2022-2023學(xué)年湖南省長沙一中高一(下)期末數(shù)學(xué)試卷

2022-2023學(xué)年湖南省長沙一中高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1．（5分）已知i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z=-1+A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i2．（5分）已知一個圓錐的母線長為2，其側(cè)面積為2π，則該圓錐的體積為（）A．3π3 B．3π C．π33．（5分）為慶祝中國共產(chǎn)黨成立100周年，某市舉辦“紅歌大傳唱”主題活動，以傳承紅色革命精神，踐行社會主義路線，某高中有高一、高二、高三分別600人、500人、700人，欲采用分層抽樣法組建一個18人的高一、高二、高三的紅歌傳唱隊，則應(yīng)抽取高三（）A．5人 B．6人 C．7人 D．8人4．（5分）用斜二測畫法畫出的某平面圖形的直觀圖如圖所示，邊AB平行于y軸，BC，AD平行于x軸，已知四邊形的面積為6cm2，則原四邊形的面積為（）cm2．A．12 B．122 C．322 5．（5分）在△ABC中，a＝6，b=63，A＝30°，則最長邊A．6 B．12 C．6或12 D．66．（5分）要得到函數(shù)y=3A．將函數(shù)y=3sin(xB．將函數(shù)y=3sin(xC．將函數(shù)y＝3sin2x圖象上所有點向左平移π5個單位D．將函數(shù)y＝3sin2x圖象上所有點向左平移π107．（5分）如圖，△ABC中，AB→=a→，AC→=b→，D為BC中點，E為AD中點，CE→用A．3 B．﹣3 C．13 D．8．（5分）一個質(zhì)地均勻的正四面體的四個面上分別標有數(shù)字1，2，3，4．連續(xù)拋擲這個正四面體兩次，并記錄每次正四面體朝下的面上的數(shù)字．記事件A為“兩次記錄的數(shù)字和為奇數(shù)”，事件B為“兩次記錄的數(shù)字和大于4”，事件C為“第一次記錄的數(shù)字為奇數(shù)”，事件D為“第二次記錄的數(shù)字為偶數(shù)”，則（）A．A與D互斥 B．C與D對立 C．A與B相互獨立 D．A與C相互獨立二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，有選錯的得0分，選對但不全對的得2分.（多選）9．（5分）下列有關(guān)復(fù)數(shù)的說法正確的是（）A．若復(fù)數(shù)z=z，則z∈RB．若z+z=0，則zC．若z是復(fù)數(shù)，則一定有|z|2＝z2 D．若z1，z2∈C，則z（多選）10．（5分）已知向量a→=(1，2)，A．a(chǎn)→的相反向量是-B．若(a→+b→C．a(chǎn)→在b→上的投影向量為D．若(a→+b（多選）11．（5分）函數(shù)f（x）＝Asin（ωx+φ）（A，ω，φ是常數(shù)，A＞0，ω＞0，|φA．ω＝2 B．f（0）＝1 C．在區(qū)間[-πD．將f（x）的圖象向左平移π6（多選）12．（5分）如圖，四棱錐S﹣ABCD的底面ABCD為正方形，SD⊥底面ABCD，則下列結(jié)論中正確的有（）A．AC⊥SB B．AB∥平面SCD C．SA與平面ABCD所成角是∠SAB D．AB與BC所成的角等于DC與SC所成的角三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．（5分）在我市今年高三年級期中聯(lián)合考試中，某校數(shù)學(xué)單科前10名的學(xué)生成績依次是：143，140，144，142，142，145，148，147，147，150，這10名同學(xué)數(shù)學(xué)成績的60%分位數(shù)是．14．（5分）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若A＝105°，B＝45°，b=102，則c＝15．（5分）將一顆質(zhì)地均勻的正方體骰子先后拋擲2次，觀察向上的點數(shù)，則點數(shù)和為5的概率是．16．（5分）已知正四面體ABCD的棱長為2，且A，B，C，D四點都在球O的球面上，則球O的體積為．四、解答題：本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17．（10分）已知函數(shù)f(x)=2sin(ωx+（1）求f(（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間．18．（12分）已知復(fù)數(shù)z＝1+mi（i是虛數(shù)單位，m∈R），且z?(3+i)為純虛數(shù)（（1）求實數(shù)m及|z|；（2）設(shè)復(fù)數(shù)z1=a-i202319．（12分）新課標設(shè)置后，特別強調(diào)了要增加對數(shù)學(xué)文化的考查，某市高二年級期末考試特命制了一套與數(shù)學(xué)文化有關(guān)的期末模擬試卷，試卷滿分150分，并對整個高二年級的學(xué)生進行了測試．現(xiàn)從這些學(xué)生中隨機抽取了100名學(xué)生的成績，按照成績?yōu)閇90，100），[100，110），…，[140，150]分成了6組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖（假定每名學(xué)生的成績均不低于90分）．（1）求頻率分布直方圖中的x的值，并估計所抽取的100名學(xué)生成績的平均分（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代表）；（2）若利用分層抽樣的方法從樣本中成績位于[120，140）的兩組學(xué)生中抽取6人，再從這6人中隨機抽取2人參加這次考試的考情分析會，試求[130，140）這組中至少有1人被抽到的概率．20．（12分）已知向量a→=（1，3），b→=（﹣（1）求a→-b→的坐標以及（2）當t∈[﹣1，1]時，求|a→-tb21．（12分）記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且3c（1）求A的大?。唬?）若A的角平分線交BC于D，且AD＝3，求△ABC面積的最小值．22．（12分）如圖，三棱錐P﹣ABC中，∠ACB＝90°，PA⊥底面ABC．（Ⅰ）求證：平面PAC⊥平面PBC；（Ⅱ）若AC＝BC＝PA，M是PB的中點，求AM與平面PBC所成角的正切值．

2022-2023學(xué)年湖南省長沙一中高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1．（5分）已知i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z=-1+A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i【解答】解：z=-1+故選：A．2．（5分）已知一個圓錐的母線長為2，其側(cè)面積為2π，則該圓錐的體積為（）A．3π3 B．3π C．π3【解答】解：設(shè)圓錐的底面半徑為r，高為h，母線長為l＝2，∵圓錐的母線長為2，其側(cè)面積為2π，∴πrl＝2πr＝2π，解得r＝1，∴h=l∴該圓錐的體積為：V=1故選：A．3．（5分）為慶祝中國共產(chǎn)黨成立100周年，某市舉辦“紅歌大傳唱”主題活動，以傳承紅色革命精神，踐行社會主義路線，某高中有高一、高二、高三分別600人、500人、700人，欲采用分層抽樣法組建一個18人的高一、高二、高三的紅歌傳唱隊，則應(yīng)抽取高三（）A．5人 B．6人 C．7人 D．8人【解答】解：依題意得：某高中有高一、高二、高三分別600人、500人、700人，欲采用分層抽樣法組建一個18人的高一、高二、高三的紅歌傳唱隊，則應(yīng)抽取高三的人數(shù)為：18×故選：C．4．（5分）用斜二測畫法畫出的某平面圖形的直觀圖如圖所示，邊AB平行于y軸，BC，AD平行于x軸，已知四邊形的面積為6cm2，則原四邊形的面積為（）cm2．A．12 B．122 C．322 【解答】解：根據(jù)題意得∠BAD＝45°，原四邊形為一個直角梯形，且上下底的邊長分別和BC、AD相等，高為AB的2倍，即四邊形ABCD的高的22倍，面積是四邊形ABCD的22倍，∴原平面圖形的面積為6×22=122故選：B．5．（5分）在△ABC中，a＝6，b=63，A＝30°，則最長邊A．6 B．12 C．6或12 D．6【解答】解：∵△ABC中，a＝6，b=63，A＝則由余弦定理可得a2＝b2+c2﹣2bc?cosA，即36＝108+c2﹣123c×3解得c＝6，或c＝12，因為c＞a，c＞b，所以c＝12．故選：B．6．（5分）要得到函數(shù)y=3A．將函數(shù)y=3sin(xB．將函數(shù)y=3sin(xC．將函數(shù)y＝3sin2x圖象上所有點向左平移π5個單位D．將函數(shù)y＝3sin2x圖象上所有點向左平移π10【解答】解：將y＝3sin（x+π5）的圖象上所有點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍（縱坐標不變），得到函數(shù)y＝3sin（12x+將y＝3sin（x+π10）的圖象上所有點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?2倍（縱坐標不變），得到函數(shù)y＝3sin（2x+將函數(shù)y＝3sin2x的圖象上所有點向左平移π5個單位，得到函數(shù)y＝3sin（2x+2π將函數(shù)y＝3sin2x的圖象上所有點向左平移π10個單位，得到函數(shù)y＝3sin（2x+π5故選：D．7．（5分）如圖，△ABC中，AB→=a→，AC→=b→，D為BC中點，E為AD中點，CE→A．3 B．﹣3 C．13 D．【解答】解：∵D為BC中點，∴AD→=1∵E為AD中點，∴CE→=AE→-∵AB→=a∴CE→∵CE→∴λ=14，μ∴λμ故選：D．8．（5分）一個質(zhì)地均勻的正四面體的四個面上分別標有數(shù)字1，2，3，4．連續(xù)拋擲這個正四面體兩次，并記錄每次正四面體朝下的面上的數(shù)字．記事件A為“兩次記錄的數(shù)字和為奇數(shù)”，事件B為“兩次記錄的數(shù)字和大于4”，事件C為“第一次記錄的數(shù)字為奇數(shù)”，事件D為“第二次記錄的數(shù)字為偶數(shù)”，則（）A．A與D互斥 B．C與D對立 C．A與B相互獨立 D．A與C相互獨立【解答】解：連續(xù)拋擲這個正四面體兩次，基本事件有：（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4）．其中事件A包括：（1，2），（1，4），（2，1），（2，3），（3，2），（3，4），（4，1），（4，3）．事件B包括：（1，4），（2，3），（2，4），（3，2），（3，3），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），事件C包括：（1，1），（12），（1，3），（1，4），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），事件D包括：（12），（1，4），（2，2），（2，4），（3，2），（3，4），（4，2），（4，4），對于A：因為事件A與D有相同的基本事件，（1，2），（1，4），（2，3），（3，2），故A與D互斥不成立，故A錯誤；對于B：因為事件C與D有相同的基本事件，（1，2），（1，4），（3，2），（3，4），故C與D對立不成立，故B錯誤；對于C：因為P（A）=816=12，P（B）=1016=58，P（AB）=616=38，因為P（AB對于D：因為P（A）=816=12，P（C）=816=12，而P（AC）=416=14，因為兩個事件的發(fā)生與否互不影響且P（AC故選：D．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，有選錯的得0分，選對但不全對的得2分.（多選）9．（5分）下列有關(guān)復(fù)數(shù)的說法正確的是（）A．若復(fù)數(shù)z=z，則z∈RB．若z+z=0，則zC．若z是復(fù)數(shù)，則一定有|z|2＝z2 D．若z1，z2∈C，則z【解答】解：對于A，設(shè)z＝a+bi，（a，b∈R），則z=a﹣bi若z=z，則b＝0，∴z∈R，故A對于B，設(shè)z=z=0時，z+z=0，而對于C，當z＝1+i時，則|z|2＝2，zz2＝2im，∴|z|2≠z2，故C錯誤；對于D，令z1＝a+bi（a，b∈R），z2＝m+ni（m，n∈R），則z1?z2＝ma﹣nb+（mb+na）i，z1?z2=ma﹣nb﹣（mb∵z1=a﹣bi，z2=∴z1?z2=（a﹣bi）（m﹣ni）＝ma﹣nb﹣（mb∴若z1，z2∈C，則z1?z故選：AD．（多選）10．（5分）已知向量a→=(1，2)，A．a(chǎn)→的相反向量是-B．若(a→+b→C．a(chǎn)→在b→上的投影向量為D．若(a→+b【解答】解：對于A，由相反向量的定義可知，a→的相反向量是-a→對于B，a→=(1，則a→(a→+則（﹣1）×4+4k＝0，解得k＝1，故B錯誤，對于C，a→=(1，則a→?b故a→在b→上的投影向量為a→對于D，a→+b→=(-1則﹣k＝4×4，解得k＝﹣16，故D錯誤．故選：AC．（多選）11．（5分）函數(shù)f（x）＝Asin（ωx+φ）（A，ω，φ是常數(shù)，A＞0，ω＞0，|φA．ω＝2 B．f（0）＝1 C．在區(qū)間[-πD．將f（x）的圖象向左平移π6【解答】解：由圖象知A＝2，3T4=7π12-（-則2πω=π，得ω＝2此時f（x）＝2sin（2x+φ），由五點對應(yīng)法得2×（-π6）+φ＝0，得φ此時f（x）＝2sin（2x+π則f（0）＝2sinπ3=2×3當-π3≤x≤0時，-2π3≤2x≤0，-π3≤將f（x）的圖象向左平移π6個單位，得到y(tǒng)＝2sin[2（x+π6）+π3]＝2sn（2故選：AC．（多選）12．（5分）如圖，四棱錐S﹣ABCD的底面ABCD為正方形，SD⊥底面ABCD，則下列結(jié)論中正確的有（）A．AC⊥SB B．AB∥平面SCD C．SA與平面ABCD所成角是∠SAB D．AB與BC所成的角等于DC與SC所成的角【解答】解：∵SD⊥底面ABCD，∴AC⊥SD，∵四邊形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，∵BD∩SD＝D，∴AC⊥平面SBD，∴AC⊥SB，故A正確；∵AB∥CD，AB?平面SCD，CD?平面SCD，∴AB∥平面SCD，故B正確；∵AD是SA在平面ABCD內(nèi)的射影，∴SA與平面ABCD所成角是∠SAD，故C錯誤；∵AB⊥BC，SD⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，∴SD⊥CD，∴∠SCD是銳角，∴AB與BC所成角為直角，DC與C所成角為銳角，∴AB與BC所成的角不等于DC與SC所成角，故D錯誤．故選：AB．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．（5分）在我市今年高三年級期中聯(lián)合考試中，某校數(shù)學(xué)單科前10名的學(xué)生成績依次是：143，140，144，142，142，145，148，147，147，150，這10名同學(xué)數(shù)學(xué)成績的60%分位數(shù)是146．【解答】解：對10名同學(xué)的成績從小到大進行排列：140，142，142，143，144，145，147，147，148，150，根據(jù)10×60%＝6，故取第6項和第7項的數(shù)據(jù)分別為：145，147；10名同學(xué)數(shù)學(xué)成績的60%分位數(shù)為：145+1472故答案為：146．14．（5分）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若A＝105°，B＝45°，b=102，則c＝10【解答】解：因為A＝105°，B＝45°，b=10所以C＝180°﹣A﹣B＝30°，由正弦定理bsinB=c則c＝10．故答案為：10．15．（5分）將一顆質(zhì)地均勻的正方體骰子先后拋擲2次，觀察向上的點數(shù)，則點數(shù)和為5的概率是19【解答】解：一顆質(zhì)地均勻的正方體骰子先后拋擲2次，可得基本事件的總數(shù)為6×6＝36種，而點數(shù)和為5的事件為（1，4），（2，3），（3，2），（4，1），共4種，則點數(shù)和為5的概率為P=4故答案為：1916．（5分）已知正四面體ABCD的棱長為2，且A，B，C，D四點都在球O的球面上，則球O的體積為32π【解答】解：正四面體各面都是全等的等邊三角形，所以a=2正四面體棱長為2，可得正方體的棱長為1，所以正方體的外接球即為該正四面體的外接球，所以外接球的直徑為3，半徑為32，所以球O的體積為43π×（32）3故答案為：32四、解答題：本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17．（10分）已知函數(shù)f(x)=2sin(ωx+（1）求f(（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間．【解答】解：（1）因為函數(shù)f(x)=2sin(ωx+所以π=2πω，可得ω＝2，可得f（x）＝2sin（2所以f(π6)=2sin（2（2）由（1）可得f（x）＝2sin（2x+π令2kπ+π2≤2x+π3≤2kπ+3π2，k∈Z，解得kπ+π可得函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為：[kπ+π12，kπ+7π12]18．（12分）已知復(fù)數(shù)z＝1+mi（i是虛數(shù)單位，m∈R），且z?(3+i)為純虛數(shù)（（1）求實數(shù)m及|z|；（2）設(shè)復(fù)數(shù)z1=a-i2023【解答】解：（1）∵z＝1+mi，∴z=1-∴z(3+∵z?∴3+m=01-3m≠0故z＝1﹣3i，則|z（2）∵i2023＝i4×505+3＝i3＝﹣i，∴z1∵復(fù)數(shù)z1所對應(yīng)的點在第二象限，∴a-310故實數(shù)a的取值范圍為(-19．（12分）新課標設(shè)置后，特別強調(diào)了要增加對數(shù)學(xué)文化的考查，某市高二年級期末考試特命制了一套與數(shù)學(xué)文化有關(guān)的期末模擬試卷，試卷滿分150分，并對整個高二年級的學(xué)生進行了測試．現(xiàn)從這些學(xué)生中隨機抽取了100名學(xué)生的成績，按照成績?yōu)閇90，100），[100，110），…，[140，150]分成了6組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖（假定每名學(xué)生的成績均不低于90分）．（1）求頻率分布直方圖中的x的值，并估計所抽取的100名學(xué)生成績的平均分（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代表）；（2）若利用分層抽樣的方法從樣本中成績位于[120，140）的兩組學(xué)生中抽取6人，再從這6人中隨機抽取2人參加這次考試的考情分析會，試求[130，140）這組中至少有1人被抽到的概率．【解答】解：（1）由頻率分布直方圖得：（0.005+0.03+0.03+x+0.01+0.005）×10＝1，解得x＝0.02．平均分為95×0.05+105×0.3+115×0.3+125×0.2+135×0.1+145×0.05＝116.5．（2）由頻率分布直方圖得到成績位于[120，130）和[130，140）上的人數(shù)比為0.20.1=抽取的6人中成績位于[120，130）上的有4人，編號為1，2，3，4，位于[130，140）上的有2人，編號為a，b，從這6人中任2人的基本事件有12，13，14，1a，1b，23，24，2a，2b，34，3a，3b，4a，4b，ab，共15個，其中[130，140）這組中至少有1人被抽到的基本事件有1a，1b，2