《電磁場與電磁波 》課件第8章

第8章導行電磁波8.1引言

8.2規(guī)則導行系統(tǒng)的導波方程及其求解方法8.3導行波的一般傳輸特性

8.1

引言

波導的主要功能有：①無輻射損耗地引導電磁波沿其軸向行進，將能量從一處傳輸至另一處，其稱之為饋線；②設(shè)計構(gòu)成各種微波電路的元件，如濾波器、阻抗變換器、定向耦合器等。波導包括雙導體系統(tǒng)、單導體系統(tǒng)和介質(zhì)導行系統(tǒng)等，但在習慣上，往往對不同形式的波導賦予一些專有的名稱，如圖8－1所示。按結(jié)構(gòu)不同把雙導體系統(tǒng)分別稱為平行雙線傳輸線、同軸線、帶狀線及微帶等；把空心金屬管的單導體系統(tǒng)，按其截面形狀分別稱為矩形波導、圓形波導、脊形波導和橢圓波導等；而把介質(zhì)導行系統(tǒng)又分別稱為介質(zhì)波導、鏡像線和單根表面波傳輸線等。

圖8-1導行系統(tǒng)種類(1)雙導體系統(tǒng)；（2）單導體系統(tǒng)；（3）介質(zhì)導行系統(tǒng)（a）平行雙線傳輸線；（b）同軸線；（c）帶狀線；（d）微帶；（e）矩形波導；（f）圓形波導；（g）脊形波導；（h）橢圓波導；（i）介質(zhì)波導；（j）鏡像線；（k）單根表面波傳輸線

8.2規(guī)則導行系統(tǒng)的導波方程及其求解方法

8.2.1導波方程圖8-2所示的是任意截面形狀的規(guī)則波導，為了求解簡單起見，作如下假設(shè)：（1）波導內(nèi)壁的電導率為無限大。（2）波導內(nèi)的介質(zhì)（μ，ε）是均勻無耗、線性、各向同性的。（3）波導內(nèi)無自由電荷和傳導電流，即波導遠離波源。

又設(shè)導行波的電場和磁場為時諧場，它們滿足如下麥克斯韋方程：

（8-1）

（8-2）

（8-3）

（8-4）

式中，ε和μ分別為介質(zhì)的介電常數(shù)和磁導率，ω為角頻率。

圖8-2導行波沿規(guī)則波導傳播

將式（8-2）兩邊取旋度，并將式（8-1）代入，得到

應(yīng)用矢量公式

及式（8-4），得到

（8-5）

同理可得

（8-6）

式中，k2=ω2με。式（8-5）和式（8-6）分別稱為電場E和磁場H的波動方程，也稱為齊次亥姆霍茲方程。8.2.2縱向場所滿足的導波方程為求解式（8-5）和式（8-6），需要將矢量方程化為標量一維常微分方程，然后用分離變量法求解。對于圖8-2所示的規(guī)則柱形波導，應(yīng)采用廣義柱坐標系（u,v,z）。設(shè)導波沿波導軸向（+z方向）傳播，波動因子為e-jβz（若考慮導體和介質(zhì)損耗，則波動因子為e-γz，γ為傳播常數(shù)，其值為α+jβ），β為相位因數(shù)。根據(jù)假設(shè)，規(guī)則波導是無限長直波導，其截面形狀與z無關(guān)，因此，橫向坐標度量系數(shù)h1和h2與z無關(guān)，其坐標度量系數(shù)滿足如下條件：

或

哈密頓算子▽、拉普拉斯算子▽2和電場E、磁場H可以表示成

（8-7）

（8-8）

（8-9）

（8-10）

角標T表示橫向分量。將式（8-7）、式（8-9）和式（8-10）代入式（8-1）和式（8-2），展開后令方程兩邊的橫向分量和縱向分量分別相等，得到

（8-11a）

（8-11b）

（8-12a）

（8-12b）

對式（8-12a）進行▽T×運算，得到

（8-13）

應(yīng)用矢量公式

（8-14）

及方程（8-4），式（8-13）的左邊得到

再次應(yīng)用矢量公式（8-14）及式（8-11b）和式(8-12b)，式（8-13）的右邊得到

則式（8-13）現(xiàn)在變成

（8-15）即得到導波的橫向電場所滿足的波動方程：

（8-16）同理，可得到導波的橫向磁場所滿足的波動方程：

（8-17）

式（8-16）和式（8-17）為矢量亥姆霍茲方程。將方程（8-5）的左邊展開，并應(yīng)用式（8-16），得到

即得到導波的縱向電場所滿足的波動方程：

（8-18）

同理，可得到導波的橫向磁場所滿足的波動方程：

（8-19）

式（8-18）和式（8-19）是標量亥姆霍茲方程。將式（8-8）代入式（8-18）和式（8-19），得到

即

（8-20）

式中

（8-21）8.2.3邊界條件規(guī)則波導中的導波場應(yīng)該滿足理想導體邊界條件，即要求在理想導體表面上電場的切向分量和磁場的法向分量應(yīng)等于零。在具體求解時，根據(jù)導波的模式只需使用其中一個條件就夠了，即要求

（8-22）

或者

（8-23）

式中en為波導壁內(nèi)法向單位矢量。

8.2.4橫向場與縱向場之間的關(guān)系

將式（8-1）和式（8-2）在廣義柱坐標系展開后分別得到

和

經(jīng)替換整理，并將代入得到

（8-24a）

寫成矩陣形式為

（8-24b）

式（8-24）即為用縱向場Ez和Hz表示橫向場分量的表達式，只要知道了Ez或/和Hz，就可由此式求出導波的橫向場分量。8.2.5規(guī)則波導中導波的種類導波是在規(guī)則波導中傳輸?shù)碾姶挪ǎ哂胁煌哪Ｊ?，稱為導模（guidedmode），又稱為傳輸模、正規(guī)模，是能夠沿導行系統(tǒng)獨立存在的場型，其特點是：①在導行系統(tǒng)橫截面上的電磁場呈駐波分布，且是完全確定的，這一分布與頻率無關(guān)，并與橫截面在導行系統(tǒng)上的位置無關(guān)；②導模是離散的，具有離散譜，當工作頻率一定時，每個導模具有唯一的傳播常數(shù)；③導模之間相互正交，彼此獨立，互不耦合；④具有截止特性，截止條件和截止波長因?qū)邢到y(tǒng)和模式而異。

滿足式（8-21）的傳輸模，按其有無縱向場分量Ez和Hz分為以下三類：（1）Ez=0和Hz=0的導模稱為橫電磁模，記為TEM模。這種模只能存在于雙導體或多導體導行系統(tǒng)中。由式（8-24）可知，此時k2c=0，即β2=k2，則（8-25）

表明TEM模沿軸向傳播的相速度vp與同一介質(zhì)中平面波的速度v相等。

（2）Ez=0而Hz≠0的導模稱為橫電?；虼拍＃洖門E?；騂模；Hz=0，而Ez≠0的導模稱為橫磁模或電模，記為TM模或E模。因為空心金屬波導管中只能傳輸這類模式，所以也將它們稱做波導模。此時，k2c≠0，且k2c>0，即β2<k2，則（8-26）

表明空心金屬波導管中的TE模和TM模沿軸向傳播的相速度vp大于同一介質(zhì)中平面波的速度v，因而TE模和TM模是一種快波。（3）Ez≠0和Hz≠0的導模稱為混合模。這類模式存在于開放式波導中，且在波導表面附近的空間內(nèi)傳播，故又稱為表面波模。此時kc2≠0，且kc2<0，即β2>k2，則（8-27）

表明表面波模沿軸向傳播的相速度vp小于同一介質(zhì)中平面波的速度v，是一種慢波。需要指出的是，上述按有無Ez和/或Hz分量分類的方法不是唯一的。8.2.6導波方程的求解方法

1.k2c≠0的情況此種情況下導波場的求解問題屬于本征值問題，其解可用縱向場法（longitudinalfieldmethod）求得。第一步：結(jié)合邊界條件由本征值方程（8-20）求出縱向場分量Hz(u,v)或Ez(u,v)。求解方法通常采用分離變量法，邊界條件要求在波導內(nèi)壁切向電場為零，即（8-28）

第二步：由橫-縱向場關(guān)系式（8-24）求出各橫向場分量。縱向場法不僅適用于本書所討論的金屬波導，而且也適用于其他規(guī)則波導，如介質(zhì)波導等。

2.k2c=0的情況與此種情況對應(yīng)的是Ez=Hz=0的TEM導波場。由于kc=0，因此TEM導波場求解問題屬于非本征值問題，不能用上述縱向場法求解。此時β2=k2，而 ，于是由式（8-15）可知，TEM導波場滿足二維拉普拉斯方程，即（8-29）

同理有

（8-30）式（8-29）和式（8-30）為矢量方程，不易求解。但是，注意此時式（8-12a）變?yōu)楱孴×ET≡0，因此ET(u,v)可以看做二維靜電場問題的解，且可用二維靜電位函數(shù)的梯度表示為（8-31）再由式（8-4），可得

（8-32）根據(jù)以上分析，TEM導波場的一般求解方法如下：第一步：結(jié)合邊界條件求解方程（8-32），確定Φ(u,v)。第二步：由式（8-31）求出ET(u,v,z,t)，即

（8-33）

第三步：根據(jù)TEM波的性質(zhì)，求出HT(u,v,z,t)（8-34）

另外，有下列關(guān)系式:（8-35）

8.3導行波的一般傳輸特性

8.3.1傳播常數(shù)、截止波長和傳輸條件導行系統(tǒng)中某導模無衰減時所能傳播的最大波長為該導模的截止波長（cut－offwavelength），用λc表示。導行系統(tǒng)中某導模無衰減時所能傳播的最低頻率為該導模的截止頻率（cut－offfreqency），用fc表示。也就是說，在截止波長以下，導行系統(tǒng)可以傳播某種導模而無衰減，在截止波長以上傳播就有衰減。通過對衰減機理的分析，可以求得相應(yīng)導行系統(tǒng)中導模的截止條件和截止波長。由前面的討論知道導波系統(tǒng)中的場隨z按e-jβz變化，其中相位常數(shù)

（8-36）

已經(jīng)確定，TEM波的kc=0；并且可以證明，TE、TM波的kc為實數(shù)(詳見第9章)。那么由式(8-36)可知，對一定的kc和με，在不同的頻率（或波長）范圍內(nèi)，β可能是實數(shù)，也可能是虛數(shù)，對特定的頻率（或波長），β可以等于零。頻率很低時，β為虛數(shù)(即傳播常數(shù)γ為實數(shù))，則相應(yīng)的導模不能傳播；當頻率很高時，β為實數(shù)(即傳播常數(shù)γ為虛數(shù))，則相應(yīng)的導?？梢詡鞑ィ划旑l率等于某一特定頻率時，β等于零(即傳播常數(shù)γ等于零)，此時相應(yīng)的導模處于可以傳播和不能傳播的臨界狀態(tài)，故把傳播常數(shù)β等于零時的頻率稱為臨界頻率或截止頻率fc，即（8-37）對應(yīng)的臨界波長或截止波長λc為

（8-38）

其中kc稱為截止波數(shù)，即

（8-39）

顯然，對于傳輸TEM波的導波系統(tǒng)，fc=0，λc=∞。而對于傳輸TE波和TM波的導波系統(tǒng)，當f>fc（λ<λc）時，傳播因子e-γz=e-jβz，表示場的振幅不隨z而變，只是相位隨z的增加連續(xù)滯后，說明其為沿著z軸傳播的行波。因而導模無衰減傳輸?shù)臈l件是其截止波長大于電磁波的工作波長（λc>λ），或其截止頻率小于電磁波的工作頻率（fc<f）。故這類導波系統(tǒng)具有高通濾波器的特點。當f<fc（λ>λc）時，傳播因子e-γz=e-αz，表示場的振幅隨z按指數(shù)率衰減，但相位不變，說明不能沿z軸傳播，這種情況稱為截止。處于截止狀態(tài)的電磁波稱為消失波或凋落波，這種消失波的衰減并不伴隨電磁能量的耗散，是所謂電抗性衰減。因此，工作在截止狀態(tài)的導波系統(tǒng)雖然不能用來傳輸電磁波能量，但可以用來構(gòu)成某些特殊性能的微波元件，如截止衰減器等。8.3.2相速度和群速度導行波的相速度是指某導模等相位面移動的速度，記為vp。令ωt-βz=常數(shù)，對時間t求導，得vp的定義式為（8-40）

式中，

，c和λ0分別為自由空間的光速和波長；稱為波型因子。

傳輸TE波和TM波時，G<1，這時vp>v，表面看來似乎違背了相對論原理，因為任何能量的傳播速度都不可能超過光速。事實上，相速度并不代表電磁波能量的傳播速度，相速度只是描述了導波系統(tǒng)中某種波型的場分布隨時間沿縱軸的移動速度。真正代表電磁波能量傳播速度的是群速度。從物理概念上講并不難理解，因為電磁波傳輸信號時必須對波進行調(diào)制。所以，信號傳輸?shù)乃俣葢?yīng)該是波的包絡(luò)傳輸?shù)乃俣取Ｒ颜{(diào)波含有多種頻率成分，由此構(gòu)成一個波群。波群共同移動的速度，可以認為是波的包絡(luò)移動的速度。群速度是指波的等相位面移動的速度，記為vg。其定義式為

（8-41）

由式（8-40）和（8-41）可見，導模的傳播速度隨頻率變化。導模的相速度、群速度及平面波速度三者之間的關(guān)系式為

（8-42）

特別地，對于傳輸TEM波的導波系統(tǒng)，TEM波的G≈1，因此其相速度、群速度及平面波速度三者相等，即

（8-43）

TE波和TM波的相速度和群速度均是頻率的函數(shù)，波速隨頻率而變化的現(xiàn)象稱為波的色散，波型因子G也稱做色散因子。如前所述，TE波和TM波為色散波，TEM波的vp和vg與頻率無關(guān)，為非色散波。故傳輸TE波和TM波的導波系統(tǒng)也稱為色散波傳輸線，傳輸TEM波的導波系統(tǒng)也稱為非色散波傳輸線。由于波的色散效應(yīng)，波群的形狀在傳輸過程中將發(fā)生畸變，頻帶愈寬，畸變愈顯著。當傳輸窄脈沖波時，由于脈沖的頻譜很寬，就應(yīng)采取減小色散影響的措施，例如選用弱色散的微波傳輸線等。相速度、群速度和真空中的光速之比與頻率比(f/fc)的關(guān)系如圖8-3所示。當頻率無限增加時，相速度和群速度都接近于光速。當頻率趨近于截止頻率時，波趨于截止狀態(tài)，相速度趨近于無窮大，而群速度則趨近于零。

圖8-3

vp/c、vg/c與f/fc的關(guān)系曲線

8.3.3波導波長導行系統(tǒng)中導模相鄰等相位面之間的距離，或相位差為2π的相位面之間的距離稱為該導模的波導波長（waveguidewavelength）或相波長，記為λg或λp。（8-44）

對于TEM波，有

（8-45）（8-46）

8.3.4波阻抗導行系統(tǒng)中導模的橫向電場與橫向磁場之比稱為該導模的波阻抗（wave

impedance），即

（8-47a）

由式（8-24a）可得TE波和TM波的波阻抗為

（8-47b）

（8-47c）

式中，為介質(zhì)的固有阻抗，對于空氣，有

當λ>λc時，β=-jα，消失波的波阻抗為虛數(shù)，即（8-48）

式中

8.3.5傳輸功率、損耗與衰減傳輸波（非消失波）的傳輸功率、損耗與衰減可用坡印廷定理進行分析。由坡印廷定理可知導行系統(tǒng)傳輸功率僅取決于橫向場強。有耗導行系統(tǒng)的傳播常數(shù)為復數(shù)γ=α+jβ，因而沿正z方向傳輸?shù)男胁M向場分量為以上說明，行波（ETe-jβz）與（HTe-jβz）是按指數(shù)e-αz

規(guī)律衰減的。經(jīng)過單位距離，場強幅度衰減到原值的1/eα。功率與場強呈平方關(guān)