第16小題 一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用-2024年高考《數(shù)學(xué)》復(fù)習(xí)題型分類與方法點撥（解析版）

第16小題一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用

國療可導(dǎo)毓

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第16小題一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用......................................................1

一、主干知識歸納與回顧.............................................................3

16.1導(dǎo)數(shù)的概念及其意義........................................................3

§5.2導(dǎo)數(shù)的運算................................................................4

16.3導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用....................................................4

（一）命題角度剖析.................................................................5

（二）考情分析......................................................................5

（三）高考預(yù)測......................................................................5

二、題型分類與預(yù)測.................................................................6

命題點一：導(dǎo)函數(shù)的概念與幾何意義..............................................6

1.1母題精析（三年高考真題）..............................................6

一.極限及其運算（共1小題）.........................................6

二.導(dǎo)數(shù)的運算（共8小題）............................................6

三.利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程（共10小題）...................10

1.2解題模型...............................................................15

1.3對點訓(xùn)練（四年省市?？迹?............................................15

一.導(dǎo)數(shù)的運算（共2小題）...........................................15

二.利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程（共22小題）...................16

命題點二：導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性、極值、最值......................................28

1.14題精析（三年高考真題）..............................................28

一.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性（共3小題）...........................28

二.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值（共5小題）.............................29

三.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值（共3小題）.............................32

四.不等式恒成立的問題（共1小題）..................................35

1.2解題模型................................................................36

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1.3對點訓(xùn)練（四年省市?？迹?.............................................37

一.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性（共6小題）...........................37

二.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值（共2小題）.............................46

三.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值（共10小題）............................48

四.不等式恒成立的問題（共1小題）.................................56

三、類題狂刷（五年區(qū)模、校模）：.................................................58

一.導(dǎo)數(shù)的運算（共1小題）..........................................58

二.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性（共9小題）...........................59

三.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值（共10小題）............................67

四.利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程（共11小題）...................77

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一、主干知識歸納與回顧

I匚方&撿的

16.1導(dǎo)數(shù)的概念及其意義

1.導(dǎo)數(shù)定義：對于函數(shù)歹二/("，把比值普=，(“+個一)(")叫做函數(shù)y=/(x)從/到％+Ar的

平均變化率，如果當(dāng)?->0時，平均變化率電無限趨近于一個確定的值，即包有極限，則稱y=/'(x)

AxAx

在x=/處可導(dǎo)，并把這個確定的值叫做y=/(x)在x=/處的導(dǎo)數(shù)(也稱瞬時變化率)，記作/'(/)或

川，即小。)二碗包二lim〃…)-小。).

1工=/AXTO-丫Av->o\Y

2.函數(shù)y=/(x)在點x0處的導(dǎo)數(shù)/'(%)的幾何意義：

(D切線：在曲線上任取一點尸(xj(x)),如果當(dāng)點尸(xj(x))沿著曲線y=/*)無限趨近于點

《(工0，/(%))時，割線無限趨近于一個確定的位置，這個確定的位置的直線47稱為曲線歹=/(x)在

點4處的切線.

(2)/'(與)的幾何意義：/'(%)是曲線卜二/。)在尸(%,/(/))處的切線47的斜率.

3.導(dǎo)函數(shù)：當(dāng)x=x0時，/'(/)是一個唯一確定的數(shù)，這樣當(dāng)x變化時，》=/'a)就是x的函數(shù)，我們稱

它為>=/(x)的導(dǎo)函數(shù)，簡稱導(dǎo)數(shù).有時記作y.

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§5.2導(dǎo)數(shù)的運算

1.幾種常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

①。二0；②(工")=。廿"；③(sinx)=cosx；?(cosx)=-sinx；

⑤(1)=a'lna；?(er)=ex；⑦(log“x)=—■—;⑧(Inx)=1

x\nax

2.導(dǎo)數(shù)的四則運算法則

⑴t/'(x)±g(x))=/(x)士g'(x).

⑵(/(x)g(x))'=/'(x)g(x)±/(x)g'(x).特別地：[c/3]=d(x).

，a)g(x)-/(x)g(x)

⑶(44)(g(x)，o)?

g(x)[g(x)]2

3.復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則

由函數(shù)y=/(〃),〃=g(x)復(fù)合而成的的函數(shù)y=/(g(x))的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)y=/'(〃),〃=g(x)的導(dǎo)數(shù)間的關(guān)

r

系為K'=yu，即y對x的導(dǎo)數(shù)等于y對〃的導(dǎo)數(shù)與〃對x的導(dǎo)數(shù)的乘積.

163導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用

1.導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性

(1)在某個區(qū)間(。/)上，如果/'(x)>0,則函數(shù)y=/(x)在區(qū)間(a,b)上為單調(diào)遞增;

在某個區(qū)間(。㈤上，如果/'(x<0,則函數(shù)y=/(x)在區(qū)間伍⑼上為單調(diào)遞減.

(2)設(shè)函數(shù)y=/(x)在某個區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，若/'(X)為增函數(shù)，則/'(幻之0(/'*)在(。/)上的任何子區(qū)

間內(nèi)都不恒等于零)；若/(x)為減函數(shù)，則/'(x)<0(/"")在(。))上的任何子區(qū)間內(nèi)都不恒等于零).

2.函數(shù)的極值

函數(shù)V=/(X)在點x=。的函數(shù)值J\a)比它在點x=。附近其他點的函數(shù)值都小，/"(〃)=0,而且在點

X=Q附近的左側(cè)/'(')<0,右側(cè)/'(幻>0,我們把。叫做函數(shù)的極小值點，/他)叫做函數(shù)y=/(x)的極

小值；函數(shù)y=/(x)在點x=8的函數(shù)值/S)比它在點x=b附近其他點的函數(shù)值都大，/'3)=0,而且

在點x=6附近的左側(cè)/(x)>0,右側(cè)/'(%)<0,我們把6叫做函數(shù)的極大值點，/(力)叫做函數(shù)y=/(x)

的極大值.極小值點和極大值點統(tǒng)稱為極值點，極小值和極大值統(tǒng)稱為極值.

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3.最大值、最小值：

設(shè)函數(shù)/(4)的定義域為/,如果存在實數(shù)M滿足：(1)VAG/,都有/(x)?M;(2)打使得

/(x0)=M,我們就稱M是函數(shù)y=/(x)的最大值.如果存在實數(shù)N滿足：(1)Vxe/,都有/(x)NN;

(2)3%￡/,使得/(%)="，我們就稱N是函數(shù))，=/、*)的最小值.

(-)命題角度剖析

1,導(dǎo)函數(shù)的概念與幾何意義★★★☆☆2.導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性、極值、最值★★★★★

二H考情2?布

(二)考情分析

高考頻率：100%試題難度：較難呈現(xiàn)形式：以選擇題或填空題呈現(xiàn)

衛(wèi)方濤數(shù)涮

(三)高考預(yù)測

本小題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、含參函數(shù)的單調(diào)性與極值問題、函數(shù)的最值與恒成立問

題.熱點內(nèi)容為與單調(diào)性、極值、最值有關(guān)的綜合問題

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二、題型分類與預(yù)測

命題點一：導(dǎo)函數(shù)的概念與幾何意義

1.1母題精析(三年高考真題)

一.極限及其運算(共1小題)

1.(2022?上海)已知函數(shù)y=/(x)為定義域為我的奇函數(shù)，其圖像關(guān)于x=l對稱，且當(dāng)xw(0,1］時.,

f(x)=Inx,若將方程f(x)=x+1的正實數(shù)根從小到大依次記為4,x，與，…，X"，則lim(x-x)=2.

2/r—>oo0+ln

【分析】/(x)是周期為4的周期函數(shù)，作出圖像，lim(x?1-相)的幾何意義是兩條漸近線之間的距離，由

此能求出結(jié)果.

【解答】解：，?函數(shù)y=/(x)為定義域為/?的奇函數(shù)，其圖像關(guān)于x=l對稱，且當(dāng)xe((),1］時，/(x)=/〃x,

將方程/*)=X+I的正實數(shù)根從小到大依次記為X］,.q，X3f????9

則-x")的幾何意義是兩條漸近線之間的距離2,

九一>8

...lim(x,f+|-%)=2.

故答案為：2.

【點評】本題考查極限的求法，考查函數(shù)的周期性、函數(shù)圖像、極限的幾何意義等基礎(chǔ)知識，考查運算求

解能力，是中檔題.

二.導(dǎo)數(shù)的運算(共8小題)

2.(2022?甲卷)當(dāng)x=l時，函數(shù)/"*)=4加+2取得最大值-2,則/(2)=()

X

A.—1B.—C.—D.1

22

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【分析】由已知求得6,再由題意可得/(I)=0求得”，得到函數(shù)解析式，求其導(dǎo)函數(shù)，即可求得廣(2).

7

【解答】解：由題意/(1)=b=-2,貝iJ/(x)=R〃x—士，

i“\。2cix+2

則mi「(%)=一+)=—二，

XXX

V當(dāng)X=1時函數(shù)取得最值，可得工=1也是函數(shù)的一個極值點，

:(1)=〃+2=0,即。=一2.

,,,.~2x+2

?"(x)=——?

尸

易得函數(shù)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,+8)上單調(diào)遞減，

故X=1處，函數(shù)取得極大值，也是最大值，

則r(2)=~2x^2=--.

222

故選：B.

【點評】本題考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查導(dǎo)數(shù)最值與極值的關(guān)系，考查運算求解能力，是中檔題.

3.(2020?全國)設(shè)函數(shù)/(X)=/H(3X+0,若八0)=1,則。=()

A.3B.eC./〃3D.1

【分析】先根據(jù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則及導(dǎo)數(shù)公式求出導(dǎo)函數(shù)，再通過/'(0)=1建立方程即可求解.

【解答】解：?.?/(x)=/〃(3x+。)，

.?.r(x)=—,又八o)=i,

3A+a

3,■,

=1,「.4=3,

故選：A.

【點評】本題考查復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則及導(dǎo)數(shù)公式，方程思想，屬基礎(chǔ)題.

4.(2022?新高考I)已知函數(shù)/(X)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為R,記g(*)=./Xr).若/(；-2x),g(2+x)

均為偶函數(shù)，則()

A./(0)=0B.g(-1)=0C./(-1)=/：4)D.g(-l)=g(2)

【分析】由/(|-2.丫)為偶函數(shù)，可得/(口關(guān)于x=|對稱，可判斷C；g(2+x)為偶函數(shù)，可得

g(2+x)=g(2-x),g(x)關(guān)于x=2對稱，可判斷。：由g(g)=0,g(x)關(guān)于x=2對稱，可得g(g)=0,得

到了=』是/(x)的極值點，x=-g也是極值點，從而判斷8；圖象位置不確定，可上下移動，故函數(shù)

22

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值不確定，從而判斷/I.

【解答】解：:/(；-2外為偶函數(shù)，，可得應(yīng)-2幻=應(yīng)+21),/./。)關(guān)于》=；對稱，

令x=j,NJW/(|-2x|)=/(|+2x|),ER/(-1)=/(4),故C正確：

?.?g(2+x)為偶函數(shù)，/.g(2+x)=g(2-x),g(x)關(guān)于x=2對稱，故。不正確：

???/")關(guān)于x=2對稱，.?.x=±是函數(shù)/(X)的一個極值點，

22

函數(shù)/(X)在。處的導(dǎo)數(shù)為o,BPg(|)=r(|)=o,

又..g(x)的圖象關(guān)于x=2對稱，.?.g(|)=gg)=0,.?.函數(shù)/(X)在g,/)的導(dǎo)數(shù)為()，

.?.*=』是函數(shù)八用的極值點，又八幻的圖象關(guān)于K=3對稱，「.(工，。關(guān)于x=3的對稱點為(，/),

rtu=g是函數(shù)/(口的極值點可得x=g是函數(shù)/(x)的?個極值點，.?.g(；)=r§)=0,

1773

進而可得gg)=gg=o,故是函數(shù)/(幻的極值點，又出)的圖象關(guān)于x=］對稱，

.?.(2,。關(guān)于尤=3的對稱點為(-1,。，.”(一3二"/心。，故6正確；

22222

〃工)圖象位置不確定，可上下移動，即每一個自變量對應(yīng)的函數(shù)值不是確定值，故力錯誤.

解法二：構(gòu)造函數(shù)法，

3

令f(x)=1-sin7rx，則/(--2x)=1+cos2冗x,則g(x)=f\x)=一；rcos兀x，

g(X+2)=-^COS(2^+7TX)=-^cos^x,

滿足題設(shè)條件，可得只有選項8。正確，

故選：BC.

【點評】本題考查函數(shù)的奇偶性，極值點與對稱性，考查了轉(zhuǎn)化思想和方程思想，屬中檔題.

5.(2020?新課標(biāo)III)設(shè)函數(shù)八力二/—,若/(1)=-,則

x+a4

【分析】先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再根據(jù)，⑴十求酊的值.

【解答】解：???/(x)='一,

x+a

."x)=，r⑴=7^7=:

('：(x"+-a「)(Q+1)4

..--------y-->則4=1,

m+i)24

故答案為：1.

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【點評】本題主要考查求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，屬于基礎(chǔ)題.

6.(2019?全國)若函數(shù)/(x)=e"+/〃(x+l),/'(0)=4,則a=3.

【分析】對/(x)求導(dǎo)，然后解方程/'(0)=4,可得。的值.

(解答]解：由/'(%)=*+ln(x+1),得f\x)=a*+—,

x+\

,

v/(0)=4,.-./(0)=fl+l=4,

.,.a=3.

故答案為：3.

【點評】本題考查了導(dǎo)數(shù)的基本運算，屬基礎(chǔ)題.

7.(2018?天津)已知函數(shù)/a)=eYnx,八x)為/(x)的導(dǎo)函數(shù)，則/(I)的值為_e_.

【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的運算法則求出函數(shù)/(X)的導(dǎo)函數(shù)，再計算((1)的值.

【解答】解:函數(shù)f(x)=exlnx,

則(a)=e"?x+■!■?，；

x

f(1)=e*ln\+\*e=e.

故答案為：e.

【點評】本題考查了導(dǎo)數(shù)的運算公式與應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題.

8.(2016?天津)已知函數(shù)/(x)=(2x+l)e[r(x)為/,(X)的導(dǎo)函數(shù)，則廣(0)的值為3.

【分析】先求導(dǎo)，再帶值計算.

【解答】解：?.?/(丫)=(2工+3，

/.f\x)=2ex+(2x+1)，，

.?.//(0)=2e°+(2x0+l)e°=2+l=3.

故答案為：3.

【點評】本題考查了導(dǎo)數(shù)的運算法則，屬于基礎(chǔ)題.

9.(2015?天津)已知函數(shù)/(x)=q動d，xe(0,+8),其中。為實數(shù)，/"(x)為/(x)的導(dǎo)函數(shù)，若/'(I)=3,

則a的值為3.

【分析】由題意求出/"),利用/'(I)=3,求a.

【解答】解：因為/'(X)=,所以，(X)=。加x+'ax=+a,又，(1)=3,所以a=3；

x

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故答案為：3.

【點評】本題考查了求導(dǎo)公式的運用；熟練掌握求導(dǎo)公式是關(guān)鍵.

三.利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程（共10小題）

10.（2023?甲卷）曲線y一在點。，耳處的切線方程為（）

x+12

A.y=—xB.y=-xC.y=-x+—D.v=-x+—

4-2-4424

【分析】先對函數(shù)求導(dǎo)，然后結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線斜率，進而可求切線方程.

【解答】解：因為y=

x+1

,/（x+D-eYx+iy

（X+l）2（X+1）*2

故函數(shù)在點（i,g處的切線斜率上=（,

切線方程為v-：=；（工-1），即y=+；.

2444

故選：C.

【點評】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)幾何意義的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

11.（2021?新高考I）若過點（〃⑼可以作曲線>=e'的兩條切線，則（）

A.eb<aB.<bC.0<a<ehD.0<b<ea

【分析】法一：畫出函數(shù)的圖象，判斷3b）與函數(shù)的圖象的位置關(guān)系，即可得到選項.

法二：設(shè)過點（。力）的切線橫坐標(biāo)為/,求出切線方程，代入m，b）,設(shè)/⑺=（a+lT）,利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù),

判斷函數(shù)的單調(diào)性，然后推出b的范圍即可.

【解答】解：法一：函數(shù)歹="是增函數(shù)，恒成立，

函數(shù)的圖象如圖，y>0,即切點坐標(biāo)在x軸上方，

如果（〃,仍在x軸下方，連線的斜率小于0,不成立.

點（“/）在X釉或下方時，只有一條切線.

如果（〃力）在曲線上，只有一條切線；

（4,5）在曲線上側(cè)，沒有切線；

由圖象可知他,與在圖象的下方，并且在X軸上方時，有兩條切線，可知

故選：D.

法二：設(shè)過點（“））的切線橫坐標(biāo)為/,

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則切線方程為y=d(x-/)+d,可得b=d(Q+l,

設(shè)/(Q=(a+1-),可得以/)=*”。，/G(-oo,a),f\t)>0,/(/)是增函數(shù),

fe(a,+oo),/?)<(),〃，)是減函數(shù),

因此當(dāng)且僅當(dāng)時，上述關(guān)于，的方程有兩個實數(shù)解，對應(yīng)兩條切線.

【點評】本題考查曲線與方程的應(yīng)用，函數(shù)的單調(diào)性以及切線的關(guān)系，考查數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題.

12.(2020?新課標(biāo)I)函數(shù)/。)=/一2/的圖象在點(1,/U))處的切線方程為()

A.y=-2x-1B.y=-2x+1C.y=2x-3D.y=2x+\

【分析】求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，得到函數(shù)在x=l處的導(dǎo)數(shù)，再求得/(1),然后利用直線方程的點斜式求

解.

【解答】解：由/(x)=X”一2/，得/<x)=49一6/,

:(1)=4-6=-2,

又/(1)=1-2=-1,

函數(shù)〃x)=x4-2d的圖象在點(1,/(1))處的切線方程為=

GPv=-2x+1.

故選：B.

【點評】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究過曲線上某點處的切線方程，是基礎(chǔ)的計算題.

13.(2023?全國)曲線y=2勿x+W在(1,1)處切線方程為_y=4x-3一

【分析】利用導(dǎo)數(shù)幾何意義可求得切線斜率，由此可得切線方程.

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【解?答】解：由y=2加Y+/可得y=—+2x,x>0,

x

曲線在點(1,1)處的切線斜率為k=4,

所以所求切線方程為y-\=4(.?1)即y=4.r-3.

故答案為：y=4x-3.

【點評】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究由線上某點的切線方程，考查運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

14.(2022?新高考I)若曲線歹有兩條過坐標(biāo)原點的切線，則a的取值范圍是_(-X、-4)D(0L

+8)一

【分析】設(shè)切點坐標(biāo)為(X。，(小十0產(chǎn))，利用導(dǎo)數(shù)求出切線的斜率，進而得到切線方程，再把原點代入可

得;。2+。％—。=0,因為切線存在兩條，所以方程有兩個不等實根，由△>?即可求出。的取值范圍.

【解答】解:y'=ex+(x+a)e\設(shè)切點坐標(biāo)為(%,(.”+〃)泊)，

K

/.切線的斜率k=濟+(x0+a)e"，

/.切線方程為y-(M+a)e"=(e"+(x0+)(x-x0),

Xn

乂?切線過原點，-(x0+〃)/"=(e。+(x(,+a)e)(-x0),

2

整理得：x0+ar0-a=0,

?.?切線存在兩條，.??方程有兩個不等實根，

.,.△=/+4a>0,解得“<-4或a>0,

即a的取值范圍是(一8,-4)0(0,+00),

故答案為：(一8,-4)0(0,+oo).

【點評】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點處的切線方程，屬于中檔題.

15.(2022?全國)曲線y=在點(1,0)處的切線方程為_x-y-1=0_.

【分析】求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，得到函數(shù)隹x=l時的導(dǎo)數(shù)值，即切線的斜率，然后由直線方程的點斜式得

答案.

【解答】解：由f(x)=xlnx,得

y'=Inx+x—=Inx+1?

x

f(I)=Ml+1=1,

即曲線/(x)=在點(1,())處的切線的斜率為1,

第12頁共85頁

則曲線f(x)=xbix在點(1,0)處的切線方程為y-0=1Xa-1),

整理得：x-y-\=O.

故答案為：x--1=0.

【點評】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究過曲線上某點的切線方程，過曲線上某點處的切線的斜率，就是函數(shù)在

該點處的導(dǎo)數(shù)值，是基礎(chǔ)題.

16.(2022?新高考II)曲線y=過坐標(biāo)原點的兩條切線的方程為_x-紗=0_,一.

【分析】當(dāng)x>0時，y=lnx,設(shè)切點坐標(biāo)為(/，//%),利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義表達出切線的斜率，進而表

達出切線方程，再把原點代入即可求舟與的值，從而得到切線方程，當(dāng)x<0時，根據(jù)對稱性可求出另?條

切線方程.

【解答】解：當(dāng)x>0時，y=lnx,設(shè)切點坐標(biāo)為(%,阮％),

???)/=▲,.?.切線的斜率"=’,

x%

二.切線方程為y-=—Cv-x0)?

%

又「切線過原點，=-1,

「?％)=e，

/.切線方程為y-\=-(A--e),即x-ey=0,

e

當(dāng)x<0時>y=ln(-x),與y=加的圖像關(guān)于y軸對稱?

.?.切線方程也關(guān)于y軸對稱，

/.切線方程為x+ey=0,

綜上所述，曲線y=/〃|x|經(jīng)過坐標(biāo)原點的兩條切線方程分別為x-紗=0,x+ey=0t

故答案為：x-ey=(),X+G，=0.

【點評】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點處的切線方程，屬于中檔題.

17.(2021?新高考II)已知函數(shù)/⑴$<0,匕〉0,函數(shù)/(X)的圖象在點力(再，/(再))和點例當(dāng)，

人工,))的兩條切線互相垂直，且分別交y軸于"，N兩點，則上空的取值范圍是

|8N|

【分析】分別求得x<0,x〉0時，/(x)的解析式和導(dǎo)數(shù)，可得切線的斜率和方程，令x=0,可得M,N

的坐標(biāo)，再由兩直線垂直的條件和兩點的距離公式，化簡整理，可得所求范闈.

【解答】解：當(dāng)x<0時，/(x)=l-e\導(dǎo)數(shù)為/(x)=—e',

可得在點J(x,,l-exJ)處的斜率為尢=-exJ,

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切線AM的方程為y-(\-8」)=一夕」(x—x,),

令x=0,可得》=1-/」+芭/」，即〃(01一/」+**」)，

當(dāng)x>0時，f(x)=ex-\,導(dǎo)數(shù)為/(%)=",

可得在點8區(qū)，ex-2-\)處的斜率為42=/-2,

令X=0,可得)，=6、-2_]_勺6、-2,即7(0,/-2_]_々/_2),

由f(x)的圖象在力，8處的切線相互垂直，可得母2=-6、」七'-2=一1,

即為凡+々=0,A,<0,x,>0,所以^1==-Le(o,i).故答案為：(()」).

2Xi

I8NIy]\+ex2Jl+六洲

【點評】本題考查導(dǎo)數(shù)的運用：切線的方程，以及兩直線垂直的條件，考查方程思想和運算能力，屬于中

檔題.

Or-1

18.(2021?甲卷)曲線卜=二一在點(-1,-3)處的切線方程為_5x-y+2=0_.

x+2

【分析】先求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求出切線的斜率，再由點斜式即可求得切線方程.

【解答】解：因為丁=燈，(T,-3)在曲線上，所以了=迎巨￡匚工=」^，

x+2(x+2>(x+2)?

所以yixz=5,則曲線歹=生口在點處的切線方程為：

x+2

J-(-3)=5[X-(-1)],即5x-y+2=0.故答案為：5x-y+2={).

【點評】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

19.(2021?全國)曲線y=2.——6x2_18x+7在點(-2,3)處的切線方程是_30x-y+63=0_.

【分析】求得函數(shù)y的導(dǎo)數(shù)，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得切線的斜率，再由直線的點斜式方程可得所求切線的方

程.

【解答】解：函數(shù)y—2x?—63—l8x+7的導(dǎo)數(shù)為—6——12%-18,

可得曲線在點(-2,3)處的切線的斜率為6x4-(-24)-18=30,

則曲線y=2x3-6x2-18x+7在點(-2,3)處的切線方程為y-3=30a+2),

即為30x-y+63=0.故答案為：30x-y+63=0.

【點評】本題考查導(dǎo)數(shù)的運用：求切線的方程，以及直線方程的運用，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng)，屬于

基礎(chǔ)題.

第14頁共85頁

初履破支恢

??>■**???MHB??*■**?.*MB*?.MMB.?■?..??■??.?..一

1.2解題模型

1.曲線y=f(x)在點(xo,yo)處的切線問題

%切=/1(%)

設(shè)曲線產(chǎn)f(x)在點(xo,yo)處的切線為1,則根據(jù)切點在切線1上，建立方程組求解

切點在曲線上

2.曲線y=f(x)過點(xo,yo)的切線問題

設(shè)切點坐標(biāo)為(Xi,f(Xi)),先求出在X=X1處的切線方程，然后把點(xo,yo)的坐標(biāo)代入切線

方程即可求出xi,從而得出切線方程.

3.由曲線的切線求參數(shù)的方法

已知曲線在某點處的切線求參數(shù)問題主要用方程思想來解決.先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，從而求出

在某點處的導(dǎo)數(shù)值;再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義與已知條件，建立關(guān)于參數(shù)的方程(組)或不等式(組),

通過解方程(組)或不等式(組)求出參數(shù)的值或取值范圍.

1.3對點訓(xùn)練(四年省市?？?

一.導(dǎo)數(shù)的運算(共2小題)

I.(2023?漳州模擬)函數(shù)/a)=1：smx,x..0的導(dǎo)函數(shù)為八q，則八一四)=()

/(x+^),x<02

A.0B.IC.-D.1+-

22

【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合函數(shù)的周期性，以及導(dǎo)數(shù)的求導(dǎo)法則，即可求解.

xsinx,x...O

【解答】解:/（X）=?的導(dǎo)函數(shù)為f\x),

J（X+7T）,X<0

sinx+xcosx,x...O

則小)=，

/'（工+乃）,工<0

故選：B.

【點評】本題主要考查函數(shù)的周期性，以及導(dǎo)數(shù)的求導(dǎo)法則，屬于基礎(chǔ)題.

2.(2023?寧德模擬)已知函數(shù)/(X)滿足如下條件：①定義域為R；②存在使得/(/)=/'(x。)=0;

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③0.試寫出一個符合上述要求的函數(shù)〃出="x）=-1（答案不唯一）.

【分析】根據(jù)已知條件，選出函數(shù)，并驗證，即可求解.

【解答】解：S/（x）=-x2,

則函數(shù)定義域為R,f\x）=-2x,/（0）=//（0）=0,f（x\0.

故答案為：/（4）=-/.

【點評】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的運算，屬于基礎(chǔ)題.

二.利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程（共22小題）

3.（2023?泉州模擬）定義在R上的偶函數(shù)/（%）滿足〃2-x）+/（x）=0,且當(dāng)xe[0,1）時，/（幻=4-1,

9g

則曲線y=八幻在點（-？,/（-2））處的切線方程為（）

4,4

A.4.r-4y+ll=0B.4x+4y+ll=0C.4x-4y+7=0D.4x+4y+7=0

【分析】利用函數(shù)的對稱性和周期性及導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求解.

【解答】解:由/（2-x）+/（幻=0可以得/*）關(guān)于（1,0）中心對稱，

又/（X）偶函數(shù),即函數(shù)關(guān)于y軸對稱,

所以/（幻的周期為4.

-（—-1）=L/U）=—,

2272五

因為/（2-x）+/（x）=0,

/口）=f（2-x）即f\x）關(guān)于x=1對稱,

所以八一o）=/'弓7）=/七1）=1,

444

所以切線方程：

即：4x—4y+11=0.

故選：A.

【點評】本題主要考杳了函數(shù)的奇偶性，對稱性及周期性的考查，還考查了導(dǎo)數(shù)幾何意義在切線方程的求

解，屬于中檔題.

4.（2022?泉州模擬）若直線y=K（x+I）-1與曲線j，=e，相切，直線），=似x+l）-l與曲線y=相切.則

左"的值為（）

A.-B.1C.eD.e2

2

第16頁共85頁

【分析】分別求得y=e"y=的導(dǎo)數(shù)，設(shè)出切點可得切線的斜率，由已知切線方程可得兩個切點的坐標(biāo)

（用人，3表示），結(jié)合函數(shù)的圖像的對稱性，可得所求值.

【解答】解：），=，的導(dǎo)數(shù)為y=的導(dǎo)數(shù)為了=」，

X

設(shè)與曲線），="相切的切點為。兒〃），

直線y=K（x+1）—1與曲線y=加x相切的切點為（sJ），

所以肚?=e",k2=—,即m=lnki.5=—?

sk2

n=4=%（1+lnk｝）-1?即,

k\

又/=/〃S=-/成2=%2（1+/）-1，即一/%=22，可得/'=:，

考慮&為方程/〃x=，的根，A,為方程，=’的根，

XX

分別畫山y(tǒng)=e"了=/〃'和^=,，y=x的圖像，

x

可得y=e"和卜=’的交點與歹=/〃x和y=上的交點關(guān)于直線y=x對稱,

XX

則/：）=—?即k]k2=1.

kl

故選：B.

【點評】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義：求切線的方程，以及函數(shù)的圖像的對稱性，考查方程思想和運算能力,

屬于中檔題.

5.（2022?莆田模擬）下列直線中，既不是曲線G：y=F的切線，也不是曲線G：P=的切線的是（）

A.y=x+\B.y=x-\C.y=exD.y=e（x-2）

【分析】分別求出兩函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，由每一個選項中直線的斜四求得與兩曲線切點的橫坐標(biāo)，進一步求得

縱坐標(biāo)，再看切點是否滿足直線方程即可.

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【解答】解：y=的導(dǎo)函數(shù)為y'=e，，y=/小的導(dǎo)函數(shù)為了=2.

對于力，y=x+l的斜率為1,由e'=l,得x=0,y=e°=l,

)-=x+1是曲線￡：y=ex的切線，故力錯誤；

對于3,y=x-1的斜率為1,由判斷力可知，y=x-l不是曲線G：y=，的切線，

由1=1,得x=1,y=/〃1=0,則歹=X一1是曲線C,:y=的切線，故8錯誤；

x

對于C,y=ex的斜率為e,由e,=e,得x=l,y=e'=e?

，y=ex是曲線G:J，=e'的切線，故C錯誤；

對于。，由判斷?？芍瑈=e(x-2)不是曲線G"的切線，

由L=e,得工=,，箕=。/=一1,點(L-1)不適合直線y=e(x-2),

xeee

則v=e(x-2)不是曲線G：N=，幾x的切線.

故選：D.

【點評】本題考杳利用導(dǎo)數(shù)研究過曲線上某點處的切線方程，考查運算求解能力，是中檔題.

6.(2021?莆田模擬)函數(shù)/、(x)=cosx-1的圖象的切線斜率可能為()

x

A.--B.-2C.--D.-4

33

【分析】求得/(x)的導(dǎo)數(shù)，可得切線的斜率，由正弦函數(shù)的值域和不等式的性質(zhì)，可得斜率的范圍，可得

結(jié)論.

【解?答】解：/(x)=cosx-，的導(dǎo)數(shù)為((X)=-sinx+」r,

X.X

由于一sinxe|-l,1],與>0,可得一sinx+]>—1,

X2JT

則切線的斜率可能為

3

故選：A.

【點評】本題考查導(dǎo)數(shù)的運用：求切線的斜率，以及正弦函數(shù)的值域，考查運算能力和推理能力，屬于基

礎(chǔ)題.

7.(2020?福州三模)曲線y=(l-x)。'在x=l處的切線方程為()

A.ex—y-e=0B.ex+y—e=0C.x+@-1=0D.x-ey-\=0

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【分析】先求出導(dǎo)數(shù)，然后求出切線的斜率，最后利用點斜式求出切線方程.

【解答】解：由己知：yki=O，=ex（\-x-\）=-xex.

所以A=-e,故切線為丁=-e（x-l）,HPex+y-e=O.

故選：B.

【點評】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，切線方程的求法.屬于基礎(chǔ)題.

8.（2022?甫出模擬）若函數(shù)y=/（x）的圖象上存在兩點，使得/（X）的圖象在這兩點處的切線互相垂直,

則稱y=/（x）具有7性質(zhì).下列函數(shù)中具有7性質(zhì)的是（）

A.^=sin2xB.=tanx

C.戶言……)D.y=ex-Inx

【分析】函數(shù)y=/（x）的圖象上存在兩點，使得/"）的圖象在這兩點處的切線互相垂直，則判斷》=/'（X）存

在兩個函數(shù)值的乘積為-1即可.

【解答】解：當(dāng)卜=$口】2;<1=■!_c,時,y=sin2xe[-l,1]?

當(dāng)用時，滿足條件；

當(dāng)y=tanx時，y=—>0恒成立，不滿足條件；

cos'X

-3

”(一2,1)

V—1(x+2)

7-I------1，%亡(-2,十8)時,

x+2_3

6+2)

當(dāng)X]=-*,占=2,滿足條件;

4

當(dāng)「=，一阮丫時，yf=ex--,函數(shù)_/=/—■!■單調(diào)遞增,

XX

且內(nèi)尸般—3<-1,y|I=1=e-l>l,

所以存在川『=-1，*、=1，滿足條件.

故選：ACD.

【點評】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的切線方程和導(dǎo)數(shù)的幾何意義，屬中檔題.

9.（2022?漳州模擬）已知函數(shù)〃x）=e"則下列結(jié)論正確的是（）

A.曲線y=f{x）的切線斜率可以是1

第19頁共85頁

B.曲線y=/(x)的切線斜率可以是-1

C.過點(0,1)且與曲線^=/(X)相切的直線有且只有1條

D.過點((),())且與曲線j，=/(X)相切的直線有且只有2條

【分析[求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的值域判斷4與B；設(shè)出切點坐標(biāo)，得到函數(shù)在切點處的切

線方程，分別把(()」)，((),())代入求得切點橫坐標(biāo)，即可判斷。與Q.

【解答】解：/(%)=爐，得/'(X)=",

由/'(》)=e'=l,得x=0，.,.曲線y=/(x)的切線斜率可以是1,故4正確；

?.?/")=->0,故8錯誤；

設(shè)切點坐標(biāo)為(M)，則f(x0)=1，

過切點的切線方程為y—*=^(x-x0),

v

把(0,1)代入，可得1—e”=-凡6。，xoe^-e"+l=O,

令g(x)=xe'-+1，得g'(x)=xex,當(dāng)xe(-<?,0)時，g<x)<0,

當(dāng)xe(0,y)時，g'(x)〉0,g(K)*=g(0)=0,

可得x。/。-*+1=0只有一根0,即過點(0,1)且與曲線)，=/*)相切的直線有旦只有1條，故C正確；

把(0,1)代入,可得一d=一」可，解得與=1.

過點(0,0)且與曲線夕=/(x)相切的直線有且只有1條，故。錯誤.

故選：AC.

【點評】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究過曲線上某點處的切線方程，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，考查運算求解能力，

是中檔題.

10.(2023?莆田模擬)直線/經(jīng)過點4，0),且與曲線'=/。+])相切，寫出/的一個方程_夕=0」或

39_,

y=--x+—j_^y=5x-3)_.

【分析】設(shè)切點坐標(biāo)，利用導(dǎo)數(shù)求出過求得的切線方程，代入已知點的坐標(biāo)，求出切點橫坐標(biāo)，進一步得

答案.

【解答】解：由丁=/(%+1),得了=2、3+1)+/=3/+2%，

設(shè)切點坐標(biāo)為Q,/Q+1)),

第20頁共85頁

2

則過切點的切線方程為了—/(/+I)=(3