數(shù)學(xué)分析試題庫-證明題-答案

(完整word版)數(shù)學(xué)分析試題庫--證明題--答案(完整word版)數(shù)學(xué)分析試題庫--證明題--答案可見是原方程的根．又因為在內(nèi)恒有，在上嚴格遞增,故唯一．30.設(shè)函數(shù)在點具有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)，試證明:證明因為在點處具有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)，所以在點的某鄰域內(nèi)具有一階導(dǎo)數(shù)，于是由洛必達法則，分子分母分別對求導(dǎo)，有31。設(shè)在上可導(dǎo)，且.求證：存在，使。證：將連續(xù)延拓為閉區(qū)間上的函數(shù):易知，在上滿足羅爾定理的條件.故存在,使.32。設(shè)在上連續(xù),在內(nèi)有階導(dǎo)數(shù)，且存在個點滿足：求證：存在，使。證由題設(shè)知，在以下每一區(qū)間上都滿足羅爾定理的條件，則必有個點使又在每個區(qū)間:上滿足羅爾定理的條件，于是存在使重復(fù)上述步驟到次后，可知在區(qū)間上滿足羅爾定理的條件,故存在，使。33。設(shè)函數(shù)在點存在左右導(dǎo)數(shù)，試證在點連續(xù)。。證明設(shè)函數(shù)在點存在左右導(dǎo)數(shù)，于是從而,即在點左連續(xù).同理可證在點右連續(xù)。因而在點連續(xù)。34。設(shè)函數(shù)在上可導(dǎo)，證明：存在，使得證明設(shè)，則在上連續(xù)并可導(dǎo)，且，由Rolle定理，存在,使得,從而35．應(yīng)用拉格朗日中值定理證明下列不等式：,其中證明設(shè)，則在上連續(xù)且可導(dǎo),所以在上滿足Lagrange中值定理的條件,于是,使得，因為，所以，從而.36.證明設(shè)是有限集,則對任一,，因是有限集，故鄰域內(nèi)至多有中的有限個點，故不是的聚點。由的任意性知,無聚點.37.證明作閉區(qū)間列,其中。由于，，于是有 (＊）從而。而,從而由知,。所以為閉區(qū)間套。有區(qū)間套定理知,存在一點，使得，。由（*）有.若數(shù)也滿足，則.兩邊取極限,得到,于是。即滿足條件的點是唯一的。38.證明不妨設(shè)為遞增數(shù)列,且為其聚點.設(shè)為任一實數(shù),且，不妨設(shè)。取,由聚點定義,中含有的無限項。設(shè)，由于為遞增數(shù)列,則當時,，于是在中,最多有有限項小于,即中最多含有的有限項，于是點不是的聚點,由的任意性知，為的唯一聚點。假設(shè)不是的上界，則存在，從而當時，，令,則中最多含有的有限項,這與為的聚點矛盾.于是為的上界。另一方面,對任給的,數(shù)列中必有一項,即.于是。39.證明由函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)知，，使得當時,有.考慮開區(qū)間集合，顯然是的一個開覆蓋.于是存在的一個有限子集覆蓋了.記。對任何，必屬于中的某一開區(qū)間。設(shè)，則,從而同時成立與.于是。所以在上一致連續(xù)。40.證明由連續(xù)函數(shù)的局部有界性，對每一點，都存在鄰域及正數(shù),使得.考慮開區(qū)間集.顯然是的一個開覆蓋.于是存在的一個有限子集 覆蓋了,且存在正數(shù)，使得對一切,有.令,則對任何，必屬于某。這就證得在上有界。41。證明由于函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù),于是在上有界。由確界原理,的值域有上確界,記為。假設(shè)對一切都有.令.函數(shù)在上連續(xù)，故在上有界。設(shè)是的一個上界,則.從而。但這與為的上確界矛盾.所以存在,使，即在上有最大值。42.證明函數(shù)在閉區(qū)間上單調(diào)增加，從而當時,，于是.而，由此為上的增函數(shù).43。令,則。44.證明不妨設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上單調(diào)遞增，且.不然，，則在上為常數(shù)函數(shù),顯然可積。對的任一分法，由于單調(diào)增加,在所屬的每個小區(qū)間上的振幅為，于是.由此可見，任給，只要,就有，所以函數(shù)在閉區(qū)間上可積。45。證明函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，且不恒等于零,則函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，從而在閉區(qū)間上可積，且不恒等于零，因此，且存在,使.根據(jù)保號性，存在,使,都有.于是.46。證明。令，則有.于是。47.證明由于,任給,存在，當時,有。又當時， 所以取，注意到，則當時,就有故，即就是.48.證明函數(shù)和在上可積，于是函數(shù)，及在上可積，從而，對任何實數(shù),函數(shù)可積，又,故.即上式右邊是的二次三項式,故其判別式,即.49.證明,函數(shù)為偶函數(shù),于是。從而,于是.50.證明對上任一確定的，只要，就有 .由于函數(shù)在上可積，故有界,可設(shè)，。于是,當時,就有,而當時,就有,由此得到,即證得在點上連續(xù).由的任意性,在上連續(xù).51.證明不妨設(shè).令,則函數(shù)也是區(qū)間上的連續(xù)函數(shù),且，.于是只需證明存在,使得.記,則，且,從而為非空有界集。有確界原理,有下確界，記為。因,，由連續(xù)函數(shù)的保號性,存在，使得在內(nèi),，在內(nèi)，.由此易見，,即.倘若,不妨設(shè),則由局部保號性,存在，使在其內(nèi),特別有,于是這與相矛盾,故必有.52。證明對上任一確定的，,只要,根據(jù)積分中值定理,就有。由于函數(shù)在上連續(xù)，故有 。由在上的任意性，知.53.證明因，所以，因此級數(shù)發(fā)散。54。證明由已知有。把這個不等式按項相乘后,得到 ,或者.由于當時,等比級數(shù)收斂,根據(jù)比較判別法及上述不等式可知級數(shù)收斂。55。證明由已知可得對一切，有.從而有，故.由于是常數(shù),根據(jù)比較判別法，當級數(shù)收斂時,級數(shù)也收斂。56。證明由正項級數(shù)收斂知,。于是存在正整數(shù),使得當時,。由此可得當時，,由比較判別法知級數(shù)也收斂。反之不能成立.如收斂,而發(fā)散.57。證明設(shè)，則，從而,級數(shù)收斂，由比較判別法知級數(shù)收斂。58。證明由于，而級數(shù)與都收斂,于是級數(shù)收斂,根據(jù)比較判別法，級數(shù)也收斂。59。證明由,知,而級數(shù)絕對收斂,即收斂,根據(jù)比較判別法知級數(shù)也收斂。若只知級數(shù)收斂，不一定推得級數(shù)也收斂.例如。則.而收斂,級數(shù)發(fā)散.60.證明此級數(shù)是正項級數(shù),且部分和為 由此即知有界，故級數(shù)收斂。61.。證明在內(nèi),.證易見而在內(nèi)成立.62.設(shè)數(shù)列單調(diào)收斂于零。試證明：級數(shù)在區(qū)間上一致收斂.證在上有.可見級數(shù)的部分和函數(shù)列在區(qū)間上一致有界.取,.就有級數(shù)的部分和函數(shù)列在區(qū)間上一致有界，而函數(shù)列對每一個單調(diào)且一致收斂于零。由Dirichlet判別法,級數(shù)在區(qū)間上一致收斂.其實,在數(shù)列單調(diào)收斂于零的條件下，級數(shù)在不包含的任何區(qū)間上都一致收斂.63。幾何級數(shù)在區(qū)間上一致收斂；但在內(nèi)非一致收斂。證在區(qū)間上，有,.一致收斂；而在區(qū)間內(nèi)，取，有,.非一致收斂.（亦可由通項在區(qū)間內(nèi)非一致收斂于零，非一致收斂.）幾何級數(shù)雖然在區(qū)間內(nèi)非一致收斂,但在包含于內(nèi)的任何閉區(qū)間上卻一致收斂.我們稱這種情況為“閉一致收斂”。因此,我們說幾何級數(shù)在區(qū)間內(nèi)閉一致收斂。64.設(shè)數(shù)列單調(diào)收斂于零.證明:級數(shù)在區(qū)間上一致收斂。證在上有?？梢娂墧?shù)的部分和函數(shù)列在區(qū)間上一致有界.取，。就有級數(shù)的部分和函數(shù)列在區(qū)間上一致有界，而函數(shù)列對每一個單調(diào)且一致收斂于零.由Dirichlet判別法，級數(shù)在區(qū)間上一致收斂。其實,在數(shù)列單調(diào)收斂于零的條件下，級數(shù)在不包含的任何區(qū)間上都一致收斂。65。證明級數(shù)在R內(nèi)一致收斂。證令=,則時對R成立。66。證明函數(shù)滿足微分方程。證明所給冪級數(shù)的收斂域為。.，代入,。67.設(shè)證明對存在并求其值。證明,.時,，直接驗證可知上式當時也成立.因此在內(nèi)有,.函數(shù)作為的冪級數(shù)的和函數(shù),對存在,且即68.證明：冪級數(shù)的和函數(shù)為,。并求級數(shù)和Leibniz級數(shù)的和.證明冪級數(shù)的收斂域為,設(shè)和函數(shù)為,則在內(nèi)有，注意到,則對有。又在點連續(xù)，于是在區(qū)間內(nèi)上式成立.即有,.取,有.取,有。69.證明：冪級數(shù)的和函數(shù)為，.并利用該冪級數(shù)的和函數(shù)求冪級數(shù)的和函數(shù)以及數(shù)項級數(shù)的和.證明該冪級數(shù)的收斂域為.在內(nèi)設(shè).現(xiàn)求。對，有。由連續(xù),有.因此，，.作代換，有。.。70。證明冪級數(shù)的和函數(shù)為，并利用該冪級數(shù)的和函數(shù)求數(shù)項級數(shù)的和.證明該級數(shù)為Leibniz型級數(shù)，因此收斂。考慮冪級數(shù),其收斂域為。設(shè)和函數(shù)為,在內(nèi)有,。注意到，對有,。于是，。71.設(shè)是以為周期的分段連續(xù)函數(shù),又滿足。求證的Fourier系數(shù)滿足證明由Fourier系數(shù)計算公式，作變量替換,則于是類似可證72。設(shè)是以為周期的分段連續(xù)函數(shù),又設(shè)是偶函數(shù)，且滿足。求證：的Fourier系數(shù)證明由Fourier系數(shù)計算公式及滿足的條件，有作變換，則因此，。73．求證函數(shù)系是上的正交函數(shù)系。證明記則當時，當時，。所以是上的正交函數(shù)系.74．設(shè)是以為周期的連續(xù)的偶函數(shù)。又設(shè)關(guān)于對稱，試證：的傅立葉系數(shù)：。證明由關(guān)于對稱，故也就是。 令，由是偶函數(shù)，故所以， 75。設(shè)是以為周期的可微周期函數(shù),又設(shè)連續(xù)，是的Fourier系數(shù)。求證：.證明由分步積分法,對有又由連續(xù),故存在,使當時,從而，.76.證明極限不存在.證明因為二者不等，所以極限不存在。77。用極限定義證明：.證明對，要使。取，即可.78。證明極限不存在。證明因為。二者不等，所以極限不存在.79.設(shè)在連續(xù)，證明：對在連續(xù).證明因為在連續(xù),所以當時，有.故對,當時，,從而所以在連續(xù)。80.證明:如果在連續(xù)，且，則對任意,對一切有證明設(shè)則對取,因為在點連續(xù)，所以當時，有,所以,有.81.證明：在點處連續(xù)且偏導(dǎo)數(shù)不存在。證明由于在點連續(xù)，而不存在。且不存在故兩個偏導(dǎo)數(shù)不存在。82。證明；在點連續(xù)，且不存在。證明因為所以在連續(xù)，且不存在.83.證明：在點處連續(xù)且偏導(dǎo)數(shù)存在.證明因為所以，函數(shù)在連續(xù)，且,.即兩個偏導(dǎo)數(shù)均存在。84.設(shè)函數(shù)在的某鄰域內(nèi)存在偏導(dǎo)數(shù)，若屬于該鄰域，則存在和,使得.證明由于函數(shù)在的某鄰域內(nèi)存在偏導(dǎo)數(shù)，有。用一元函數(shù)的中值定理，存在和,使得。85。證明：在點不可微。證明因為.有,和而不存在（令沿此直線趨近于時，極限隨的變化而變化)所以函數(shù)在點不可微。86.證明：設(shè)是球面和錐面交線上的任一點，則球面和錐面在該點的法向量為和，因為,所以對任意常數(shù)，球面與錐面正交.87.證明：設(shè)曲線族中任意兩條曲線（）相交于點，則在交點處兩條曲線的法向量為，。由于因此這兩條曲線在交點處互相正交.88.證明：由隱函數(shù)定義,有。上式兩邊對求偏導(dǎo)數(shù)，得繼續(xù)對求二階偏導(dǎo)數(shù),又得，即把代入，經(jīng)整理得。再計算于是得證.89.證明:當時,,于是可以利用積分號下求導(dǎo)法則，于是，。因為，所以.當時,作變換，而，利用上面的結(jié)論，有90。證明:1）(只需證明，使得當時，對一切有即可.）①對任意作變量代換，可得（5）②由于收斂,故對任給正數(shù),總存在正數(shù)，使當，就有③因為所以,取，則當時,由上式，對一切有又由（5)可得所以原積分在上一致收斂。2）現(xiàn)在證明原積分在內(nèi)不一致收斂.(由一致收斂定義,只要證明：存在某一正數(shù)，使對任何實數(shù)，總相應(yīng)地存在某個及某個,使得)①由于非正常積分收斂（在本節(jié)例6中我們將求出這個積分的值），所以，即，當時有②對任意總存在某個，（不妨?。沟盟杂校杭?6)③現(xiàn)令，由(5）及不等式(6）的左端就有即：所以原積分在內(nèi)不一致收斂．91。證明:在積分中,反常積分收斂，于是關(guān)于一致收斂。又因為關(guān)于單調(diào)，且一致有界，即，因而由阿貝爾判別法，原積分一致收斂。92.證明：在積分中作變換，有.因為反常積分收斂，關(guān)于單調(diào)，且一致有界，即，因而由阿貝爾判別法，原積分關(guān)于一致收斂。93。證明：由假設(shè),反常積分收斂,于是關(guān)于一致收斂，又因為當時關(guān)于單調(diào)，且一致有界,即,因而由阿貝爾判別法，含參量反常積分當時一致收斂.由連續(xù)性定理可得.94。證明,。,?？梢娫赗上