試卷解析：廣東省廣州市X雅中學2023-2024學年高一上學期期末數(shù)學試題（解析版）

2023學年上學期高一年級期末考試試題數(shù)學命題人：XXX審核人：XXX本試卷共4頁，滿分150分，考試用時120分鐘．注意事項：1．開考前，考生務(wù)必用黑色字跡的鋼筆或簽字筆將自己的姓名、班級、考號等信息填寫在答題卡指定區(qū)域內(nèi)．2．選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案；不能答在試卷上．3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)的相應(yīng)位置上，不得使用涂改液，不得使用計算器．不按以上要求作答的答案無效．4．考生必須保持答題卡的整潔．第Ⅰ卷（選擇題）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求的．1.已知集合，，則集合（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】解不等式求得集合、，由此求得.【詳解】，，所以.故選：B2.使不等式成立的一個充分不必要條件是（）.A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】解出不等式，進而可判斷出其一個充分不必要條件．【詳解】解：不等式，，解得，故不等式的解集為：，則其一個充分不必要條件可以是，故選：．【點睛】本題考查充分不必要條件的判斷，一般可根據(jù)如下規(guī)則判斷：（1）若是的必要不充分條件，則對應(yīng)集合是對應(yīng)集合的真子集；（2）是的充分不必要條件，則對應(yīng)集合是對應(yīng)集合的真子集；（3）是的充分必要條件，則對應(yīng)集合與對應(yīng)集合相等；（4）是的既不充分又不必要條件，對的集合與對應(yīng)集合互不包含．3.下列四個函數(shù)中，以為最小正周期，且在區(qū)間上單調(diào)遞減的是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)解析式判斷單調(diào)性，結(jié)合最小正周期即可得出結(jié)果.【詳解】對于A，的最小正周期為，因為，所以，由正弦函數(shù)的性質(zhì)可得在上不單調(diào)，故A錯誤；對于B，的最小正周期為，當時，在上單調(diào)遞減，故B正確；對于C，的最小正周期為，在上單調(diào)遞減，故C錯誤；對于D，的最小正周期為，在上單調(diào)遞增，故D錯誤故選:B.4.函數(shù)的圖像可由函數(shù)的圖像（）A.向左平移個單位得到B.向右平移個單位得到C.向左平移個單位得到D.向左平移個單位得到【答案】A【解析】【分析】先將轉(zhuǎn)化為，然后再利用三角函數(shù)圖象的平移變換求解.【詳解】因為,所以將向左平移可得到．故選：A．5.近年來，“北斗”指路、“天宮”覽勝、“墨子”傳信、“嫦娥”問月……中國航天碩果累累，令國人備感自豪.這些航天器的發(fā)射中，都遵循“理想速度方程”：，其中是理想速度（單位：m/s），是燃料燃燒時產(chǎn)生的噴氣速度（單位：m/s），是火箭起飛時的總質(zhì)量（單位：kg），m是火箭自身的質(zhì)量（單位：kg）.小婷同學所在社團向有關(guān)部門申請，準備制作一個試驗火箭，得到批準后，她們利用的某民用燃料燃燒時產(chǎn)生的噴氣速度為50m/s，火箭自身的質(zhì)量為4kg，燃料的質(zhì)量為5kg，在不計空氣阻力等因素影響的理想狀態(tài)下發(fā)射，至燃料燃盡時，該試驗火箭的理想速度大約為（）（，）A.40m/sB.36m/sC.78m/sD.95m/s【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題中條件確定kg，kg，m/s，按公式直接運算即可.【詳解】解：由于，其中kg，kg，m/s，所以（m/s）.故選：A.6.我們從這個商標中抽象出一個圖象如圖，其對應(yīng)的函數(shù)可能是A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】直接利用排除法和函數(shù)的單調(diào)性，對稱性及函數(shù)的定義域的應(yīng)用求出結(jié)果．【詳解】根據(jù)函數(shù)的圖象，對于選項：當時，，所以與圖象相矛盾，故舍去；對于選項：當時，函數(shù)（1）與函數(shù)在時，為函數(shù)的圖象的漸近線相矛盾故舍去；對于選項：由于函數(shù)的圖象的漸近線為，而原圖象中的漸近線為或，所以與原圖相矛盾，故舍去．對于選項：函數(shù)的圖象的漸近線為或，且單調(diào)性與原圖象相符，故選：．【點睛】本題考查的知識要點：函數(shù)的圖象的性質(zhì)的應(yīng)用，主要考查學生的運算能力和轉(zhuǎn)換能力及思維能力，屬于基礎(chǔ)題型．7.設(shè)函數(shù)的定義域為，若存在，使得成立，則稱是函數(shù)的一個不動點，下列函數(shù)存在不動點的是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】把選項中不同的代入，去判斷方程是否有解，來驗證函數(shù)是否存在不動點即可.【詳解】選項A：若，則，即，方程無解.故函數(shù)不存在不動點；選項B：若，則，即，方程無解.故函數(shù)不存在不動點；選項C：若，則，即或，兩種情況均無解.故函數(shù)不存在不動點；選項D：若，則，即設(shè)，則，則函數(shù)在上存在零點.即方程有解.函數(shù)存在不動點.故選：D8.如圖所示，在平面直角坐標系中，一單位圓的圓心的初始位置在（0，1），此時圓上一點P的位置在（0，0），圓在x軸上沿正向滾動，當圓滾動到圓心位于（2，1）時，點Р的坐標為（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】如圖，根據(jù)題意可得，利用三角函數(shù)的定義和誘導公式求出，進而得出結(jié)果.【詳解】如圖，由題意知，，因為圓的半徑，所以，所以，所以，即點.故選：D三、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分．9.下列判斷正確的是（）A.B.命題“”的否定是“”C.若，則D.“”是“是第一象限角”的充要條件【答案】AC【解析】【分析】選項A分類討論即可，選項B寫出全稱量詞命題的否定，選項C作差法即可，選項D充要條件的判斷.【詳解】選項A，當時，，當時，，故，所以選項A正確；對于B：命題“”的否定是“，故B錯誤；選項C，由，因為，所以，所以，故選項C正確，對于D：由，則在第一象限角或第四象限角，故充分性不成立，反之是第一象限角，則，故必要性成立，故“”是“是第一象限角”的必要不充分條件，故選項D錯誤.故選：.10.已知，且，給出下列結(jié)論，其中所有正確結(jié)論的序號是（）A.B.C.D.【答案】AD【解析】【分析】由題意結(jié)合平方關(guān)系以及角的范圍得，由此即可逐一判斷每一選項.【詳解】因為，，解得或（舍去），所以，所以，，，故AD正確，BC錯誤.故選：AD.11.函數(shù)，則下列說法不正確的是（）A.若的最小正周期為，則B.當時，的一個對稱中心為C.當時，若對任意的x有成立，則的最小值為D.當時，在單調(diào)且在不單調(diào)，則．【答案】ABC【解析】【分析】對于A，由即可判斷；對于B，直接由代入檢驗法即可判斷；對于C，當時，由題意，結(jié)合即可判斷；對于D，由正弦函數(shù)、復合函數(shù)單調(diào)性可得，由此即可判斷.【詳解】對于A，若，解得，故A錯誤，符合題意；對于B，當時，，，故B錯誤，符合題意；對于C，當時，，若對任意的x有成立，則，即，解得，因為，所以當時，，故C錯誤，符合題意；對于D，顯然，否則在不單調(diào)，所以時，函數(shù)，時，，時，，而關(guān)于在上單調(diào)遞增，若在單調(diào)且在不單調(diào)，由復合函數(shù)單調(diào)性可知，解得，結(jié)合可知，故D正確，不符合題意故選：ABC.12.空曠的田野上兩根電線桿之間的電線有相似的曲線形態(tài)．這些曲線在數(shù)學上稱為懸鏈線．懸鏈線在工程上有廣泛的應(yīng)用．在恰當?shù)淖鴺讼抵校@些曲線對應(yīng)的函數(shù)表達式可以為（其中a，b為非零常數(shù)），則對于函數(shù)以下結(jié)論正確的是（）A.若，則為偶函數(shù)B.若，則函數(shù)的最小值為2C.若，則函數(shù)的零點為0和D.若為奇函數(shù)，且使成立，則a的最小值為【答案】ACD【解析】【分析】對于A，直接由偶函數(shù)定義判斷即可；對于B，令即可判斷；對于C，令結(jié)合指數(shù)對數(shù)互換即可判斷；對于D，將不等式等價轉(zhuǎn)換為關(guān)于在上面有解，結(jié)合基本不等式即可得解.【詳解】對于A，若，定義域為全體實數(shù)，關(guān)于原點對稱，且此時，即為偶函數(shù)，故A正確；對于B，若，則，故B錯誤；對于C，若，則，令，解得或，即或，所以函數(shù)的零點為0和，故C正確；對于D，若奇函數(shù)，則，即，經(jīng)檢驗符合題意，由題意不等式在上有解，而在上有，所以在上有解，不妨設(shè)，則，所以關(guān)于在上面有解，由基本不等式得，等號成立當且僅當即時等號成立，綜上所述，a的最小值為，故D正確.故選：ACD.【點睛】關(guān)鍵點睛：D選項的關(guān)鍵是首先將不等式轉(zhuǎn)換為關(guān)于在上面有解，由此即可順利得解.第Ⅱ卷（非選擇題）三、填空題：本小題共4小題，每小題5分，共20分．第16題第一空2分，第二空3分．13.函數(shù)的定義域為__________.【答案】【解析】【分析】由解析式可得，求解即可.【詳解】由題意可得,故，即.故函數(shù)的定義域為.故答案為:.14.已知某扇形的弧長為，面積為，則該扇形的圓心角（正角）為_________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)給定條件求出扇形所在圓的半徑即可計算作答.【詳解】設(shè)扇形所在圓的半徑為，扇形弧長為，即，由扇形面積得：，解得，所以該扇形的圓心角(正角)為.故答案為：15.兩次購買同一種物品可以有兩種不同的策略，設(shè)兩次購物時價格分別為，甲策略是每次購買這種物品的數(shù)量一定，乙策略是每次購買這種物品所花的錢數(shù)一定，則___________種購物策略比較經(jīng)濟．（填“甲”或“乙”）【答案】乙【解析】【分析】由題意依次將兩種策略兩次購買物品平均價格表示出來，用作差法比較大小即可.【詳解】設(shè)甲策略每次買件物品，乙策略是每次購買這種物品所花的錢數(shù)為元，則甲策略兩次購買物品的平均價格為，乙策略兩次購買物品的平均價格為，所以，即，所以乙種購物策略比較經(jīng)濟.故答案為：乙.16.給定函數(shù)，若在其定義域內(nèi)存在使得，則稱為“函數(shù)”，為該函數(shù)的一個“點”．設(shè)函數(shù)，若1n2是的一個“點”，則實數(shù)a的值為______；若為“函數(shù)”，則實數(shù)a的取值范圍為______．【答案】①.3②.【解析】【分析】（1）根據(jù)對數(shù)函數(shù)的概念可得，結(jié)合新定義函數(shù)可得，解之即可；（2）根據(jù)新函數(shù)的定義可知當時，有，當時，有，分別得和，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)和基本不等式即可求解.【詳解】由題意知，當時，，由新定義的函數(shù)知，，則，有，即，解得；若函數(shù)為“函數(shù)”，則存在使得，當時，，，即，得，即，得，當且僅當即時等號成立.；當時，，，即，得，當且僅當即時等號成立.所以a的取值范圍為.故答案為：；.四、解答題（本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17.已知集合，.（1）若，求實數(shù)的值；（2）若，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）求出集合，再根據(jù)列方程求解即可；（2）根據(jù)分，討論求解.【小問1詳解】由已知得，解得；【小問2詳解】當時，，得當時，或，解得或，綜合得或.18.如圖，角的終邊與單位圓交于點，且.（1）求；（2）求.【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）根據(jù)三角函數(shù)的定義，平方關(guān)系以及點的位置可求出，再由商數(shù)關(guān)系即可求出；（2）利用誘導公式即可求出．【小問1詳解】由三角函數(shù)定義知,所以,因為,所以,所以.【小問2詳解】原式.19.已知函數(shù)為奇函數(shù)．（1）求實數(shù)a的值；（2）判斷在上的單調(diào)性并簡單說明理由（不必證明）；（3）解關(guān)于t的不等式．【答案】（1）（2）單調(diào)遞增，理由見解析（3）不等式的解集為【解析】【分析】（1）直接由奇函數(shù)性質(zhì)求解，并檢驗即可.（2）由復合函數(shù)單調(diào)性判斷，用定義結(jié)合指數(shù)函數(shù)單調(diào)性說明理由即可.（3）由奇函數(shù)性質(zhì)以及單調(diào)性將不等式等價轉(zhuǎn)換求解即可.小問1詳解】由題意，解得，此時，而它的定義域為關(guān)于原點對稱，且，所以經(jīng)檢驗滿足題意.【小問2詳解】由題意上單調(diào)遞增，理由如下：不妨設(shè)，則，即，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增.【小問3詳解】由題意，又因為函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，即，解得，即不等式的解集為.20.中國茶文化博大精深，茶水的口感與茶葉類型和茶水的溫度有關(guān).經(jīng)驗表明，某種綠茶，用一定溫度的水泡制，再等到茶水溫度降至某一溫度時，可以產(chǎn)生最佳口感.某研究員在泡制茶水的過程中，每隔1min測量一次茶水溫度，收集到以下數(shù)據(jù)：時間/min012345水溫/℃85.0079.0073.6068.7464.3660.42設(shè)茶水溫度從85°C開始，經(jīng)過tmin后溫度為y℃，為了刻畫茶水溫度隨時間變化的規(guī)律，現(xiàn)有以下兩種函數(shù)模型供選擇：①；②（1）選出你認為最符合實際的函數(shù)模型，說明理由，并參考表格中前3組數(shù)據(jù)，求出函數(shù)模型的解析式；（2）若茶水溫度降至55℃時飲用，可以產(chǎn)生最佳口感，根據(jù)（1）中的函數(shù)模型，剛泡好的茶水大約需要放置多長時間才能達到最佳飲用口感?（參考數(shù)據(jù)：，）【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)可知，隨著時間的變化，溫度越來越低直至室溫，所以選擇模型①，再列出三個方程，解出，即可得到函數(shù)模型的解析式；（2）令，即可求解得出．【小問1詳解】由表中數(shù)據(jù)可知，隨著時間的變化，溫度越來越低直至室溫，就不再下降，所以選擇模型①：由前3組數(shù)據(jù)可得，解得，所以函數(shù)模型為．【小問2詳解】由題意可知，即，所以，所以剛泡好的茶水大約需要放置才能達到最佳飲用口感.21.已知函數(shù)，其中，若實數(shù)滿足時，的最小值為.（1）求的值及的單調(diào)遞減區(qū)間；（2）若不等式對任意時恒成立，求實數(shù)應(yīng)滿足的條件；【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）化簡，結(jié)合最小正周期求得，得到，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)，即可求解函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；（2）化簡，令，得到，結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.【小問1詳解】解：由題意，函數(shù)，因為的最小值為，所以的最小正周期，解得，所以，由，解得，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為.【小問2詳解】解：由，因為，可得令，則，所以，，即，即令，可得，又由函數(shù)在為遞減函數(shù)，所以，所以，解得，即實數(shù)的取值范圍是.22.已知函數(shù)滿足如下條件：①對任意；②；③對任意，總有；（1）證明：滿足題干條件的函數(shù)在