備戰(zhàn)2025年高考二輪復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)中低檔大題規(guī)范練2

規(guī)范練2(分值:43分)學(xué)生用書P2271.(13分)(2024·江蘇揚(yáng)州模擬)已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an}前n項(xiàng)和為Sn,且2Sn=an(an+1).(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;(2)證明:1S1+1S2+(1)解因?yàn)?Sn=an(an+1),①所以2Sn+1=an+1(an+1+1),②2S1=a1(a1+1),③由③得a1(a1-1)=0.又因?yàn)閧an}各項(xiàng)均為正數(shù),所以a1=1,②-①得2an+1=(an+12-an2)+整理得(an+1+an)(an+1-an-1)=0.又因?yàn)閧an}各項(xiàng)均為正數(shù),所以an+1-an=1,所以{an}是公差為1的等差數(shù)列,an=a1+(n-1)d=1+(n-1)=n.(2)證明由(1)可得Sn=n(所以1S所以1S1+1S2+…+1Sn=21-22+22-23+2.(15分)(2024·寧夏銀川二模)一批產(chǎn)品需要進(jìn)行質(zhì)量檢驗(yàn),檢驗(yàn)方案是先從這批產(chǎn)品中任取4件作檢驗(yàn),這4件產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)品的件數(shù)記為n.如果n=3,再?gòu)倪@批產(chǎn)品中任取4件作檢驗(yàn),若都為優(yōu)質(zhì)品,則這批產(chǎn)品通過(guò)檢驗(yàn);如果n=4,再?gòu)倪@批產(chǎn)品中任取1件作檢驗(yàn),若為優(yōu)質(zhì)品,則這批產(chǎn)品通過(guò)檢驗(yàn);其他情況下,這批產(chǎn)品都不能通過(guò)檢驗(yàn).假設(shè)這批產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)品率為50%,即取出的產(chǎn)品是優(yōu)質(zhì)品的概率都為12,且各件產(chǎn)品是否為優(yōu)質(zhì)品相互獨(dú)立(1)求這批產(chǎn)品通過(guò)檢驗(yàn)的概率;(2)已知每件產(chǎn)品檢驗(yàn)費(fèi)用為100元,凡抽取的每件產(chǎn)品都需要檢驗(yàn),對(duì)這批產(chǎn)品作質(zhì)量檢驗(yàn)所需的費(fèi)用記為X(單位:元),求X的分布列.解(1)設(shè)第一次取出的4件產(chǎn)品中恰有3件優(yōu)質(zhì)品為事件A1,第一次取出的4件產(chǎn)品全是優(yōu)質(zhì)品為事件A2,第二次取出的4件產(chǎn)品全是優(yōu)質(zhì)品為事件B1,第二次取出的1件產(chǎn)品是優(yōu)質(zhì)品為事件B2,這批產(chǎn)品通過(guò)檢驗(yàn)為事件A,依題意有A=(A1B1)∪(A2B2),且A1B1與A2B2互斥,所以P(A)=P(A1B1)+P(A2B2)=P(A1)P(B1|A1)+P(A2)P(B2|A2)=4(2)X可能的取值為400,500,800,并且P(X=800)=14,P(X=500)=1P(X=400)=1-116-14=X400500800P11113.(15分)棱長(zhǎng)均為2的斜三棱柱ABC-A1B1C1中,A1在平面ABC內(nèi)的射影O在棱AC的中點(diǎn)處,P為棱A1B1(包含端點(diǎn))上的動(dòng)點(diǎn).(1)求點(diǎn)P到平面ABC1的距離;(2)若AP⊥平面α,求直線BC1與平面α所成角的正弦值的取值范圍.解(1)依題意知A1O⊥平面ABC,OB⊥AC(底面為正三角形),且A1O=OB=3以O(shè)為原點(diǎn),分別以O(shè)B,OC,OA1所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系,如圖,則O(0,0,0),A(0,-1,0),B(3,0,0),C(0,1,0),A1(0,0,3),C1(0,2,3),AB=(3,1,0),AC1=(0,3,3),BC1=(-3,2,3),AA由A1B1∥AB,A1B1?平面ABC1,AB?平面ABC1,則A1B1∥平面ABC1,即點(diǎn)P到平面ABC1的距離等于點(diǎn)A1到平面ABC1的距離.設(shè)n=(x,y,z)為平面ABC1的一個(gè)法向量,則n取z=3,得n=(1,-3,3),因此點(diǎn)A1到平面ABC1的距離d=|A所以點(diǎn)P到平面ABC1的距離為2(2)設(shè)A1P=λA1則AP=AA1+A1P=AA1+λA1B1=AA1+由AP⊥α,得AP為平面α的一個(gè)法向量.設(shè)直線BC1與平面α所成角為θ,則sinθ=|cos<BC1=|=5令t=5-λ,則λ=5-t,t∈[4,5],則sinθ=t=t=12由