專題07軸對稱中的最值模型問題(將軍飲馬)專訓(xùn)(原卷版+解析)

專題07軸對稱中的最值模型問題（將軍飲馬）專訓(xùn)【題型目錄】題型一求兩條線段和的最小值題型二求兩條線段差的最大值題型三求三條線段和的最小值（雙動點問題）題型四最值問題的實際應(yīng)用【知識梳理】將軍飲馬中最短路徑問題四大模型一兩定點在直線的異側(cè)問題1作法圖形原理在直線l上找一點P,使得PA+PB的和最小。連接AB，與直線l的交點P即為所求。兩點之間，線段最短，此時PA+PB的和最小。二兩定點在直線的同側(cè)問題2：將軍飲馬作法圖形原理在直線l上找一點P,使得PA+PB的和最小。作B關(guān)于直線l的對稱點C，連AC，與直線l的交點P即為所求?；蹫橹?；兩點之間，線段最短，此時PA+PB的和AC最小。三兩動點一定點問題問題3：兩個動點作法圖形原理點P在銳角∠AOB的內(nèi)部，在OA邊上找一點C,在OB邊上找一點D,,使得PC+PD+CD的和最小。作P關(guān)于OA的對稱點P1，作P關(guān)于OB的對稱點P2，連接P1P2。兩點之間，線段最短，此時PC+PD+CD的和最小。四造橋選址問題問題4：造橋選址作法圖形原理直線m∥n，在m，n上分別求點M、N，使MN⊥m，MN⊥n，且AM+MN+BN的和最小。將點A鄉(xiāng)向下平移MN的長度得A1，連A1B，交n于點N，過N作NM⊥m于M。兩點之間，線段最短，此時AM+MN+BN的最小值為A1B+MN。注意：本專題部分題目涉及勾股定理，各位同學(xué)可以先行學(xué)習(xí)第3章后再完成該專題訓(xùn)練．勾股定理公式：a2+b2=c2【經(jīng)典例題一求兩條線段和的最小值】【例1】（2022秋·黑龍江齊齊哈爾·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖，在ABC中，，，，是中點，垂直平分，交于點，交于點，在上確定一點，使最小，則這個最小值為（

）A．10 B．11 C．12 D．13【變式訓(xùn)練】1．（2023·江蘇·八年級假期作業(yè)）如圖，中，，，，于點D，是的垂直平分線，交于點E，交于點F，在上確定一點P，使最小，則這個最小值為()

A． B．4 C． D．52．（2022秋·江蘇泰州·八年級校考階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，AB=AC=13，BC=10，AD⊥BC于點D，BE⊥AC于點E，且BE=，MN垂直平分AB，交AB于點M，交AC于點N，在MN上有一點P，使PB+PD最小，則這個最小值=________．3．（2023春·全國·七年級專題練習(xí)）（1）唐朝詩人李顧的詩古從軍行開頭兩句：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”，詩中隱含著一個有趣的數(shù)學(xué)問題：如圖所示，詩中大意是將軍從山腳下的點出發(fā)，帶著馬走到河邊點飲水后，再回到點宿營，請問將軍怎樣走才能使總路程最短？請你通過畫圖，在圖中找出點，使的值最小，不說明理由；（2）實踐應(yīng)用，如圖，點為內(nèi)一點，請在射線、上分別找到兩點、，使的周長最小，不說明理由；（3）實踐應(yīng)用：如圖，在中，，，，，平分，、分別是、邊上的動點，求的最小值．【經(jīng)典例題二求兩條線段差的最大值】【例2】如圖，點，在直線的同側(cè)，到的距離，到的距離，已知，是直線上的一個動點，記的最小值為，的最大值為，則的值為（

）A．160 B．150 C．140 D．130【變式訓(xùn)練】1．如圖，在等邊中，E是邊的中點，P是的中線上的動點，且，則的最大值是________．【經(jīng)典例題三求三條線段和的最小值（雙動點問題）】【例3】（2021秋·重慶榮昌·八年級校考階段練習(xí)）如圖，∠AOB＝30o，∠AOB內(nèi)有一定點P，且OP＝12，在OA上有一動點Q，OB上有一動點R．若△PQR周長最小，則最小周長是(

)A．6 B．12 C．16 D．20【變式訓(xùn)練】1．（2022秋·湖北黃石·八年級統(tǒng)考期中）如圖，中，，，的面積為21，于D，EF是AB邊的中垂線，點P是EF上一動點，周長的最小是等于（

）A．7 B．8 C．9 D．102．（2021秋·浙江·八年級期中）如圖，，內(nèi)有一定點P，且．在上有一動點Q，上有一動點R．若周長最小，則最小周長是________．3．（2020秋·江蘇蘇州·八年級?？茧A段練習(xí)）最短路徑問題：例：如圖所示，要在街道旁修建一個奶站，向居民區(qū)A、B提供牛奶，奶站應(yīng)建在什么地方，才能使從A、B到它的距離之和最短．解：只有A、C、B在一直線上時，才能使AC+BC最?。鼽cA關(guān)于直線“街道”的對稱點A′，然后連接A′B，交“街道”于點C，則點C就是所求的點．應(yīng)用：已知：如圖A是銳角∠MON內(nèi)部任意一點，在∠MON的兩邊OM，ON上各取一點B，C，組成三角形，使三角形周長最小.（1）借助直角三角板在下圖中找出符合條件的點B和C．（2）若∠MON=30°，OA=10,求三角形的最小周長．【經(jīng)典例題四最值問題的實際應(yīng)用】【例4】（2023春·四川成都·七年級統(tǒng)考期末）如圖，在正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長都是一個單位長度，的三個頂點都在格點上．

(1)求出的面積；(2)畫出關(guān)于直線對稱的；(3)在直線上畫出點，使得的值最?。咀兪接?xùn)練】1．（2023·浙江·八年級假期作業(yè)）如圖，已知，兩點在直線的同一側(cè)，根據(jù)題意，用尺規(guī)作圖．

(1)在（圖①）直線上找出一點，使；(2)在（圖②）直線上找出一點，使的值最小；(3)在（圖③）直線上找出一點，使的值最大．2．（2023春·全國·八年級專題練習(xí)）如圖，在中，已知，的垂直平分線交于點N，交于點M，連接．(1)若，則的度數(shù)是___________度；(2)若．的周長是，①求的長度；②若點P為直線上一點，請你直接寫出周長的最小值．3．（2023秋·重慶沙坪壩·七年級重慶八中?？计谀┤鐖D，已知點A，B，C，D是不在同一直線上的四個點，請按要求畫出圖形．(1)作線段和射線；(2)用無刻度的直尺和圓規(guī)在射線上作；(3)在平面內(nèi)作一點P，使得的和最短．【重難點訓(xùn)練】1．（2023春·陜西西安·七年級交大附中分校?？计谀﹫D，已知A村莊與B村莊相距，A村莊的土地灌溉點在C點處，B村莊的土地灌溉點在D處．已知，現(xiàn)要在線段之間選一點建一水站E，使得水站E分別到灌溉點C與灌溉點D的距離之和最短，最短距離是（

）

A．10 B．17 C．14 D．132．（2023春·全國·七年級專題練習(xí)）如圖，等腰中，，垂直平分，交于點E，交于點F，點G是線段上的一動點，若的面積是，，則的周長最小值是（）A． B． C． D．3．（2023春·江蘇鎮(zhèn)江·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在正方形中，，動點是正方形內(nèi)一點，滿足，則點到、兩點距離之和的最小值為（

）A．8 B．10 C． D．4．（2023秋·河北滄州·八年級統(tǒng)考期末）如圖，等邊三角形的邊長為4，是邊上的中線，M是上的動點，E是上的一點，若，當(dāng)取得最小值時，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．5．（2023春·黑龍江綏化·九年級綏化市第八中學(xué)校?？计谥校┤鐖D，在矩形中，，，動點滿足，則點到、兩點距離之和的最小值為（

）

A． B． C． D．6．（2023·安徽合肥·統(tǒng)考一模）如圖，在中，，，是下方的一動點，記，的面積分別記為，．若，則線段長的最小值是（

）A．3 B． C． D．7．（2023春·湖北黃岡·九年級專題練習(xí)）如圖，在中，，，，平分，點分別是，邊上的動點，則的最小值是（

）A．4 B．5 C．6 D．78．（2023秋·福建廈門·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在四邊形中，，，E，F(xiàn)分別是，上的點，當(dāng)?shù)闹荛L最小時，的度數(shù)為（

）A． B． C． D．9．（2023春·全國·七年級專題練習(xí)）如圖，，，分別是邊，上的定點，，分別是邊，上的動點，記，，當(dāng)最小時，則關(guān)于，的數(shù)量關(guān)系正確的是（）A． B． C． D．10．（2023春·八年級課時練習(xí)）如圖，點在等邊的邊上，，射線，垂足為點，點是射線上一動點，點是線段上一動點，當(dāng)?shù)闹底钚r，，則的長為（

）A．7 B．8 C．9 D．1011．（2023春·河南駐馬店·七年級駐馬店市第二初級中學(xué)?？计谀┤鐖D，在三角形中，，三角形的面積是，的垂直平分線分別交，邊于點，點．若點為邊的中點，為線段上一個動點，則三角形周長的最小值是______．

12．（2023秋·河北石家莊·八年級?？计谀┤鐖D，，點M、N分別在射線、上，，的面積為12，P是直線上的動點，點P關(guān)于對稱的點為，點P關(guān)于對稱的點為，當(dāng)點P在直線上運動時，的面積最小值為______．

13．（2022秋·廣西貴港·八年級統(tǒng)考期中）如圖，，點P為內(nèi)一點，．點M、N分別在上．當(dāng)△PMN周長最小時，下列結(jié)論：①等于；②等于；③等于；④周長最小值是5：⑤周長最小值是10；⑥周長最小值是15．其中正確結(jié)論的序號是___________．14．（2023秋·福建南平·八年級統(tǒng)考期末）如圖，，點M，N分別是邊，上的定點，點P，Q分別是邊，上的動點，記，，當(dāng)最小時，則α與β的數(shù)量關(guān)系為____________．15．（2023秋·山西呂梁·八年級統(tǒng)考期末）為貫徹國家城鄉(xiāng)建設(shè)一體化和要致富先修路的理念，某市決定修建道路和一座橋，方便張莊A和李莊B的群眾出行到河岸a．張莊A和李莊B位于一條河流的同一側(cè)，河的兩岸是平行的直線，經(jīng)測量，張莊A和李莊B到河岸b的距離分別為，，且，如圖所示．現(xiàn)要求：建造的橋長要最短，然后考慮兩村莊到河流另一側(cè)橋頭的路程之和最短，則這座橋應(yīng)建造在C，D間距離C______m處．（河岸邊上的點到河對岸的距離都相等）16．（2023春·廣東佛山·八年級?？计谥校┤鐖D，等邊和等邊的邊長都是4，點在同一條直線上，點P在線段上，則的最小值為__________．17．（2022秋·河南南陽·八年級校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在中，平分交于點，點，分別是和上的動點，當(dāng)，時，的最小值等于_____．

的垂直平分線分別交，于點、，若點為底邊的中點，點為線段上一動點，則的周長的最小值為_____．19．（2023秋·八年級課時練習(xí)）如圖，在四邊形中，，，，分別是，上的點，當(dāng)?shù)闹荛L最小時，求的度數(shù)．

20．（2023春·廣東佛山·八年級?？计谥校┤鐖D，已知≌，將沿所在的直線折疊至的位置，點B的對應(yīng)點為，連結(jié)．

(1)直接填空：與的位置關(guān)系是__________；(2)點P、Q分別是線段、上的兩個動點（不與點A、B、C重合），已知的面積為36，，求的最小值；(3)試探索：的內(nèi)角滿足什么條件時，是直角三角形？21．（2022秋·遼寧營口·八年級?？计谥校┤鐖D，在和中，，，與相交于點O，限用尺規(guī)完成以下作圖：(1)在圖1中作線段的垂直平分線；(2)在圖2中，在線段上找到一點N,使的值最小．22．（2022秋·廣東廣州·八年級?？计谀┤鐖D，在中，．(1)作的垂直平分線交于點，交于點（保留作圖痕跡）．(2)連接，若，的周長是．①求的長；②在直線上是否存在點，使的值最小，若存在，標出點的位置并求的最小值，若不存在，說明理由．23．（2022秋·湖北宜昌·八年級?？计谥校┮阎迩f和村莊都位于筆直的小河l同側(cè)，要在河邊建一引水站，使它到村莊，需鋪設(shè)的水管長度之和最?。?1)請畫出引水站的位置，并連接（包括畫圖痕跡）；(2)若不計雜料，所用水管之和為米，且比長米，兩村莊購買水管花費元，約定按長度分攤費用，請計算兩村莊各需付水管購買費多少元？24．（2023春·全國·八年級專題練習(xí)）如圖，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分線交AB于N，交AC于M．(1)若∠B=70°，則∠NMA的度數(shù)是；(2)探究∠B與∠NMA的關(guān)系，并說明理由；(3)連接MB，若AB=8cm，△MBC的周長是14cm．①求BC的長；②在直線MN上是否存在點P，使PB+CP的值最??？若存在，標出點P的位置并求PB+CP的最小值；若不存在，說明理由．

專題07軸對稱中的最值模型問題（將軍飲馬）專訓(xùn)【題型目錄】題型一求兩條線段和的最小值題型二求兩條線段差的最大值題型三求三條線段和的最小值（雙動點問題）題型四最值問題的實際應(yīng)用【知識梳理】將軍飲馬中最短路徑問題四大模型一兩定點在直線的異側(cè)問題1作法圖形原理在直線l上找一點P,使得PA+PB的和最小。連接AB，與直線l的交點P即為所求。兩點之間，線段最短，此時PA+PB的和最小。二兩定點在直線的同側(cè)問題2：將軍飲馬作法圖形原理在直線l上找一點P,使得PA+PB的和最小。作B關(guān)于直線l的對稱點C，連AC，與直線l的交點P即為所求。化折為直；兩點之間，線段最短，此時PA+PB的和AC最小。三兩動點一定點問題問題3：兩個動點作法圖形原理點P在銳角∠AOB的內(nèi)部，在OA邊上找一點C,在OB邊上找一點D,,使得PC+PD+CD的和最小。作P關(guān)于OA的對稱點P1，作P關(guān)于OB的對稱點P2，連接P1P2。兩點之間，線段最短，此時PC+PD+CD的和最小。四造橋選址問題問題4：造橋選址作法圖形原理直線m∥n，在m，n上分別求點M、N，使MN⊥m，MN⊥n，且AM+MN+BN的和最小。將點A鄉(xiāng)向下平移MN的長度得A1，連A1B，交n于點N，過N作NM⊥m于M。兩點之間，線段最短，此時AM+MN+BN的最小值為A1B+MN。注意：本專題部分題目涉及勾股定理，各位同學(xué)可以學(xué)習(xí)完第3章后再完成該專題訓(xùn)練．勾股定理公式：a2+b2=c2【經(jīng)典例題一求兩條線段和的最小值】【例1】（2022秋·黑龍江齊齊哈爾·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖，在ABC中，，，，是中點，垂直平分，交于點，交于點，在上確定一點，使最小，則這個最小值為（

）A．10 B．11 C．12 D．13【答案】C【分析】根據(jù)三角形的面積公式得到AD=12，由EF垂直平分AB，得到點A，B關(guān)于直線EF對稱，于是得到AD的長為PB+PD的最小值，即可得到結(jié)論．【詳解】∵AB=AC，BC=10，S△ABC=60，是中點，AD⊥BC于點D，∴S△ABC==60，∴AD=12，設(shè)AD與EF的交點為P，∵EF垂直平分AB，∴點A，B關(guān)于直線EF對稱，∴PA=PB，此時AD的長為PB+PD的最小值，即PB+PD的最小值為12，故選：C．【點睛】本題考查了軸對稱-最短路線問題，線段的垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)的運用，凡是涉及最短距離的問題，一般要考慮線段的性質(zhì)定理，結(jié)合軸對稱變換來解決，多數(shù)情況要作點關(guān)于某直線的對稱點．【變式訓(xùn)練】1．（2023·江蘇·八年級假期作業(yè)）如圖，中，，，，于點D，是的垂直平分線，交于點E，交于點F，在上確定一點P，使最小，則這個最小值為()

A． B．4 C． D．5【答案】B【分析】在上取一點P，連接，，，由垂直平分線的性質(zhì)可知，從而得到，點D是定點，由兩點之間線段最短可知，最小值為的長，再利用三角形的面積公式求即可．【詳解】解：在上取一點P，連接，∵是的垂直平分線，∴，∴，

點D是定點，由兩點之間線段最短可知：點P在上時，最小值為的長，∵，，∴，∴，∴最小值為4，故選：B．【點睛】本題考查三角形的面積公式，兩點之間線段最短，垂直平分線的性質(zhì)等知識，推導(dǎo)出最小值即為的長是解題的關(guān)鍵．2．（2022秋·江蘇泰州·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖，在△ABC中，AB=AC=13，BC=10，AD⊥BC于點D，BE⊥AC于點E，且BE=，MN垂直平分AB，交AB于點M，交AC于點N，在MN上有一點P，使PB+PD最小，則這個最小值=________．【答案】12【分析】連接AP，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可得AP=BP，從而得到PB+PD的最小值為AD的長，再由，求出AD，即可求解．【詳解】解：如圖，連接AP，∵MN垂直平分AB，∴AP=BP，∴PB+PD=AP+PD≥AD，即PB+PD的最小值為AD的長，∵AD⊥BC，BE⊥AC，∴，∵AB=AC=13，BC=10，BE=，∴，解得：AD=12，即PB+PD的最小值為12．故答案為：12【點睛】本題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，熟練掌握線段垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等是解題的關(guān)鍵．3．（2023春·全國·七年級專題練習(xí)）（1）唐朝詩人李顧的詩古從軍行開頭兩句：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”，詩中隱含著一個有趣的數(shù)學(xué)問題：如圖所示，詩中大意是將軍從山腳下的點出發(fā)，帶著馬走到河邊點飲水后，再回到點宿營，請問將軍怎樣走才能使總路程最短？請你通過畫圖，在圖中找出點，使的值最小，不說明理由；（2）實踐應(yīng)用，如圖，點為內(nèi)一點，請在射線、上分別找到兩點、，使的周長最小，不說明理由；（3）實踐應(yīng)用：如圖，在中，，，，，平分，、分別是、邊上的動點，求的最小值．【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）的最小值為【分析】（1）作點關(guān)于直線小河的對稱點，連接，交于，則最??；（2）分別作點關(guān)于，的對稱點和，連接交于，于，連接，，，則的周長最小；（3）過點C作，交于，于，連接ME，則最小，證明≌，可得，，可證得△COM≌△EOM，從而得到當(dāng)點N，M，E共線時，CM+MN最小，最小值為EN，且當(dāng)EN⊥AC時，NE最小，再根據(jù)，可得，即可求解．【詳解】解：（1）如圖，作點關(guān)于直線小河的對稱點，連接，交于，則最??；理由：根據(jù)作法得：，∴，∴當(dāng)點共線時，最?。唬?）如圖，分別作點關(guān)于，的對稱點和，連接交于，于，連接，，，則的周長最小；理由：根據(jù)作法得：，，∴，∴當(dāng)點共線時，的周長最小；（3）如圖，過點C作，交于，于，連接ME，則最小，，平分，，在和中，，≌，，，∵，OM=OM，∴△COM≌△EOM，，，∴當(dāng)點N，M，E共線時，CM+MN最小，最小值為EN，且當(dāng)EN⊥AC時，NE最小，過點C作CF⊥AB于點F，∵，，，，∴，即，解得：，∵，，∴的最小值為．【點睛】本題考查了軸對稱性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，解決問題的關(guān)鍵是熟練掌握“將軍飲馬”及其變形的模型．【經(jīng)典例題二求兩條線段差的最大值】【例2】如圖，點，在直線的同側(cè)，到的距離，到的距離，已知，是直線上的一個動點，記的最小值為，的最大值為，則的值為（

）A．160 B．150 C．140 D．130【答案】A【分析】作點A關(guān)于直線MN的對稱點，連接交直線MN于點P，則點P即為所求點，過點作直線，在根據(jù)勾股定理求出線段的長，即為PA+PB的最小值，延長AB交MN于點，此時，由三角形三邊關(guān)系可知，故當(dāng)點P運動到時最大，過點B作由勾股定理求出AB的長就是的最大值，代入計算即可得．【詳解】解：如圖所示，作點A關(guān)于直線MN的對稱點，連接交直線MN于點P，則點P即為所求點，過點作直線，∵，，，∴，，，在中，根據(jù)勾股定理得，∴，即PA+PB的最小值是；如圖所示，延長AB交MN于點，∵，，∴當(dāng)點P運動到點時，最大，過點B作，則，∴，在中，根據(jù)勾股定理得，，∴，即，∴，故選A．【點睛】本題考查了最短線路問題和勾股定理，解題的關(guān)鍵是熟知兩點之間線段最短及三角形的三邊關(guān)系．【變式訓(xùn)練】1．如圖，在等邊中，E是邊的中點，P是的中線上的動點，且，則的最大值是________．【答案】3【分析】連接PC，則BP=CP，=CP-PE，當(dāng)點P與點A重合時，CP-PE=CE，進而即可求解．【詳解】解：連接PC，∵在等邊中，，P是的中線上的動點，∴AD是BC的中垂線，∴BP=CP，∴=CP-PE，∵在中，CP-PE＜CE，∴當(dāng)點P與點A重合時，CP-PE=CE，∵E是邊的中點，∴的最大值=6÷2=3．故答案是：3．【點睛】本題主要考查等邊三角形的性質(zhì)，三角形三邊長關(guān)系，連接CP，得到=CP-PE，是解題的關(guān)鍵．【經(jīng)典例題三求三條線段和的最小值（雙動點問題）】【例3】（2021秋·重慶榮昌·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖，∠AOB＝30o，∠AOB內(nèi)有一定點P，且OP＝12，在OA上有一動點Q，OB上有一動點R．若△PQR周長最小，則最小周長是(

)A．6 B．12 C．16 D．20【答案】B【詳解】作點P關(guān)于OA的對稱點點E，點P關(guān)于OB的對稱點點F，連接EF分別交OA于點Q，交OB于點R，連接OE、OF，∵P、E關(guān)于OA對稱，∴OE=OP=12，∠EOA=∠AOP，QE=QP，同理可證OP=OF=12，∠BOP=∠BOF，RP=RF，∴OE=OF=12，∠EOF=∠EOP+∠FOP=2∠AOB=60°，∴△OEF是等邊三角形，∴EF=12，∴C△PQR=PQ+PR+QR=EQ+QR+RF=EF=12．故選B．【變式訓(xùn)練】1．（2022秋·湖北黃石·八年級統(tǒng)考期中）如圖，中，，，的面積為21，于D，EF是AB邊的中垂線，點P是EF上一動點，周長的最小是等于（

）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】D【分析】由于△ABC是等腰三角形，AD⊥BC，故點D是BC邊的中點，根據(jù)三角形的面積公式求出AD的長，再根據(jù)EF是線段AB的垂直平分線可知，點B關(guān)于直線EF的對稱點為點A，故AD的長為BP+PD的最小值，由此即可得出結(jié)論．【詳解】解：∵△ABC是等腰三角形，AD⊥BC∴點D是BC邊的中點∴BD=CD==3∵的面積為21∵EF是線段AB的垂直平分線∴點B關(guān)于直線EF的對稱點為點A∴AD的長為BP+PD的最小值∴△PBD的周長最小=(BP+PD)+BD=AD+BC=7+3=10故選D．【點睛】本題考查的是軸對稱-最短路線問題，熟知等腰三角形三線合一的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．2．（2021秋·浙江·八年級期中）如圖，，內(nèi)有一定點P，且．在上有一動點Q，上有一動點R．若周長最小，則最小周長是________．【答案】8【分析】先畫出圖形，作PM⊥OA與OA相交于M，并將PM延長一倍到E，即ME=PM．作PN⊥OB與OB相交于N，并將PN延長一倍到F，即NF=PN．連接EF與OA相交于Q，與OB相交于R，再連接PQ，PR，則△PQR即為周長最短的三角形．再根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得出△PQR的周長=EF，再根據(jù)三角形各角之間的關(guān)系判斷出△EOF的形狀即可求解．【詳解】解：設(shè)∠POA=θ，則∠POB=30°-θ，作PM⊥OA與OA相交于M，并將PM延長一倍到E，即ME=PM，作PN⊥OB與OB相交于N，并將PN延長一倍到F，即NF=PN，連接EF與OA相交于Q，與OB相交于R，再連接PQ，PR，則△PQR即為周長最短的三角形，∵OA是PE的垂直平分線，∴EQ=QP；同理，OB是PF的垂直平分線，∴FR=RP，∴△PQR的周長=EF，∵OE=OF=OP=10，且∠EOF=∠EOP+∠POF=2θ+2（30°-θ）=60°，∴△EOF是正三角形，∴EF=8，即在保持OP=8的條件下△PQR的最小周長為8．故答案為：8．．【點睛】本題考查的是最短距離問題，解答此類題目的關(guān)鍵根據(jù)軸對稱的性質(zhì)作出各點的對稱點，即把求三角形周長的問題轉(zhuǎn)化為求線段的長解答．3．（2020秋·江蘇蘇州·八年級?？茧A段練習(xí)）最短路徑問題：例：如圖所示，要在街道旁修建一個奶站，向居民區(qū)A、B提供牛奶，奶站應(yīng)建在什么地方，才能使從A、B到它的距離之和最短．解：只有A、C、B在一直線上時，才能使AC+BC最?。鼽cA關(guān)于直線“街道”的對稱點A′，然后連接A′B，交“街道”于點C，則點C就是所求的點．應(yīng)用：已知：如圖A是銳角∠MON內(nèi)部任意一點，在∠MON的兩邊OM，ON上各取一點B，C，組成三角形，使三角形周長最小.（1）借助直角三角板在下圖中找出符合條件的點B和C．（2）若∠MON=30°，OA=10,求三角形的最小周長．【答案】(1)見解析；（2）10【詳解】試題分析：作點關(guān)于的對稱點，關(guān)于的對稱點，連接,與相交于兩點，連接,即為所求．試題解析：作點關(guān)于的對稱點，關(guān)于的對稱點，連接,與相交于兩點，連接,即為所求．此時線段的長度即為周長的最小值連接由對稱性知：為等邊三角形所以三角形的最小周長為10.點睛：屬于將軍飲馬問題，依據(jù)是：兩點之間，線段最短.【經(jīng)典例題四最值問題的實際應(yīng)用】【例4】（2023春·四川成都·七年級統(tǒng)考期末）如圖，在正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長都是一個單位長度，的三個頂點都在格點上．

(1)求出的面積；(2)畫出關(guān)于直線對稱的；(3)在直線上畫出點，使得的值最?。敬鸢浮?1)2(2)作圖見解析(3)作圖見解析【分析】（1）利用網(wǎng)格，間接表示出的面積即可得到答案；（2）根據(jù)點的對稱，先作出三個頂點關(guān)于直線的對稱點，再連接頂點即可畫出；（3）由動點最值問題-“將軍飲馬”模型，作出點關(guān)于動點軌跡直線的對稱點，連接，與直線的交點即為所求（連接與直線相交于點也可）．【詳解】（1）解：；（2）解：如圖所示：

即為所求；（3）解：如圖所示：

連接，與直線的交點即為所求（連接與直線相交于點也可）．【點睛】本題考查網(wǎng)格中求三角形面積、復(fù)雜作圖-對稱及動點最值問題-“將軍飲馬”，熟練掌握相關(guān)題型解法及對稱作圖是解決問題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023·浙江·八年級假期作業(yè)）如圖，已知，兩點在直線的同一側(cè)，根據(jù)題意，用尺規(guī)作圖．

(1)在（圖①）直線上找出一點，使；(2)在（圖②）直線上找出一點，使的值最??；(3)在（圖③）直線上找出一點，使的值最大．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)見解析【分析】（1）連接，作線段的垂直平分線，交直線于點，則點即為所求；（2）作點關(guān)于直線的對稱點，連接，線段與直線交于點，則點即為所求．（也可作關(guān)于直線的對稱點）（3）過點，作直線與直線交于點，則點即為所求．【詳解】（1）如圖①，點P即為所求

此時；（2）如圖②，點P即為所求

此時的值最?。唬?）如圖③，點P即為所求

此時最大．【點睛】本題考查了軸對稱-最短路線問題的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是正確畫出圖形．2．（2023春·全國·八年級專題練習(xí)）如圖，在中，已知，的垂直平分線交于點N，交于點M，連接．(1)若，則的度數(shù)是___________度；(2)若．的周長是，①求的長度；②若點P為直線上一點，請你直接寫出周長的最小值．【答案】(1)(2)①；②【分析】（1）根據(jù)垂直平分線上的點到線段兩個端點距離相等得，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可求解；（2）①根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得，的周長是．，即可求的長度；②依據(jù)，，即可得到當(dāng)P與M重合時，，此時最小，進而得出的周長最小值．【詳解】（1）解：，，，，∵是的垂直平分線，，，，，．（2）①，的周長是，即，，，．∴的長度為．②當(dāng)P與M重合時，的周長最?。碛桑骸?，，∴當(dāng)P與M重合時，，此時最小值等于的長，∴的周長最小值．【點睛】本題考查了軸對稱最短路線問題，解決本題的關(guān)鍵是掌握線段垂直平分線的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)．3．（2023秋·重慶沙坪壩·七年級重慶八中?？计谀┤鐖D，已知點A，B，C，D是不在同一直線上的四個點，請按要求畫出圖形．(1)作線段和射線；(2)用無刻度的直尺和圓規(guī)在射線上作；(3)在平面內(nèi)作一點P，使得的和最短．【答案】(1)見解析；(2)見解析；(3)見解析．【分析】（1）根據(jù)幾何語言畫出對應(yīng)的幾何圖形；（2）根據(jù)幾何語言畫出對應(yīng)的幾何圖形；（3）連接交于P，根據(jù)兩點之間線段最短可判斷P點滿足條件．【詳解】（1）解：如圖：（2）解：如圖：（3）解：點P即為所求．兩點之間線段最短，要使得的和最短，則點應(yīng)為線段和線段的交點．【點睛】本題考查了作圖-復(fù)雜作圖：解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．也考查了直線、射線、線段．【重難點訓(xùn)練】1．（2023春·陜西西安·七年級交大附中分校?？计谀﹫D，已知A村莊與B村莊相距，A村莊的土地灌溉點在C點處，B村莊的土地灌溉點在D處．已知，現(xiàn)要在線段之間選一點建一水站E，使得水站E分別到灌溉點C與灌溉點D的距離之和最短，最短距離是（

）

A．10 B．17 C．14 D．13【答案】D【分析】作點C關(guān)于的對稱點，連接，連接，交于E，過點D作，交的延長線于F，再根據(jù)勾股定理求解即可．【詳解】作點C關(guān)于的對稱點，連接，連接，交于E，過點D作，交的延長線于F，

∴，∵，∴四邊形是矩形，∴，∴，在中，∵，∴，∴，故選：D．【點睛】本題考查了軸對稱的性質(zhì)，勾股定理，能夠根據(jù)題意找出點E是解題的關(guān)鍵．2．（2023春·全國·七年級專題練習(xí)）如圖，等腰中，，垂直平分，交于點E，交于點F，點G是線段上的一動點，若的面積是，，則的周長最小值是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】連接．利用三角形的面積公式求出，由垂直平分，推出，推出，由，推出，的最小值為3，由此即可解決問題．【詳解】解：如圖，連接．∵，，∴，∵，∴，∵垂直平分，∴，∴，∵，∴，∴的最小值為3，∴的最小值為，故選：B．【點睛】本題考查了線段的垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理等知識，兩點間線段最短，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)知識解決問題．3．（2023春·江蘇鎮(zhèn)江·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在正方形中，，動點是正方形內(nèi)一點，滿足，則點到、兩點距離之和的最小值為（

）A．8 B．10 C． D．【答案】B【分析】設(shè)中邊上的高是h，即可得出，作A關(guān)于直線l的對稱點E，連接，，則的長就是所求的最短距離，再根據(jù)勾股定理即可解答．【詳解】設(shè)中邊上的高是h，∵，∴，∴，動點P在與平行且與的距離是4的直線l上，如圖，作A關(guān)于直線l的對稱點E，連接，，則的長就是所求的最短距離，在中，∵，，∴，即的最小值為10．故選：B．【點睛】本題考查了對稱-最短線路問題，三角形面積，正方形的性質(zhì)，勾股定理，得出動點所在的位置是解題的關(guān)鍵．4．（2023秋·河北滄州·八年級統(tǒng)考期末）如圖，等邊三角形的邊長為4，是邊上的中線，M是上的動點，E是上的一點，若，當(dāng)取得最小值時，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】作點E關(guān)于對稱的點F，連接，與交于點M，推出最小時即為，再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得結(jié)果．【詳解】解：作點E關(guān)于對稱的點F，連接，與交于點M，∵是等邊三角形，是邊上的中線，∴，∵點E、點F關(guān)于對稱，∴F在上，∴，∴，即最小，且為，∵，∴，即點F為中點，∴，故選C．【點睛】本題考查了軸對稱最短路線問題，等邊三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)等知識點的應(yīng)用，找到取得最小值時點M的位置是解題的關(guān)鍵．5．（2023春·黑龍江綏化·九年級綏化市第八中學(xué)校?？计谥校┤鐖D，在矩形中，，，動點滿足，則點到、兩點距離之和的最小值為（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】首先由，得出動點在與平行且與的距離是2的直線上，作關(guān)于直線的對稱點，連接，連接，則的長就是所求的最短距離．然后在直角三角形中，由勾股定理求得的值，即的最小值．【詳解】解：如圖，作關(guān)于直線的對稱點，連接，連接，則的長就是所求的最短距離．

設(shè)中邊上的高是．，，，，動點在與平行且與的距離是2的直線上，在中，，，，即的最小值為．故選：D．【點睛】本題考查了軸對稱最短路線問題，三角形的面積，矩形的性質(zhì)，勾股定理，兩點之間線段最短的性質(zhì)．得出動點所在的位置是解題的關(guān)鍵．6．（2023·安徽合肥·統(tǒng)考一模）如圖，在中，，，是下方的一動點，記，的面積分別記為，．若，則線段長的最小值是（

）A．3 B． C． D．【答案】C【分析】過點作直線，過點作于點，延長交于點，由圖可知，根據(jù)面積關(guān)系求出長度即可．【詳解】解：如圖，過點作直線，過點作于點，延長交于點．是等腰直角三角形，且，，，，，，點的運動軌跡是直線，，解得，，的最小值為，故選C．【點睛】本題考查了最短距離問題、等腰直角三角形的性質(zhì)、三角形面積等知識，根據(jù)題意添加相應(yīng)輔助線是解題關(guān)鍵．7．（2023春·湖北黃岡·九年級專題練習(xí)）如圖，在中，，，，平分，點分別是，邊上的動點，則的最小值是（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】D【分析】作點關(guān)于直線的對稱點，連接，證明，得，欲求的最小值，只要求出的最小值，即當(dāng)時，的值最小，此時與重合，與重合，最小值為的長．【詳解】解：如圖，作點關(guān)于直線的對稱點，連接，在和中，，，，欲求的最小值，只要求出的最小值，當(dāng)時，的值最小，此時與重合，與重合，最小值為的長．在中，，，，，的最小值是7，故選：D．【點睛】本題考查了勾股定理、軸對稱中的最短路線問題、垂線段最短等知識，找出點、的位置是解題的關(guān)鍵．8．（2023秋·福建廈門·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在四邊形中，，，E，F(xiàn)分別是，上的點，當(dāng)?shù)闹荛L最小時，的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】要使的周長最小，即利用點的對稱，使三角形的三邊在同一直線上，作出A關(guān)于和的對稱點，，即可得出，即可得出答案．【詳解】解：作A關(guān)于和的對稱點，，連接，交于，交于，∴，，∴，，則即為的周長最小值，，，，，，，，故選：D．【點睛】本題考查的是軸對稱最短路線問題，涉及到平面內(nèi)最短路線問題求法以及三角形的外角的性質(zhì)和垂直平分線的性質(zhì)等知識，根據(jù)已知得出，的位置是解題關(guān)鍵．9．（2023春·全國·七年級專題練習(xí)）如圖，，，分別是邊，上的定點，，分別是邊，上的動點，記，，當(dāng)最小時，則關(guān)于，的數(shù)量關(guān)系正確的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】如圖，作M關(guān)于的對稱點，N關(guān)于的對稱點，連接交于Q，交于P，則最小，易知，，，，，由此即可解決問題．【詳解】解：如圖，作M關(guān)于的對稱點，N關(guān)于的對稱點，連接交于Q，交于P，則最小，由軸對稱的性質(zhì)得，，，，，∴．故選：D．【點睛】本題考查軸對稱-最短問題、三角形的內(nèi)角和定理．三角形的外角的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)知識解決問題，屬于中考?？碱}型．10．（2023春·八年級課時練習(xí)）如圖，點在等邊的邊上，，射線，垂足為點，點是射線上一動點，點是線段上一動點，當(dāng)?shù)闹底钚r，，則的長為（

）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】B【分析】作E點關(guān)于的對稱點，過作交于點F，交于點P，連接，當(dāng)三點共線，時，的值最小，利用所對直角邊等于斜邊一半求出，最后根據(jù)邊長關(guān)系計算的長即可．【詳解】解：作E點關(guān)于的對稱點，過作交于點F，交于點P，連接，∴，,∴，當(dāng)三點共線，時，的值最小，∵是正三角形，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，∵，∴，∴，∴，故選：B．【點睛】本題考查軸對稱求最短距離，熟練掌握軸對稱求最短距離的方法，等邊三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．11．（2023春·河南駐馬店·七年級駐馬店市第二初級中學(xué)?？计谀┤鐖D，在三角形中，，三角形的面積是，的垂直平分線分別交，邊于點，點．若點為邊的中點，為線段上一個動點，則三角形周長的最小值是______．

【答案】【分析】根據(jù)軸對稱—最短路徑得到是的最小值，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及三角形的面積即可解答．【詳解】解：連接，交于點，連接，∵是的垂直平分線，∴，∴，∴有最小值為，∵在三角形中，點為邊的中點，∴，∵三角形的面積是，，∴，∴，∴，∵點為邊的中點，∴，∴三角形周長的最小值是，故答案為；

【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，軸對稱—最短路徑，三角形的面積公式，根據(jù)題意找到有最小值是解題的關(guān)鍵．12．（2023秋·河北石家莊·八年級?？计谀┤鐖D，，點M、N分別在射線、上，，的面積為12，P是直線上的動點，點P關(guān)于對稱的點為，點P關(guān)于對稱的點為，當(dāng)點P在直線上運動時，的面積最小值為______．

【答案】【分析】連接，過點作交的延長線于，先利用三角形的面積公式求出，再根據(jù)軸對稱的性質(zhì)可得，，，從而可得，然后利用三角形的面積公式可得的面積為，可得當(dāng)點與點重合時，取得最小值，的面積最小，由此即可得．【詳解】解：如圖，連接，過點作交的延長線于，

，且，，點關(guān)于對稱的點為，點關(guān)于對稱的點為，，，，，，的面積為，由垂線段最短可知，當(dāng)點與點重合時，取得最小值，最小值為，的面積的最小值為，故答案為：．【點睛】本題考查了軸對稱、垂線段最短等知識點，掌握軸對稱的性質(zhì)是關(guān)鍵．13．（2022秋·廣西貴港·八年級統(tǒng)考期中）如圖，，點P為內(nèi)一點，．點M、N分別在上．當(dāng)△PMN周長最小時，下列結(jié)論：①等于；②等于；③等于；④周長最小值是5：⑤周長最小值是10；⑥周長最小值是15．其中正確結(jié)論的序號是___________．【答案】①⑤/⑤①【分析】分別作點P關(guān)于的對稱點，連接，交于M，交于N，可得的周長的最小值，然后證明是等邊三角形，即可求解．【詳解】解：分別作點P關(guān)于的對稱點，連接，交于M，交于N，則，，∴即的周長的最小值，∵，∴，∴是等邊三角形，∴，，即的周長的最小值為10，∴①⑤正確，故答案為：①⑤．【點睛】此題考查軸對稱——最短路線問題，正確正確作出輔助線，證明是等邊三角形是關(guān)鍵．14．（2023秋·福建南平·八年級統(tǒng)考期末）如圖，，點M，N分別是邊，上的定點，點P，Q分別是邊，上的動點，記，，當(dāng)最小時，則α與β的數(shù)量關(guān)系為____________．【答案】【分析】作M關(guān)于的對稱點，N關(guān)于的對稱點，連接交于P，交于Q，則最小，易知，，根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)和平角的定義即可得到結(jié)論．【詳解】解：如圖，作M關(guān)于的對稱點，N關(guān)于的對稱點，連接交于P，交于Q，則最小，∴，，∴，∴，故答案為：．【點睛】本題考查軸對稱—最短問題、三角形的內(nèi)角和定理．三角形的外角的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)知識解決問題．15．（2023秋·山西呂梁·八年級統(tǒng)考期末）為貫徹國家城鄉(xiāng)建設(shè)一體化和要致富先修路的理念，某市決定修建道路和一座橋，方便張莊A和李莊B的群眾出行到河岸a．張莊A和李莊B位于一條河流的同一側(cè)，河的兩岸是平行的直線，經(jīng)測量，張莊A和李莊B到河岸b的距離分別為，，且，如圖所示．現(xiàn)要求：建造的橋長要最短，然后考慮兩村莊到河流另一側(cè)橋頭的路程之和最短，則這座橋應(yīng)建造在C，D間距離C______m處．（河岸邊上的點到河對岸的距離都相等）【答案】【分析】作B點關(guān)于直線b的對稱點，連接交直線b于點P，則，則，此時P點到A與B的距離和最小，過作，延長與交于點M，則，得到，再得到是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，得到，即可得到答案．【詳解】解：作B點關(guān)于直線b的對稱點，連接交直線b于點P，∴，∴，此時P點到A與B的距離和最小，過作，延長與交于點M，∴，∵，，，∴，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∴點P與C點的距離是，故答案為：【點睛】此題考查了軸對稱最短路徑問題，還考查了等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，按照要求正確作圖是解題的關(guān)鍵．16．（2023春·廣東佛山·八年級?？计谥校┤鐖D，等邊和等邊的邊長都是4，點在同一條直線上，點P在線段上，則的最小值為__________．【答案】8【分析】連接，根據(jù)和都是邊長為4的等邊三角形，證明，可得，所以，進而可得當(dāng)點P與點C重合時，的值最小，正好等于的長，即可求解．【詳解】解：如圖，連接，∵和都是邊長為4的等邊三角形，∴，∴，∴，在和中，，∴，∴，∴，∴當(dāng)點P與點C重合時，點A與點關(guān)于對稱，的值最小，正好等于的長，∴的最小值為，故答案為：8．【點睛】本題考查了軸對稱—最短路線問題、全等三角形的判定和性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)，靈活運用所學(xué)知識求解是解決本題的關(guān)鍵．17．（2022秋·河南南陽·八年級校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在中，平分交于點，點，分別是和上的動點，當(dāng)，時，的最小值等于_____．

【答案】3【分析】根據(jù)是的平分線確定出點關(guān)于的對稱點在上，根據(jù)垂線段最短，過點作于交于，根據(jù)軸對稱確定最短路線問題，點即為使最小的點，，過點作于，利用三角形的面積求出，再根據(jù)等腰三角形兩腰上的高相等可得，從而得解．【詳解】解：如圖，過作于交于，

則，是的平分線，，，，，點關(guān)于的對稱點在上，過點作于交于，由軸對稱確定最短路線問題，點即為使最小的點，，過點作于，，，，解得，是的平分線，與關(guān)于對稱，，是等腰三角形，，即的最小值是3．故答案為：3．【點睛】本題考查了軸對稱確定最短路線問題，垂線段最短的性質(zhì)，等腰三角形兩腰上的高相等的性質(zhì)，熟練掌握各性質(zhì)并準確確定出點的位置是解題的關(guān)鍵．18．（2023春·廣東佛山·八年級校考階段練習(xí)）如圖，等腰三角形的底邊長為，面積是，腰的垂直平分線分別交，于點、，若點為底邊的中點，點為線段上一動點，則的周長的最小值為_____．【答案】【分析】連接交與點，連結(jié)，由線段垂直平分線的性質(zhì)可知，則，故此當(dāng)、、在一條直線上時，有最小值，然后依據(jù)要三角形三線合一的性質(zhì)可證明為底邊上的高線，依據(jù)三角形的面積為可求得的長．【詳解】解：連接交與點，連結(jié)．是等腰三角形，點是邊的中點，，，解得，是線段的垂直平分線，．．當(dāng)點位于點處時，有最小值，最小值．的周長的最小值為．故答案為：．【點睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)．能結(jié)合垂直平分線的性質(zhì)和等腰三角形三線合一得出BM+MD的最短值即為AD是解題關(guān)鍵．19．（2023秋·八年級課時練習(xí)）如圖，在四邊形中，，，，分別是，上的點，當(dāng)?shù)闹荛L最小時，求的度數(shù)．

【答案】【分析】作點關(guān)于的對稱點，作點關(guān)于的對稱點，連結(jié)交于點，交于點，當(dāng)、、、共線時，的周長最小，先求，則．【詳解】解：如答圖①，分別作點關(guān)于直線，的對稱點，，

則，．的周長，當(dāng)，，，四點共線（如答圖②）時，的周長取到最小值．，，．根據(jù)軸對稱的性質(zhì)可得，．又由三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角和，可得，又，，，，．【點睛】本題考查軸對稱求最短距離，熟練掌握軸對稱求最短的方法，靈活應(yīng)用三角形、四邊形內(nèi)角和是解題的關(guān)鍵．20．（2023春·廣東佛山·八年級?？计谥校┤鐖D，已知≌，將沿所在的直線折疊至的位置，點B的對應(yīng)點為，連結(jié)．

(1)直接填空：與的位置關(guān)系是__________；(2)點P、Q分別是線段、上的兩個動點（不與點A、B、C重合），已知的面積為36，，求的最小值；(3)試探索：的內(nèi)角滿足什么條件時，是直角三角形？【答案】(1)(2)9(3)當(dāng)時，；當(dāng)時，【分析】（1）根據(jù)軸對稱的性質(zhì)即可判斷；（2）根據(jù)對稱的性質(zhì)，在上取點，使得，結(jié)合對稱性質(zhì)推出，確定三點共線且垂直于時，取得最小值，結(jié)合面積進行計算即可；（3）分和兩種情況，根據(jù)翻折變換的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)解答．【詳解】（1）解：∵沿所在的直線折疊至的位置，點B的對應(yīng)點為，∴，故答案為：；（2）解：如圖所示，在上取點，使得，連接，根據(jù)對稱的性質(zhì)，，

∴，要求的最小值，求的最小值即可，∴當(dāng)B、P、M三點共線，且時，取得最小值，此時，如圖所示，

由對稱的性質(zhì)，，∵取得最小值時，，∴，即：，解得：，∴的最小值為9；（3）解：①當(dāng)時，；∵由翻折變換的性質(zhì)可知，，∴，∵，∴，∴，∴；②由翻折的性質(zhì)，當(dāng)時，．【點睛】本題考查全等三角形的性質(zhì)、翻折變換的性質(zhì)、軸對稱-最短路徑問題、等腰三角形的性質(zhì)等，熟知折疊是一種對稱變換，屬于軸對稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應(yīng)邊和對應(yīng)角相等是解題關(guān)鍵．21．（2022秋·遼寧營口·八年級?？计谥校┤鐖D，在和中，，，與相交于點O，限用尺規(guī)完成以下作圖：(1)在圖1中作線段的垂直平分線；(2)在圖2中，在線段上找到一點N,使的值最小．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1