專題實(shí)際問題與一元二次方程的常見題型(八大題型)(原卷版+解析)

（蘇科版）九年級上冊數(shù)學(xué)《第1章一元二次方程》專題實(shí)際問題與一元二次方程的常見題型題型一傳播問題題型一傳播問題1．（2022?平原縣模擬）某年冬天流感大暴發(fā)，有一個(gè)人患了流感，經(jīng)過兩輪傳染后共有144人患了流感．（1）求每輪傳染中平均一個(gè)人傳染了幾個(gè)人？（2）如果按照這樣的傳染速度，經(jīng)過三輪傳染后共有多少個(gè)人患流感？2．有一種傳染性疾病，蔓延速度極快．據(jù)統(tǒng)計(jì)，在人群密集的某城市里，通常情況下，每人一天能傳染給若干人，現(xiàn)有一人患了這種疾病，開始兩天共有225人患上此病，通過計(jì)算解答下面的問題：（1）求每天一人傳染了幾人？（2）兩天后，人們有所覺察，這樣平均一個(gè)人一天以少傳播5人的速度在遞減，求再過兩天共有多少人患有此??？3．（2022秋?南海區(qū)月考）某?！把袑W(xué)”活動(dòng)小組在一次野外實(shí)踐時(shí)，發(fā)現(xiàn)一種植物的主干長出若干數(shù)目的支干，每個(gè)支干又長出同樣數(shù)目的小分支，主干、支干和小分支的總數(shù)是43，求這種植物每個(gè)支干長出的小分支個(gè)數(shù)．4．為了宣傳環(huán)保，小明寫了一篇倡議書，決定用微博轉(zhuǎn)發(fā)的方式傳播，他設(shè)計(jì)了如下的傳播規(guī)則：將倡議書發(fā)表在自己的微博上，再邀請n個(gè)好友轉(zhuǎn)發(fā)倡議書，每個(gè)好友轉(zhuǎn)發(fā)倡議書之后，又邀請n個(gè)互不相同的好友轉(zhuǎn)發(fā)倡議書，依此類推，已知經(jīng)過兩輪傳播后，共有111人參與了傳播活動(dòng)，則n的值是多少？5．某種病毒傳播速度非常快，如果最初有兩個(gè)人感染這種病毒，經(jīng)兩輪傳播后，就有五十個(gè)人被感染，求每輪傳播中平均一個(gè)人會(huì)傳染給幾個(gè)人？若病毒得不到有效控制，三輪傳播后將有多少人被感染？題型二單循環(huán)與雙循環(huán)問題題型二單循環(huán)與雙循環(huán)問題1．（2023春?大連期末）區(qū)教育局要組織轄區(qū)內(nèi)學(xué)校進(jìn)行足球友誼賽，賽制為單循環(huán)形式，即每兩所學(xué)校之間都賽一場，計(jì)劃安排28場比賽，應(yīng)邀請多少所學(xué)校參加比賽？2．參加一次商品交易會(huì)的每兩家公司之間都簽定了兩份合同，所有公司共簽定了90份合同，共有多少家公司參加商品交易會(huì)？3．在一次酒會(huì)上，每兩人都只碰一次杯，如果一共碰杯55次，問參加酒會(huì)的有多少人？4．中秋節(jié)期間，我校數(shù)學(xué)興趣小組同學(xué)都向本組其他同學(xué)各發(fā)了一條祝福短信，據(jù)統(tǒng)計(jì)，發(fā)了210條祝福語，問這個(gè)數(shù)學(xué)興趣小組有多少學(xué)生？5．（2022秋?江夏區(qū)校級月考）在一次聚會(huì)上，規(guī)定每兩個(gè)人見面必須握1次手．（1）若參加聚會(huì)的人共握手36次，請求出參加聚會(huì)的人數(shù)；（2）小明由握手問題想到了另一個(gè)數(shù)學(xué)問題：若某一直線上共有m個(gè)點(diǎn)，則由這些點(diǎn)中任意兩點(diǎn)所連線段的總數(shù)為．題型三數(shù)字問題題型三數(shù)字問題1．有一個(gè)兩位數(shù)，它的個(gè)位數(shù)字比十位數(shù)字大3，個(gè)位數(shù)字與十位數(shù)字的平方和比這兩個(gè)數(shù)大18，求這個(gè)兩位數(shù)．2．有一個(gè)兩位數(shù)，它的十位上的數(shù)字比個(gè)位上的數(shù)字小2，十位上的數(shù)字與個(gè)位上的數(shù)字的積的3倍剛好等于這個(gè)兩位數(shù)，求這個(gè)兩位數(shù)．3．（2022秋?連云港期末）一個(gè)兩位數(shù)，個(gè)位數(shù)字比十位數(shù)字大3，個(gè)位數(shù)字的平方剛好等于這個(gè)兩位數(shù)，則這個(gè)兩位數(shù)是多少？4．一個(gè)兩位數(shù)的兩個(gè)數(shù)字之和為9，把這個(gè)兩位數(shù)的個(gè)位數(shù)字與十位數(shù)字互換得到一個(gè)新的兩位數(shù)，他與原兩位數(shù)的積為1458，求原兩位數(shù)．5．（2023春?綠園區(qū)期末）如圖是某月日歷表的一部分，在此日歷表上可以用一個(gè)矩形圈出3×3個(gè)位置相鄰的數(shù)（如12，13，14，19，20，21，26，27，28）．若圈出的9個(gè)數(shù)中，最大數(shù)與最小數(shù)的積為161，求這9個(gè)數(shù)中最小數(shù).題型四平均變化率問題題型四平均變化率問題1．（2023春?湛江期末）我市某景區(qū)今年3月份接待游客人數(shù)為10萬人，5月份接待游客人數(shù)增加到12.1萬人．（1）求這兩個(gè)月游客人數(shù)的月平均增長率；（2）若月平均增長率不變，預(yù)計(jì)6月份的游客人數(shù)是多少？2．（2023春?余姚市期末）隨著科技的發(fā)展，某省正加快布局以5G等為代表的新興產(chǎn)業(yè)．據(jù)統(tǒng)計(jì)，目前該省5G基站數(shù)量約1.5萬座；計(jì)劃到今年底，全省5G基站數(shù)是目前的4倍；到后年底，全省5G基站數(shù)量將達(dá)到17.34萬座．（1）計(jì)劃在今年底，全省5G基站數(shù)量是多少萬座？（2）按照計(jì)劃，從今年底到后年底，全省5G基站數(shù)量的年平均增長率為多少？3．（2023?東莞市校級開學(xué)）臺(tái)風(fēng)“杜蘇芮”牽動(dòng)著全國人民的心，某單位開展了“一方有難，八方支援”賑災(zāi)捐款活動(dòng)，第一天收到捐款3000元，第三天收到捐款4320元．（1）如果第二天、第三天收到捐款的增長率相同，求捐款增長率；（2）按照（1）中收到的捐款的增長速度，第四天該單位能收到多少捐款？4．（2023?清鎮(zhèn)市模擬）貴州省政府近日宣布，從2023年8月1日起，將推出一系列旅游優(yōu)惠政策，以激勵(lì)更多游客到貴州旅游，某旅游景點(diǎn)為了響應(yīng)政府號(hào)召，將對旅游團(tuán)體購買門票實(shí)行優(yōu)惠活動(dòng)，決定在原定票價(jià)基礎(chǔ)上每張降價(jià)40元，這樣按原定票價(jià)需花費(fèi)3600元購買的門票張數(shù)，現(xiàn)在只花費(fèi)了2400元．（1）求每張門票的原定票價(jià)；（2）根據(jù)實(shí)際情況，活動(dòng)組織單位決定對于個(gè)人購票也采取優(yōu)惠措施，原定票價(jià)經(jīng)過連續(xù)兩次降價(jià)后降為97.2元，求平均每次降價(jià)的百分率．5．（2023春?倉山區(qū)校級期末）現(xiàn)代互聯(lián)網(wǎng)技術(shù)的廣泛應(yīng)用，催生了快遞行業(yè)的高速發(fā)展．據(jù)調(diào)查，某家小型“大學(xué)生自主創(chuàng)業(yè)”的快遞公司，今年三月份與五月份完成投遞的快遞總件數(shù)分別為10萬件和12.1萬件．現(xiàn)假定該公司每月的投遞總件數(shù)的增長率相同．（1）求該快遞公司投遞快遞總件數(shù)的月平均增長率；（2）如果平均每人每月最多可投遞快遞0.6萬件，那么該公司現(xiàn)有的20名快遞投遞業(yè)務(wù)員能否完成今年6月份的快遞投遞任務(wù)？如果不能，請問至少需要增加幾名業(yè)務(wù)員？題型五市場銷售問題題型五市場銷售問題1．（2023?九江一模）永佳超市銷售某種商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元，為了擴(kuò)大銷售，增加盈利，該店采取了降價(jià)措施，在每件盈利不少于25元的前提下，經(jīng)過一段時(shí)間銷售，發(fā)現(xiàn)銷售單價(jià)每降低1元，平均每天可多售出2件．當(dāng)每件商品降價(jià)多少元時(shí)，該商店每天銷售利潤為1200元？2．（2022秋?大渡口區(qū)校級期末）某商品的進(jìn)價(jià)為每件30元，現(xiàn)在的售價(jià)為每件45元，每月可賣出1500件，市場前期調(diào)查反映，如調(diào)整價(jià)格，每漲1元，每月少賣出60件，每月銷量不少于1200件．（1）每件售價(jià)最高為多少元？（2）實(shí)際銷售時(shí)，發(fā)現(xiàn)商品積壓較多，為盡快減少庫存，經(jīng)重新調(diào)查評估，發(fā)現(xiàn)每件在最高售價(jià)的基礎(chǔ)上降價(jià)銷售，每降1元，每月銷量比最低銷量1200件多賣120件，要使利潤達(dá)到25920元，則每件應(yīng)降價(jià)多少元？3．（2023?梅縣區(qū)一模）某超市以每千克40元的價(jià)格購進(jìn)菠蘿蜜，計(jì)劃以每千克60元的價(jià)格銷售，為了讓顧客得到實(shí)惠．現(xiàn)決定降價(jià)銷售，已知這種菠蘿蜜銷售量y（千克）與每千克降價(jià)x（元）（0＜x＜20）之間滿足一次函數(shù)關(guān)系，其圖象如圖所示．（1）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式．（2）若超市要想獲利2400元，且讓顧客獲得更大實(shí)惠，這種菠蘿蜜每千克應(yīng)降價(jià)多少元？4．（2023春?懷寧縣期末）公安交警部門提醒市民，騎車出行必須嚴(yán)格遵守“一盔一帶”的規(guī)定．某頭盔經(jīng)銷商銷售某名牌頭盔，進(jìn)價(jià)為30元/個(gè)，測算在市場中，當(dāng)售價(jià)為40元/個(gè)時(shí)，月銷售量為600個(gè)．若在此基礎(chǔ)上每上漲1元/個(gè)，則月銷售量將減少10個(gè)．（1）設(shè)售價(jià)在40元/個(gè)的基礎(chǔ)上漲價(jià)x元，則月銷售量為個(gè)，每個(gè)頭盔的利潤是元．（用x的代數(shù)式表示）（2）為使月銷售利潤達(dá)到10000元，而且盡可能讓顧客得到實(shí)惠，則該品牌頭盔的實(shí)際售價(jià)應(yīng)定為多少元/個(gè)？（3）要想使月銷售利潤達(dá)到13000元，問這個(gè)要求能否實(shí)現(xiàn)？請說說你的理由．5．（2022春?江北區(qū)校級月考）社區(qū)是我家，建設(shè)為大家，為了豐富社區(qū)生活，提高社區(qū)美譽(yù)度，幸福社區(qū)計(jì)劃投入9.9萬元購進(jìn)一批健身器材和勞動(dòng)器材，且準(zhǔn)備購進(jìn)勞動(dòng)器材的數(shù)量是健身器材的6倍，現(xiàn)從商家了解到，一套健身器材和一套勞動(dòng)器材的售價(jià)分別為3000元和600元．（1）求最多購進(jìn)健身器材多少套？（2）恰逢五一優(yōu)購節(jié)，每套健身器材的售價(jià)下降35m%，每套勞動(dòng)器材的售價(jià)下降5m元，社區(qū)決定健身器材和勞動(dòng)器材的數(shù)量在（1）中購進(jìn)健身器材最多量時(shí)的基礎(chǔ)上都增加m%，這樣，實(shí)際投入資金和計(jì)劃投入資金完全相同，求m6．（2023春?臨泉縣期末）2022北京冬奧會(huì)期間，某網(wǎng)店直接從工廠購進(jìn)A、B兩款冰墩墩鑰匙扣，進(jìn)貨價(jià)和銷售價(jià)如下表：（注：利潤＝銷售價(jià)﹣進(jìn)貨價(jià)）類別價(jià)格A款鑰匙扣B款鑰匙扣進(jìn)貨價(jià)（元/件）3025銷售價(jià)（元/件）4537（1）網(wǎng)店第一次用850元購進(jìn)A、B兩款鑰匙扣共30件，求兩款鑰匙扣分別購進(jìn)的件數(shù)？（2）冬奧會(huì)臨近結(jié)束時(shí)，網(wǎng)店打算把B款鑰匙扣調(diào)價(jià)銷售，如果按照原價(jià)銷售，平均每天可售4件．經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，每降價(jià)1元，平均每天可多售2件，將銷售價(jià)定為每件多少元時(shí)，才能使B款鑰匙扣平均每天銷售利潤為90元？題型六規(guī)則圖形的面積問題題型六規(guī)則圖形的面積問題1．（2022秋?中山市期末）如圖，矩形ABCD是一塊長16米、寬12米的荒地，要在這塊荒地上建造一個(gè)矩形花園EFGH，在花園的外圍是寬度相等的小路．要使花園所占面積為荒地面積的一半，則小路的寬為多少米？2．今年我市計(jì)劃擴(kuò)大城區(qū)綠地面積，現(xiàn)有一塊長方形綠地，它的短邊長為40m，若將短邊長增長到與長邊長相等（長邊長不變），使擴(kuò)大后的綠地的形狀是正方形，且面積比原來增加500m2．求原來綠地的長邊長為多少米．3．（2022秋?宜州區(qū)期中）現(xiàn)有一塊長40cm，寬20cm的長方形鐵皮，在它的四個(gè)角分別剪去一個(gè)大小完全相同的小正方形，用剩余的部分做成一個(gè)底面積為384cm2的無蓋長方體盒子，請求出剪去的小正方形的邊長．4．如圖，一個(gè)正方形花圃ABCD，在一次綠化改造中，該花圃在AB方向延伸了3米，AD方向上被占用了1米后，變成一個(gè)面積為21平方米的矩形花圃．求原來花圃的邊長．5．（2022秋?鞍山期末）如圖1，將一張寬10cm的矩形硬紙片裁剪掉圖中陰影部分（兩個(gè)正方形，兩個(gè)矩形）之后，恰好折成如圖2的底面為正方形的有蓋紙盒（底面積大于側(cè)面積），紙盒側(cè)面積為32cm2，求該有蓋紙盒的底面邊長．（單位：cm）6．（2023春?廬陽區(qū)校級期中）如圖，已知線段AB＝10cm，點(diǎn)C在線段AB上，分別以AC，BC，AB為邊向下作正方形．（1）當(dāng)陰影部分的面積為42cm2時(shí)，請求出AC的長；（2）陰影部分的面積能否為60cm2？如果能，請求出AC的長；如果不能，請說明理由．題型七邊框與甬道問題題型七邊框與甬道問題1．（2022秋?新?lián)釁^(qū)期末）如圖，在長為32米、寬為20米的矩形地面上修筑同樣寬的道路（圖中陰影部分），小路與矩形的一邊垂直，余下部分種植草坪，要使草坪面積為540平方米，求小路的寬．2．（2022秋?漣源市期中）如圖，一矩形草坪的長為25米，寬為12米，在草坪上有兩條互相垂直且寬度相等的矩形小路（陰影部分），非陰影部分的面積是230平方米．（1）求小路的寬．（2）每平方米小路的建設(shè)費(fèi)用為200元，求修建兩條小路的總費(fèi)用．3．（2023?和平區(qū)校級三模）如圖，某學(xué)校有一塊長30m，寬10m的長方形空地，計(jì)劃在其中修建兩塊相同的長方形綠地，兩塊綠地之間及周邊留有寬度相等的人行通道．若兩塊長方形綠地的面積共216m2，求人行通道的寬度．4．（2022?大同二模）如圖，某中學(xué)有一塊長30m，寬20m的矩形空地，計(jì)劃在這塊空地面積的一半?yún)^(qū)域種花，其余部分硬化．小亮同學(xué)設(shè)計(jì)了一個(gè)寬度相同的“U”形區(qū)域，求花帶的寬度．5．（2022秋?綏中縣期末）如圖，要設(shè)計(jì)一個(gè)長為15cm，寬為10cm的矩形圖案，其中有兩橫兩豎彩條，橫豎彩條的寬度之比為5：4，若使所有彩條所占面積是原來矩形圖案面積的三分之一，應(yīng)如何設(shè)計(jì)每個(gè)彩條的寬度？6．（2023?灞橋區(qū)校級模擬）2023亞洲花卉產(chǎn)業(yè)博覽會(huì)于2023年5月10至12日，在中國進(jìn)出口交易會(huì)展館舉辦，為了迎接盛會(huì)的到來，組委會(huì)想利用一塊長方形空地建了一個(gè)小型的惠民停車場，其布局如圖所示，已知停車場的長為52m，寬為28m，陰影部分設(shè)計(jì)為停車位，其余部分是等寬的通道，已知停車位占地面積為640m2．求通道的寬是多少米？題型八圍墻類問題題型八圍墻類問題1．（2023春?昌平區(qū)期末）如圖，用80m長的籬笆在墻邊（墻長40米）圍一個(gè)矩形草坪，當(dāng)矩形面積是750m2時(shí)，它的長和寬應(yīng)為多少？2．（2022秋?小店區(qū)校級期末）義務(wù)教育勞動(dòng)課程以豐富開放的勞動(dòng)項(xiàng)目為載體．學(xué)校準(zhǔn)備在校園內(nèi)利用校圍墻的一段（墻體的最大可用長度a＝10米）和籬笆，圍成中間隔有一道籬笆的矩形勞動(dòng)實(shí)踐菜園ABCD（如圖），已知籬笆長24米（籬笆全部用完），如果要圍成面積為45平方米的菜園，AB的長是多少米？3．如圖，利用一面墻（墻的最大可利用長度為25米），用柵欄圍成一個(gè)矩形場地ABCD（靠墻一面不用柵欄），中間再用柵欄分隔成兩個(gè)小矩形，且在如圖所示位置留兩個(gè)1米寬的小門，若所用柵欄的總長度為52米，設(shè)柵欄BC的長為x米，解答下列問題：（1）AB＝米（用含x的代數(shù)式表示）；（2）若矩形場地ABCD面積為240平方米，求柵欄BC的長．4．（2022春?慶元縣校級月考）某農(nóng)場要建一個(gè)飼養(yǎng)場（矩形ABCD），兩面靠現(xiàn)有墻（AD位置的墻最大可用長度為27米，AB位置的墻最大可用長度為15米），另兩面用木欄圍成，中間也用木欄隔開，分成兩個(gè)場地及一處通道，并在如圖的三處各留1米寬的門（不用木欄）．建成后木欄總長45米．若飼養(yǎng)場的面積為180平方米，求飼養(yǎng)場（矩形ABCD）的一邊AB的長為米？5．（2023春?泰州期末）學(xué)校課外興趣活動(dòng)小組準(zhǔn)備利用長為8m的墻AB和一段長為26m的籬笆圍建一個(gè)矩形苗圃園，設(shè)平行于墻一邊CD長為xm．（1）如圖1，如果矩形花園的一邊AB，另三邊由籬笆ECDF圍成，當(dāng)苗圃園的面積為60m2時(shí)，求x的值；（2）如圖2，如果矩形苗圃園的一邊由墻AB和一節(jié)籬笆BF構(gòu)成，另三邊由籬笆ACDF圍成，當(dāng)苗圃園的面積為60m2時(shí)，求x的值．6．（2023春?宿松縣期末）為了節(jié)省材料，某水產(chǎn)養(yǎng)殖戶利用水庫的一段平直的岸堤（岸堤長20米）為一邊，用總長為80米的圍網(wǎng)，在水庫中圍成了如圖所示的①②③三塊不同的矩形區(qū)域用于不同水產(chǎn)的養(yǎng)殖，且這三塊矩形區(qū)域的面積相等．（1）設(shè)BE的長度為x米，則AE＝米，BC＝米；（用含x的代數(shù)式表示）；（2）當(dāng)矩形ABCD面積為288米2時(shí)，求BC的長度；（3）矩形ABCD的面積能不能等于360米2，為什么？

（蘇科版）九年級上冊數(shù)學(xué)《第1章一元二次方程》專題實(shí)際問題與一元二次方程的常見題型題型一傳播問題題型一傳播問題1．（2022?平原縣模擬）某年冬天流感大暴發(fā)，有一個(gè)人患了流感，經(jīng)過兩輪傳染后共有144人患了流感．（1）求每輪傳染中平均一個(gè)人傳染了幾個(gè)人？（2）如果按照這樣的傳染速度，經(jīng)過三輪傳染后共有多少個(gè)人患流感？【分析】（1）設(shè)每輪傳染中平均一個(gè)人傳染了x個(gè)人，第一輪傳染中有x人被傳染，第二輪傳染中有x（1+x）人被傳染，根據(jù)“有一個(gè)人患了流感，經(jīng)過兩輪傳染后共有144人患了流感”，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出結(jié)論；（2）利用經(jīng)過三輪傳染后患流感的人數(shù)＝經(jīng)過兩輪傳染后患流感的人數(shù)×（1+每輪傳染中平均一個(gè)人傳染的人數(shù)），即可求出結(jié)論．【解答】解：（1）設(shè)每輪傳染中平均一個(gè)人傳染了x個(gè)人，第一輪傳染中有x人被傳染，第二輪傳染中有x（1+x）人被傳染，依題意得：1+x+x（1+x）＝144，解得：x1＝11，x2＝﹣13（不合題意，舍去）．答：每輪傳染中平均一個(gè)人傳染了11個(gè)人．（2）144×（1+11）＝144×12＝1728（個(gè)）．答：如果按照這樣的傳染速度，經(jīng)過三輪傳染后共有1728個(gè)人患流感．【點(diǎn)評】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用以及有理數(shù)的混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程；（2）根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，列式計(jì)算．2．有一種傳染性疾病，蔓延速度極快．據(jù)統(tǒng)計(jì)，在人群密集的某城市里，通常情況下，每人一天能傳染給若干人，現(xiàn)有一人患了這種疾病，開始兩天共有225人患上此病，通過計(jì)算解答下面的問題：（1）求每天一人傳染了幾人？（2）兩天后，人們有所覺察，這樣平均一個(gè)人一天以少傳播5人的速度在遞減，求再過兩天共有多少人患有此?。俊痉治觥浚?）第一天患病的人數(shù)為1+1×傳播的人數(shù)；第一天患病人數(shù)將成為第二天的傳染源，第二天患病的人數(shù)為第一天患病的人數(shù)×傳播的人數(shù)，等量關(guān)系為：第一天患病的人數(shù)+第二天患病的人數(shù)＝225；（2）再過兩天的患病人數(shù)＝225+225×（原來的傳播人數(shù)﹣5）+前3天一共患病的人數(shù)×（第3天的傳播人數(shù)﹣5）．【解答】解：（1）設(shè)每天一人傳染了x人．1+x+（1+x）×x＝225，（1+x）2＝225，∵1+x＞0，∴1+x＝15，x＝14．答：每天一人傳染了14人；（2）再過兩天的患病人數(shù)＝225+225×（14﹣5）+[225+225×（14﹣5）]×（14﹣5﹣5）＝11250．答：共有11250人患?。军c(diǎn)評】考查一元二次方程的應(yīng)用；得到兩天患病人數(shù)的等量關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵；易錯(cuò)點(diǎn)是理解第一天患病的總?cè)藬?shù)是第二天的傳染源．3．（2022秋?南海區(qū)月考）某?！把袑W(xué)”活動(dòng)小組在一次野外實(shí)踐時(shí)，發(fā)現(xiàn)一種植物的主干長出若干數(shù)目的支干，每個(gè)支干又長出同樣數(shù)目的小分支，主干、支干和小分支的總數(shù)是43，求這種植物每個(gè)支干長出的小分支個(gè)數(shù)．【分析】設(shè)這種植物每個(gè)支干長出的小分支個(gè)數(shù)是x，根據(jù)主干、支干和小分支的總數(shù)是43，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出結(jié)論．【解答】解：設(shè)這種植物每個(gè)支干長出的小分支個(gè)數(shù)是x，依題意得：1+x+x2＝43，整理得：x2+x﹣42＝0，解得：x1＝﹣7（不合題意，舍去），x2＝6．答：這種植物每個(gè)支干長出的小分支個(gè)數(shù)為6．【點(diǎn)評】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．4．為了宣傳環(huán)保，小明寫了一篇倡議書，決定用微博轉(zhuǎn)發(fā)的方式傳播，他設(shè)計(jì)了如下的傳播規(guī)則：將倡議書發(fā)表在自己的微博上，再邀請n個(gè)好友轉(zhuǎn)發(fā)倡議書，每個(gè)好友轉(zhuǎn)發(fā)倡議書之后，又邀請n個(gè)互不相同的好友轉(zhuǎn)發(fā)倡議書，依此類推，已知經(jīng)過兩輪傳播后，共有111人參與了傳播活動(dòng)，則n的值是多少？【分析】設(shè)邀請了n個(gè)好友轉(zhuǎn)發(fā)倡議書，第一輪傳播了n個(gè)人，第二輪傳播了n2個(gè)人，根據(jù)兩輪傳播后，共有111人參與列出方程求解即可．【解答】解：由題意，得n+n2+1＝111，解得：n1＝﹣11（舍去），n2＝10．故n的值是10．【點(diǎn)評】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，解答時(shí)先由條件表示出第一輪增加的人數(shù)和第二輪增加的人數(shù)，根據(jù)兩輪總?cè)藬?shù)為111人建立方程是關(guān)鍵．5．某種病毒傳播速度非?？?，如果最初有兩個(gè)人感染這種病毒，經(jīng)兩輪傳播后，就有五十個(gè)人被感染，求每輪傳播中平均一個(gè)人會(huì)傳染給幾個(gè)人？若病毒得不到有效控制，三輪傳播后將有多少人被感染？【分析】設(shè)每輪傳播中平均一個(gè)人會(huì)傳染給x個(gè)人，則第一輪會(huì)傳染給2x人，第二輪會(huì)傳染給x（2+2x）人，根據(jù)經(jīng)兩輪傳播后共五十個(gè)人被感染，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出每輪傳播中平均一個(gè)人會(huì)傳染給4個(gè)人，再利用經(jīng)過三輪傳播后被感染的人數(shù)＝經(jīng)過兩輪傳播后被感染的人數(shù)×（1+每輪傳播中平均一個(gè)人傳染的人數(shù)），即可求出結(jié)論．【解答】解：設(shè)每輪傳播中平均一個(gè)人會(huì)傳染給x個(gè)人，則第一輪會(huì)傳染給2x人，第二輪會(huì)傳染給x（2+2x）人，依題意得：2+2x+x（2+2x）＝50，整理得：x2+2x﹣24＝0，解得：x1＝4，x2＝﹣6（不合題意，舍去），∴50（1+4）＝50×5＝250（人）．答：每輪傳播中平均一個(gè)人會(huì)傳染給4個(gè)人，若病毒得不到有效控制，三輪傳播后將有250人被感染．【點(diǎn)評】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．題型二單循環(huán)與雙循環(huán)問題題型二單循環(huán)與雙循環(huán)問題1．（2023春?大連期末）區(qū)教育局要組織轄區(qū)內(nèi)學(xué)校進(jìn)行足球友誼賽，賽制為單循環(huán)形式，即每兩所學(xué)校之間都賽一場，計(jì)劃安排28場比賽，應(yīng)邀請多少所學(xué)校參加比賽？【分析】設(shè)應(yīng)邀請x所學(xué)校參加比賽，利用比賽的總場數(shù)＝參賽學(xué)校數(shù)×（參賽學(xué)校數(shù)﹣1）÷2，可列出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其符合題意的值，即可得出結(jié)論．【解答】解：設(shè)應(yīng)邀請x所學(xué)校參加比賽，根據(jù)題意得：12x（x整理得：x2﹣x﹣56＝0，解得：x1＝8，x2＝﹣7（不符合題意，舍去）．答：應(yīng)邀請8所學(xué)校參加比賽．【點(diǎn)評】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．2．參加一次商品交易會(huì)的每兩家公司之間都簽定了兩份合同，所有公司共簽定了90份合同，共有多少家公司參加商品交易會(huì)？【分析】設(shè)共有x家公司參加商品交易會(huì)，利用簽訂合同的總份數(shù)＝參會(huì)公司數(shù)×（參會(huì)公司數(shù)﹣1），即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其正值，即可得出結(jié)論．【解答】解：設(shè)共有x家公司參加商品交易會(huì)，根據(jù)題意得：x（x﹣1）＝90，整理得：x2﹣x﹣90＝0，解得：x1＝10，x2＝﹣9（不符合題意，舍去）．答：共有10家公司參加商品交易會(huì)．【點(diǎn)評】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．3．在一次酒會(huì)上，每兩人都只碰一次杯，如果一共碰杯55次，問參加酒會(huì)的有多少人？【分析】設(shè)參加酒會(huì)的人數(shù)為x人，根據(jù)每兩人都只碰一次杯且一共碰杯55次，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出結(jié)論．【解答】解：設(shè)參加酒會(huì)的人數(shù)為x人，根據(jù)題意得：12x（x整理，得：x2﹣x﹣110＝0，解得：x1＝11，x2＝﹣10（不合題意，舍去）．答：參加酒會(huì)的人數(shù)為11人．【點(diǎn)評】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．4．中秋節(jié)期間，我校數(shù)學(xué)興趣小組同學(xué)都向本組其他同學(xué)各發(fā)了一條祝福短信，據(jù)統(tǒng)計(jì)，發(fā)了210條祝福語，問這個(gè)數(shù)學(xué)興趣小組有多少學(xué)生？【分析】根據(jù)數(shù)學(xué)興趣小組同學(xué)都向本組其他同學(xué)各發(fā)了一條祝福短信，據(jù)統(tǒng)計(jì)，發(fā)了210條祝福語，可以列出相應(yīng)的二元一次方程，然后解方程即可．【解答】解：設(shè)這個(gè)數(shù)學(xué)興趣小組有x名學(xué)生，x（x﹣1）＝210，解得，x1＝15，x2＝﹣14（舍去），答：這個(gè)數(shù)學(xué)興趣小組有15名學(xué)生．【點(diǎn)評】本題考查一元二次方程的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，列出相應(yīng)的方程，這是一道典型的雙循環(huán)問題．5．（2022秋?江夏區(qū)校級月考）在一次聚會(huì)上，規(guī)定每兩個(gè)人見面必須握1次手．（1）若參加聚會(huì)的人共握手36次，請求出參加聚會(huì)的人數(shù)；（2）小明由握手問題想到了另一個(gè)數(shù)學(xué)問題：若某一直線上共有m個(gè)點(diǎn)，則由這些點(diǎn)中任意兩點(diǎn)所連線段的總數(shù)為．【分析】（1）設(shè)參加聚會(huì)的人數(shù)為x人，利用握手總次數(shù)＝參加聚會(huì)的人數(shù)×（參加聚會(huì)的人數(shù)﹣1）÷2，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出結(jié)論；（2）利用由這些點(diǎn)中任意兩點(diǎn)所連線段的總數(shù)＝點(diǎn)的個(gè)數(shù)×（點(diǎn)的個(gè)數(shù)﹣1）÷2，即可用含m的代數(shù)式表示出由這些點(diǎn)中任意兩點(diǎn)所連線段的總數(shù)．【解答】解：（1）設(shè)參加聚會(huì)的人數(shù)為x人，依題意得：12x（x整理得：x2﹣x﹣72＝0，解得：x1＝9，x2＝﹣8（不符合題意，舍去）．答：參加聚會(huì)的人數(shù)為9人．（2）依題意得：由這些點(diǎn)中任意兩點(diǎn)所連線段的總數(shù)為12m（m故答案為：12m（m【點(diǎn)評】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用以及列代數(shù)式，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．題型三數(shù)字問題題型三數(shù)字問題1．有一個(gè)兩位數(shù)，它的個(gè)位數(shù)字比十位數(shù)字大3，個(gè)位數(shù)字與十位數(shù)字的平方和比這兩個(gè)數(shù)大18，求這個(gè)兩位數(shù)．【分析】等量關(guān)系為：個(gè)位上的數(shù)字與十位上的數(shù)字的平方和＝這個(gè)兩位數(shù)+18，把相關(guān)數(shù)值代入求得整數(shù)解即可．【解答】解：設(shè)個(gè)位上的數(shù)字為x，則十位上的數(shù)字為（x﹣3）．可列方程為：x2+（x﹣3）2＝10（x﹣3）+x+18解得x1＝7，x2＝1.5（舍），∴x﹣3＝4，∴10（x﹣3）+x＝47．答：這個(gè)兩位數(shù)為47．【點(diǎn)評】考查一元二次方程的應(yīng)用，用到的知識(shí)點(diǎn)為：兩位數(shù)＝10×十位數(shù)字+個(gè)位數(shù)字，解題的關(guān)鍵是能夠表示這個(gè)兩位數(shù)．2．有一個(gè)兩位數(shù)，它的十位上的數(shù)字比個(gè)位上的數(shù)字小2，十位上的數(shù)字與個(gè)位上的數(shù)字的積的3倍剛好等于這個(gè)兩位數(shù)，求這個(gè)兩位數(shù)．【分析】設(shè)十位上的數(shù)字為x，則個(gè)位上的數(shù)字為（x+2），根據(jù)十位上的數(shù)字與個(gè)位上的數(shù)字的積的3倍剛好等于這個(gè)兩位數(shù)，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出結(jié)論．【解答】解：設(shè)十位上的數(shù)字為x，則個(gè)位上的數(shù)字為（x+2），根據(jù)題意得：3x（x+2）＝10x+（x+2），整理得：3x2﹣5x﹣2＝0，解得：x1＝2，x2=?1∴x+2＝4，∴這個(gè)兩位數(shù)為24．【點(diǎn)評】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．3．（2022秋?連云港期末）一個(gè)兩位數(shù)，個(gè)位數(shù)字比十位數(shù)字大3，個(gè)位數(shù)字的平方剛好等于這個(gè)兩位數(shù)，則這個(gè)兩位數(shù)是多少？【分析】先設(shè)個(gè)位數(shù)字為x，那么十位數(shù)字是（x﹣3），這個(gè)兩位數(shù)是[10（x﹣3）+x]，然后根據(jù)個(gè)位數(shù)字的平方剛好等于這個(gè)兩位數(shù)即可列出方程求解即可．【解答】解：設(shè)個(gè)位數(shù)字為x，那么十位數(shù)字是（x﹣3），這個(gè)兩位數(shù)是10（x﹣3）+x，依題意得：x2＝10（x﹣3）+x，∴x2﹣11x+30＝0，∴x1＝5，x2＝6，∴x﹣3＝2或3．答：這個(gè)兩位數(shù)是25或36．【點(diǎn)評】此題考查了一元二次方程的應(yīng)用，正確理解關(guān)鍵描述語，找到等量關(guān)系準(zhǔn)確地列出方程是解決問題的關(guān)鍵．4．一個(gè)兩位數(shù)的兩個(gè)數(shù)字之和為9，把這個(gè)兩位數(shù)的個(gè)位數(shù)字與十位數(shù)字互換得到一個(gè)新的兩位數(shù)，他與原兩位數(shù)的積為1458，求原兩位數(shù)．【分析】設(shè)個(gè)位數(shù)字為x，則十位數(shù)字為（9﹣x）．依據(jù)“把這個(gè)兩位數(shù)的個(gè)位數(shù)字與十位數(shù)字互換得到一個(gè)新的兩位數(shù)，他與原兩位數(shù)的積為1458”列出方程．【解答】解：設(shè)個(gè)位數(shù)字為x，則十位數(shù)字為（9﹣x）．則[10x+（9﹣x）][10（9x）+x]＝1458整理，得（x﹣8）（x﹣1）＝0，解得x＝8或x＝1答：這個(gè)兩位數(shù)是81或18．【點(diǎn)評】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用．解題關(guān)鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件，找出合適的等量關(guān)系，列出方程，再求解．5．（2023春?綠園區(qū)期末）如圖是某月日歷表的一部分，在此日歷表上可以用一個(gè)矩形圈出3×3個(gè)位置相鄰的數(shù)（如12，13，14，19，20，21，26，27，28）．若圈出的9個(gè)數(shù)中，最大數(shù)與最小數(shù)的積為161，求這9個(gè)數(shù)中最小數(shù).【分析】設(shè)最小數(shù)為x，則另外八個(gè)數(shù)分別為（x+1），（x+2），（x+7），（x+8），（x+9），（x+14），（x+15），（x+16），根據(jù)最大數(shù)與最小數(shù)的積為161，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其正值，再將九個(gè)數(shù)相加即可得出結(jié)論．【解答】解：設(shè)最小數(shù)為x，則另外八個(gè)數(shù)分別為（x+1），（x+2），（x+7），（x+8），（x+9），（x+14），（x+15），（x+16），依題意，得：x（x+16）＝161，解得：x1＝7，x2＝﹣23（不合題意，舍去），答：這9個(gè)數(shù)中最小數(shù)為7．【點(diǎn)評】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．題型四平均變化率問題題型四平均變化率問題1．（2023春?湛江期末）我市某景區(qū)今年3月份接待游客人數(shù)為10萬人，5月份接待游客人數(shù)增加到12.1萬人．（1）求這兩個(gè)月游客人數(shù)的月平均增長率；（2）若月平均增長率不變，預(yù)計(jì)6月份的游客人數(shù)是多少？【分析】根據(jù)增長率的定義處理（1）設(shè)平均增長率為x，依題意，得10（1+x）2＝12.1，解方程；（2）基期數(shù)據(jù)為12.1，增長期間為1個(gè)月，依公式計(jì)算求解．【解答】解：（1）設(shè)這兩個(gè)月游客人數(shù)的月平均增長率為x，依題意，得：10（1+x）2＝12.1，解得x1＝﹣2.1（舍去），x2＝0.1．答：這兩個(gè)月游客人數(shù)的月平均增長率為10%；（2）12.1×（1+10%）＝13.31（萬人）．答：按照這個(gè)增長率，預(yù)計(jì)6月份的游客人數(shù)是13.31萬人．【點(diǎn)評】本題考查一元二次方程的應(yīng)用；熟練增長率的定義及計(jì)算公式是解題的關(guān)鍵．2．（2023春?余姚市期末）隨著科技的發(fā)展，某省正加快布局以5G等為代表的新興產(chǎn)業(yè)．據(jù)統(tǒng)計(jì)，目前該省5G基站數(shù)量約1.5萬座；計(jì)劃到今年底，全省5G基站數(shù)是目前的4倍；到后年底，全省5G基站數(shù)量將達(dá)到17.34萬座．（1）計(jì)劃在今年底，全省5G基站數(shù)量是多少萬座？（2）按照計(jì)劃，從今年底到后年底，全省5G基站數(shù)量的年平均增長率為多少？【分析】（1）利用到今年底全省5G基站數(shù)量＝目前該省5G基站數(shù)量×4，即可求出結(jié)論；（2）設(shè)從今年底到后年底，全省5G基站數(shù)量的年平均增長率為x，利用到后年底全省5G基站數(shù)量＝到今年底全省5G基站數(shù)量×（1+年平均增長率）2，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出結(jié)論．【解答】解：（1）1.5×4＝6（萬座）．答：計(jì)劃在今年底，全省5G基站數(shù)量是6萬座．（2）設(shè)從今年底到后年底，全省5G基站數(shù)量的年平均增長率為x，依題意得：6（1+x）2＝17.34，解得：x1＝0.7＝70%，x2＝﹣2.7（不合題意，舍去）．答：按照計(jì)劃，從今年底到后年底，全省5G基站數(shù)量的年平均增長率為70%．【點(diǎn)評】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．3．（2023?東莞市校級開學(xué)）臺(tái)風(fēng)“杜蘇芮”牽動(dòng)著全國人民的心，某單位開展了“一方有難，八方支援”賑災(zāi)捐款活動(dòng)，第一天收到捐款3000元，第三天收到捐款4320元．（1）如果第二天、第三天收到捐款的增長率相同，求捐款增長率；（2）按照（1）中收到的捐款的增長速度，第四天該單位能收到多少捐款？【分析】（1）解答此題利用的數(shù)量關(guān)系是：第一天收到捐款錢數(shù)×（1+每次增長的百分率）2＝第三天收到捐款錢數(shù)，設(shè)出未知數(shù)，列方程解答即可；（2）第三天收到捐款錢數(shù)×（1+每次增長的百分率）＝第四天收到捐款錢數(shù)，依此列式子解答即可．【解答】解：（1）設(shè)捐款增長率為x，根據(jù)題意列方程得，3000×（1+x）2＝4320，解得x1＝0.2，x2＝﹣2.2（不合題意，舍去），答：捐款增長率為20%．（2）4320×（1+20%）＝5184元．答：第四天該單位能收到5184元捐款．【點(diǎn)評】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，列方程的依據(jù)是：第一天收到捐款錢數(shù)×（1+每次降價(jià)的百分率）2＝第三天收到捐款錢數(shù)．4．（2023?清鎮(zhèn)市模擬）貴州省政府近日宣布，從2023年8月1日起，將推出一系列旅游優(yōu)惠政策，以激勵(lì)更多游客到貴州旅游，某旅游景點(diǎn)為了響應(yīng)政府號(hào)召，將對旅游團(tuán)體購買門票實(shí)行優(yōu)惠活動(dòng)，決定在原定票價(jià)基礎(chǔ)上每張降價(jià)40元，這樣按原定票價(jià)需花費(fèi)3600元購買的門票張數(shù)，現(xiàn)在只花費(fèi)了2400元．（1）求每張門票的原定票價(jià)；（2）根據(jù)實(shí)際情況，活動(dòng)組織單位決定對于個(gè)人購票也采取優(yōu)惠措施，原定票價(jià)經(jīng)過連續(xù)兩次降價(jià)后降為97.2元，求平均每次降價(jià)的百分率．【分析】（1）設(shè)每張門票的原定票價(jià)為x元，則優(yōu)惠后每張門票的票價(jià)為（x﹣40）元，利用數(shù)量＝總價(jià)÷單價(jià)，結(jié)合“按原定票價(jià)需花費(fèi)3600元購買的門票張數(shù)，現(xiàn)在只花費(fèi)了2400元”，可列出關(guān)于x的分式方程，解之經(jīng)檢驗(yàn)后，即可得出每張門票的原定票價(jià)；（2）設(shè)平均每次降價(jià)的百分率為y，利用經(jīng)過兩次降價(jià)后的票價(jià)＝原定票價(jià)×（1﹣平均每次降價(jià)的百分率）2，可列出關(guān)于y的一元二次方程，解之取其符合題意的值，即可得出結(jié)論．【解答】解：（1）設(shè)每張門票的原定票價(jià)為x元，則優(yōu)惠后每張門票的票價(jià)為（x﹣40）元，根據(jù)題意得：3600x解得：x＝120，經(jīng)檢驗(yàn)，x＝120是所列方程的解，且符合題意．答：每張門票的原定票價(jià)為120元；（2）設(shè)平均每次降價(jià)的百分率為y，根據(jù)題意得：120（1﹣y）2＝97.2，解得：y1＝0.1＝10%，y2＝1.9（不符合題意，舍去）．答：平均每次降價(jià)的百分率為10%．【點(diǎn)評】本題考查了分式方程的應(yīng)用以及一元二次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程；（2）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程．5．（2023春?倉山區(qū)校級期末）現(xiàn)代互聯(lián)網(wǎng)技術(shù)的廣泛應(yīng)用，催生了快遞行業(yè)的高速發(fā)展．據(jù)調(diào)查，某家小型“大學(xué)生自主創(chuàng)業(yè)”的快遞公司，今年三月份與五月份完成投遞的快遞總件數(shù)分別為10萬件和12.1萬件．現(xiàn)假定該公司每月的投遞總件數(shù)的增長率相同．（1）求該快遞公司投遞快遞總件數(shù)的月平均增長率；（2）如果平均每人每月最多可投遞快遞0.6萬件，那么該公司現(xiàn)有的20名快遞投遞業(yè)務(wù)員能否完成今年6月份的快遞投遞任務(wù)？如果不能，請問至少需要增加幾名業(yè)務(wù)員？【分析】（1）設(shè)該快遞公司投遞快遞總件數(shù)的月平均增長率為x，利用今年五月份完成投遞的快遞總件數(shù)＝今年三月份完成投遞的快遞總件數(shù)×（1+該快遞公司投遞快遞總件數(shù)的月平均增長率）2，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出結(jié)論；（2）求出今年6月份的快遞投遞任務(wù)及20名快遞投遞業(yè)務(wù)員一個(gè)月的最大投遞量，比較后可得出該公司現(xiàn)有的20名快遞投遞業(yè)務(wù)員不能完成今年6月份的快遞投遞任務(wù)，設(shè)需要增加y名快遞投遞員，根據(jù)一個(gè)月的投遞量不少于13.31萬件，即可得出關(guān)于y的一元一次不等式，解之即可得出y的取值范圍，再取其中的最小整數(shù)值即可得出結(jié)論．【解答】解：（1）設(shè)該快遞公司投遞快遞總件數(shù)的月平均增長率為x，依題意得：10（1+x）2＝12.1，解得：x1＝0.1＝10%，x2＝﹣2.1（不符合題意，舍去）．答：該快遞公司投遞快遞總件數(shù)的月平均增長率為10%．（2）12.1×（1+10%）＝13.31（萬件），∵0.6×16＝9.6（萬件），9.6＜13.31，∴該公司現(xiàn)有的20名快遞投遞業(yè)務(wù)員不能完成今年6月份的快遞投遞任務(wù)．設(shè)需要增加y名快遞投遞員，依題意得：0.6（20+y）≥13.31，解得：y≥131又∵y為正整數(shù)，∴y的最小值為3．答：該公司現(xiàn)有的20名快遞投遞業(yè)務(wù)員不能完成今年6月份的快遞投遞任務(wù)，至少需要增加3業(yè)務(wù)員．【點(diǎn)評】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用以及一元一次不等式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程；（2）根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，正確列出一元一次不等式．題型五市場銷售問題題型五市場銷售問題1．（2023?九江一模）永佳超市銷售某種商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元，為了擴(kuò)大銷售，增加盈利，該店采取了降價(jià)措施，在每件盈利不少于25元的前提下，經(jīng)過一段時(shí)間銷售，發(fā)現(xiàn)銷售單價(jià)每降低1元，平均每天可多售出2件．當(dāng)每件商品降價(jià)多少元時(shí)，該商店每天銷售利潤為1200元？【分析】設(shè)每件商品應(yīng)降價(jià)x元，則每件商品的銷售利潤為（40﹣x）元，平均每天的銷售量為（20+2x）件，根據(jù)每天的銷售利潤＝每件的銷售利潤×平均每天的銷售量，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再結(jié)合每件商品盈利不少于25元，即可確定x的值．【解答】解：設(shè)每件商品應(yīng)降價(jià)x元，則每件商品的銷售利潤為（40﹣x）元，平均每天的銷售量為（20+2x）件，依題意得：（40﹣x）（20+2x）＝1200，整理得：x2﹣30x+200＝0，解得：x1＝10，x2＝20．∵要求每件盈利不少于25元，∴x2＝20應(yīng)舍去，故x＝10為所求．答：每件商品應(yīng)降價(jià)10元時(shí)，該商店每天銷售利潤為1200元．【點(diǎn)評】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．2．（2022秋?大渡口區(qū)校級期末）某商品的進(jìn)價(jià)為每件30元，現(xiàn)在的售價(jià)為每件45元，每月可賣出1500件，市場前期調(diào)查反映，如調(diào)整價(jià)格，每漲1元，每月少賣出60件，每月銷量不少于1200件．（1）每件售價(jià)最高為多少元？（2）實(shí)際銷售時(shí)，發(fā)現(xiàn)商品積壓較多，為盡快減少庫存，經(jīng)重新調(diào)查評估，發(fā)現(xiàn)每件在最高售價(jià)的基礎(chǔ)上降價(jià)銷售，每降1元，每月銷量比最低銷量1200件多賣120件，要使利潤達(dá)到25920元，則每件應(yīng)降價(jià)多少元？【分析】（1）設(shè)每件的售價(jià)為x元，即可得出關(guān)于x的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出結(jié)論；（2）設(shè)每件應(yīng)降價(jià)y元，則每件的銷售利潤為（50﹣y﹣30）元，每月的銷售量為（1200+120y）件，利用每月銷售該商品獲得的利潤＝每件的銷售利潤×每月的銷售量，即可得出關(guān)于y的一元二次方程，解之即可得出y值，再結(jié)合要盡快減少庫存，即可得出每件應(yīng)降價(jià)8元．【解答】解：（1）設(shè)每件的售價(jià)為x元，依題意得：1500﹣60（x﹣45）≥1200，解得：x≤50．答：每件售價(jià)最高為50元．（2）設(shè)每件應(yīng)降價(jià)y元，則每件的銷售利潤為（50﹣y﹣30）元，每月的銷售量為（1200+120y）件，依題意得：（50﹣y﹣30）（1200+120y）＝25920，解得：y1＝2，y2＝8．又∵要盡快減少庫存，∴y＝8．答：每件應(yīng)降價(jià)8元．【點(diǎn)評】本題考查了一元一次不等式的應(yīng)用以及一元二次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，正確列出一元一次不等式；（2）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程．3．（2023?梅縣區(qū)一模）某超市以每千克40元的價(jià)格購進(jìn)菠蘿蜜，計(jì)劃以每千克60元的價(jià)格銷售，為了讓顧客得到實(shí)惠．現(xiàn)決定降價(jià)銷售，已知這種菠蘿蜜銷售量y（千克）與每千克降價(jià)x（元）（0＜x＜20）之間滿足一次函數(shù)關(guān)系，其圖象如圖所示．（1）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式．（2）若超市要想獲利2400元，且讓顧客獲得更大實(shí)惠，這種菠蘿蜜每千克應(yīng)降價(jià)多少元？【分析】（1）觀察函數(shù)圖象，根據(jù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法，即可求出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）利用總利潤＝每千克的銷售利潤×銷售數(shù)量，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之即可求出x的值，再結(jié)合要讓顧客獲得更大實(shí)惠，即可得出這種干果每千克應(yīng)降價(jià)7元．【解答】解：（1）設(shè)y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y＝kx+b（k≠0），將（2，100），（5，160）代入y＝kx+b得：2k+b=1005k+b=160解得：k=20b=60∴y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y＝20x+60（0＜x＜20）．故答案為：y＝20x+60（0＜x＜20）．（2）根據(jù)題意得：（60﹣x﹣40）（20x+60）＝2400，整理得：x2﹣17x+60＝0，解得：x1＝5，x2＝12，又∵要讓顧客獲得更大實(shí)惠，∴x＝12．答：這種干果每千克應(yīng)降價(jià)12元．【點(diǎn)評】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用、一次函數(shù)的應(yīng)用以及有理數(shù)的混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)圖中點(diǎn)的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，列式計(jì)算；（3）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程．4．（2023春?懷寧縣期末）公安交警部門提醒市民，騎車出行必須嚴(yán)格遵守“一盔一帶”的規(guī)定．某頭盔經(jīng)銷商銷售某名牌頭盔，進(jìn)價(jià)為30元/個(gè)，測算在市場中，當(dāng)售價(jià)為40元/個(gè)時(shí)，月銷售量為600個(gè)．若在此基礎(chǔ)上每上漲1元/個(gè)，則月銷售量將減少10個(gè)．（1）設(shè)售價(jià)在40元/個(gè)的基礎(chǔ)上漲價(jià)x元，則月銷售量為個(gè)，每個(gè)頭盔的利潤是元．（用x的代數(shù)式表示）（2）為使月銷售利潤達(dá)到10000元，而且盡可能讓顧客得到實(shí)惠，則該品牌頭盔的實(shí)際售價(jià)應(yīng)定為多少元/個(gè)？（3）要想使月銷售利潤達(dá)到13000元，問這個(gè)要求能否實(shí)現(xiàn)？請說說你的理由．【分析】（1）利用月銷售量＝600﹣10×每個(gè)頭盔降低的價(jià)格，可用含x的代數(shù)式表示出月銷售量，利用每個(gè)頭盔的利潤＝售價(jià)﹣進(jìn)價(jià)，可求出每個(gè)頭盔的利潤；（2）利用月銷售利潤＝每個(gè)的頭盔的利潤×月銷售量，可列出關(guān)于x的一元二次方程，解之可得出x的值，結(jié)合要盡可能讓顧客得到實(shí)惠，即可確定x的值，再將其代入40+x中，即可求出結(jié)論；（3）這個(gè)要求不能實(shí)現(xiàn)，假設(shè)這個(gè)要求能實(shí)現(xiàn)，利用月銷售利潤＝每個(gè)的頭盔的利潤×月銷售量，可列出關(guān)于x的一元二次方程，由根的判別式Δ＝﹣300＜0，可得出該方程沒有實(shí)數(shù)根，進(jìn)而可得出假設(shè)不成立，即這個(gè)要求不能實(shí)現(xiàn)．【解答】解：（1）根據(jù)題意得：當(dāng)售價(jià)在40元/個(gè)的基礎(chǔ)上漲價(jià)x元時(shí)，月銷售量為（600﹣10x）個(gè)，每個(gè)頭盔的利潤是（40+x﹣30）元．故答案為：（600﹣10x），（40+x﹣30）；（2）根據(jù)題意得：（40+x﹣30）（600﹣10x）＝10000，整理得：x2﹣50x+400＝0，解得：x1＝10，x2＝40，又∵要盡可能讓顧客得到實(shí)惠，∴x＝10，∴40+x＝40+10＝50．答：該品牌頭盔的實(shí)際售價(jià)應(yīng)定為50元/個(gè)；（3）這個(gè)要求不能實(shí)現(xiàn)，理由如下：假設(shè)這個(gè)要求能實(shí)現(xiàn)，根據(jù)題意得：（40+x﹣30）（600﹣10x）＝13000，整理得：x2﹣50x+700＝0，∵Δ＝（﹣50）2﹣4×1×700＝﹣300＜0，∴該方程沒有實(shí)數(shù)根，∴假設(shè)不成立，即這個(gè)要求不能實(shí)現(xiàn)．【點(diǎn)評】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用、列代數(shù)式以及根的判別式，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，用含x的代數(shù)式表示出月銷售量及每個(gè)頭盔的利潤；（2）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程；（3）牢記“當(dāng)Δ＜0時(shí)，方程無實(shí)數(shù)根”．5．（2022春?江北區(qū)校級月考）社區(qū)是我家，建設(shè)為大家，為了豐富社區(qū)生活，提高社區(qū)美譽(yù)度，幸福社區(qū)計(jì)劃投入9.9萬元購進(jìn)一批健身器材和勞動(dòng)器材，且準(zhǔn)備購進(jìn)勞動(dòng)器材的數(shù)量是健身器材的6倍，現(xiàn)從商家了解到，一套健身器材和一套勞動(dòng)器材的售價(jià)分別為3000元和600元．（1）求最多購進(jìn)健身器材多少套？（2）恰逢五一優(yōu)購節(jié)，每套健身器材的售價(jià)下降35m%，每套勞動(dòng)器材的售價(jià)下降5m元，社區(qū)決定健身器材和勞動(dòng)器材的數(shù)量在（1）中購進(jìn)健身器材最多量時(shí)的基礎(chǔ)上都增加m%，這樣，實(shí)際投入資金和計(jì)劃投入資金完全相同，求m【分析】（1）設(shè)購進(jìn)健身器材x套，則購進(jìn)勞動(dòng)器材6x套，利用總價(jià)＝單價(jià)×數(shù)量，結(jié)合總價(jià)不超過9.9萬元，可列出關(guān)于x的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出結(jié)論；（2）利用總價(jià)＝單價(jià)×數(shù)量，結(jié)合實(shí)際投入資金和計(jì)劃投入資金完全相同，可列出關(guān)于m的一元二次方程，解之取其符合題意的值，即可得出結(jié)論．【解答】解：（1）設(shè)購進(jìn)健身器材x套，則購進(jìn)勞動(dòng)器材6x套，根據(jù)題意得：3000x+600×6x≤99000，解得：x≤15，∴x的最大值為15．答：最多購進(jìn)健身器材15套；（2）根據(jù)題意得：3000（1?35m%）×15（1+m%）+（600﹣5m）×15×6（1+整理得：2m2﹣75m＝0，解得：m1=752，m答：m的值為752【點(diǎn)評】本題考查了一元一次不等式的應(yīng)用以及一元二次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，正確列出一元一次不等式；（2）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程．6．（2023春?臨泉縣期末）2022北京冬奧會(huì)期間，某網(wǎng)店直接從工廠購進(jìn)A、B兩款冰墩墩鑰匙扣，進(jìn)貨價(jià)和銷售價(jià)如下表：（注：利潤＝銷售價(jià)﹣進(jìn)貨價(jià)）類別價(jià)格A款鑰匙扣B款鑰匙扣進(jìn)貨價(jià)（元/件）3025銷售價(jià)（元/件）4537（1）網(wǎng)店第一次用850元購進(jìn)A、B兩款鑰匙扣共30件，求兩款鑰匙扣分別購進(jìn)的件數(shù)？（2）冬奧會(huì)臨近結(jié)束時(shí)，網(wǎng)店打算把B款鑰匙扣調(diào)價(jià)銷售，如果按照原價(jià)銷售，平均每天可售4件．經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，每降價(jià)1元，平均每天可多售2件，將銷售價(jià)定為每件多少元時(shí)，才能使B款鑰匙扣平均每天銷售利潤為90元？【分析】（1）設(shè)購進(jìn)x件A款鑰匙扣，y件B款鑰匙扣，利用進(jìn)貨總價(jià)＝進(jìn)貨單價(jià)×進(jìn)貨數(shù)量，結(jié)合“網(wǎng)店用850元購進(jìn)A、B兩款鑰匙扣共30件”，可列出關(guān)于x，y的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論；（2）設(shè)將銷售價(jià)定為每件m元，則每件的銷售利潤為（m﹣25）元，平均每天可售出（78﹣2m）件，利用總利潤＝每件的銷售利潤×日銷售量，可列出關(guān)于m的一元二次方程，解之即可得出結(jié)論．【解答】解：（1）設(shè)購進(jìn)x件A款鑰匙扣，y件B款鑰匙扣，根據(jù)題意得：x+y=3030x+25y=850解得：x=20y=10答：購進(jìn)20件A款鑰匙扣，10件B款鑰匙扣；（2）設(shè)將銷售價(jià)定為每件m元，則每件的銷售利潤為（m﹣25）元，平均每天可售出4+2（37﹣m）＝（78﹣2m）件，根據(jù)題意得（m﹣25）（78﹣2m）＝90，整理得：m2﹣64m+1020＝0，解得：m1＝30，m2＝34．答：將銷售價(jià)定為每件30元或34元時(shí)，才能使B款鑰匙扣平均每天銷售利潤為90元．【點(diǎn)評】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用以及一元二次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組；（2）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程．題型六規(guī)則圖形的面積問題題型六規(guī)則圖形的面積問題1．（2022秋?中山市期末）如圖，矩形ABCD是一塊長16米、寬12米的荒地，要在這塊荒地上建造一個(gè)矩形花園EFGH，在花園的外圍是寬度相等的小路．要使花園所占面積為荒地面積的一半，則小路的寬為多少米？【分析】設(shè)小路的寬為x米，則矩形花園的長為（16﹣2x）米，寬為（12﹣2x）米，根據(jù)矩形花園所占面積為荒地面積的一半，可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其符合題意的值，即可得出結(jié)論．【解答】解：設(shè)小路的寬為x米，則矩形花園的長為（16﹣2x）米，寬為（12﹣2x）米，根據(jù)題意得：（16﹣2x）（12﹣2x）=1整理得：x2﹣14x+24＝0，解得：x1＝2，x2＝12（不符合題意，舍去）．答：小路的寬為2米．【點(diǎn)評】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．2．今年我市計(jì)劃擴(kuò)大城區(qū)綠地面積，現(xiàn)有一塊長方形綠地，它的短邊長為40m，若將短邊長增長到與長邊長相等（長邊長不變），使擴(kuò)大后的綠地的形狀是正方形，且面積比原來增加500m2．求原來綠地的長邊長為多少米．【分析】根據(jù)“面積比原來增加500m2”列方程求解．【解答】解：設(shè)原來綠地的長邊長為x米，則：x2﹣40x＝500，解得：x1＝50，x2＝﹣10（不合題意，舍去），答：原來綠地的長邊長為50米．【點(diǎn)評】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找到相等關(guān)系是解題的關(guān)鍵．3．（2022秋?宜州區(qū)期中）現(xiàn)有一塊長40cm，寬20cm的長方形鐵皮，在它的四個(gè)角分別剪去一個(gè)大小完全相同的小正方形，用剩余的部分做成一個(gè)底面積為384cm2的無蓋長方體盒子，請求出剪去的小正方形的邊長．【分析】設(shè)剪去的小正方形的邊長為x，根據(jù)做成一個(gè)底面積為300cm2的無蓋長方體盒子列出方程，求出方程的解即可得到結(jié)果．【解答】解：設(shè)剪去的小正方形的邊長為xcm，則長方形鐵皮長邊剪去2xcm，，長方形盒子長為（40﹣2x）cm，寬為（20﹣2x），根據(jù)長方形的面積公式得，（40﹣2x）（10﹣2x）＝384，4x2﹣120x+416＝0，x2﹣30x+104＝0，（x﹣4）（x﹣26）＝0，解得x1＝4，x2＝26，其中x＝26時(shí)，40﹣2x＝﹣12＜0，不符題意，所以，x＝4，答：剪去的小正方形的邊長為4cm．【點(diǎn)評】本題考查了一元二次方程的知識(shí)，掌握一元二次方程的解法是關(guān)鍵．4．如圖，一個(gè)正方形花圃ABCD，在一次綠化改造中，該花圃在AB方向延伸了3米，AD方向上被占用了1米后，變成一個(gè)面積為21平方米的矩形花圃．求原來花圃的邊長．【分析】設(shè)原來花圃的邊長為x米，由題意得AD被占用1米后長為（x﹣1）米，AE＝（x+3）米，由題意列出方程（x﹣1）（x+3）＝21，則可得出答案．【解答】解：如圖，設(shè)原來花圃的邊長為x米，由題意得，AD被占用1米后長為（x﹣1）米，AE＝（x+3）米，∴（x﹣1）（x+3）＝21，解得x1＝4，x2＝﹣6（舍去），∴原來花圃的邊長為4米，答：原來花圃的邊長為4米．【點(diǎn)評】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程．5．（2022秋?鞍山期末）如圖1，將一張寬10cm的矩形硬紙片裁剪掉圖中陰影部分（兩個(gè)正方形，兩個(gè)矩形）之后，恰好折成如圖2的底面為正方形的有蓋紙盒（底面積大于側(cè)面積），紙盒側(cè)面積為32cm2，求該有蓋紙盒的底面邊長．（單位：cm）【分析】設(shè)剪掉的小正方形的邊長為xcm，則該有蓋紙盒的底面邊長為（10﹣2x）cm，根據(jù)紙盒側(cè)面積為32cm2，可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，結(jié)合底面積大于側(cè)面積，可確定x的值，再將其代入（10﹣2x）中，即可求出結(jié)論．【解答】解：設(shè)剪掉的小正方形的邊長為xcm，則該有蓋紙盒的底面邊長為（10﹣2x）cm，根據(jù)題意得：4x（10﹣2x）＝32，整理得：x2﹣5x+4＝0，解得：x1＝1，x2＝4，當(dāng)x＝1時(shí)，（10﹣2x）2＝（10﹣2×1）2＝64＞32，符合題意，此時(shí)10﹣2x＝10﹣2×1＝8；當(dāng)x＝4時(shí)，（10﹣2x）2＝（10﹣2×4）2＝4＜32，不符合題意，舍去．答：該有蓋紙盒的底面邊長為8cm．【點(diǎn)評】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．6．（2023春?廬陽區(qū)校級期中）如圖，已知線段AB＝10cm，點(diǎn)C在線段AB上，分別以AC，BC，AB為邊向下作正方形．（1）當(dāng)陰影部分的面積為42cm2時(shí)，請求出AC的長；（2）陰影部分的面積能否為60cm2？如果能，請求出AC的長；如果不能，請說明理由．【分析】第（1）問設(shè)AC長為x，根據(jù)兩個(gè)小正方形面積與陰影部分面積和等于大正方形面積可列出一元二次方程，求解即可．第（2）問可先假設(shè)陰影部分面積可以是60cm2，然后根據(jù)沿用第（1）問等量關(guān)系列出一元二次方程，再根據(jù)該一元二次方程是否有解來判斷陰影部分面積能否為60cm2．【解答】解：（1）設(shè)AC長為xcm，則BC的長為（10﹣x）cm，由題意得，x2+（10﹣x）2+42＝102，化簡整理得，x2﹣10x+21＝0，解得，x1＝3，x2＝7，當(dāng)AC＝3cm時(shí)，BC＝10﹣3＝7cm，當(dāng)AC＝7cm時(shí)，BC＝10﹣7＝3cm，答：AC的長為7cm或者3cm．（2）陰影部分面積不可能是60cm2，理由：假設(shè)AC長為ycm時(shí)陰影部分面積為60cm2，由題意可得，y2+（10﹣y）2+60＝102，化簡整理得，y2﹣10y+30＝0，此方程根的判別式Δ＝（﹣10）2﹣4×30＝﹣20＜0，說明該方程無解，∴陰影部分面積不可能是60cm2．【點(diǎn)評】本題考查一元二次方程的應(yīng)用，找出等量關(guān)系并列出一元二次方程時(shí)解決此類問題的關(guān)鍵．題型七邊框與甬道問題題型七邊框與甬道問題1．（2022秋?新?lián)釁^(qū)期末）如圖，在長為32米、寬為20米的矩形地面上修筑同樣寬的道路（圖中陰影部分），小路與矩形的一邊垂直，余下部分種植草坪，要使草坪面積為540平方米，求小路的寬．【分析】設(shè)道路的寬為x米，利用平移把橫向和縱向的小路移到長和寬上，把不規(guī)則的圖形變?yōu)橐?guī)則圖形，原長方形變?yōu)殚L和寬都減少x米的長方形，根據(jù)已知的草坪面積可列出方程，求出答案．【解答】解：設(shè)道路的寬為x米，由題意得（20﹣x）（32﹣x）＝540，整理得x2﹣52x+100＝0，解得x1＝50（不合題意，舍去），x2＝2．答：道路的寬為2米．【點(diǎn)評】本題考查了一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用問題，找準(zhǔn)等量關(guān)系并正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．2．（2022秋?漣源市期中）如圖，一矩形草坪的長為25米，寬為12米，在草坪上有兩條互相垂直且寬度相等的矩形小路（陰影部分），非陰影部分的面積是230平方米．（1）求小路的寬．（2）每平方米小路的建設(shè)費(fèi)用為200元，求修建兩條小路的總費(fèi)用．【分析】（1）設(shè)小路的寬為x米，則非陰影部分可合成長為（25﹣x）米，寬為（12﹣x）米的矩形，根據(jù)非陰影部分的面積是230平方米，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其符合題意的值即可得出結(jié)論；（2）利用總價(jià)＝單價(jià)×（草坪的面積﹣非陰影部分的面積），即可求出結(jié)論．【解答】解：（1）設(shè)小路的寬為x米，則非陰影部分可合成長為（25﹣x）米，寬為（12﹣x）米的矩形，依題意得：（25﹣x）（12﹣x）＝230，解得：x2﹣37x+70＝0，解得：x1＝2，x2＝35（不符合題意，舍去）．答：小路的寬為2米．（2）200×（25×12﹣230）＝14000（元）．答：修建兩條小路的總費(fèi)用為14000元．【點(diǎn)評】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．3．（2023?和平區(qū)校級三模）如圖，某學(xué)校有一塊長30m，寬10m的長方形空地，計(jì)劃在其中修建兩塊相同的長方形綠地，兩塊綠地之間及周邊留有寬度相等的人行通道．若兩塊長方形綠地的面積共216m2，求人行通道的寬度．【分析】設(shè)人行通道的寬度為x米，則兩塊長方形綠地可合成長為（30﹣3x）米，寬為（10﹣2x）米的長方形，根據(jù)兩塊長方形綠地的面積共216m2，可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其符合題意的值，即可得出結(jié)論．【解答】解：設(shè)人行通道的寬度為x米，則兩塊長方形綠地可合成長為（30﹣3x）米，寬為（10﹣2x）米的長方形，根據(jù)題意得：（30﹣3x）（10﹣2x）＝216，整理得：x2﹣15+14＝0，即（x﹣1）（x﹣14）＝0，解得：x1＝1，x2＝14，當(dāng)x＝14時(shí)，30﹣3x＝30﹣3×14＝﹣12＜0，不符合題意，舍去，∴x＝1．答：人行通道的寬度是1米．【點(diǎn)評】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．4．（2022?大同二模）如圖，某中學(xué)有一塊長30m，寬20m的矩形空地，計(jì)劃在這塊空地面積的一半?yún)^(qū)域種花，其余部分硬化．小亮同學(xué)設(shè)計(jì)了一個(gè)寬度相同的“U”形區(qū)域，求花帶的寬度．【分析】設(shè)花帶的寬度為xm，則硬化的部分長為（30﹣2x）m，寬為（20﹣x）m，根據(jù)硬化部分的面積為空地面積的一半，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再結(jié)合（30﹣2x）為正值，即可得出花帶的寬度為5m．【解答】解：設(shè)花帶的寬度為xm，則硬化的部分長為（30﹣2x）m，寬為（20﹣x）m，依題意得：（30﹣2x）（20﹣x）＝30×20×1整理得：x2﹣35x+150＝0，解得：x1＝5，x2＝30．當(dāng)x＝5時(shí)，30﹣2x＝30﹣2×5＝20＞0，符合題意；當(dāng)x＝30時(shí)，30﹣2x＝30﹣2×30＝﹣30＜0，不符合題意，舍去．答：花帶的寬度為5m．【點(diǎn)評】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．5．（2022秋?綏中縣期末）如圖，要設(shè)計(jì)一個(gè)長為15cm，寬為10cm的矩形圖案，其中有兩橫兩豎彩條，橫豎彩條的寬度之比為5：4，若使所有彩條所占面積是原來矩形圖案面積的三分之一，應(yīng)如何設(shè)計(jì)每個(gè)彩條的寬度？【分析】設(shè)每個(gè)橫彩條的寬度為5xcm，則每個(gè)豎彩條的寬度為4xcm，根據(jù)所有彩條所占面積是原來矩形圖案面積的三分之一，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其合適的值即可得出結(jié)論．【解答】解：設(shè)每個(gè)橫彩條的寬度為5xcm，則每個(gè)豎彩條的寬度為4xcm，依題意得：（15﹣2×5x）（10﹣2×4x）＝15×10×（1?1整理得：8x2﹣22x+5＝0，解得：x1=52，x2當(dāng)x=52時(shí)，10﹣2×4當(dāng)x=14時(shí)，10﹣2×4∴5x=54，4答：每個(gè)橫彩條的寬度為54cm，每個(gè)豎彩條的寬度為1cm【點(diǎn)評】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．6．（2023?灞橋區(qū)校級模擬）2023亞洲花卉產(chǎn)業(yè)博覽會(huì)于2023年5月10至12日，在中國進(jìn)出口交易會(huì)展館舉辦，為了迎接盛會(huì)的到來，組委會(huì)想利用一塊長方形空地建了一個(gè)小型的惠民停車場，其布局如圖所示，已知停車場的長為52m，寬為28m，陰影部分設(shè)計(jì)為停車位，其余部分是等寬的通道，已知停車位占地面積為640m2．求通道的寬是多少米？【分析】設(shè)通道的寬是x米，則停車位部分可合成長為（52﹣2x）米，寬為（28﹣2x）米的長方形，根據(jù)停車位占地面積為640m2，可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其符合題意的值，即可得出結(jié)論．【解答】解：設(shè)通道的寬是x米，則停車位部分可合成長為（52﹣2x）米，寬為（28﹣2x）米的長方形，根據(jù)題意得：（52﹣2x）（28﹣2x）＝640，整理得：x2﹣40x+204＝0，解得：x1＝6，x2＝34（不符合題意，舍去）．答：通道的寬是6米．【點(diǎn)評】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．題型八圍墻類問題題型八圍墻類問題1．（2023春?昌平區(qū)期末）如圖，用80m長的籬笆在墻邊（墻長40米）圍一個(gè)矩形草坪，當(dāng)矩形面積是750m2時(shí)，它的長和寬應(yīng)為多少？【分析】設(shè)AB邊的長為x米，則BC邊的長為（80﹣2x）米，根據(jù)矩形草坪的面積是750m2，可列出關(guān)于x的一元二次方程，解之可求出x的值，再結(jié)合墻長40米，即可得出結(jié)論．【解答】解：設(shè)AB邊的長為x米，則BC邊的長為（80﹣2x）米，根據(jù)題意得：x（80﹣2x）＝750，整理得：x2﹣40x+375＝0，解得：x1＝15，x2＝25，當(dāng)x＝15時(shí)，80﹣2x＝80﹣2×15＝50＞40，不符合題意，舍去；當(dāng)x＝25時(shí)，80﹣2x＝80﹣2×25＝30＜40，符合題意．答：矩形草坪的長為30米，寬為25米．【點(diǎn)評】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．2．（2022秋?小店區(qū)校級期末）義務(wù)教育勞動(dòng)課程以豐富開放的勞動(dòng)項(xiàng)目為載體．學(xué)校準(zhǔn)備在校園內(nèi)利用校圍墻的一段（墻體的最大可用長度a＝10米）和籬笆，圍成中間隔有一道籬笆的矩形勞動(dòng)實(shí)踐菜園ABCD（如圖），已知籬笆長24米（籬笆全部用完），如果要圍成面積為45平方米的菜園，