2025屆山西省太原市六十六中高三第二次診斷性檢測數(shù)學(xué)試卷含解析

2025屆山西省太原市六十六中高三第二次診斷性檢測數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．如圖，在底面邊長為1，高為2的正四棱柱中，點(diǎn)是平面內(nèi)一點(diǎn)，則三棱錐的正視圖與側(cè)視圖的面積之和為（）A．2 B．3 C．4 D．52．已知水平放置的△ABC是按“斜二測畫法”得到如圖所示的直觀圖，其中B′O′＝C′O′＝1，A′O′＝，那么原△ABC的面積是()A． B．2C． D．3．某空間幾何體的三視圖如圖所示（圖中小正方形的邊長為1），則這個(gè)幾何體的體積是（）A． B． C．16 D．324．拋物線方程為，一直線與拋物線交于兩點(diǎn)，其弦的中點(diǎn)坐標(biāo)為，則直線的方程為（）A． B． C． D．5．已知中，角、所對的邊分別是，，則“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．既不充分也不必要條件 D．充分必要條件6．馬林●梅森是17世紀(jì)法國著名的數(shù)學(xué)家和修道士，也是當(dāng)時(shí)歐洲科學(xué)界一位獨(dú)特的中心人物，梅森在歐幾里得、費(fèi)馬等人研究的基礎(chǔ)上對2p﹣1作了大量的計(jì)算、驗(yàn)證工作，人們?yōu)榱思o(jì)念梅森在數(shù)論方面的這一貢獻(xiàn)，將形如2P﹣1（其中p是素?cái)?shù)）的素?cái)?shù)，稱為梅森素?cái)?shù).若執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的梅森素?cái)?shù)的個(gè)數(shù)是（）A．3 B．4 C．5 D．67．已知，是函數(shù)圖像上不同的兩點(diǎn)，若曲線在點(diǎn)，處的切線重合，則實(shí)數(shù)的最小值是（）A． B． C． D．18．已知復(fù)數(shù)滿足（其中為的共軛復(fù)數(shù)），則的值為()A．1 B．2 C． D．9．正方形的邊長為，是正方形內(nèi)部（不包括正方形的邊）一點(diǎn)，且，則的最小值為（）A． B． C． D．10．觀察下列各式：，，，，，，，，根據(jù)以上規(guī)律，則（）A． B． C． D．11．函數(shù)的圖象如圖所示,則它的解析式可能是()A． B．C． D．12．如圖所示，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗線畫出的是由一個(gè)棱柱挖去一個(gè)棱錐后的幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為A．72 B．64 C．48 D．32二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知函數(shù)，若關(guān)于x的方程有且只有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_______________.14．如圖所示，在邊長為4的正方形紙片中，與相交于.剪去，將剩余部分沿，折疊，使、重合，則以、、、為頂點(diǎn)的四面體的外接球的體積為________.15．函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位后，與函數(shù)的圖象重合，則_____．16．在正奇數(shù)非減數(shù)列中，每個(gè)正奇數(shù)出現(xiàn)次.已知存在整數(shù)、、，對所有的整數(shù)滿足，其中表示不超過的最大整數(shù).則等于______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程是，直線和直線的極坐標(biāo)方程分別是（）和（），其中（）.（1）寫出曲線的直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)直線和直線分別與曲線交于除極點(diǎn)的另外點(diǎn)，，求的面積最小值.18．（12分）設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在橢圓：上，該橢圓的左頂點(diǎn)到直線的距離為.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若橢圓外一點(diǎn)滿足，平行于軸，，動(dòng)點(diǎn)在直線上，滿足.設(shè)過點(diǎn)且垂直的直線，試問直線是否過定點(diǎn)？若過定點(diǎn)，請寫出該定點(diǎn)，若不過定點(diǎn)請說明理由.19．（12分）已知函數(shù)，（1）若，求的單調(diào)區(qū)間和極值；（2）設(shè)，且有兩個(gè)極值點(diǎn)，，若，求的最小值.20．（12分）設(shè)數(shù)列，其前項(xiàng)和，又單調(diào)遞增的等比數(shù)列，，.(Ⅰ)求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；(Ⅱ)若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和，并求證：.21．（12分）如圖，橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為，，上、下頂點(diǎn)分別為，，且，為等邊三角形，過點(diǎn)的直線與橢圓在軸右側(cè)的部分交于、兩點(diǎn)．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）求四邊形面積的取值范圍．22．（10分）如圖，已知橢圓C:x24+y2=1，F(xiàn)為其右焦點(diǎn)，直線l:y=kx+m(km<0)與橢圓交于P(x1(I)試用x1表示|PF|(II)證明：原點(diǎn)O到直線l的距離為定值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】

根據(jù)幾何體分析正視圖和側(cè)視圖的形狀，結(jié)合題干中的數(shù)據(jù)可計(jì)算出結(jié)果.【詳解】由三視圖的性質(zhì)和定義知，三棱錐的正視圖與側(cè)視圖都是底邊長為高為的三角形，其面積都是，正視圖與側(cè)視圖的面積之和為，故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查幾何體正視圖和側(cè)視圖的面積和，解答的關(guān)鍵就是分析出正視圖和側(cè)視圖的形狀，考查空間想象能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.2、A【解析】

先根據(jù)已知求出原△ABC的高為AO＝，再求原△ABC的面積.【詳解】由題圖可知原△ABC的高為AO＝，∴S△ABC＝×BC×OA＝×2×＝，故答案為A【點(diǎn)睛】本題主要考查斜二測畫法的定義和三角形面積的計(jì)算，意在考察學(xué)生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.3、A【解析】幾何體為一個(gè)三棱錐，高為4，底面為一個(gè)等腰直角三角形，直角邊長為4，所以體積是，選A.4、A【解析】

設(shè)，，利用點(diǎn)差法得到，所以直線的斜率為2，又過點(diǎn)，再利用點(diǎn)斜式即可得到直線的方程.【詳解】解：設(shè)，∴，又，兩式相減得：，∴，∴，∴直線的斜率為2，又∴過點(diǎn)，∴直線的方程為：，即，故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查直線與拋物線相交的中點(diǎn)弦問題，解題方法是“點(diǎn)差法”，即設(shè)出弦的兩端點(diǎn)坐標(biāo)，代入拋物線方程相減后可把弦所在直線斜率與中點(diǎn)坐標(biāo)建立關(guān)系．5、D【解析】

由大邊對大角定理結(jié)合充分條件和必要條件的定義判斷即可.【詳解】中，角、所對的邊分別是、，由大邊對大角定理知“”“”，“”“”.因此，“”是“”的充分必要條件.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查充分條件、必要條件的判斷，考查三角形的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查邏輯推理能力，是基礎(chǔ)題．6、C【解析】

模擬程序的運(yùn)行即可求出答案．【詳解】解：模擬程序的運(yùn)行，可得：p＝1，S＝1，輸出S的值為1，滿足條件p≤7，執(zhí)行循環(huán)體，p＝3，S＝7，輸出S的值為7，滿足條件p≤7，執(zhí)行循環(huán)體，p＝5，S＝31，輸出S的值為31，滿足條件p≤7，執(zhí)行循環(huán)體，p＝7，S＝127，輸出S的值為127，滿足條件p≤7，執(zhí)行循環(huán)體，p＝9，S＝511，輸出S的值為511，此時(shí)，不滿足條件p≤7，退出循環(huán)，結(jié)束，故若執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的梅森素?cái)?shù)的個(gè)數(shù)是5，故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查程序框圖，屬于基礎(chǔ)題．7、B【解析】

先根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義寫出在兩點(diǎn)處的切線方程，再利用兩直線斜率相等且縱截距相等，列出關(guān)系樹，從而得出，令函數(shù)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)求出最小值，即可選出正確答案.【詳解】解：當(dāng)時(shí)，，則;當(dāng)時(shí)，則.設(shè)為函數(shù)圖像上的兩點(diǎn)，當(dāng)或時(shí)，，不符合題意，故.則在處的切線方程為；在處的切線方程為.由兩切線重合可知，整理得.不妨設(shè)則，由可得則當(dāng)時(shí)，的最大值為.則在上單調(diào)遞減，則.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查了推理論證能力，考查了函數(shù)與方程、分類與整合、轉(zhuǎn)化與化歸等思想方法.本題的難點(diǎn)是求出和的函數(shù)關(guān)系式.本題的易錯(cuò)點(diǎn)是計(jì)算.8、D【解析】

按照復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則先求出，再寫出，進(jìn)而求出.【詳解】，，.故選：D【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算、共軛復(fù)數(shù)及復(fù)數(shù)的模，考查基本運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.9、C【解析】

分別以直線為軸，直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，根據(jù)，可求，而，化簡求解.【詳解】解：建立以為原點(diǎn)，以直線為軸，直線為軸的平面直角坐標(biāo)系.設(shè)，，，則，，由，即，得.所以=，所以當(dāng)時(shí)，的最小值為.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，屬于基礎(chǔ)題.10、B【解析】

每個(gè)式子的值依次構(gòu)成一個(gè)數(shù)列，然后歸納出數(shù)列的遞推關(guān)系后再計(jì)算．【詳解】以及數(shù)列的應(yīng)用根據(jù)題設(shè)條件，設(shè)數(shù)字，，，，，，，構(gòu)成一個(gè)數(shù)列，可得數(shù)列滿足，則，，．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查歸納推理，解題關(guān)鍵是通過數(shù)列的項(xiàng)歸納出遞推關(guān)系，從而可確定數(shù)列的一些項(xiàng)．11、B【解析】

根據(jù)定義域排除，求出的值，可以排除，考慮排除.【詳解】根據(jù)函數(shù)圖象得定義域?yàn)椋圆缓项}意；選項(xiàng)，計(jì)算，不符合函數(shù)圖象；對于選項(xiàng)，與函數(shù)圖象不一致；選項(xiàng)符合函數(shù)圖象特征.故選：B【點(diǎn)睛】此題考查根據(jù)函數(shù)圖象選擇合適的解析式，主要利用函數(shù)性質(zhì)分析，常見方法為排除法.12、B【解析】

由三視圖可知該幾何體是一個(gè)底面邊長為4的正方形，高為5的正四棱柱，挖去一個(gè)底面邊長為4，高為3的正四棱錐，利用體積公式，即可求解。【詳解】由題意，幾何體的三視圖可知該幾何體是一個(gè)底面邊長為4的正方形，高為5的正四棱柱，挖去一個(gè)底面邊長為4，高為3的正四棱錐，所以幾何體的體積為，故選B?！军c(diǎn)睛】本題考查了幾何體的三視圖及體積的計(jì)算，在由三視圖還原為空間幾何體的實(shí)際形狀時(shí)，要根據(jù)三視圖的規(guī)則，空間幾何體的可見輪廓線在三視圖中為實(shí)線，不可見輪廓線在三視圖中為虛線。求解以三視圖為載體的空間幾何體的表面積與體積的關(guān)鍵是由三視圖確定直觀圖的形狀以及直觀圖中線面的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，利用相應(yīng)公式求解。二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

畫出函數(shù)的圖象，再畫的圖象，求出一個(gè)交點(diǎn)時(shí)的的值，然后平行移動(dòng)可得有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)的的范圍．【詳解】函數(shù)的圖象如圖所示：因?yàn)榉匠逃星抑挥袃蓚€(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，所以圖象與直線有且只有兩個(gè)交點(diǎn)即可，當(dāng)過點(diǎn)時(shí)兩個(gè)函數(shù)有一個(gè)交點(diǎn)，即時(shí)，與函數(shù)有一個(gè)交點(diǎn)，由圖象可知，直線向下平移后有兩個(gè)交點(diǎn)，可得，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了方程的跟與函數(shù)的圖象交點(diǎn)的轉(zhuǎn)化，數(shù)形結(jié)合的思想，屬于中檔題．14、【解析】

將三棱錐置入正方體中，利用正方體體對角線為三棱錐外接球的直徑即可得到答案.【詳解】由已知，將三棱錐置入正方體中，如圖所示，，故正方體體對角線長為，所以外接球半徑為，其體積為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查三棱錐外接球的體積問題，一般在處理特殊幾何體的外接球問題時(shí)，要考慮是否能將其置入正（長）方體中，是一道中檔題.15、【解析】

根據(jù)函數(shù)圖象的平移變換公式求得變換后的函數(shù)解析式,再利用誘導(dǎo)公式求得滿足的方程,結(jié)合題中的范圍即可求解.【詳解】由函數(shù)圖象的平移變換公式可得,函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位后,得到的函數(shù)解析式為,因?yàn)楹瘮?shù)，所以函數(shù)與函數(shù)的圖象重合,所以,即,因?yàn)?所以.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)圖象的平移變換和三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式;誘導(dǎo)公式的靈活運(yùn)用是求解本題的關(guān)鍵;屬于中檔題.16、2【解析】

將已知數(shù)列分組為（1），，共個(gè)組.設(shè)在第組，，則有，即.注意到，解得.所以，.因此，.故.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）16.【解析】

（1）將極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程即可；（2）利用極徑的幾何意義，聯(lián)立曲線，直線，直線的極坐標(biāo)方程，得出，利用三角形面積公式，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)，得出的面積最小值.【詳解】（1）曲線：，即化為直角坐標(biāo)方程為：；（2），即同理∴當(dāng)且僅當(dāng)，即（）時(shí)取等號即的面積最小值為16【點(diǎn)睛】本題主要考查了極坐標(biāo)方程化直角坐標(biāo)方程以及極坐標(biāo)的應(yīng)用，屬于中檔題.18、（1）；（2）見解析【解析】

（1）根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式可求出a的值，即可得橢圓方程；（2）由題意M（x0，y0），N（x0，y1），P（2，t），根據(jù)，可得y1＝2y0，由，可得2x0+2y0t＝6，再根據(jù)向量的運(yùn)算可得，即可證明．【詳解】（1）左頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣a，0），∵＝，∴|a﹣5|＝3，解得a＝2或a＝8（舍去），∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為+y2＝1，（2）由題意M（x0，y0），N（x0，y1），P（2，t），則依題意可知y1≠y0，得（x0﹣2x0，y1﹣2y0）（0，y1﹣y0）=0，整理可得y1＝2y0，或y1＝y(tǒng)0（舍），，得（x0，2y0）（2﹣x0，t﹣2y0）＝2，整理可得2x0+2y0t＝x02+4y02+2＝6，由（1）可得F（，0），∴＝（﹣x0，﹣2y0），∴?＝（﹣x0，﹣2y0）（2，t）＝6﹣2x0﹣2y0t＝0，∴NF⊥OP，故過點(diǎn)N且垂直于OP的直線過橢圓C的右焦點(diǎn)F．【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓方程的求法，直線和橢圓的關(guān)系，向量的運(yùn)算，考查了運(yùn)算求解能力和轉(zhuǎn)化與化歸能力，屬于中檔題.19、（1）增區(qū)間為，減區(qū)間為;極小值，無極大值；（2）【解析】

（1）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，解不等式，即可得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而得到函數(shù)的極值；（2）由題意可得，，求出的表達(dá)式，，求出h（t）的最小值即可．【詳解】（1）將代入中，得到，求導(dǎo)，得到，結(jié)合，當(dāng)?shù)玫剑涸鰠^(qū)間為，當(dāng)，得減區(qū)間為且在時(shí)有極小值，無極大值.（2）將解析式代入，得，求導(dǎo)得到，令,得到,，，，，，，，因?yàn)椋栽O(shè),令，則所以在單調(diào)遞減,又因?yàn)樗?所以或又因?yàn)?，所以所?所以的最小值為.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及函數(shù)的極值的意義，考查轉(zhuǎn)化思想與減元意識，是一道綜合題．20、（1），；（2）詳見解析.【解析】

（1）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，也滿足，∴，∵等比數(shù)列，∴，∴，又∵，∴或（舍去），∴；（