二次項(xiàng)展開公式應(yīng)用舉例四道習(xí)題詳解B7

高中數(shù)學(xué)：二次項(xiàng)展開公式應(yīng)用舉例※.已知(eq\f(a,54x)-eq\r(\f(x,2)))9的展開式中x3的系數(shù)為eq\f(5,4)，求常數(shù)a的值。解：展開式通式T?=C(9,r)*(eq\f(a,54x))eq\s\up10(9-r)*(-eq\r(\f(x,2)))r,=C(9,r)*aeq\s\up10(9-r)*(54x)eq\s\up10(r-9)*(-1)r*(eq\f(x,2))eq\s\up20(\f(r,2)),=C(9,r)*(-1)r*aeq\s\up10(9-r)*54eq\s\up10(r-9)*(eq\f(1,2))eq\s\up20(\f(r,2))*xeq\s\up20(eq\f(3r,2)-9),=C(9,r)*(-1)r*(eq\f(a,54))eq\s\up10(9-r)*(eq\f(1,2))eq\s\up20(\f(r,2))*xeq\s\up20(eq\f(3r,2)-9),根據(jù)題意有：eq\f(3r,2)-9=3,求出r=8，代入有：9-r=9-8=1,C(9,r)=C(9,8)=9，(-1)r=(-1)8=1，(eq\f(x,2))eq\s\up20(\f(r,2))=(eq\f(1,2))4,根據(jù)系數(shù)關(guān)系有：9*eq\f(a,54)*(eq\f(1,2))4=eq\f(5,4),即：a=eq\f(5,4)*24*eq\f(54,9)=120.※.若(x4+eq\f(2,x2))n的展開式各系數(shù)的和為729，則n和展開式的常數(shù)項(xiàng)分別是多少？解：求n時(shí)使用特殊值法計(jì)算，取x=1時(shí)，有：(1+2)n=729,即可求出n=6.本題展開式通式為：T?=C(6,r)*(x4)6-r*(eq\f(2,x2))r=C(6,r)*x4*6-4r*2r*x-2r=C(6,r)*2r*x4*6-4r-2r因?yàn)榍蟪?shù)，所以：4*6-4r-2r=0，即r=4，則此時(shí)的系數(shù)為：T?=C(6,r)*2r=C(6,4)*24=15*16=240.※.求二項(xiàng)展開式(3x+2)?中偶數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和。解：根據(jù)題意，設(shè)：(3x+2)?=a?x?+a?x?+a?x3+a?x2+a?x+a?,偶數(shù)項(xiàng)的系數(shù)是a?，a?，a?，分別令x=1和x=-1，有：(3+2)?=a?+a?+a?+a?+a?+a?,(3-2)?=-a?+a?-a?+a?-a?+a?,兩式子相加有：2(a?+a?+a?)=(3+2)?+(3-2)?,即：2(a?+a?+a?)=3125+1,2(a?+a?+a?)=3126,所以：a?+a?+a?=1563?！?在(3-2x)6*(24+31x)展開式中,x3的系數(shù)是多少？解：對(duì)(3-2x)6來(lái)說(shuō)，展開通項(xiàng)有：T?=C(6,r)*36-r*(-2x)r=C(6,r)*36-r*(-2)r*xr題意要求x3的系數(shù)，考慮到24+31x有常數(shù)項(xiàng)和x的一次項(xiàng)，所以系數(shù)是兩個(gè)系數(shù)的和，分別為r=3和r=2，則：T=T?+T?=24*C(6,3)*36