2024年上海高一數(shù)學(xué)試題分類匯編：期中解答題（第6-7章）（解析版）

專題03期中解答題（第6-7章）

H題型1：誘導(dǎo)公式

一題型2:三角恒等變換

經(jīng)典基礎(chǔ)題——題型3:三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

專題03期中解答題（第6-7章）一題型4:解三角形

一題型5:第6-7章實(shí)際應(yīng)用題

優(yōu)選提升題

|經(jīng)典基礎(chǔ)題|

題型1:誘導(dǎo)公式

4

1.（22?23高一上?安徽合肥?期末）已知cosa=-5并且a是第二象限的角

⑴求sina和tana的值：

3IT

2sin（57i-a）-3sin（------a）

（2）求----------------------的值.

/C\z兀、

COS（-6Z-2兀）-cos（^z）

33

【答案】⑴彳，--

54

【分析】（1）根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求解;

（2）根據(jù)誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)，再由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求解.

4

【解析】（1）Qcosa=-二，并且。是第二象限的角,

/.sina=A/1-cos2a=—,

5

sina3

tana=------=——.

cosa4

2sin(57i-6Z)-3sin------a3.。

,、[2J2sma+3cosa

(2)z:

(c、(7iicosa-sma

cos(-a-2兀)-cosIa--\

_2tana+3

l-tana

二+3￡

=，—=6

一下丁

4

2.(22?23高一上廣東深圳?期末)解決下列問(wèn)題：

sina—2cos(一二)

(1)已知./-7—:-------=-6,求tana值.

-3sin(—a)+5cosa

(2)已知一兀<x<0,sinx+cosx=—,求sinx-cosx的值.

6

【答案】⑴-二

⑵-名

6

sino-2cos(一。),sina—2cosa,leesma-

【分析】(1)由誘導(dǎo)公式=一6=--------------------=-6,后利用tana=-------可

一3sin(-a)+5cosa3sina+5cosacosa

得答案;

(2)將sinx+cos%=」平方后，可得sinxcosx,結(jié)合-兀<%<0,可判斷sinx—cosx符號(hào)，平方后

6

可得答案.

■[解析Ml)由?誘導(dǎo)公八式m，_s3isnma(—-2ac)o+s:(—ca)Jj=3ssinmaa—+25cco°ssaa「

「sina?tana-2

又tana=-------,則-3

cosa3tana+519

(2)因sinx+cosx=—

6

35

則sin2x+cos2x+2sinxcosx=—=>sinxcosx

3672

即sinx,cosx一正一負(fù)，又一兀<x<0,貝！Jcosx>0>sinx,

EPsinx-cosx<O.X(sinx-cosx?「2sinsJ,

36

貝!Jsinx-cosx=

6

3.(2223高一下?上海嘉定?期中)解答下列問(wèn)題：

(1)化簡(jiǎn)2sin(7r-a)cosg+a)sing-c)cosg-a)

sin(兀+a)COS(JI+功

3

⑵在AABC中，若sin/+cos/=—,求cos/—sin/的值.

【答案】(1)sina；

⑵一回,

5

【分析】(1)利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)即可；

(2)將sinZ+cos/=-，兩邊平方得2sin/cos4=-----<0,從而可得

525

sin/>0,cos4<0,cos/-sin/<0,再由cos/-sin<=-J(cos/-sin/)2,求解即可.

/“、52sina(-sina)cosasina八.

【解析】(1)解：原式二------------+---------=2sma—sma=sina；

一sina—cosa

Q1zS

(2)解：將sinZ+cosZ=—,兩邊平方得2sin/cos/=-----<0,

525

0<A<Tt,

sinA>0,/.cosA<0,cos/一sin4<0,

/.cos/-sin4=-J(cos/-sin4)2=-Jl-2sin/cos/=,

4.(23?24高三上?上海長(zhǎng)寧?期中)設(shè)/(x)=J5tam-1+-2colx.

⑴若。，夕都是銳角，且滿足sin(e+e)=cos(e-e),求證：。和夕中至少有一個(gè)是方程y(x)=3的解;

(2)求方程f(X)=3在區(qū)間［0,2兀)上的解集.

【答案】(1)證明見(jiàn)解析；

⑵號(hào)苧?

【分析】（1）令tanx=￡,構(gòu)造函數(shù)g⑺=a=T+,借助單調(diào)性求出g（。=3的解，再由給定

等式求出?；颉＜纯赏评淼媒?

（2）由（1）的信息，求出/（x）=3在［0,2兀）上的解集.

222

【解析】(1)令tanx=%,函數(shù)g?)=J5/-1+3—，由夕―120,且3—>0,得，

tt3

顯然函數(shù)尸G與廣，3一在g,+8）上都單調(diào)遞增，因此函數(shù)g⑺在G"上單調(diào)遞增,

而g⑴=3,即方程g（。=3的解為1=1,則方程f（x）=3中tanx=l,

由sin（9+e）=cos（9_e）,得cos［（9+o）一曰=cos（6-9）,

由49都是銳角，得一<（6+9）-5<］，-

JTTTTTTT

于是（6+0）——或（6+/）——=—（0—（p）,解得夕=_或9=:，即有tan9=l或tan0=l,

2244

因此/⑹=3或f（（p）=3,所以。和。中至少有一個(gè)是方程/⑺=3的解.

（2）由（1）知，當(dāng)/（x）=3時(shí)，tanx=l,而不￡［0,2兀），解得1或%=當(dāng)"，

所以方程小）=3在區(qū)間［0,271）上的解集是｛：苧.

1m

5.（2021高一下?上海黃浦?期中）（1）是否存在實(shí)數(shù)，使比,使sinx=——,cosx=——,且x

1-mm-1

是第二象限角？若存在，請(qǐng)求出實(shí)數(shù)相；若不存在，情說(shuō)明理由.

（2）若xe0,—,sinxcosx=—,求------H-------------的值.

_2J21+sinx1+cosA：

【答案】（1）不存在，理由見(jiàn)解析；（2）4-2e

【分析】（1）假設(shè)存在實(shí)數(shù)加，根據(jù)X是第二象限角，可得sinx>0、cosx<0求出參數(shù)〃，的取值范

圍，再根據(jù)平方關(guān)系求出參數(shù)加的值，得出矛盾，即可說(shuō)明；

（2）首先求出sinx+cos無(wú)，再通分計(jì)算可得.

1m

【解析】解：（1）假設(shè)存在實(shí)數(shù)加，使sinx=-------,cosx=--------,

l-mm-1

因?yàn)閤是第二象限角，

jm

所以sinx=------->0,cosx=--------<0,解得0<相<1,

l-mm-1

又sin2x+cos2x=1,即1—--］+（加］=1,解得加=0,

一加）\rn-l）

與0〈冽<1矛盾，故不存在實(shí)數(shù)加滿足題意；

冗

(2)因?yàn)?,y,所以sinx+cosx>0,

v(sinx+cosx)2=l+2sinxcosx=2,

/.sinx+cosx=V2?

111+cosx1+sinx

-----1-----=-------------1-------------

1+sinx1+cosx(1+sinx)(l+cosx)(1+sinx)(l+cosx)

2+sinx+cosx2+V24？萬(wàn)

1+sinx+cosx+sinxcosx|++J_

2

題型2：三角恒等變換

4

6.（23?24高三上?上海浦東新?期中）已知角a和尸滿足cosa+cos/7=-§.

(1)若￡=2tz,求cosa的值:

TT

（2）右/=。+萬(wàn)，求sin2a的值.

【答案】（l）cosa=：或-J

36

哺

【分析】（1）利用二倍角的余弦公式求出2cos2a+cosa-'1=0,求出cosa的值;

4

（2）利用誘導(dǎo)公式得到cosa-sina=-5,平方后結(jié)合二倍角的正弦公式求出答案.

4

【解析】（1）因?yàn)橄?2a,cosa+cos/3=--,

4/4

所以cosa+cos2a=,可得cosa+(2cos2a-

9

即2cos2a+cosa-』=0,解得35。='或一*.

936

(2)因?yàn)??=a+^71,故cosa+cosla+l4

23'

cos-sin6Z=,即(cosa-sinaf=捺

故cos2a-2sinacosa+sin2a=1-sin2cr=—,

81

故sin2a=1-3=竺

8181

7.（22?23高一下?上海松江?期中）（1）已知sina+cosa=g,求sin2a的值;

(2)證明恒等式：sin("+P,=tana+tan/?.

cosacosp

24

【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析

【分析】（1）兩邊平方后，根據(jù)同角公式和二倍角的正弦公式可得結(jié)果;

（2）根據(jù)兩角和的正弦公式和同角公式可證等式成立.

121

【解析】(1)由sini+cosa=《，得(sina+coso)=—

得sin2a+2sinacosa+cos2a=-

25

124

得sin2a=-----1=------

2525

sinacos0+cosasin0

(2)證明：左邊二-tana+tan/3=右邊.

cosacosB

3710

8.(22?23高一下?上海靜安?期中)已知a,，為銳角，cosa=~~~Jsin/?=

10

(1)求sin(a-￡)的值;

(2)求a-〃的值.

(1)

【答案】4

(2)號(hào)

【分析】(1)利用同角三角函數(shù)的平方關(guān)系求得sina,cos廣，然后算出sin(a-4)的值;

(2)結(jié)合cosa=35>也3V10百,-/?1,即可求出a一4

，sin/3=---->----,可得C

52102

的值.

?77

【解析】(1)為銳角，COS6Z=------，且si/a+cos2a=1,「?sina

55

3M

P為銳角，sin￡=，且sin?S+cos?，=1,cosB=?

1010

證而2至3V10亞

'?sin(a-〃)=sinacos力一cosasin/=-------X-------------------------X----------

5105102

(2)因?yàn)閍,，為銳角，cosa=2?＞，3,所以ae[o譚J,

52

sin〃=W0>@,所以兀71兀兀

1023'223

兀71

所以a-/e

23

9.(2223高一下?上海?期中)如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，銳角a、￡的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)。

重合，始邊與x軸的正半軸重合，它們的終邊與單位圓分別交于/、8兩點(diǎn)，已知/、2兩點(diǎn)的橫坐

標(biāo)分別為和辿.

105

(1)求sina,sin尸的值.

⑵求sin(a+20,cos(a+2/)的值.

【答案】(1)sina=,sinp-.

105

歷歷

(2)sin(a+2/?)=,cos(a+2/?)=———?

【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用三角函數(shù)定義求出cos?cos4,再利用平方關(guān)系求解作答.

（2）利用（1）的結(jié)論，利用二倍角的正余弦公式、和角的正余弦公式求解作答.

【解析】（1）依題意，cosa=走,cos夕=型，而為銳角,

105

(2)由(1)矢口，cosa=cosB=2亞，sina=7收，sin/}=

105105

于是sin24=2sin/?cos尸=2乂。乂竽=cos2^^2cos24—1=2x管了—1=：,

7收3逝46

所以sin(a+2￡)=sinacos24+cosasin第二-------x—H-------x—=-----

1051052

V237A/24也

cos(a+2/7)=cosacos2/?-sinasin2/?=—x-------x—

105105~T

10.（2223高一下?上海浦東新?期中）三角比內(nèi)容豐富，公式很多.若仔細(xì)觀察、大膽猜想、科學(xué)

求證，你也能發(fā)現(xiàn)其中的一些奧秘.現(xiàn)有如下兩個(gè)恒等式:

cos2°cos88°rrcos5°cos85°后

(1)--------+----------=J2；(2)---------+----------=J2.

sin47°sinl33°sin50°sinl30°

根據(jù)以上恒等式，請(qǐng)你猜想出一個(gè)一般性的結(jié)論并證明.

cos(90°-a

.5仝cosa

【合案］sm"+a=42,證明見(jiàn)詳解.

sin(135。-a

【分析】觀察結(jié)構(gòu)猜想等式，利用三角恒等變換證明即可.

【解析】猜想.葭：一，二

sin(45+aj1s+in1"13;5;-aJ

證明：由誘導(dǎo)公式可得cos(90°一a)=sina,sin(135°一a)=sin(45°+a),

~…cosacos(9°-a\sin。+coscrsina+cosarr

所以-7---------7+-7------4=-7----------b----------------------------------=V2

sin(45°+6Z)sin(135°-ajsin(45°+a)sinacos45。+cosasin45。

題型3：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

11.(20?21高一下?上海浦東新?期中)求函數(shù)y=sinx+6cosx的最小正周期與單調(diào)增區(qū)間.

57TJT

【答案】最小正周期7=2兀；單調(diào)增區(qū)間為2kn--,2kn+-依eZ).

_O0J

【分析】首先利用輔助角公式化簡(jiǎn)函數(shù)解析式，再利用正弦函數(shù)的周期公式以及單調(diào)增區(qū)間即可求

解.

【解析】y=sinx+百cosx=2sin(x+,

所以最小正周期7=寧=2兀，

由2析一5Wx+gW2E+^■(左GZ)

角牟得：2k7t-^<x<2kn+^kGZ)

因此函數(shù)y=sinx+A/^COSX單調(diào)增區(qū)間為2左?！?2A;7i+—化￡Z).

66

12.(20?21高一下?上海浦東新?期中)已知函數(shù)/(x)=2V^sinxcosx+2cos2%-1.

(1)求/(x)的最小正周期及/⑴的最小值；

(2)將函數(shù)/(')的圖像上的所有點(diǎn)縱坐標(biāo)保持不變，橫坐標(biāo)變化至原來(lái)的得到g(x)的圖像，

求g(x)的嚴(yán)格增區(qū)間.

【答案】⑴T=兀，/(%濡=-2；(2)-？+耳,強(qiáng)+肆(左￡Z).

_o2122

【分析】(1)結(jié)合降幕公式以及輔助角公式化簡(jiǎn)函數(shù)解析式，再結(jié)合周期公式即可求出最小正周期,

結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可求出最小值；

(2)先根據(jù)平移變換求出g。)的解析式，進(jìn)而結(jié)合函數(shù)y=sinx的單調(diào)性，整體代入法解不等式即

可求出結(jié)果.

【解析】(1)因?yàn)?(%)=2百sinxcosx+2cos2%-1

=A^sin2x+cos2x

=2sin(2x+￡j,

所以/(X)的最小正周期7=合27r="；

當(dāng)sin(2x+^|=-l時(shí)，/(x)min=-2；

(2)由題意可知g(x)=2sin]4x+?,

因?yàn)閂=sinx在--+2^,—+2kn(左￡Z)上單調(diào)遞增，

I，(TC_,.7171_./.?\口口71k/CTCk/C/,?\

所以--+2k7i<4x+—<―卜2k兀(keZ),即-+——<x<——F——(keZ),

262v762122v7

所以g(x)的嚴(yán)格增區(qū)間z)

_62122

13.(2023?上海寶山?二模)已知函數(shù)/(x)=sinxcosx-百co函x+-^.

(1)求函數(shù)>=[(力的最小正周期和單調(diào)區(qū)間；

(2)若關(guān)于x的方程/(可-加=0在xe0看上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍.

【答案】(1)最小正周期7=兀；單調(diào)遞增區(qū)間為阮-春水兀+^ReZ)；單調(diào)遞減區(qū)間為

75兀711乃1/7

KUH----,KUH-------(左￡Z).

1212v7

【分析】(1)利用降塞公式和輔助角公式化簡(jiǎn)函數(shù)解析式，用周期公式求周期，整體代入法求函數(shù)

單調(diào)區(qū)間；

(2)由區(qū)間內(nèi)函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)值的變化范圍求解實(shí)數(shù)加的取值范圍.

【解析】(1)/(x)=sinxcosx-6cos2xH------=—sin2x------cos2x=sin

222

則函數(shù)>=/(、)的最小正周期丁=|=兀；

令2左兀一5(2x-gW2左兀+'1■(左￡Z),解得k7i-^<x<A;TI+GZ),

可得函數(shù)V=/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為E哈左兀+吉(^eZ).

令2左兀+^W02左兀+g(左￡Z),角軍得左兀+工W%W析+^^■(左￡Z),

可得因數(shù)y=1（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為kn+—,lai+—（左eZ）；

（2）由（1）可知，時(shí)，片/卜）在、噂]上單調(diào)遞增，在垓,M上單調(diào)遞減，

_2」L12」1_122_

當(dāng)年，2^_16，/（x）由-手增大到1,

當(dāng)xe的,"Zxqjqf],〃x）由1減小至聲，

若關(guān)于X的方程/（x）-/M=O在xjo,，上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)加的取值范圍為等,11

14.（22?23高三上?上海徐匯?期中）已知/（x）=2Gsinxcosx-2sin2x.

⑴求函數(shù)了=仆）在xe-患上的嚴(yán)格增區(qū)間；

（2）將函數(shù)y=/（x）的圖像向左平移〃小">0）個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位，待到函數(shù)了=8（力的圖

像，若函數(shù)y=g（x）的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，求加+〃的最小值.

【答案】（1）12工

66

【分析】（1）利用三角函數(shù)恒等變化得到/（x）=2sin[2x+^J-1,利用整體法求解出函數(shù)的單調(diào)遞

增區(qū)間，得到答案；

（2）先求出g（x）的解析式，得到〃=0,由對(duì)稱性得到〃?=-1|+學(xué)上"，得到用的最小值，求

出答案.

【解析】(1)/(x)=26sinxcosx-2sin。x=V^sin2無(wú)+cos2x-1=2sin(2x+己]-1,

._..兀兀ll>7T7157r

因?yàn)閄G,所以21+工￡-y--,

63J6|_665_

因?yàn)榱?sinz在ze上單調(diào)遞增，所以2x+[e￡，

_o2」O|_O2_

解得：xe'g],

_66

故函數(shù)y=/(x)在xJ-J,?]上的嚴(yán)格增區(qū)間為1-9，三；

_O3J|_Oo_

(2)g(%)=2sin2%+2m+—,

y=g(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，故〃=o,

c.Ac兀c兀、c.Ac5兀1八

2sin2x—+2m+—=2sm2mH----=0,

I36)I6J

..57r,ATIzt=i5兀kit,

故2冽d----=kn,k7GZ,解得：m=-----1----，左cZ,

6122

jr

因?yàn)橘?,所以當(dāng)左=1時(shí)，m=一取得取小值，

12

故冽+〃的最小值為j

15.(22-23高一下?上海浦東新?期中)已知函數(shù)/(%)=2cos2x+2VJsinxcosx-1.

⑴把/(%)表示為然皿3+9)(/＞0皿＞0,0＜。＜兀)的形式，并寫出函數(shù)＞=/(%)的振幅和初始相

位;

(2)求函數(shù)y=f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；

ITTTJ3

⑶記函數(shù)了=/(力在xe::上的值域?yàn)?,若F3au4(a＞0),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

2

7T

【答案】⑴振幅為2,初始相位為二；

0

,、T兀7兀

(2)kit--,kjiH—,kGZ；

|_36_

⑶嗚

【分析】(1)利用二倍角公式以及兩角和的正弦公式恒等變形即可求解;

(2)利用整體法求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間;

(3)利用函數(shù)單調(diào)性求出v=/(x)的值域，再利用集合之間的關(guān)系求解即可.

【解析】(1)/(x)=2cos2X+2A/3sinxcosx-1=cos2x+A^sin2x=2sin^2x+

由此可知y=f(x)的振幅為2,初始相位為g

o

,兀兀兀

(2)令'2kliW2xH—W2kjtT—,左eZ,

262

兀71

解得kitKxVkuH—,左￡Z,

36

則函數(shù)y=f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為施4制+己,keZ；

(3)因?yàn)閤e一苦,所以心+樂(lè)［-?,科，

ITTTIT7IT

因?yàn)楹瘮?shù)歹=$吊/在區(qū)間上單調(diào)遞增，在-,y上單調(diào)遞減,

所以/（x）max=2S嗚=2,/卜）,3=25?3=-瓦

-V3<--a

-312

又因?yàn)橐唬荨?3a［卜6,2］,(°>0),所以,3aV2

a>0

2

解得0<a<—f

即實(shí)數(shù)。的取值范圍為（o,g.

16.（21-22高一下?上海徐匯?期中）已知函數(shù)/（x）=sin（0x+N）（。>0,0〈夕靈兀）的最小正周期為兀,

圖像的一個(gè)對(duì)稱中心為（4,0）,將函數(shù)〃x）圖像上的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍（縱坐標(biāo)不

4

7T

變），再將所得圖像向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)g（尤）的圖像.

⑴求函數(shù)/（X）與g（x）的解析式；

（2）當(dāng)心1,求實(shí)數(shù)。與正整數(shù)〃,使尸（x）=/（x）-ag（x）在（0,"兀）恰有2021個(gè)零點(diǎn).

【答案】(l)/(x)=cos2x,g(x)=sinx

(2)a=1,n=1347.

【分析】⑴根據(jù)函數(shù)圖象的變關(guān)系直接求解；

⑵轉(zhuǎn)化為方程Zsin?x+asinx-l=0有2021個(gè)根，根據(jù)奇數(shù)個(gè)根可得其中一個(gè)根必為sinx=-1或1,

分類討論求解.

2兀

【解析】（1）T=TI=—=>2,

co

當(dāng)％=:時(shí)，sin（5+o]=0n]+9=左兀（左￡Z）,

7C

因?yàn)?<夕<兀，取0=5,

n/（x）=sin（2x+3=cos2x,

將函數(shù)〃x）圖像上的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍（縱坐標(biāo)不變），

7T

可得函數(shù)〉=。。$工，再將所得圖像向右平移:個(gè)單位長(zhǎng)度后，

g(x)=cos[x-=sinx,

(2)由(1)F(x)=cos2x-asmx=-2sin2x-(2sinx+1,XE(O,〃兀)

2sin2x+asinx—1=0,

不妨設(shè)sinx=%或sinx=G&w/2)，顯然4"。/2"0

若sinxe(-1,1),則P(x)在(0,"兀)上必有偶數(shù)個(gè)零點(diǎn),

所以中至少有一個(gè)為1或-1,

不妨設(shè)sinx=。=1或T,

當(dāng)4=1,貝3=一1(舍)；

當(dāng)％=-1,貝Ua=ln%=g,

此時(shí)尸(x)在(0,2兀)上有3個(gè)零點(diǎn)，

又2021=673x3+2=〃兀=673x2兀+兀=1347兀,

即"1347,

綜上所述，。=1,〃=1347.

17.(2L22高一下?上海長(zhǎng)寧?期中)已知函數(shù)/(%)=百sin2x-Zsil?》.

⑴求了(x)的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；

(2)若尤e,求〃x)的最小值及取得最小值時(shí)對(duì)應(yīng)的x的取值.

jrjr

【答案】(1)最小正周期為不單調(diào)遞增區(qū)間為-丁+0，/+0,(keZ)

36

(2)/(x)的最小值為-3,此時(shí)x=g

【分析】(1)利用三角恒等變換和輔助角公式化簡(jiǎn)，再利用周期公式和整體代換法即可求解;

(2)利用(1)的結(jié)論，根據(jù)整體代換法求出最小值及取得最小值時(shí)對(duì)應(yīng)的x的取值即可.

【解析】(1)依題意得:

/(x)=V3sin2x-2sin2x=V3sin2x+cos2x-1=2sin2x+--1

6

27^0■7T/\

'*=冏，？=春=萬(wàn)'/(x)的最小正周期為萬(wàn);

71j兀11r

由---F2k兀<2xd——<——b2左匹左￡Z得:——\-K7T<X<——FK7V,左￡Z

26236

7C.71.

\/(X)單調(diào)遞增區(qū)間為:-------Fklj-Fk7l，伍eZ)

36

7171c71715〃2戈+看卜[一1,1]

(2)vxe,：.2x-\——G----,----sin

626

2sin12x+?

-1G[-3,1]

BP：盤(司=-3,此時(shí)x=g

18.(21?22高一下?上海楊浦■期中)已知函數(shù)/(x)=/sin(<ar+e),>O,0>O，Ew4的圖像如圖.

⑴根據(jù)圖像，求/(力的表達(dá)式及嚴(yán)格增區(qū)間;

(2)將函數(shù)y=/(x)的圖像向右平移5個(gè)單位長(zhǎng)度得到曲線C,把C上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)保持不變，縱坐

標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍得到g(x)的圖像，且關(guān)于x的方程g(x)-"?=0在0,|上有解，求加的取值范

圍.

【答案】⑴/(x)=sin(2x+；],增區(qū)間為-1|+for*+航，左eZ；

⑵卜1,2].

【分析】(1)由函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)求出N,由周期求出。，由五點(diǎn)法作圖求出夕的值，從而可

得函數(shù)/(x)的解析式，再利用正弦函數(shù)的單調(diào)性，即可求解〃x)的單調(diào)遞增區(qū)間.

(2)利用函數(shù)歹=然皿如+。)的圖象變換規(guī)律，得到g(x)的解析式，根據(jù)正弦函數(shù)的定義域和值域,

即可求得用的范圍.

【解析】(1)根據(jù)函數(shù)/a)=/sin(0x+°)(4>O,。>0,|夕|?/)的圖象，可得/=1,

j1"27=r三TC-三71,所以0=2,〃x)=sin(2x+o),

4。312

TTTT

由五點(diǎn)法作圖，可得2x3+9=1,

：.▽=%,故/(%)=sin(2x+10,

*_.71_7T__TC、/口57r,TT,

令*2kTV----?2xH—*2kjiH—,-------Fk/c9x?—Fkji,keZ,

2321212

57r7i

/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間—不~+左犯五+左力，keZ.

(2)將函數(shù)了=f(x)的圖象向右平移§個(gè)單位長(zhǎng)度得到曲線C:y=sin,x-。的圖象，

把C上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)保持不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍得到g(x)=2sin，x-力的圖象,

由g(x)-冽=0在0,[上有解，即加=2sin(2x-/1在0,[上有解，

_2JI12_

nq、/c兀、兀冗5冗

因?yàn)閄E0,—，2x--e,

_2」666_

所以2sin(2x--)e[-1,2],

6

所以加的取值范圍為[-1,2].

題型4：解三角形

19.(2223高一下?上海嘉定?期中)在AA8C中，tz=13,6=14,c=15.

(1)求cos/;

⑵求AABC的面積S.

3

【答案】(1)(

(2)84

【分析】(1)根據(jù)余弦定理即可求解；

4

(2)由(1)可求得sinN=1,再根據(jù)三角形的面積公式即可求解.

【解析】(1)由題意可知，a=13,Z>=14,c=15,

根據(jù)余弦定理可得COS/="+/—"2="+152-132=｝；

2bc2x14x155

3,

(2)由(1)可知，cosA=-f又因?yàn)?<4<兀，

114

所以AABC的面積S=—besin4=—x14x15x—=84.

225

20.(23?24高三上?上海?期中)在中，角A,5,。所對(duì)的邊分別為。，b,。，b=顯,B=^.

(1)若〃=2,求siM的值；

⑵zUBC的面積等于百，求a的值.

【答案】⑴也；

2

(2)a=V2或q=2^/2?

【分析】(1)根據(jù)給定條件，利用正弦定理求解即得.

(2)利用三角形面積公式、余弦定理列出方程組求解即得.

【解析】(1)在中，由正弦定理一丁，得.,asinBV|,

sinAsinBsmA=--

b~2

所以si向的值是1

2

(2)由AASC的面積等于6,得S詆=、acsinB=^~ac=出，解得〃c=4,

24

由余弦定理/=/+/-2accosB,得/+/一〃c=6,即〃2+02=]0,

解得a=2^2,c=V2或。=V2,c=2^/2，

所以Q=V2或Q=2-\/2-

2L(22?23高一下?上海青浦?期中)在△ZBC中，角4,B,。所對(duì)的邊為a,b,c

⑴若sin28二百sin8,求N8;

(2)若。=2bcosC,試判斷△45C的形狀.

【答案】⑴8=￡

6

⑵△NBC是等腰三角形

【分析】(1)由二倍角正弦公式及三角形內(nèi)角的性質(zhì)可得cosB=",進(jìn)而確定其大小;

2

(2)由余弦邊角關(guān)系可得°="一,整理化簡(jiǎn)即可確定形狀.

a

-Ji

【解析】(1)由sin28二2sin5cos8=/sin3,而sin5〉0,故cosB=----，

2

又3e(0,7t),故B=j

〃2_|_序_2〃2后_2

(2)a=2bcosC=2bx--------------=----------------，i^b2-c2=0,即b=c,

2aba

所以△4臺(tái)。是等腰三角形.

22.(22?23高三上?上海靜安?期中)已知的周長(zhǎng)為y/2+1,Msin5+sinC=V2sinA-

⑴求的長(zhǎng)；

⑵若的面積為!sin/,求角A的值.

o

【答案】⑴1

嗚

【分析】（1）根據(jù)正弦定理邊角互化得/。+/8=同（?，又"BC的周長(zhǎng)為夜+1，即可求邊8C的

長(zhǎng)；

（2）根據(jù)。8C的面積為,sin/=1/CxZ8xsin/,可得NCxNB的值，再利用余弦定理即可求A.

62

【解析】（1）解：根據(jù)題意由正弦定理得/C+/5=C8C，

因?yàn)锳8+8C+/C=Vi+l，

所以7i8C+8C=V^+l，解得3c=1.

（2）解：因?yàn)镾"BC='x/Cx/3xsin/=工sin/,

26

所以4Cx/B=；,又AC+4B=母,

,AC2+AB2-BC2（AC+AB^-2ACXAB-BC21

由余弦定理得cosA=-----------------------=--------------------------------------=-,

2義ACxAB2義AC義AB2

又因?yàn)閆￡（0,兀），所以/=?

23.（9.10高三?遼寧沈陽(yáng)?階段練習(xí)）在“3C中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為。、6、。，且cos/=；.

（1）求sin?'；0+cos2/的值；

（2）若“=百，求6c的最大值.

【答案】⑴-g

（2）1

【分析】（1）把所求的式子利用二倍角的余弦函數(shù)公式及三角形的內(nèi)角和定理化簡(jiǎn)后，得到一個(gè)關(guān)

于COS4的關(guān)系式，把COS/的值代入即可求出值;

7

(2)根據(jù)余弦定理表示出cos/,然后把等式變?yōu)?兒=〃+/-/,利用基本不等式和。的值即可求

出6c的最大值.

【解析】(1)解：因?yàn)閟in?"C+cos2/

2

1

=-[l-cos(B+C)]+(2cos29A-l)

1,

=—(1+cosA)+(2cos2A-l)

11、2八

=—(1+—)+z(—1)

239

=~9；

(2)解：根據(jù)余弦定理可知：?=COS4=JL,

2bc3

2

一be-+c?—/>2bc—an,

3

又「a—A/3，BP—be>2bc-3,

93Q9

???bc<^~,當(dāng)且僅當(dāng)6=c=；時(shí)，bc=j故兒的最大值是1.

4244

24.(23?24高三上?上海?期中)已知的內(nèi)角4、B、。所對(duì)的邊分別為Q、b、c,面積為S.

⑴若3=150。，sin/+百sinC=注，求C;

2

(2)若(a+6)(sin4—sin8)=(c-Z))sinC,a=3,求S的最大值.

【答案】（1）。=15。

（2）5=—

4

【分析】（1）由誘導(dǎo)公式、兩角和差公式的正弦公式以及輔助角公式進(jìn)行運(yùn)算即可求解.

（2）由余弦定理邊角互化先求出/=；,結(jié)合a=3以及基本不等式可以求出6c的最大值，最后由三

角形面積公式即可求解.

【解析】(1)因?yàn)閟inZ+6sinC=,

2

所以sin(B+C)+6sinC=,即sin5cosC+cos5sinC+百sinC=—^~

因?yàn)锽=150°,所以」cosC-左sinC+6sinC=，

222

即^-sinC+—cosC=,即sin（C+30°）=^~,

222v72

因?yàn)?°<C<30°,即30°<C+30°<60°,所以。+30°=45°,

所以。=15。.

（2）因?yàn)椋?+6）（5吊4-5由5）=（0-6”11。,

所以（Q+6）（Q—6）=（c—b）c,