試卷解析：廣東省深圳外國X學(xué)校2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試卷（解析版）

深圳外國語學(xué)校2023—2024學(xué)年度高二第一學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題本卷滿分150分，考試時間120分鐘注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號碼填寫在答題卡上．2．作答時，務(wù)必將答案寫在答題卡上．寫在本試卷及草稿紙上無效．3．考試結(jié)束后，將答題卡交回．一、單項選擇題：本大題共8個小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項符合要求的．1.已知等比數(shù)列中，，則公比（）A.2B.-2C.D.【答案】B【解析】【分析】由可算出答案.【詳解】∵，∴，解得．故選：B．2.直線，則“”是“”的（）條件A.必要不充分B.充分不必要C.充要D.既不充分也不必要【答案】C【解析】【分析】根據(jù)直線平行求得，結(jié)合充分、必要條件的知識求得正確答案.【詳解】若，則，解得或，當時，和的方程都是，兩直線重合，不符合題意.經(jīng)驗證可知，符合.所以“”是“”的充要條件.故選：C3.已知等差數(shù)列的前項和為且，則的通項公式為（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列前項和的公式可推導(dǎo)為等差數(shù)列，再計算首項與公差求解即可.【詳解】設(shè)，則為等差數(shù)列.設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，則，故，，故，即的通項公式為.故選：D4.與曲線共焦點，且與雙曲線共漸近線的雙曲線的方程為（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】先由與橢圓共焦點得到，且焦點在軸上，從而巧設(shè)所求雙曲線為，利用即可得解.【詳解】因為曲線為橢圓，焦點在軸上，且，又因為所求雙曲線與雙曲線共漸近線，所以設(shè)所求雙曲線為，即，則，解得，所以所求雙曲線為.故選：A.5.已知平面的一個法向量，點在內(nèi)，則平面外一點到平面的距離為（）A.4B.2C.D.3【答案】B【解析】【分析】利用點到平面的距離公式即可得解.【詳解】因為，，所以，又是平面的一個法向量，所以到的距離為.故選：B.6.若雙曲線的一條漸近線被圓所截得的弦長為，則雙曲線的離心率為（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】首先確定雙曲線漸近線方程，結(jié)合圓的方程可確定兩漸近線截圓所得弦長相等；利用垂徑定理可構(gòu)造方程求得的值，進而根據(jù)離心率可求得結(jié)果.【詳解】由雙曲線方程得：漸近線方程為；由圓的方程知：圓心為，半徑；與圖象關(guān)于軸對稱，圓的圖象關(guān)于軸對稱，兩條漸近線截圓所得弦長相等，不妨取，即，則圓心到直線距離，弦長為，解得：，雙曲線離心率.故選：C.7.在中國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中記載了一種稱為“曲池”的幾何體，該幾何體的上?下底面平行，且均為扇環(huán)形（扇環(huán)是指圓環(huán)被扇形截得的部分）.現(xiàn)有一個如圖所示的曲池，它的高為2，，，，均與曲池的底面垂直，底面扇環(huán)對應(yīng)的兩個圓的半徑分別為1和2，對應(yīng)的圓心角為90°，則圖中異面直線與所成角的余弦值為（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】建立空間直角坐標系，以向量法去求解異面直線與所成角的余弦值.【詳解】設(shè)上底面圓心為，下底面圓心為，連接以為原點，分別以所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系則則又異面直線所成角的范圍為故異面直線與所成角余弦值為故選：A8.高斯是德國著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的稱號.用他的名字定義的函數(shù)稱為高斯函數(shù)，其中表示不超過的最大整數(shù)，已知數(shù)列滿足，，，若，為數(shù)列的前項和，則（）A.999B.749C.499D.249【答案】A【解析】【分析】構(gòu)造法判斷為等比數(shù)列，為常數(shù)列，進而可得，再由，結(jié)合新定義有，最后利用裂項相消法求的前n項和.【詳解】由，得，又，所以數(shù)列是以4為首項，5為公比的等比數(shù)列，則①，由得：，又，所以數(shù)列是常數(shù)列，則②，由①②聯(lián)立得.因為，所以，即，所以，故，所以，則.故選：A二、多項選擇題：本大題共4小題，每小題5分．共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.方程，則下列說法正確的是（）A.當時，方程表示橢圓B.當時，方程表示焦點在軸上的雙曲線C.當時，方程表示圓D.當或時，方程表示雙曲線【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)方程中分母的正負及是否相等可判斷選項即可.【詳解】當時，由，且即時，此方程表示圓，故A不正確；當時，，，由方程可知表示焦點在軸上的雙曲線，故B正確；由A可知，當時，方程表示圓，故C正確；當時，，，故方程表示焦點在軸上的雙曲線，當時，由B可知，方程表示雙曲線，故D正確.故選：BCD10.已知數(shù)列的前項和為，下列說法不正確的是（）A.若，則成等比數(shù)列B.若為等差數(shù)列，則為等比數(shù)列C.若，則數(shù)列為等差數(shù)列D.若，則數(shù)列為等比數(shù)列【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)等比、等差數(shù)列的概念可對AB進行判斷，根據(jù)與的關(guān)系可由求出數(shù)列的通項公式，從而判斷CD.【詳解】對于A，當時有，此時a，b，c不成等比數(shù)列，故A錯；對于B，若為等差數(shù)列，設(shè)其公差為d，則此時有，所以數(shù)列為等比數(shù)列，故B對；對于C，若，則，，顯然不滿足，所以數(shù)列不為等差數(shù)列，故C錯；對于D，若，則，，顯然滿足，所以數(shù)列為等比數(shù)列，故D正確；故選：AC.11.已知拋物線焦點為F，過點F的直線l交拋物線于M，N兩點，則下列結(jié)論正確的是（）A.拋物線的焦點坐標是B.焦點到準線的距離是4C.若點P的坐標為，則的最小值為5D.若Q為線段MN中點，則Q的坐標可以是【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)拋物線方程即可判斷AB；過點作垂直于準線，垂足為，根據(jù)拋物線得定義結(jié)合圖象即可判斷C；假設(shè)Q的坐標是，利用點差法求出直線的方程，再判斷焦點是否在直線上，即可判斷D.【詳解】由題意，焦點到準線的距離是，故A錯誤，B正確；對于C，過點作垂直于準線，垂足為，則，當且僅當三點共線時取等號，所以的最小值為，故C錯誤；對于D，假設(shè)Q的坐標是，設(shè)，則，由直線l交拋物線于M，N兩點，得，兩式相減得，即，所以，即，所以直線的方程為，即，將代入得，所以直線過點，符合題意，所以Q的坐標可以是，故D正確.故選：BD.12.如圖，若正方體的棱長為1，點M是正方體的側(cè)面上的一個動點（含邊界），P是棱上靠近G點的三等分點，則下列結(jié)論正確的有（）A.沿正方體的表面從點A到點P的最短路程為B.保持與垂直時，M的運動軌跡是線段C.若保持，則點M在側(cè)面內(nèi)運動路徑長度為D.當M在D點時，三棱錐的體積取到最大值【答案】BD【解析】【分析】利用平面分析可判斷A，利用空間直角坐標系得到軌跡方程為直線方程可判斷B，利用向量坐標表示表示模長可得軌跡為圓即可判斷C，利用點到直線的距離公式可判斷D.【詳解】對于A，將正方體下面和右面展開可得如下圖形，連接,則，因此A到點P最短路程為，故A錯誤；對于B，建系如圖，設(shè)，，所以，即，又因為是側(cè)面上的一個動點（含邊界），所以M的運動軌跡是線段,為靠近點的三等分點和靠近點三等分點的的連線段.故B正確；對于C，由B選項過程可得，整理得，所以M在側(cè)面內(nèi)運動路徑是以為圓心，為半徑的圓，而點到的距離等于，所以要保持，則點在側(cè)面外，所以點M在側(cè)面內(nèi)運動路徑長度為，故C錯誤；對于D，設(shè)平面的法向量為，，所以，令，解得，所以點到平面的距離等于，因為點在平面內(nèi)，所以，所以當，即當M在D點時，三棱錐的高最大，又因為的面積為定值，所以當M在D點時，三棱錐的體積最大，故D正確.故選:BD.三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填寫在答題卡相應(yīng)位置上．13.已知向量，若∥，則______.【答案】-6【解析】【分析】利用向量平行列方程，即可求解.【詳解】因為向量，且∥，所以=，所以，解得：.故答案為：-6.14.曲線：與：恰有四條公切線，則實數(shù)的取值范圍為_____________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)圓與圓的位置關(guān)系以及成圓的充要條件，即可求得實數(shù)的取值范圍.【詳解】解：圓:，即，其圓心，半徑圓:，即，其圓心，半徑，則必有，即兩圓圓心的距離若兩圓有4條公切線，則兩圓外離，必有，解得：則的取值范圍為.故答案為：.15.已知拋物線，直線與相交于兩點，若的準線上一點滿足，則的坐標為__________.【答案】【解析】【分析】令，由及數(shù)量積的坐標公式得，聯(lián)立拋物線與直線方程，應(yīng)用韋達定理求橫縱坐標的和積代入上式求的縱坐標即可.【詳解】令，則，由，則，所以聯(lián)立，消去y整理得，則，所以，，綜上，，則，故.故答案為：16.已知點為正四面體的外接球上的任意一點，正四面體的棱長為2，則的取值范圍為___________.【答案】【解析】【分析】將正四面體放在正方體內(nèi)，以正方體的中心為原點，建立空間直角坐標系，利用坐標法求的取值范圍.【詳解】如圖，將正四面體放在正方體內(nèi)，并建立如圖所示的空間直角坐標系，∵正四面體的棱長為2，則正方體的棱長為，正四面體ABCD的外接球即為圖中正方體的外接球，其半徑為R，則，則，，設(shè)，則，則，∵，，∴.故答案為：.四、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟．17.已知直線和圓（1）求證：直線過定點，并求這個定點（2）若直線截圓所得的弦長為，求直線的方程【答案】（1）證明見解析，定點；（2）或.【解析】【分析】（1）根據(jù)方程的性質(zhì)進行求解即可；（2）根據(jù)弦長公式及點到直線的距離公式即得.【小問1詳解】直線：，即，令，解得，所以直線過定點；【小問2詳解】由圓，可得圓心，半徑為3，又直線截圓所得的弦長為，所以圓心到直線的距離，所以，解得或，所以直線的方程為或.18.已知數(shù)列為等差數(shù)列，，數(shù)列的前項和為，且滿足.（1）求和的通項公式：（2）若，求數(shù)列的前項和為.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）列出關(guān)于首項和公差的方程組求得；利用求得；（2）利用錯位相減法求得.【小問1詳解】設(shè)的公差為d，由題意可得，解得，所以.，時，，時，，，是以1為首項，3為公比的等比數(shù)列，.【小問2詳解】.19.如圖所示，四棱錐中，平面平面，四邊形為等腰梯形，（1）求證：（2）求平面與平面所成的銳二面角的余弦值【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）取中點，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)可得平面，結(jié)合條件建立坐標系，利用坐標法即得；（2）利用坐標法，根據(jù)面面角的向量求法即得.【小問1詳解】取中點，連接，因為，所以，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，取的中點，連接，因為為等腰梯形，所以，如圖建立空間直角坐標系，則，所以，所以，所以；【小問2詳解】由（1）知，設(shè)平面的一個法向量為，則，令，可得，設(shè)平面的一個法向量為，則，令，可得，設(shè)平面與平面所成的銳二面角為，則，即平面與平面所成的銳二面角余弦值為.20.已知雙曲線C和橢圓有公共的焦點，且離心率為．（1）求雙曲線C的方程．（2）經(jīng)過點M（2，1）作直線l交雙曲線C于A，B兩點，且M為AB的中點，求直線l的方程并求弦長．【答案】（1）x21（2）y＝4x﹣7，弦長【解析】【分析】（1）求出雙曲線焦點坐標，結(jié)合離心率，聯(lián)立求解a,b,c得到雙曲線的方程；（2）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）代入橢圓方程，用點差法求出直線斜率，弦長公式求弦長即可.【詳解】（1）由題意得橢圓的焦點為F1（，0），F(xiàn)2（，0），設(shè)雙曲線方程為1，a＞0，b＞0，則c2＝a2+b2＝3，∵e∴ca，解得a2＝1，b2＝2，∴雙曲線方程為x21．（2）把A（x1，y1），B（x2，y2）分別代入雙曲線x12y12＝1，x22y22＝1，兩式相減，得（x1﹣x2）（x1+x2）（y1﹣y2）（y1+y2）＝0，把x1+x2＝4，y1+y2＝2代入，得4（x1﹣x2）﹣（y1﹣y2）＝0，∴kAB4，∴直線L的方程為y＝4x﹣7，把y＝4x﹣7代入x21，消去y得14x2﹣56x+51＝0，∴x1+x2＝4，x1x2＝，k＝4，∴|AB|?．【點睛】本題考查了直線和橢圓的中點弦和弦長問題，考查了學(xué)生綜合分析，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學(xué)運算的能力，屬于基礎(chǔ)題.21.設(shè)數(shù)列的前項和為，且．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)數(shù)列，對任意，將數(shù)列中落入?yún)^(qū)間內(nèi)的項的個數(shù)記為，記數(shù)列的前項和為，求使得的最小整數(shù)．【答案】（1）；（2）5【解析】【分析】（1）利用可求出數(shù)列的通項公式；（2）由（1）得，然后由，得，則，從而可求出，進而可求出使得的最小整數(shù)的值.【小問1詳解】當時，，得，當時，由，得，所以，，所以，所以數(shù)列是以2為首項，4為公比的等比數(shù)列，所以【小問2詳解】由（1）得，因為數(shù)列中落入?yún)^(qū)間內(nèi)，所以，所以，，所以，所以數(shù)列中落入?yún)^(qū)間內(nèi)的項的個數(shù)，所以，由，得，即，當時，，當時，，因為隨的增大而增大，所以的最小整數(shù)為5.22.已知橢圓的離心率為，過橢圓的一個焦點作垂直于軸的直線與橢圓交于兩點，.（1）求橢圓的方程；（2）過橢圓外一點任作一條直線與橢圓交于不同的兩點，在線段上取一點，滿足，證明：點必在某條定直線上.【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）依題意可得、，即可求出、、，從而求出橢圓方程