備戰(zhàn)2025年高考二輪復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)專題突破練10

專題突破練(分值:92分)學(xué)生用書P161一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.(2024·山東日照二模)已知數(shù)列{an}各項(xiàng)均為正數(shù),首項(xiàng)a1=3,且數(shù)列{log3an}是以-2為公差的等差數(shù)列,則a3=()A.127 B.13 C.答案A解析因?yàn)閿?shù)列{an}各項(xiàng)均為正數(shù),首項(xiàng)a1=3,則log3a1=1.又?jǐn)?shù)列{log3an}是以-2為公差的等差數(shù)列,則log3a3=1-2×(3-1)=-3,故a3=3-3=127.故選2.(2024·廣東廣州三模)等比數(shù)列{an}滿足a1+a3=10,a2+a4=5,則a5=()A.14 B.12 C.答案B解析依題意有a1+a1q2=10,a1q+a1q3=5=(a1+a1q2)q,解得q=12,a1=8,故a5=a1q4=8×1163.(2024·山東泰安二模)設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若S3=5a2+6a1,則公比q為()A.1或5 B.5C.1或-5 D.5或-1答案D解析由S3=5a2+6a1=a1+a2+a3,得4a2+5a1=a3,所以4a1q+5a1=a1q2,即q2-4q-5=0,所以(q-5)(q+1)=0,所以q=5或q=-1.故選D.4.(2024·江蘇宿遷一模)設(shè)Sn是等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,若S3,S9,S6成等差數(shù)列,a1=-2,則a7的值為()A.-2 B.-12 C.12答案B解析由題意知q≠1,因?yàn)镾3,S9,S6成等差數(shù)列,所以2S9=S3+S6?2(S9-S6)=-(S6-S3),即q3=-12所以a7=a1q6=-2×-122=-5.(2024·黑龍江佳木斯三模)一部中國古代數(shù)學(xué)名著中有一首詩,講述了“竹筒容米”問題.詩云:“家有九節(jié)竹一莖,為因盛米不均平,下頭三節(jié)三升九,上梢四節(jié)貯三升,惟有中間二節(jié)竹,要將米數(shù)次遞盛,若是先生能算法,教君只算到天明.”(【注釋】三升九:3.9升,次遞盛:盛米容積依次相差同一數(shù)量)求該九節(jié)竹一共盛米多少升?()A.8.8升 B.9升 C.9.1升 D.9.2升答案B解析設(shè)第n節(jié)竹筒盛米an升,則數(shù)列{an}為等差數(shù)列,a1+a2+a3+a4=3,a7+a8+a9=3.9,設(shè)公差為d,則有4a1所以an=0.1n+0.5,則該九節(jié)竹筒一共盛米(0.6+1.4)×6.(2024·北京順義二模)已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,a1=1,lgan+lgan+1=lg2n,n∈N*,則S9=()A.511 B.61 C.41 D.9答案B解析由lgan+lgan+1=lg2n可得lganan+1=lg2n,即anan+1=2n,所以an+1an+2=2n+1,兩式相除可得an+2an=2,即a3a1=a5a3=…=a4a2=a6a4=2.由a1=1可得a2=2,因此數(shù)列{an}的奇數(shù)項(xiàng)是以a所以S9=a1+a2+a3+…+a9=(a1+a3+…+a9)+(a2+a4+…+a8)=1×(1-257.(2024·山東泰安三模)已知Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,a1=-21,S7=S15,則Sn的最小值為()A.-99 B.-100 C.-110 D.-121答案D解析設(shè){an}的公差為d,因?yàn)閍1=-21,S7=S15,可得a解得d=2,所以an=2n-23,可得Sn=-21n+n×(n-1)2因?yàn)閍11=-1<0,a12=1>0,所以當(dāng)n=11時(shí),Sn取得最小值S11=112-22×11=-121.故選D.8.(2024·江西臨川模擬)已知數(shù)列{an}滿足a1=3,an+1=an+2an+1+1,則a10=(A.80 B.100 C.120 D.143答案C解析因?yàn)閍n+1=an+2an+1+1,所以an+1+1=(an+1)2+2an+1+1,即an+1+1=(等式兩邊開方可得an+1+1=an+1+1,即an+1+1-an+1=1,所以數(shù)列{an+1}是首項(xiàng)為a1+1=2,公差為1的等差數(shù)列,所以an+1=2+(n-1)×1=n+1,二、選擇題:本題共2小題,每小題6分,共12分.在每小題給出的選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求,全部選對的得6分,部分選對的得部分分,有選錯(cuò)的得0分.9.(2024·山東臨沂二模)已知{an}是等差數(shù)列,Sn是其前n項(xiàng)和,則下列命題為真命題的是()A.若a3+a4=9,a7+a8=18,則a1+a2=5B.若a2+a13=4,則S14=28C.若S15<0,則S7>S8D.若{an}和{anan+1}都為遞增數(shù)列,則an>0答案BC解析對于A,由a3+a4=9,a7+a8=18,可得(a7+a8)-(a3+a4)=8d=9,所以d=98.又由a1+a2=(a3+a4)-4d=9-4×98=92,所以A錯(cuò)誤.對于B,由S14=14(a1+a14)2=14(a2+a13)2=28,所以B正確.對于C,由S15=15(a1+a15)2=15a8<0,所以a8<0.又因?yàn)镾8-S7=a8<0,則S7>S8,所以C正確.對于D,因?yàn)閧an}為遞增數(shù)列,可得公差d>0.因?yàn)閧anan+1}為遞增數(shù)列,可得an+2an+1-an10.(2024·湖南長沙一模)設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q,前n項(xiàng)的積為Tn,下列說法正確的是()A.若T8=T12,則a10a11=1B.若T8=T12,則T20=1C.若a1=1024,且T10為數(shù)列{Tn}的唯一最大項(xiàng),則1210D.若a1>0,且T10>T11>T9,則使得Tn>1成立的n的最大值為20答案BCD解析若T8=T12,則T12T8=a9a10a11a12=(a10a11)2=1,可得a10a11=±1.故選項(xiàng)A錯(cuò)誤.而T20=a1a2…a19a20=(a10a11)10=1.故選項(xiàng)B正確.若a1=1024,且T10是數(shù)列{Tn}的唯一最大項(xiàng).當(dāng)q<0時(shí),T10=a1a2…a9a10=(a1a10)5=(a1a1q9)5<0,不合題意;當(dāng)q>0時(shí),由T10>T9,T10>T11,可得a10>1,a11<1,即1024q9>1,1024q10<1,解得12109<q<12.故選項(xiàng)C正確.若T10>T11>T9,當(dāng)q<0時(shí),T9=a1a2…a9=a1(a2a9)4=a1(a1a1q9)4>0,又T10<0,不滿足T10>T9,不合題意;當(dāng)q>0時(shí),由T10>T11,T10>T9,T11>T9,可得a11<1,a10>1,a10a11>1,所以a1>0,0<q<1,則{an}為單調(diào)遞減數(shù)列.當(dāng)n≤10,n∈N*時(shí),an>1,當(dāng)n>10,n∈N*時(shí),an<1,所以當(dāng)n≤10,n∈N*時(shí),數(shù)列{Tn}單調(diào)遞增,當(dāng)n>10,n∈N*三、填空題:本題共2小題,每小題5分,共10分.11.(2024·廣東茂名模擬)在公差為正數(shù)的等差數(shù)列{an}中,若a1=3,a3,a6,32a8成等比數(shù)列,則數(shù)列{an}的前10項(xiàng)和為.答案165解析設(shè)等差數(shù)列的公差為d,由題意得a62=a3×32a8,即(a1+5d)2=(a1+2d)×32(a1+7d),因?yàn)楣畲笥诹?解得d=3,d=-38(舍去),所以S10=10×12.(2024·上海寶山二模)某區(qū)域的地形大致如圖1,某部門負(fù)責(zé)該區(qū)域的安全警戒,在哨位O的正上方安裝探照燈對警戒區(qū)域進(jìn)行探查掃描.假設(shè)1:警戒區(qū)域?yàn)榭諘绲纳拳h(huán)形平地A1AnBnB1;假設(shè)2:視探照燈為點(diǎn)M,且距離地面20米;假設(shè)3:探照燈M照射在地面上的光斑是橢圓.當(dāng)探照燈M以某一俯角從AkAk+1側(cè)掃描到BkBk+1側(cè)時(shí),記為一次掃描,此過程中照射在地面上的光斑形成一個(gè)扇環(huán)Sk(k=1,2,3,…).由此,通過調(diào)整M的俯角,逐次掃描形成扇環(huán)S1,S2,S3,….第一次掃描時(shí),光斑的長軸為EF,|OE|=30米,此時(shí)在探照燈M處測得點(diǎn)F的俯角為30°(如圖2).記|AkAk+1|=dk,經(jīng)測量知|A1An|=80米,且{dk}是公差為0.1米的等差數(shù)列,則至少需要經(jīng)過次掃描,才能將整個(gè)警戒區(qū)域掃描完畢.

圖1圖2答案15解析因?yàn)樵赗t△MOF中,∠F=30°,OM=20,所以O(shè)F=203,EF=203-30,故A1A2=203-30,故{dk}是以203-30為首項(xiàng),以0.1為公差的等差數(shù)列,故Sk=(203-30)k+k(k-1)2×0.1.而S14≈74.06<80,S15≈80.1>80,故kmin四、解答題:本題共2小題,共30分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.13.(15分)(2024·江蘇南通二模)設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若Sn-12an=n2+1,n∈N*(1)求a1,a2,并證明:數(shù)列{an+an+1}是等差數(shù)列;(2)求S20.解(1)當(dāng)n=1時(shí),由條件得a1-12a1=2,所以a1=4當(dāng)n=2時(shí),由條件得(a1+a2)-12a2=5,所以a2=2因?yàn)镾n-12an=n2+1,所以Sn-1-12an-1=(n-1)2+1(n≥2),兩式相減得an-12an+12an-1=2n-1,即an+an-1=4n-2,所以(an+1+an)-(an+an-1)=[4(n+1)-2]-(4n-2)=4,從而數(shù)列{an+1+a(2)由(1)知an+an-1=4n-2(n≥2),所以S20=(a1+a2)+(a3+a4)+…+(a19+a20)=10×所以S20=(4×2-2)+(4×4-2)+…+(4×20-2)=10×(6+7814.(15分)(2024·山東濟(jì)南一模)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,a1=32且Sn=2an+1-3,令bn=(1)求證:{an}為等比數(shù)列;(2)求使bn取得最