2025版一輪高考總復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)第十章　第三節(jié)第2課時(shí)　列聯(lián)表與獨(dú)立性檢驗(yàn)

第2課時(shí)列聯(lián)表與獨(dú)立性檢驗(yàn)1.掌握分類變量的含義.2.通過實(shí)例，理解2×2列聯(lián)表的統(tǒng)計(jì)意義.3.通過實(shí)例，了解2×2列聯(lián)表獨(dú)立性檢驗(yàn)及其應(yīng)用.1.分類變量與列聯(lián)表（1）分類變量：變量的不同“值”表示個(gè)體所屬的不同類別，像這樣的變量稱為分類變量；（2）列聯(lián)表：列出的兩個(gè)分類變量的頻數(shù)表，稱為列聯(lián)表.假設(shè)有兩個(gè)分類變量X和Y，X表示相互對立的兩個(gè)事件{X＝0}和{X＝1}，Y表示相互對立的兩個(gè)事件{Y＝0}和{Y＝1}，其中a，b，c，d是事件{X＝x，Y＝y(tǒng)}（x，y＝0，1）的，n是樣本量，其樣本頻數(shù)列聯(lián)表（稱為2×2列聯(lián)表）如表所示：XY合計(jì)Y＝0Y＝1X＝0aba＋bX＝1cdc＋d合計(jì)a＋cb＋dn＝a＋b＋c＋d2.等高堆積條形圖（1）等高堆積條形圖與表格相比，更能直觀地反映出兩個(gè)分類變量間是否相互影響，常用等高堆積條形圖展示列聯(lián)表數(shù)據(jù)的頻率特征；（2）如果通過直接計(jì)算或等高堆積條形圖發(fā)現(xiàn)aa＋b和cc3.獨(dú)立性檢驗(yàn)（1）概念：利用隨機(jī)變量χ2的取值推斷分類變量X和Y是否獨(dú)立的方法稱為χ2獨(dú)立性檢驗(yàn)，讀作“卡方獨(dú)立性檢驗(yàn)”，簡稱獨(dú)立性檢驗(yàn)；（2）χ2的計(jì)算公式：χ2＝；（3）獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想：獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想類似于反證法，要判斷“兩個(gè)分類變量有關(guān)系”，首先假設(shè)該結(jié)論不成立，即H0：兩個(gè)分類變量相互獨(dú)立成立.在該假設(shè)下所構(gòu)造的隨機(jī)變量χ2應(yīng)該很小.如果由觀測數(shù)據(jù)計(jì)算得到的χ2的觀測值很大，則斷言H0不成立，即認(rèn)為“兩個(gè)分類變量有關(guān)系”；如果觀測值很小，則說明在樣本數(shù)據(jù)中沒有發(fā)現(xiàn)足夠證據(jù)推斷H0不成立；（4）基于小概率值α的檢驗(yàn)規(guī)則：當(dāng)χ2≥xα?xí)r，我們就推斷H0不成立，即認(rèn)為X和Y不獨(dú)立，該推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過α；當(dāng)χ2＜xα?xí)r，我們沒有充分證據(jù)推斷H0不成立，可以認(rèn)為X和Y獨(dú)立（其中xα為α的臨界值）；（5）應(yīng)用獨(dú)立性檢驗(yàn)解決實(shí)際問題的主要環(huán)節(jié)①提出零假設(shè)H0：X和Y相互獨(dú)立，并給出在問題中的解釋；②根據(jù)抽樣數(shù)據(jù)整理出2×2列聯(lián)表，計(jì)算χ2的值，并與臨界值xα比較；③根據(jù)檢驗(yàn)規(guī)則得出推斷結(jié)論；④在X和Y不獨(dú)立的情況下，根據(jù)需要，通過比較相應(yīng)的頻率，分析X和Y間的影響規(guī)律.（6）獨(dú)立性檢驗(yàn)中幾個(gè)常用的小概率值和相應(yīng)的臨界值：α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.8281.判斷正誤.（正確的畫“√”，錯(cuò)誤的畫“×”）（1）2×2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)是兩個(gè)分類變量的頻數(shù).（）（2）等高堆積條形圖可初步分析兩分類變量是否有關(guān)系，而獨(dú)立性檢驗(yàn)中χ2取值則可通過統(tǒng)計(jì)表從數(shù)據(jù)上說明兩分類變量的相關(guān)性的大小.（）（3）χ2的大小是判斷事件A和B是否相關(guān)的統(tǒng)計(jì)量.（）（4）在2×2列聯(lián)表中，若｜ad－bc｜越小，則說明兩個(gè)分類變量之間關(guān)系越強(qiáng).（）（5）獨(dú)立性檢驗(yàn)的方法就是用的反證法.（）2.觀察下面各等高堆積條形圖，其中兩個(gè)分類變量關(guān)系最強(qiáng)的是（）3.某機(jī)構(gòu)為調(diào)查網(wǎng)游愛好者是否有性別差異，通過調(diào)研數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)：在500名男生中有200名愛玩網(wǎng)游，在400名女生中有50名愛玩網(wǎng)游.若要確定網(wǎng)游愛好是否與性別有關(guān)時(shí)，用下列最適合的統(tǒng)計(jì)方法是（）A.均值 B.方差C.獨(dú)立性檢驗(yàn) D.回歸分析4.第19屆亞運(yùn)會于2023年9月23日在中國杭州舉行.為了搞好對外宣傳工作，會務(wù)組選聘了50名記者擔(dān)任對外翻譯工作，下表為“性別與會俄語”的2×2列聯(lián)表，則a－b＋d＝.性別是否會俄語合計(jì)會俄語不會俄語男ab20女6d合計(jì)18505.（2024·南通模擬）已知變量X，Y，由它們的樣本數(shù)據(jù)計(jì)算得到χ2≈4.328，χ2的部分臨界值表如下：α0.100.050.0250.0100.005xα2.7063.8415.0246.6357.879則最大有的把握說變量X，Y有關(guān)系（填百分?jǐn)?shù)）.分類變量與列聯(lián)表【例1】（1）（多選）根據(jù)如圖所示的等高堆積條形圖，下列敘述正確的是（）A.吸煙患肺病的頻率約為0.2 B.吸煙不患肺病的頻率約為0.8C.不吸煙患肺病的頻率小于0.05 D.吸煙與患肺病無關(guān)系（2）如下是一個(gè)2×2列聯(lián)表，則m＋n＝.XY合計(jì)y1y2x1a3545x27bn合計(jì)m73s聽課記錄解題技法分類變量的兩種統(tǒng)計(jì)表示形式（1）等高堆積條形圖：根據(jù)等高堆積條形圖的高度差判斷兩分類變量是否有關(guān)聯(lián)及關(guān)聯(lián)強(qiáng)弱；（2）2×2列聯(lián)表：直接利用2×2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算分析，用定量的方式判斷兩分類變量是否有關(guān)聯(lián)及關(guān)聯(lián)強(qiáng)弱.假設(shè)有兩個(gè)分類變量X和Y，它們的取值分別為{x1，x2}和{y1，y2}，其2×2列聯(lián)表如下：XY合計(jì)y1y2x1aba＋bx2cdc＋d合計(jì)a＋cb＋da＋b＋c＋d對同一樣本，以下數(shù)據(jù)能說明X與Y有關(guān)系的可能性最大的一組為（）A.a＝9，b＝3，c＝2，d＝1 B.a＝9，b＝2，c＝3，d＝1C.a＝2，b＝3，c＝1，d＝9 D.a＝3，b＝1，c＝2，d＝9分類變量關(guān)聯(lián)性的判斷【例2】（2024·滕州模擬）某科研機(jī)構(gòu)為了研究中年人禿發(fā)與患心臟病是否有關(guān)，隨機(jī)調(diào)查了一些中年人的情況，具體數(shù)據(jù)如表：患心臟病無心臟病禿發(fā)20300不禿發(fā)5450根據(jù)表中數(shù)據(jù)得到χ2≈15.968，因?yàn)棣?＞10.828，則斷定中年人禿發(fā)與患心臟病有關(guān)系.那么這種判斷出錯(cuò)的可能性為（）A.0.001 B.0.05C.0.025 D.0.01聽課記錄解題技法如果χ2＞xα，則“X與Y有關(guān)系”這種推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過α；否則，就認(rèn)為在犯錯(cuò)誤的概率不超過α的前提下不能推斷“X與Y有關(guān)系”，或者在樣本數(shù)據(jù)中沒有發(fā)現(xiàn)足夠的證據(jù)支持結(jié)論“X與Y有關(guān)系”.某市政府調(diào)查市民收入增減與旅游愿望的關(guān)系時(shí)，采用獨(dú)立性檢驗(yàn)法抽查了3000人，計(jì)算得χ2＝6.023，則市政府?dāng)嘌允忻袷杖朐鰷p與旅游愿望有關(guān)系的可信程度是（）A.90% B.95%C.99% D.99.5%獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用【例3】（2022·全國甲卷17題）甲、乙兩城之間的長途客車均由A和B兩家公司運(yùn)營.為了解這兩家公司長途客車的運(yùn)行情況，隨機(jī)調(diào)查了甲、乙兩城之間的500個(gè)班次，得到下面列聯(lián)表：準(zhǔn)點(diǎn)班次數(shù)未準(zhǔn)點(diǎn)班次數(shù)A24020B21030（1）根據(jù)上表，分別估計(jì)這兩家公司甲、乙兩城之間的長途客車準(zhǔn)點(diǎn)的概率；（2）根據(jù)小概率值α＝0.1的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為甲、乙兩城之間的長途客車是否準(zhǔn)點(diǎn)與客車所屬公司有關(guān)？附：χ2＝n（α0.1000.0500.010xα2.7063.8416.635解題技法獨(dú)立性檢驗(yàn)的一般步驟（1）根據(jù)樣本數(shù)據(jù)制作2×2列聯(lián)表；（2）根據(jù)公式χ2＝n（ad（3）比較χ2與臨界值的大小關(guān)系，作統(tǒng)計(jì)推斷.某地區(qū)的一種傳染病與飲用水的調(diào)查表如下：飲用水是否得病合計(jì)得病不得病干凈水52466518不干凈水94218312合計(jì)146684830（1）這種傳染病是否與飲用水的衛(wèi)生程度有關(guān)？請說明理