遼寧省部分重點(diǎn)高中2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期11月期中考試數(shù)學(xué)試題含答案

2024-2025學(xué)年度上學(xué)期高一期中考試數(shù)學(xué)試卷考試時(shí)間：120分鐘滿分：150分一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的.1.命題，的否定是（）A.， B.，C.， D.，【答案】C【解析】【分析】根據(jù)特稱量詞命題的否定形式，直接求解.【詳解】特稱量詞命題的否定是全稱量詞命題，并且否定結(jié)論，所以命題，的否定是，.故選：C.2.“”是“”成立的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】利用充分條件、必要條件的定義直接判斷即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，；而當(dāng)時(shí)，或，所以“”是“”成立的充分不必要條件.故選：A3.已知，則的大小關(guān)系是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小.【詳解】依題意，，，又，所以的大小關(guān)系是.故選：B4.已知函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域?yàn)椋ǎ〢. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】應(yīng)用求解抽象函數(shù)的定義域的方法即可.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)椋瑒t，則且，則函數(shù)的定義域?yàn)?故選：D.5.若正實(shí)數(shù)a，b滿足則有（）A.最小值，且最小值為 B.最小值，且最小值為C.最大值，且最大值為 D.最大值，且最大值為【答案】B【解析】【分析】將代數(shù)式與相乘，展開后利用基本不等式可求得的最值，進(jìn)而可得出合適的選項(xiàng).【詳解】已知，，且滿足，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，因此，的最小值為.故選：B6.根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，可以判斷方程的一個(gè)根所在的區(qū)間是（）x-101230.3712.727.3920.0912345A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)零點(diǎn)概念及零點(diǎn)存在定理判斷即可.【詳解】設(shè)，由表格中的數(shù)據(jù)得，，，，，，所以，又的圖象是連續(xù)不斷的，所以在內(nèi)有零點(diǎn)．故選：.7.已知定義在R上函數(shù)的圖象是連續(xù)不斷地，且滿足以下條件：①，f-x=fx；②，當(dāng)時(shí)，都有；③.則下列選項(xiàng)不成立的是（）A. B.若，則的取值范圍是C.若，則 D.函數(shù)有最小值【答案】B【解析】【分析】A選項(xiàng)，由條件得到是偶函數(shù)，在0,+∞上單調(diào)遞增，故；B選項(xiàng)，由單調(diào)性和奇偶性得到不等式，求出；C選項(xiàng)，由，單調(diào)性和奇偶性得到當(dāng)時(shí)，，當(dāng)x∈-1,1時(shí)，，得到不等式解集；D選項(xiàng)，由單調(diào)性和奇偶性得到【詳解】A選項(xiàng)，由條件①得是偶函數(shù)，條件②得在0,+∞上單調(diào)遞增，所以，故A正確；B選項(xiàng)，若，則，得，故B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，是偶函數(shù)，且，故f1=0，在0,+∞上單調(diào)遞增，故在上單調(diào)遞減，故當(dāng)時(shí)，，當(dāng)x∈-1,1時(shí)，，若，則或，所以或，故C正確；D選項(xiàng)，因?yàn)槎x在R上函數(shù)的圖象是連續(xù)不斷地，在0,+∞上單調(diào)遞增，故在上單調(diào)遞減，所以，故D正確.故選：B8.已知函數(shù)，，若，，使得，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求出每個(gè)函數(shù)的值域，將原問題轉(zhuǎn)化為子集問題，列出不等式組求解即可.【詳解】易知對(duì)稱軸為，故，易知，，可得，而，故在上單調(diào)遞增，且，，故，故是的子集，可得，解得，故B正確.故選：B二、多項(xiàng)選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)得6分，選對(duì)但不全的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知，則下列結(jié)論中正確的有（）A.若且，則B.若，則C.若，則D.【答案】BCD【解析】【分析】舉反例即可說明A；由不等式的性質(zhì)，即可說明B；利用作差法即可判斷C；根據(jù)配方法即可判斷D．【詳解】對(duì)A：當(dāng)時(shí)，結(jié)論不成立，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：因?yàn)椋?，所以故B正確；對(duì)于C：，因?yàn)?，所以，所以，即，故C正確；對(duì)于D：等價(jià)于，成立，故D正確；故選：BCD．10.高斯是德國著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的稱號(hào)，用其名字命名的“高斯函數(shù)”為：設(shè)，用表示不超過的最大整數(shù)，則稱為高斯函數(shù)，例如：，.已知函數(shù)，則關(guān)于函數(shù)的結(jié)論中正確的是（）A. B.是奇函數(shù)C.在上是單調(diào)遞增函數(shù) D.的值域是【答案】ACD【解析】【分析】A選項(xiàng)，由定義計(jì)算；B選項(xiàng)，取特殊值可判斷，C選項(xiàng)，利用解析式判斷單調(diào)性；D選項(xiàng)，結(jié)合函數(shù)新定義判斷.【詳解】表示不超過的最大整數(shù)，則有，其中時(shí)，，A選項(xiàng)正確；，，，不是奇函數(shù)，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；時(shí)，，，則在上是單調(diào)遞增函數(shù)，C選項(xiàng)正確；，，，即的值域是，D選項(xiàng)正確.故選：ACD.11.下列命題中正確的是（）A.已知函數(shù)，若函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，則的取值范圍是B.函數(shù)在上的值域?yàn)镃.若關(guān)于的方程的兩根分別為，，且，則有D.函數(shù)，則不等式的解集為【答案】BCD【解析】【分析】A選項(xiàng)，利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求的取值范圍；B選項(xiàng)，利用函數(shù)定義域結(jié)合解析式求值域；C選項(xiàng)，解含絕對(duì)值的方程；D選項(xiàng)，構(gòu)造函數(shù)，利用為奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，解不等式.【詳解】對(duì)于A，函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，由函數(shù)是R上的減函數(shù)，有函數(shù)在上單調(diào)遞減，時(shí)符合題意，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B，，時(shí)，，有，得，所以函數(shù)在上的值域?yàn)?，B選項(xiàng)正確；對(duì)于C，若關(guān)于的方程的兩根分別為，，且，則有，，所以，C選項(xiàng)正確；對(duì)于D，設(shè)，，，，即，設(shè)，，由于，故，，故，則，故為奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，則，即，故，解得，D選項(xiàng)正確.故選：BCD.三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.12.若是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則___________.【答案】【解析】【分析】函數(shù)為奇函數(shù)，有，代入解析式計(jì)算即可.【詳解】是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則.故答案為：13.若函數(shù)（且）經(jīng)過的定點(diǎn)是P，則P點(diǎn)的坐標(biāo)是________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)的圖象過0,1點(diǎn)可得答案.【詳解】的圖象過0,1點(diǎn)，圖象由的圖象右移3個(gè)單位、上移7個(gè)單位得到，故過定點(diǎn)．故答案為：．14.定義若函數(shù)，則的最大值為______；若在區(qū)間上的值域?yàn)?，則的最大值為______．【答案】①.②.【解析】【分析】先表示出的解析式，然后作出的圖象，根據(jù)圖象求解出最大值；結(jié)合圖象分析值域?yàn)闀r(shí)定義域的情況，由此確定出的取值情況，即可求的最大值.【詳解】當(dāng)時(shí)，解得或，所以，作出的圖象如下圖所示：由圖象可知：當(dāng)時(shí)，有最大值，所以；當(dāng)時(shí)，解得或或；當(dāng)時(shí)，或，由圖象可知：當(dāng)，時(shí)，值域?yàn)?，此時(shí)的最大值為；當(dāng)時(shí)，的值域?yàn)?，此時(shí)，由上可知，的最大值為，故答案為：；.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題考查取最小值函數(shù)的應(yīng)用，處理這一類函數(shù)時(shí)，圖象法是首選方法，通過數(shù)形結(jié)合的思想能高效的將問題簡(jiǎn)化.常見的圖象應(yīng)用的命題角度有：（1）確定方程根的數(shù)目；（2）求參數(shù)范圍；（3）解不等式；（4）研究函數(shù)性質(zhì).四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知全集集合，，．（1）求；（2）若，求a的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）化簡(jiǎn)集合，由集合的并、補(bǔ)運(yùn)算求解即可；（2）通過討論和即可求解.【小問1詳解】集合，，；【小問2詳解】，，①當(dāng)時(shí)，，，②當(dāng)時(shí)，則，解得，綜上所述，a的取值范圍為；16.計(jì)算下列各式的值.（1）（2）已知，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用指數(shù)冪數(shù)的運(yùn)算法則即可得解；（2）由已知分別求得和的值，代入即可得解.【小問1詳解】.【小問2詳解】因?yàn)?，所以，，所?17.若函數(shù)的定義域是，且對(duì)任意的，都有成立，且當(dāng)時(shí)，.（1）求，判斷并證明函數(shù)的奇偶性；（2）判斷并證明函數(shù)的單調(diào)性；（3）解不等式.【答案】（1），奇函數(shù)，證明見解析（2）單調(diào)遞增，證明見解析（3）【解析】【分析】（1）令，得，即可由求解，（2）根據(jù)單調(diào)性的定義即可求解，（3）根據(jù)奇偶性以及單調(diào)即可求解.【小問1詳解】函數(shù)對(duì)任意的，都有，令，得，，奇函數(shù)，證明如下：用代替，得，則f-x=-fx，所以是奇函數(shù).【小問2詳解】fx在上單調(diào)遞增，證明：任取，則，由于，所以，所以，即，所以在上單調(diào)遞增.【小問3詳解】由可得，由于在上單調(diào)遞增，所以，解得或，所以不等式的解集是.18.已知是定義在上的奇函數(shù).（1）求實(shí)數(shù)，的值.（2）試判斷并證明函數(shù)的單調(diào)性；（3）已知，若對(duì)任意且，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）（2）增函數(shù)，證明見解析（3）【解析】【分析】（1）由是奇函數(shù)，可得對(duì)任意的成立，可得實(shí)數(shù)，的值，代入驗(yàn)證后即可求解；（2）根據(jù)題意設(shè)任意的，，由單調(diào)函數(shù)定義即可判斷；（3）利用換元法令，若不等式恒成立，再根據(jù)基本不等式性質(zhì)即可求解.【小問1詳解】因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，則，整理得：，要使上式對(duì)任意的成立，則，解得或，當(dāng)時(shí)，的定義域?yàn)?，不合題意，當(dāng)時(shí)，的定義域?yàn)椋项}意，所以【小問2詳解】任意的，有，所以，故函數(shù)是上的增函數(shù)；小問3詳解】，因?yàn)楹愠闪ⅲ葍r(jià)于恒成立，令，，則，則，可得在時(shí)恒成立，由基本不等式，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故.19.已知二次函數(shù)滿足，且該函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，在x軸上截得的線段長(zhǎng)為4，設(shè)gx=fx-ax（1）求的解析式；（2）求函數(shù)在區(qū)間0,2上的最小值；（3）設(shè)函數(shù)，若對(duì)于任意，總存在，使得成立，求a的取值范圍.【答案】（1）（2）答案見解析（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱性及過的點(diǎn)列式求解即可；（2）根據(jù)，，分類討論求解即可；（3）由題意，利用換元法求解函數(shù)的最小值，結(jié)合（2）中的最小值列不等式求解即可.【小問1詳解】因?yàn)?，則的圖象關(guān)于直線對(duì)稱且在x軸上截得的線段長(zhǎng)為4，的圖象與x軸的交點(diǎn)