2024-2025學(xué)年山東省臨沂市高二上學(xué)期學(xué)科素養(yǎng)水平監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)檢測(cè)試卷（含解析）

2024-2025學(xué)年山東省臨沂市高二上學(xué)期學(xué)科素養(yǎng)水平監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)檢測(cè)試卷注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的考生號(hào)、姓名、考點(diǎn)學(xué)校、考場(chǎng)號(hào)及座位號(hào)填寫在答題卡上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需要改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.直線的傾斜角為（）A. B. C. D.2.橢圓的離心率為（）A. B. C. D.3.已知是直線的方向向量，為平面的法向量，若，則（）A. B. C. D.4若圓與圓有3條公切線，則（）A.5 B.4 C.3 D.25.空間三點(diǎn)，，，則以，為鄰邊的平行四邊形的面積為（）A. B. C.7 D.6.若圓，點(diǎn)在直線上，過點(diǎn)作圓的切線，切點(diǎn)為，則切線長的最小值為（）A.1 B.2 C. D.47.若，兩點(diǎn)到直線的距離相等，則（）A B. C.2或 D.2或8.設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，，為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，，則（）A. B. C. D.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.若直線過點(diǎn)，且在兩坐標(biāo)軸上截距相等，則直線方程可能為（）A. B.C. D.10.在平面直角坐標(biāo)系中，已知，，點(diǎn)滿足，設(shè)點(diǎn)的軌跡為，則（）A.當(dāng)時(shí)，的方程是B.當(dāng)時(shí)，以為直徑的圓與的公共弦長為C.當(dāng)時(shí)，圓的圓心在線段的延長線上D.以為直徑圓始終與相交11.如圖是數(shù)學(xué)家GerminalDandelin用來證明一個(gè)平面截圓錐側(cè)面得到的截口曲線是橢圓的模型（稱為“Dandelin雙球”）.在圓錐內(nèi)放兩個(gè)大小不同的小球，使得它們分別與圓錐的側(cè)面、截切，截面分別與球，球切于點(diǎn)，（，是截口橢圓的焦點(diǎn)）.設(shè)圖中球，球的半徑分別為3和1，球心距，則（）A.橢圓的中心在直線上B.C.直線與橢圓所在平面所成的角為D.橢圓的離心率為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.若點(diǎn)是點(diǎn)在坐標(biāo)平面內(nèi)的射影，則________.13.若圓上恰有個(gè)點(diǎn)到直線的距離等于，則的取值范圍是________.14.《九章算術(shù)》中記錄“羨除”是算學(xué)和建筑學(xué)術(shù)語，指的是一段類似地下車庫入口形狀的幾何體.如圖，羨除中，四邊形，均為等腰梯形，，，互相平行，平面平面，梯形，的高分別為2，4，且，，，則與平面所成角的正切值為________，異面直線與所成角的余弦值為_______四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.如圖，在空間四邊形中，，分別為，的中點(diǎn)，點(diǎn)為的重心，設(shè)，，.（1）試用向量，，，表示向量；（2）若，，，求的值.16.已知圓的圓心在直線上，并且經(jīng)過圓與圓的交點(diǎn).（1）求的方程；（2）直線與交于，兩點(diǎn)，當(dāng)弦最短時(shí)，求的值，并求出此時(shí)關(guān)于對(duì)稱的圓的方程.17.如圖，在直三棱柱中，，，，分別為棱，中點(diǎn)，是與的交點(diǎn).（1）求點(diǎn)到平面的距離；（2）在線段上是否存在一點(diǎn)，使平面，若存在，求出的值，若不存在，請(qǐng)說明理由.18.在圓上任取一點(diǎn)，過作軸的垂線段，垂足為，點(diǎn)在線段的延長線上，且，當(dāng)在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)形成的軌跡為.（當(dāng)經(jīng)過圓與軸的交點(diǎn)時(shí)，規(guī)定點(diǎn)與點(diǎn)重合.）（1）求的方程；（2）設(shè)的上頂點(diǎn)為，過點(diǎn)作斜率為的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，，直線，分別與軸交于點(diǎn)，，證明：線段的中點(diǎn)為定點(diǎn).19.已知曲線，對(duì)坐標(biāo)平面上任意一點(diǎn)，定義，若兩點(diǎn)，，滿足，稱點(diǎn)，在曲線的同側(cè)；，稱點(diǎn)，在曲線的兩側(cè).（1）若曲線，判斷，兩點(diǎn)在曲線的同側(cè)還是兩側(cè)；（2）已知曲線，為坐標(biāo)原點(diǎn)，求點(diǎn)集所構(gòu)成圖形的面積；（3）記到點(diǎn)與到軸的距離之和為的點(diǎn)的軌跡為曲線，曲線，若曲線上總存在兩點(diǎn)，在曲線兩側(cè)，求曲線的方程和實(shí)數(shù)的取值范圍2024-2025學(xué)年山東省臨沂市高二上學(xué)期學(xué)科素養(yǎng)水平監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)檢測(cè)試卷注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的考生號(hào)、姓名、考點(diǎn)學(xué)校、考場(chǎng)號(hào)及座位號(hào)填寫在答題卡上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需要改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.直線的傾斜角為（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】由直線方程計(jì)算直線斜率，即可得到直線的傾斜角.【詳解】由題意得，直線的斜率，故直線的傾斜角為.故選：D.2.橢圓的離心率為（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】把方程化為橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程即可得到結(jié)果.【詳解】由得橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為，∴，∴離心率.故選：B.3.已知是直線的方向向量，為平面的法向量，若，則（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】如果直線垂直于平面，那么直線的方向向量與平面的法向量平行.兩個(gè)向量平行，則它們對(duì)應(yīng)坐標(biāo)成比例，我們可以根據(jù)這個(gè)性質(zhì)來求解的值.【詳解】因?yàn)?，所以與平行.對(duì)于兩個(gè)平行向量和，根據(jù)向量平行的性質(zhì)，它們對(duì)應(yīng)坐標(biāo)成比例，即.由，交叉相乘可得，解得.故選：A.4.若圓與圓有3條公切線，則（）A.5 B.4 C.3 D.2【正確答案】A【分析】若兩圓有3條公切線，則外切.我們需要先通過圓的方程，求出圓心坐標(biāo)和半徑，再根據(jù)兩圓外切時(shí)圓心距等于兩圓半徑之和來求解的值.【詳解】圓，其圓心坐標(biāo)為，半徑.圓，其圓心坐標(biāo)為，半徑.因?yàn)閮蓤A有3條公切線，所以兩圓外切，此時(shí)圓心距.根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式，圓心與的距離.又因?yàn)?，?移項(xiàng)可得.兩邊平方可得，解得.故選：A.5.空間三點(diǎn)，，，則以，為鄰邊的平行四邊形的面積為（）A. B. C.7 D.【正確答案】D【分析】利用空間向量的數(shù)量積求出的值，然后利用三角形的面積公式可求得平行四邊形的面積.【詳解】因?yàn)?，，，所以，，所以，，，所以，因?yàn)?，所以，所以，以，為鄰邊的平行四邊形的面積為.故選：D6.若圓，點(diǎn)在直線上，過點(diǎn)作圓的切線，切點(diǎn)為，則切線長的最小值為（）A.1 B.2 C. D.4【正確答案】B【分析】先求出圓心到直線的距離，根據(jù)勾股定理，切線長、圓的半徑和圓心到點(diǎn)的距離構(gòu)成直角三角形，圓的半徑固定，當(dāng)圓心到點(diǎn)的距離最小時(shí)，切線長最小，而圓心到直線上點(diǎn)的最小距離就是圓心到直線的距離.【詳解】對(duì)于圓，其圓心坐標(biāo)為，半徑.根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式，則.根據(jù)切線長、圓半徑和圓心到點(diǎn)距離構(gòu)成直角三角形，設(shè)切線長為，圓心到點(diǎn)的距離為，圓半徑.由勾股定理，當(dāng)取最小值時(shí)，最小，此時(shí).故選：B.7.若，兩點(diǎn)到直線的距離相等，則（）A. B. C.2或 D.2或【正確答案】C【分析】由題意，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式建立關(guān)于的方程，解之即可求解.【詳解】由題意知，，得，解得或，即實(shí)數(shù)的值為或.故選：C8.設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，，為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，，則（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】根據(jù)橢圓方程求出焦點(diǎn)坐標(biāo)以及橢圓的基本參數(shù)，再利用余弦定理求出與的關(guān)系，然后通過向量關(guān)系求出.【詳解】對(duì)于橢圓，可得，.可求出，所以焦點(diǎn)，.設(shè)，，在中，根據(jù)余弦定理.已知，，則.又因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，根據(jù)橢圓的定義，將展開得.用減去可得：即則.代入中，可得.因?yàn)?，所?.則，所以.故選：A.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.若直線過點(diǎn)，且在兩坐標(biāo)軸上截距相等，則直線方程可能為（）A. B.C. D.【正確答案】BC【分析】對(duì)截距分類討論，利用截距式及其斜率計(jì)算公式即可得出．【詳解】當(dāng)直線經(jīng)過原點(diǎn)時(shí)，可得直線方程為：，即．當(dāng)直線不經(jīng)過原點(diǎn)時(shí)，可設(shè)的直線方程為：，把點(diǎn)代入可得：，可得．綜上可得：直線的方程為：或．故選：BC．10.在平面直角坐標(biāo)系中，已知，，點(diǎn)滿足，設(shè)點(diǎn)的軌跡為，則（）A.當(dāng)時(shí)，的方程是B.當(dāng)時(shí)，以為直徑的圓與的公共弦長為C.當(dāng)時(shí)，圓的圓心在線段的延長線上D.以為直徑的圓始終與相交【正確答案】ACD【分析】根據(jù)題意設(shè)，由可得軌跡，當(dāng)時(shí)，可得軌跡的方程，根據(jù)圓與圓的位置關(guān)系確定相交弦長從而可判斷A，B；根據(jù)圓心的坐標(biāo)確定與，坐標(biāo)關(guān)系即可判斷C；分別判斷與時(shí)，圓的端點(diǎn)在圓內(nèi)還是外即可判斷圓與圓的位置，從而判斷D.【詳解】設(shè)，因?yàn)椋?，則，整理得點(diǎn)的軌跡為為，對(duì)于A，B，當(dāng)時(shí)，的方程是，故A正確；此時(shí)圓心，半徑，又以為直徑的圓圓心為，半徑為2，圓的方程為，所以兩圓方程作差可得公共弦長所在直線方程為：，故公共弦長，故B不正確；對(duì)于C，由于方程為，則此時(shí)圓心坐標(biāo)為，當(dāng)時(shí)，，則圓的圓心在線段的延長線上，故C正確；對(duì)于D，由于以為直徑的圓方程為，圓的圓心為，半徑為，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)閳A的圓心在線段的延長線上，又，則，，故點(diǎn)在圓內(nèi)，在圓外，即此時(shí)以為直徑的圓始終與相交；當(dāng)時(shí)，，的圓心在線段的延長線上，又，，則，，故點(diǎn)在圓外，在圓內(nèi)，即此時(shí)以為直徑的圓始終與相交；綜上，以為直徑的圓始終與相交，故D正確.故選：ACD.11.如圖是數(shù)學(xué)家GerminalDandelin用來證明一個(gè)平面截圓錐側(cè)面得到的截口曲線是橢圓的模型（稱為“Dandelin雙球”）.在圓錐內(nèi)放兩個(gè)大小不同的小球，使得它們分別與圓錐的側(cè)面、截切，截面分別與球，球切于點(diǎn)，（，是截口橢圓的焦點(diǎn)）.設(shè)圖中球，球的半徑分別為3和1，球心距，則（）A.橢圓的中心在直線上B.C.直線與橢圓所在平面所成的角為D.橢圓的離心率為【正確答案】BD【分析】根據(jù)給定的幾何體，作出軸截面，結(jié)合圓的切線性質(zhì)及勾股定理求出橢圓長軸和焦距作答.【詳解】依題意，截面橢圓的長軸與圓錐的軸相交，橢圓長軸所在直線與圓錐的軸確定的平面截此組合體，得圓錐的軸截面及球，球的截面大圓，如圖，點(diǎn)分別為圓與圓錐軸截面等腰三角形一腰相切的切點(diǎn)，線段是橢圓長軸，可知橢圓C的中心（即線段的中點(diǎn)）不在直線上，故A錯(cuò)誤；橢圓長軸長，過作于D，連，顯然四邊形為矩形，又，則，過作交延長線于C，顯然四邊形為矩形，橢圓焦距，故B正確；所以直線與橢圓C所在平面所成的角的正弦值為，故C錯(cuò)誤；所以橢圓的離心率，故D正確；故選：BD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.若點(diǎn)是點(diǎn)在坐標(biāo)平面內(nèi)的射影，則________.【正確答案】【分析】由題意可得，結(jié)合空間向量模的坐標(biāo)表示即可求解.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)是點(diǎn)在坐標(biāo)平面內(nèi)的射影，所以，得，所以.故13.若圓上恰有個(gè)點(diǎn)到直線的距離等于，則的取值范圍是________.【正確答案】【分析】求圓心到直線的距離，根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系列不等式，求解即可得的取值范圍.【詳解】圓心到直線的距離為，若圓上恰有個(gè)點(diǎn)到直線的距離等于，所以，則，解得。所以的取值范圍是.故答案為.14.《九章算術(shù)》中記錄的“羨除”是算學(xué)和建筑學(xué)術(shù)語，指的是一段類似地下車庫入口形狀的幾何體.如圖，羨除中，四邊形，均為等腰梯形，，，互相平行，平面平面，梯形，的高分別為2，4，且，，，則與平面所成角的正切值為________，異面直線與所成角的余弦值為_______【正確答案】①.2②.##0.2分析】利用面面垂直得線面垂直，建立空間直角坐標(biāo)系，表示各點(diǎn)坐標(biāo)，利用空間向量解決線面角和線線角問題.【詳解】過點(diǎn)作的垂線，垂足分別為，則.由四邊形，均為等腰梯形得，，.∵，∴.∵平面平面，平面平面，平面，∴平面.∵平面，∴.以為原點(diǎn)建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，，，，∴,由題意得，平面的法向量為.設(shè)與平面所成角為，則，由得，，∴.∵，∴異面直線與所成角的余弦值為.故答案：2；.思路點(diǎn)睛：本題考查立體幾何綜合問題，具體思路如下：（1）過點(diǎn)作的垂線，垂足分別為，由得.（2）由平面平面得平面，.（3）以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，表示各點(diǎn)坐標(biāo)，利用空間向量解決線面角和線線角問題.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.如圖，在空間四邊形中，，分別為，的中點(diǎn)，點(diǎn)為的重心，設(shè)，，.（1）試用向量，，，表示向量；（2）若，，，求的值.【正確答案】（1）（2）【分析】（1）根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算化簡(jiǎn)即可得解；（2）用，，表示出向量，再由空間向量數(shù)量積公式計(jì)算即可.【小問1詳解】【小問2詳解】，，.16.已知圓的圓心在直線上，并且經(jīng)過圓與圓的交點(diǎn).（1）求的方程；（2）直線與交于，兩點(diǎn)，當(dāng)弦最短時(shí)，求的值，并求出此時(shí)關(guān)于對(duì)稱的圓的方程.【正確答案】（1）（2），.【分析】（1）設(shè)出過圓與圓的交點(diǎn)的圓系方程，得到圓心后代入直線中計(jì)算即可得；（2）由題意可得直線所過定點(diǎn)，再借助垂徑定理即可得，再求出的圓心關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)即可得解.【小問1詳解】設(shè)經(jīng)過圓與圓的交點(diǎn)的圓的方程為：，即為，圓心為，代入得，，所以方程為；【小問2詳解】由得，所以直線經(jīng)過與的交點(diǎn)，由，得交點(diǎn)，所以當(dāng)時(shí)最短，因?yàn)?，所以，解得，即直線的方程為由（1）得，半徑，設(shè)圓心關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，則，解得，所以關(guān)于對(duì)稱的圓的方程為.17.如圖，在直三棱柱中，，，，分別為棱，的中點(diǎn)，是與的交點(diǎn).（1）求點(diǎn)到平面的距離；（2）在線段上是否存在一點(diǎn)，使平面，若存在，求出的值，若不存在，請(qǐng)說明理由.【正確答案】（1）（2）存在，【分析】（1）根據(jù)給定的幾何體建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，再利用點(diǎn)到平面距離的向量求求解.（2）由（1）中信息，利用空間位置關(guān)系的向量證明推理得解.【小問1詳解】在直三棱柱中，，，以為原點(diǎn)，直線，，分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，，，，設(shè)平面的法向量為m=x1,y1,z所以點(diǎn)到平面的距離.【小問2詳解】由（1）知，，設(shè)，則，，平面的一個(gè)法向量為，由，得，而平面，所以存在點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，平面.18.在圓上任取一點(diǎn)，過作軸的垂線段，垂足為，點(diǎn)在線段的延長線上，且，當(dāng)在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)形成的軌跡為.（當(dāng)經(jīng)過圓與軸的交點(diǎn)時(shí)，規(guī)定點(diǎn)與點(diǎn)重合.）（1）求的方程；（2）設(shè)的上頂點(diǎn)為，過點(diǎn)作斜率為的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，，直線