)b=(a—c)(a+c),即a2+b2—c2=ab,所以cos。="甘—―=!，由?！?0,兀)，所

2ab2

以C=看.

o

選擇條件②,sin信一。卜(圮(0+,)=；,即sin[y-[y+c)]cos(c+y)=^-,

所以cos2(C+g)=?，

由ce(o,兀)，看<。+看<萼,則cos(c+看)=-所以。+卷=等,則。

OOOJZOOO

(2)解析：由S=}absinC=X—5A/3,解得ab=20.

大玩)=配+出所以42=函+聞丫=二+2配?團+赤

=a'+2ax~bX(—)+(~x~b\=a'+士---->ab—x~o,b—&ab=10,

2'2'\2/4222

所以\BD\>V10,當且僅當a==時等式成立，所以的最小值是，

9.(唐山市2024-2025學年度高三年級摸底考試解析第15題)

已知AABC的內(nèi)角AB,。的對邊分別為a,b,c,V3sm2A+cos2A=2,b=V2a.

⑴求B;

(2)若B為銳角,AC邊上的高為2+n，求A4BC的周長.

方法提供與解析：

(1)解析：易知，jisin2>l+cos2A=2sin(2A+￡)=2=>sin(2A+D=1,

\o''o'

所以2A+]==■+2%兀=/.=￡+/OT(keZ),因為AABC中AB,CC(0㈤，所以人=?，

6266

而b=V2a0sinB=V2sinyl=^~、則B=與或B=.

244

⑵解析:由上可知4=5,8=:，則。=兀一占一:二要，如圖80,47,

646412

則石。=6+弧"8=相,/(78。=若，

所以sinA=nAB—2^/2+2V6,cosZCBD=cos(-y—?)=xx-^-==

AB146/22224

需,則石。=4,40=42，

JDC

所以ZL4BC的周長為C^c^AB+BC+AC^272+276+4+472=6-72+2A/6+4.

10.(山東百師聯(lián)盟2025屆高三開學摸底聯(lián)考解析第15題)_______>

已知AABC的內(nèi)角的對邊分別為Q,b,c,C==ab+6ccosA.

o

⑴求6的值；

(2)若。=，腎,求比4口。的面積.

方法提供與解析：

(1)解析：因為6b=ab+6ccosA,

由正弦定理得6sinB=fesinA+6sinCcosA,即6sin(A+C)=fesinA+6sinCcosA,

可得6sinAcosC+6cos力sin。=bsinA+6sinCcosA,

整理得6sinAcosC=fesinA,因為人G(O,7u),可得sinA#0,所以b=6cosC,又因為C=號,所以b=3.

o

⑵解析：由余弦定理，可得c?=〃+Q?—2abeos看,

O

因為b=3,c=V19,代入得Q2—3Q-10=0,解得Q=5或Q=—2(舍)，

所以bABC的面積S=-^-absinC=4X3X5xsing=工'^^.

2234

11.(2024年9月嘉興市高三基礎測試解析第15題)

已知AABC的內(nèi)角_4,旦。的對邊分別為a,b,c,已知(b+c—a)(b+c+a)=be.

⑴求4

⑵若。為8。邊上一點,/BAD=3ACAD,AC4,AD=通，求sinB.

方法提供與解析：

(1)解析:(b+c—Q)(b+c+Q)=(b+c)2—稼=匕2+2bc+c2—a2=be,則b2+c2—a2=—bc,

所以cos4=合+*2—稼=_q,因為0<4<兀，所以A=娶.

2bc23

⑵解析:：由⑴得,A=娶，因為ABAD=3ZCAD,所以ACAD=?,

在^ACD中,由余弦定理CD2=AD2+AC2-2AD-ACcosADAC^3+16—2代x4x卓=7,

即CD=J7,在A4CD中由正弦定理.歡=2^,即所以或門^二耳，

smZZMCsmCsmC2v7

2

因為故cos。=—sin2。=—4^,在A4BC中

32V7

sinB=sin(A+C)=sinAcos。+cosAsinC=-x―[x.

22v722v77

12.(江西省紅色十校2025屆高三上學期第一次聯(lián)考解析第15題)

已知A48。中，內(nèi)角人,8,。所對的邊分別為a,b,c,且a(l—3cosC)=3ccosA.

(1)求2的值；

a

(2)若c=2,求B最大時^ABC的面積.

方法提供與解析：

⑴解析：因為a(l—3cosC)=3ccosA,由正弦定理得sinA(l—3cosC)=3sinCcosA,

得sinA=3sinAcosC+3cosAsinC=3sin(A+C)=3sinB,由正弦定理得a=3b,所以々=《.

a3

2

⑵解析：由余弦定理得cosB=稼+二――=9。胃*=學+=>2,奪得=乎，當且僅當孕=

2ac12b33oV33D33

1

而'K1

即b=^-時取等號，當cosB取最小值時,8最大，此時a=3b=+弋,c=2,sin_B=Jl-cos28=；,

△ABC的面積為JacsinB=9x與2x2*=澤.

z乙乙o乙

13.(河北省邯鄲市2024-2025學年高三第一次調(diào)研解析第15題)

設N4BC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c,且

(b+a)(sinZABC-sinZBAC)=c(sinZABC-sinC),BC、AC邊上的兩條中線AD,跳;相交于點P.

(1)求ABAC\

⑵若AD=BE=2,cosNDPE=耳，求A4BC的面積.

方法提供與解析：

解析:⑴因為(6+Q)(sinZABC—sinZBAC)=c(sinZABC-sinC),所以由正弦定理得〃+。2—Q2=兒，

由余弦定理得cos/A4C='+：?一斡=^_,又ov/BA?！醇?，

2bc2

所以乙氏4C=專.

O

(2)因為P是BC,AC邊上的兩條中線AD,BE的交點，所以點P是A4B。的重心.

又AD=/,BE=2ZAPB=ADPE,

所以在^ABP中，由余弦定理c2=AB2=B42+PB2-2PA-PBcosAAPB

=(*+(撲2><x4/4,

所以c=2,又BE=2,/歷1。=卷，所以AE=BE=2,所以b=24B=4,

O

所以AABC的面積為x4x2xsin^-=2V3.

乙0

14.(湘豫名校聯(lián)考2024-2025學年新高考適應性調(diào)研考試解析第15S)

在AABC中，角ABC所對的邊分別為a,b,c,已知c=2,6^+c?—〃=■一2cosA)bc.

⑴求b的值;

(2)設/A4c的平分線交于點。，若A4BC的面積為3，^,求線段的長.

方法提供與解析:

⑴解析:在AABC中，由余弦定理得2bccosA=b2+c2—a2,

代入已知條件,得a2+c2-b2=^-bc—(b2+c2—a2).整理，得2c2=-|-bc,所以b=3c=6.

oo

⑵解析：由于S^ABC--^-bcsinZBAC.所以sinZBAC=;ABC_.

2be2

又/歷ICG(O,7r),所以/A4C=5或等.所以sinJ/A4C=J或今，

oo1乙乙

由點。在ABAC的平分線上，知點D到邊AB和邊AC的距離相等.設這個距離為d,則=y(fo+c)d,

所以d=至絲型=224⑤=業(yè)③，所以AD=d

b+c2+64sinyABAC

15.(山東省2024年9月高三七校聯(lián)考解析第15題)

已知銳角A4BC中，角AB,C的對邊分別為Q,b,c,若a—c=2ccosB.

⑴證明:8=2C;

(2)若a=2,求與咨+工的取值范圍.

0C

方法提供與解析：

(1)解析：因為a—c=2ccos_B,由正弦定理得sinA—sinC=2sinCcos_B,

所以sinBcosC+sinCcosB—sinC=2sinCcosB,

所以sinBcosC—sinCcosB=sin。Qsin(B—C)=sinC,

而OVBV兀,0<。<兀，則右一。二?；?一C+C=7L,即6=2?；?=兀(舍去)，故B=2C

0<C<f

⑵解析：因為NABC是銳角三角形，所以,0<2C<f，解得

/64

0〈兀一3。<彳-

所以cosC的取值范圍是<cosC<,

由正弦定理可得=詞呼，則b=包己?c=*咋?c=2cosC-c

csmCsmCsmC

所以c°sC=/所以胃+：3

bc2^

因為a—c=2ccosB,所以2—c=2ccos2C,所以2—c=2ccos2C,所以c=-.....--—―