浙江省寧波市鎮(zhèn)海中學(xué)2024屆高三下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題 含解析

2024屆浙江省鎮(zhèn)海中學(xué)高三下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)等填寫(xiě)在答題卡和試卷指定位置.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上.寫(xiě)在試卷上無(wú)效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.第Ⅰ卷客觀(guān)題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.軍事上角的度量常用密位制，密位制的單位是“密位”1密位就是圓周的所對(duì)的圓心角的大小，.若角密位，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由密位制與弧度的換算公式可得，，從而可得解．【詳解】因?yàn)?密位等于圓周角的，所以角密位時(shí)，，故選：C．2.直線(xiàn)與拋物線(xiàn)交于、兩點(diǎn)，若，其中為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的準(zhǔn)線(xiàn)方程為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求出點(diǎn)、坐標(biāo)，根據(jù)求出的值，即可得出拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)方程.【詳解】不妨設(shè)點(diǎn)在第一象限，則點(diǎn)在第四象限，聯(lián)立可得，則點(diǎn)、，所以，，解得，因此，準(zhǔn)線(xiàn)方程為.故選：B.3.2024年中國(guó)足球乙級(jí)聯(lián)賽陜西聯(lián)合的主場(chǎng)火爆，一票難求，主辦方設(shè)定了三種不同的票價(jià)分別對(duì)應(yīng)球場(chǎng)三個(gè)不同的區(qū)域，五位球迷相約看球賽，則五人中恰有三人在同一區(qū)域的不同座位方式共有（）A.30種 B.60種 C.120種 D.240種【答案】C【解析】【分析】依題意，先將在同一區(qū)域的三個(gè)人選出并選定區(qū)域，再對(duì)余下的兩人分別在其它兩個(gè)區(qū)域進(jìn)行選擇，由分步乘法計(jì)數(shù)原理即得.【詳解】要使五人中恰有三人在同一區(qū)域，可以分成三步完成：第一步，先從五人中任選三人，有種方法；第二步再選這三人所在的區(qū)域，有種方法；第三步，將另外兩人從余下的兩個(gè)區(qū)域里任選，有種方法.由分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有種方法.故選:C.4.已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，且，則（）A.0.4 B.0.3 C.0.2 D.0.1【答案】D【解析】【分析】利用正態(tài)分布曲線(xiàn)的性質(zhì)，再根據(jù)條件，即可求出結(jié)果.【詳解】由題知，曲線(xiàn)關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，又，所以，由曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性可知，，故選：D.5.“”是“函數(shù)為增函數(shù)”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】先根據(jù)函數(shù)單調(diào)遞增，得到導(dǎo)函數(shù)大于等于0，從而求出，由，但得到答案.【詳解】若函數(shù)單調(diào)遞增，有恒成立，可得，解得：，因?yàn)?，但，所以“”是“函?shù)為增函數(shù)”的必要不充分條件.故選：B.6.已知復(fù)數(shù)滿(mǎn)足，則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】【分析】設(shè)出復(fù)數(shù)的代數(shù)形式，利用復(fù)數(shù)模的意義列出方程即可判斷得解.【詳解】令，由，得，點(diǎn)在以為圓心，1為半徑的圓上，位于第四象限，故選：D7.若平面α，β截球O所得截面圓的面積分別為，，且球心O到平面α的距離為3，則球心O到平面β的距離為（）A. B.2 C. D.4【答案】A【解析】【分析】設(shè)平面，截球所得截面圓的半徑分別為，，再根據(jù)圓的面積公式，結(jié)合球內(nèi)的垂徑定理列式求解即可.【詳解】設(shè)平面，截球所得截面圓的半徑分別為，，則，，則，.設(shè)球的半徑為，球心到平面的距離為，則，所以.故選：A8.設(shè)數(shù)列滿(mǎn)足，，，若表示大于的最小整數(shù)，如，，記，則數(shù)列的前2022項(xiàng)之和為（）A.4044 B.4045 C.4046 D.4047【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意，由遞推關(guān)系結(jié)合等差數(shù)列通項(xiàng)公式與累加法可得數(shù)列通項(xiàng)公式，從而得到數(shù)列的通項(xiàng)公式，然后結(jié)合[x)的定義，即可得到結(jié)果．【詳解】因?yàn)椋?，又，所以?shù)列是以3為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，所以所以，當(dāng)時(shí)也符合上式，故，則數(shù)列的通項(xiàng)公式，則數(shù)列的前2022項(xiàng)之和為．故答案為：4045．二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得3分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知集合，則下列表示方法正確的是（）A. B. C. D.【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)集合與集合直接關(guān)系的符號(hào)表示，以及元素與集合之間的符號(hào)表示，即可判定出結(jié)果.【詳解】因?yàn)榧?，則，即A選項(xiàng)正確；集合中元素都是正整數(shù)，則，即C正確；“”只能表示元素與集合之間關(guān)系，故B錯(cuò)；“”只能表示集合之間的關(guān)系，故D錯(cuò).故選：AC.10.下列命題正確的是（）A.若與都是單位向量，則B.方向?yàn)槟掀鞯南蛄颗c北偏東的向量是共線(xiàn)向量C.若與是平行向量，則D.若用有向線(xiàn)段表示的向量與不相等，則點(diǎn)與不重合【答案】BD【解析】【分析】利用向量相等的條件，可判斷出選項(xiàng)A和C的正誤，利用共線(xiàn)向量的定義可判斷出選項(xiàng)B的正誤，根據(jù)向量的幾何表示，可判斷出選項(xiàng)D的正誤，從而得出結(jié)果.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，若與都是單位向量，則，但與可以方向不同，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤，對(duì)于選項(xiàng)B，因?yàn)榉较驗(yàn)槟掀鞯南蛄颗c北偏東的向量方向相反，所以選項(xiàng)B正確，對(duì)于選項(xiàng)C，若與是平行向量，但當(dāng)或與方向相反，不滿(mǎn)足，所以選項(xiàng)C錯(cuò)誤，對(duì)于選項(xiàng)D，由向量的幾何表示知，選項(xiàng)D正確，故選：BD.11.已知函數(shù)，且，則（）A.有兩個(gè)極值點(diǎn)B.有三個(gè)零點(diǎn)C.點(diǎn)是曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)中心D.直線(xiàn)是曲線(xiàn)的切線(xiàn)【答案】AC【解析】【分析】利用極值點(diǎn)的定義可判斷A，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性、極值及零點(diǎn)得存在性定理可判斷B，利用平移可判斷C；利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義判斷D.【詳解】由題意可得，解得，所以，令得或，令得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以是極值點(diǎn)，故A正確；因?yàn)?，，所以函?shù)在上有一個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)在上無(wú)零點(diǎn)，綜上所述，函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn)，故B錯(cuò)誤；令，該函數(shù)的定義域?yàn)?，因?yàn)椋瑒t是奇函數(shù)，所以是的對(duì)稱(chēng)中心，將的圖象向上移動(dòng)一個(gè)單位得到的圖象，所以點(diǎn)是曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)中心，故C正確；令，可得，又，當(dāng)切點(diǎn)為時(shí)，切線(xiàn)方程為，當(dāng)切點(diǎn)為時(shí)，切線(xiàn)方程為，故D錯(cuò)誤.故選：AC.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知函數(shù)，，（，且）．則函數(shù)是____________函數(shù)（奇偶性：奇或偶或非奇非偶）．【答案】奇【解析】【分析】應(yīng)用奇偶性定義判斷的奇偶性即可.【詳解】由題設(shè)，其定義域?yàn)椋?，所以是奇函?shù).故答案為：奇13.歐拉函數(shù)的函數(shù)值等于所有不超過(guò)且與互質(zhì)的正整數(shù)的個(gè)數(shù)（公約數(shù)只有1的兩個(gè)整數(shù)稱(chēng)為互質(zhì)整數(shù)），例如：，．記，數(shù)列的前項(xiàng)和為，若恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)_____．【答案】【解析】【分析】根據(jù)題目設(shè)定的歐拉函數(shù)的概念，結(jié)合數(shù)列前n項(xiàng)和的概念以及不等式恒成立的轉(zhuǎn)化方法即可求得參數(shù)的范圍.【詳解】在的整數(shù)中與不互質(zhì)的數(shù)有，共有個(gè)，所以與互質(zhì)的數(shù)有個(gè)，因此．在的整數(shù)中，2的倍數(shù)共有個(gè)，5的倍數(shù)共有個(gè)，10的倍數(shù)共有個(gè)，所以．所以，所以數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，所以，則恒成立等價(jià)于恒成立，即恒成立，所以，令，則，所以，且，所以，所以，即實(shí)數(shù)的取值范圍是【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題按照題目設(shè)定的歐拉函數(shù)的概念，關(guān)鍵分析出：（1）在的整數(shù)中與不互質(zhì)的數(shù)的個(gè)數(shù)，從而得到互質(zhì)的個(gè)數(shù)；（2）在的整數(shù)中，與互質(zhì)的數(shù)的個(gè)數(shù)分別是：2的倍數(shù)共有個(gè)，5的倍數(shù)共有個(gè)，10的倍數(shù)共有個(gè)，所以與（注意：2的倍數(shù)和5的倍數(shù)中包含了10的倍數(shù)）.14.若雙曲線(xiàn)（）的一條漸近線(xiàn)與直線(xiàn)垂直，則該雙曲線(xiàn)的離心率為_(kāi)_____.【答案】##【解析】【分析】易得雙曲線(xiàn)漸近線(xiàn)，再利用兩直線(xiàn)垂直斜率之積為求出，結(jié)合離心率公式即可求解.【詳解】雙曲線(xiàn)（）的漸近線(xiàn)方程為，直線(xiàn)斜率為，由一條漸近線(xiàn)與直線(xiàn)垂直得，解得，所以離心率為.故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.15.已知函數(shù)在處取得極值-14.（1）求曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程；（2）求函數(shù)在上的最值.【答案】（1）（2）最小值為-14，最大值18【解析】【分析】（1）由極值和極值點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)求出未知系數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切點(diǎn)處切線(xiàn)的方程.（2）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間，根據(jù)單調(diào)性求函數(shù)在區(qū)間上的最值.【小問(wèn)1詳解】因，故由于在處取得極值-14，故有，化簡(jiǎn)得，解得，經(jīng)檢驗(yàn)，時(shí)，符合題意，所以.則，，故.所以曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為：，即【小問(wèn)2詳解】，，解得或；解得，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，，因此在的最小值為.最大值為16.如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，點(diǎn)E、F、G分別為A1B1，B1C1，BB1的中點(diǎn)，點(diǎn)P是正方形CC1D1D的中心．（1）證明：AP∥平面EFG；（2）若平面AD1E和平面EFG的交線(xiàn)為l，求二面角A﹣l﹣G．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【解析】【分析】（1）先根據(jù)面面平行的判定定理，即可證明平面平面，由此即可證明結(jié)果；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量在求二面角中應(yīng)用，即可求出結(jié)果.【詳解】（1）連接，，點(diǎn)、、分別為的中點(diǎn)，，平面，平面；同理，平面，又，且平面，平面，所以，平面平面，點(diǎn)是正方形的中心，平面，平面；（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間指標(biāo)系，則，故，設(shè)平面的法向量為，由，可得，令，則，取平面的法向量為，則，所以二面角的大小為.【點(diǎn)睛】本題主要考查了面面平行的判定定理和應(yīng)用，同時(shí)考查空間向量在求二面角中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.17.在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，D為的中點(diǎn)，若．（1）求；（2）若，求的最小值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由，利用正弦定理化簡(jiǎn)得到求解；（2）根據(jù)D為的中點(diǎn)，得到，然后平方結(jié)合基本不等式求解.【小問(wèn)1詳解】解：由，利用正弦定理可得：，，∵，∴，∴；【小問(wèn)2詳解】由D為的中點(diǎn)，∴，∴，，又∵，∴，∴，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取最小值．18.在橢圓中，A、B是左右頂點(diǎn)，P是橢圓E上位于x軸上方的一點(diǎn)．直線(xiàn)PA、PB分別交直線(xiàn)于M、N兩點(diǎn)，PA、PB的斜率分別記為．（1）求的值；（2）若線(xiàn)段PB的中點(diǎn)Q恰好在以MN為直徑的圓上，求m的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）首先設(shè)點(diǎn)Px0,（2）首先利用直線(xiàn)方程與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理求點(diǎn)的坐標(biāo)，并求的中點(diǎn)，利用和，求得，并代入點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求的取值范圍.【小問(wèn)1詳解】設(shè)Px0,y0；【小問(wèn)2詳解】由題意知直線(xiàn)的方程為，則，由，得，則，則，，則，又所以的中點(diǎn)的坐標(biāo)為，當(dāng)直線(xiàn)的斜率存在時(shí)，由題意知，，又，所以，即，得，，，當(dāng)直線(xiàn)的斜率不存在時(shí)，，綜上：的取值范圍是.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是由圓的幾何性質(zhì)可知，，則可得到，才能代入坐標(biāo)運(yùn)算，化簡(jiǎn)得到與的關(guān)系.19.北京時(shí)間2022年6月5日，搭載神舟十四號(hào)載人飛船的長(zhǎng)征二號(hào)F遙十四運(yùn)載火箭，在酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心點(diǎn)火發(fā)射，約577秒后，神舟十四號(hào)載人飛船與火箭成功分離，進(jìn)入預(yù)定軌道，順利將陳冬、劉洋、蔡旭哲3名航天員送入太空，順利進(jìn)入天和核心艙．為激發(fā)廣大學(xué)生努力學(xué)習(xí)科學(xué)文化知識(shí)的熱情，某校團(tuán)委舉行了一場(chǎng)名為”學(xué)習(xí)航天精神，致敬航空英雄”的航天航空科普知識(shí)競(jìng)賽，滿(mǎn)分100分，共有100名同學(xué)參賽，經(jīng)過(guò)評(píng)判，這100名參賽者的得分都在[40，90]之間，其得分的頻率分布直方圖如圖所示．（1）根據(jù)頻率分布直方圖，求這100名同學(xué)得分的平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表）；（2）用分層抽樣的方法從得分在[60，70），[70，80），[80，90]這三組中選6名學(xué)生，再?gòu)倪@6名學(xué)生中隨機(jī)選取2名作為代表參加團(tuán)委座談會(huì)，求這2名學(xué)生的得分不在同一組的概率．【答案】（1