高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)知識(shí)點(diǎn)專題

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高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)知識(shí)點(diǎn)專題

專題L1集合

【核心素養(yǎng)分析】

1,了解集合的含義，體會(huì)元素與集合的屬于關(guān)系；能用自然語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言、集合語(yǔ)言(列舉法或描述

法)描述不同的具體問(wèn)題；

2,理解集合之間包含與相等的含義，能識(shí)別給定集合的子集；在具體情境中了解全集與空集的含義；

3.理解兩個(gè)集合的并集與交集的含義，會(huì)求兩個(gè)簡(jiǎn)單集合的并集與交集；理解在給定集合中一個(gè)子集的

補(bǔ)集的含義，會(huì)求給定子集的補(bǔ)集；能使用韋恩(Venn)圖表達(dá)集合間的基本關(guān)系及集合的基本運(yùn)算。

4.培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象能力。

【知識(shí)梳理】

知識(shí)點(diǎn)1：元素與集合

(I)集合中元素的三個(gè)特性：確定性、互異性、無(wú)序性。

(2)元素與集合的關(guān)系是屬于或不屬于，表示符號(hào)分別為￡和6

⑶集合的三種表示方法：列舉法、描述法、圖示法。

知識(shí)點(diǎn)2：集合間的基本關(guān)系

⑴子集：若對(duì)任意x￡A,都有x￡B,則A￡B或B3A。

⑵真子集：若ACB,且集合B中至少有一個(gè)元素不屬于集合A,則A至B或BMA。

(3)相等：若AGB,且BCA,貝ljA=B。

(4)空集的性質(zhì)：0是任何集合的子集：是任何非空集合的真子集。

知識(shí)點(diǎn)3.集合的基本運(yùn)算

集合的并集集合的交集集合的補(bǔ)集

若全集為U,則集合A

符號(hào)表示AUBACIB

的補(bǔ)集為CuA

U0

圖形表示

AUBAABC1,A

{x|xEA,WixG{x|x￡A,且x

集合表示{xlxGU,且xEA}

B}￡B}

知識(shí)點(diǎn)4.集合的運(yùn)算性質(zhì)

(1)ACIA=A,AD0=0,AAB=BnAo

(2)AUA=A,AU0=A,AUB=BUA。

(3)AA(CuA)=0,AU(CuA)=U,Cu(CuA)=A。

【特別提醒】

1.若有限集A中有n個(gè)元素，則A的子集有2n個(gè)，真子集有211—1個(gè)。

2,子集的傳遞性：ACB,BGC=AGC。

3.A￡B0AnB=AoAUB=B=CUA3GJB。

4.Cu(AnB)=(CuA)U(CuB),Cu(AUB)=(CuA)A(CuB)<?

【典例剖析】

高頻考點(diǎn)一集合的基本概念

3

例1、(河南省平頂山一中2019-2020年模擬)已知集合4={.小￡Z,且“QWZ},則集合A中的元素

個(gè)數(shù)為()

A.2B.3

C.4D.5

【答案】C

3

【解析】囚為六一￡Z,

2~x

所以2-x的取值有-3,-1,1,3,

又因?yàn)閤￡Z,所以x的值分別為5,3,1,-1,故集合A中的元素個(gè)數(shù)為4.

【規(guī)律方法】與集合中的元素有關(guān)的問(wèn)題的三種求解策略

(I)研究一個(gè)用描述法表示的集合時(shí)，首先要看集合中的代表元素，然后再看元素的限制條件.

(2)根據(jù)元素與集合的關(guān)系求參數(shù)時(shí)要注意檢驗(yàn)集合中的元素是否滿足互異性.

(3)集合中的元素與方程有關(guān)時(shí)注意一次方程和一元二次方程的區(qū)別.

【變式探究】(湖南省郴州二中2019.2020年模擬)設(shè)集合A={0,1,2,3),B={x1~x^A,—},

則集合8中元素的個(gè)數(shù)為()

A.1B.2

C.3D.4

【答案】A

【解析】若則一故x只可能是0,-1,-2,-3,當(dāng)0￡8時(shí)，1-0=1￡A：

當(dāng)一1￡B時(shí)，1一(一1)=2￡A；

當(dāng)一2S8時(shí)，1一(-2)=3￡4；

當(dāng)一3sB時(shí),1一(一3)=4至4,

所以6={—3},故集合8中元素的個(gè)數(shù)為1.

【舉一反三】(山西省晉中一中2019-2020年模擬)設(shè)mb￡R,集合{1,a+b,以}={。，務(wù)小則b

~a=()

A.1B.1

C.2D.-2

【答案】C

【解析】因?yàn)閧1,〃+b,〃}={(),j,存0,所以。+人=0,則，=-I,所以a=-1,b=l.所以h

—a=2.

【方法技巧】解決集合概念問(wèn)題的一般思路

(I)研究一個(gè)集合，首先要看集合中的代表元素，然后再看元素的限制條件，當(dāng)集合用描述法表示時(shí)，

注意弄清其元素表示的意義是什么.本例(1)集合B中的代表元素為實(shí)數(shù)p—q.

(2)要深刻理解元素的互異性，在解決集合中含有字母的問(wèn)題時(shí)，一定要返回代入驗(yàn)證，防止與集合中

元素的互異性相矛盾.

高頻考點(diǎn)二：集合間的基本關(guān)系

例2、(吉林長(zhǎng)春市實(shí)驗(yàn)中學(xué)2019-2020年模擬)(1)已知集合A={M？-3x+2=0,x￡R},8=但04<5,

xWN},則滿足條件AGCG5的集合C的個(gè)數(shù)為()

A.1B.2

C.3D.4

(2)已知集合A={x|-lVxV3},B=\x\-m<x<m},若8GA,則加的取值范圍為.

【解析】(1)由題意可得，A=(1,2),8={1,2,3,4),又因?yàn)?GCGB,所以C={1,2}或{1,2,

3｝或｛1,2,4｝或｛1,2,3,4).

(2)當(dāng)〃區(qū)0時(shí)，B=。,顯然5GA.

當(dāng)相>0時(shí)，因?yàn)?=但一lvx<3}.

當(dāng)3GA時(shí)，在數(shù)軸上標(biāo)出兩集合，如圖，

—Lr~1.□--------------

-1-rn0m13*

—m>—1,

所以，m<3,所以0<〃WL

—m<m.

綜上所述，機(jī)的取值范圍為(-8,1].

【答案】(1)D(2)(-oo,1J

【方法技巧】

(1)判斷兩集合之間的關(guān)系的方法：當(dāng)兩集合不含參數(shù)時(shí)，可直接利用數(shù)軸、圖示法進(jìn)行判斷；當(dāng)集合

中含有參數(shù)時(shí)，需要對(duì)滿足條件的參數(shù)進(jìn)行分類討論或采用列舉法.

(2)要確定非空集合A的子集的個(gè)數(shù)，需先確定集合A中的元素的個(gè)數(shù)，再求解.不要忽略任何非空集

合是它自身的子集.

(3)根據(jù)集合間的關(guān)系求參數(shù)值(或取值范圍)的關(guān)鍵是將條件轉(zhuǎn)化為元素或區(qū)間端點(diǎn)間的關(guān)系，進(jìn)而轉(zhuǎn)化

為參數(shù)所滿足的關(guān)系，常用數(shù)軸、圖示法來(lái)解決這類問(wèn)題.

【易錯(cuò)警示】空集是任何集合的子集，在涉及集合關(guān)系時(shí)，必須優(yōu)先考息空集的情況，否則會(huì)造成漏

解.

【變式探究】(安徽師大附中2019-2020年模擬)已知集合從二口樂(lè)一標(biāo)乂^出二兇一小"力}』")

A.AA8=0B.AUB=R

C.BGAD.AQB

【答案】B

【解析】因?yàn)锳={x|x>2或x<0},因此41^={入僅>2或界：0}口兇一書4<#}=1<.故選8

【舉一反三】(福建莆田一中2019-2020年模擬)已知集合人=口此一北一34)，xWN*},則集合A的

真子集的個(gè)數(shù)為()

A.7B.8

C.15D.16

【答案】A

【解析】方法一：A={x|-lSt<3,XEN*}={1,2,3),其真子集有:0,{1},{2},{3},{1,2},{1,

3),{2,3}共7個(gè).

方法二：因?yàn)榧?中有3個(gè)元素，所以其真子集的個(gè)數(shù)為23—1=7(個(gè)).

高頻考點(diǎn)三：集合的運(yùn)算

例3、(2019?高考全國(guó)卷I)已知集合)={1,2,3,4,5,6,7),A=[2,3,4,5),B={2,3,6,

7},則8njA=()

A.{L6)B.{L7}

C.{6,7)D.{1,6,7}

【答案】C

【解析】依題意得CM={1,6,7),故3nCM={6,7}.故選C。

【規(guī)律方法】如何解集合運(yùn)算問(wèn)題

(1)看元素構(gòu)成:集合是由元素組成的，從研究集合中元素的構(gòu)成入手是解決集合運(yùn)算問(wèn)題的關(guān)鍵。

(2)對(duì)集合化簡(jiǎn):有些集合是可以化簡(jiǎn)的，先化簡(jiǎn)再研究其關(guān)系并進(jìn)行運(yùn)算，可使問(wèn)題簡(jiǎn)單明了、易于解

決。

(3)應(yīng)用數(shù)形結(jié)合:常用的數(shù)形結(jié)合形式有數(shù)軸、坐標(biāo)系和Venn圖。

(4)創(chuàng)新性問(wèn)題:以集合為依托，對(duì)集合的定義、運(yùn)算、性質(zhì)進(jìn)行創(chuàng)新考查，但最終化為原來(lái)的集合知識(shí)

和相應(yīng)數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)解決。

【變式探究】(河南鄭州2019-2020年質(zhì)檢)設(shè)全集U=R,集合4={川一3々<1},6={小+1對(duì)},則

G/(AU8)=()

A.{x降-3或應(yīng)1}B.{x|xv—1或啟3}

C.{x店3}D.{x降—3}

【答案】D

【解析】因?yàn)锽={計(jì)侖-1},A={x]-3<v<l),所以AUB={xM>-3},所以Cu(AU8)={刀降一3}.故

選D.

【舉一反三】(2019?高考天津卷)設(shè)集合A={-1,1,2,3,5},B={2,3,4},C={x￡R|l夕<3},則

(AnC)U8=()

A.{2)B.{2,3}

C.{-1,2,3}D.{1,2,3,4}

【答案】D

【解析】方法一：因?yàn)锳nc={l,2},B={2,3,4),所以(AnOUB={l,2,3,4).故選D。

方法二：因?yàn)?={2,3,4},所以(AnC)UB中一定含有2,3,4三個(gè)元素，故排除A,B,C,故選

【方法技巧】集合的基本運(yùn)算的關(guān)注點(diǎn)

(1)看元素組成.集合是由元素組成的，從研究集合中元素的構(gòu)成入手是解決集合運(yùn)算問(wèn)題的前提；

(2)有些集合是可以化簡(jiǎn)的，先化簡(jiǎn)再研究其關(guān)系并進(jìn)行運(yùn)算，可使問(wèn)題簡(jiǎn)單明了，易于解決；

(3)注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，常用的數(shù)形結(jié)合形式有數(shù)軸、坐標(biāo)系和Venn圖。

高頻考點(diǎn)四：利用集合的運(yùn)算求參數(shù)

例4、(江西金溪一中2019-2020年模擬)已知集合4={小2%},若AU8=A,則m的取值

范圍是()

A.(—00,—2)B.[2,+oo)

C.[-2,2]D.(-co,-2]U[2,+oo)

【答案】D

【解析】因?yàn)?UB=A,所以BGA,即得〃@4,解得論2或儂一2。

【方法規(guī)律】利用集合的運(yùn)算求參數(shù)的值或取值范圍的方法

①與不等式有關(guān)的集合，一般利用數(shù)軸解決，要注意端點(diǎn)值能否取到；

②若集合能一一列舉，則一般先用觀察法得到不同集合中元素之間的關(guān)系，再列方程(組)求解.

【易錯(cuò)警示】在求出參數(shù)后，注意結(jié)果的驗(yàn)證(滿足互異性).

【變式探究】(河南新鄉(xiāng)一中2019-2020年模擬)設(shè)集合A={0,-4),B={x|x24-2(a+l)x+a2-1=0,

xGR}.若AC1B=B,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

【解析】因?yàn)锳={0,-4),AAB=B,所以B￡A,分以下三種情況：

①當(dāng)B=A時(shí)，B={0,-4),由此可知，0和一4是方程x2+2(a+l)x+a2-l=0的兩個(gè)根，由根與系

△=4(a+1)2—4(a2—I)>0,

數(shù)的關(guān)系，得一2(a+1)=-4,解得a=l；

,a2-1=0,

②當(dāng)B翔且BEA時(shí),8={0}或8={-4},

并且A=4(a+1)2—4(22—1)=0,

解得a=-1,此時(shí)B={0}滿足題意；

③當(dāng)B=0時(shí)，A=4(a+l)2—4(a2—l)V0,

解得a<—1o

綜上所述，所求實(shí)數(shù)a的取值范圍是（一8,-l]U{l}o

【答案】（一皿

高頻考點(diǎn)五：集合的新定義問(wèn)題

例5、（廣東執(zhí)信中學(xué)2019?2020年模擬）如果集合A滿足若x￡A,則一那么就稱集合A為“對(duì)

稱集合”.已知集合人={右，0,/+“},且A是對(duì)稱集合，集合8是自然數(shù)集，則AnB=.

【解析】由題意可知-2x=f+x,

所以％=0或%=—3.

而當(dāng)x=0時(shí)不符合元素的互異性，所以舍去.

當(dāng)”=-3時(shí)，A={—6,0,6},

所以4（13={0,6}.

【答案】{0,6）

【方法技巧】解決集合新定義問(wèn)題的方法

（1）正確理解新定義：耐心閱讀，分析含義，準(zhǔn)確提取信息是解決這類問(wèn)題的前提，剝?nèi)バ露x、新法

則、新運(yùn)算的外表，利用所學(xué)的集合性質(zhì)等知識(shí)將陌生的集合轉(zhuǎn)化為我們熟悉的集合，是解決這類問(wèn)題的

突破口。

（2）合理利用集合性質(zhì)：運(yùn)用集合的性質(zhì)（如元素的性質(zhì)、集合的運(yùn)算性質(zhì)等）是破解新定義型集合問(wèn)題的

關(guān)鍵.在解題時(shí)要善于從題設(shè)條件給出的數(shù)式中發(fā)現(xiàn)可以使用集合性質(zhì)的一些因素，并合理利用。

（3）對(duì)于選擇題，可結(jié)合選項(xiàng)，通過(guò)驗(yàn)證、排除、對(duì)比、特值法等進(jìn)行求解或排除錯(cuò)誤選項(xiàng)，當(dāng)不滿足

新定義的要求時(shí)，只需通過(guò)舉反例來(lái)說(shuō)明，以達(dá)到快速判斷結(jié)果的目的。

【變式探究】（遼寧遼陽(yáng)第一中學(xué)2019-2020年模擬）定義集合的商集運(yùn)算為噂={加=;，

kR

B}.已知集合4={2,4,6）,8={xk=5—l，2￡A},則集合彳口8中的元素個(gè)數(shù)為（）

A.6B.7

C.8D.9

【答案】B

【解析】由題意知，8={0,1,2|,彳={。，2f4,6fl，§）'則彳UB={0,不y2（,共

有7個(gè)元素，故選Bo

【方法技巧】解決以集合為背景的新定義問(wèn)題，要抓住兩點(diǎn)：（1）緊扣新定義.首先分析新定義的特點(diǎn),

把新定義所敘述的問(wèn)題的本質(zhì)弄清楚，并能夠應(yīng)用到具體的解題過(guò)程之中，這是破解新定義型集合問(wèn)題難

點(diǎn)的關(guān)鍵所在；（2）用好集合的性質(zhì).解題時(shí)要善于從試題中發(fā)現(xiàn)可以使用集合性質(zhì)的一些因素，在關(guān)鍵之

處用好集合的運(yùn)算與性質(zhì).

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專題L2命題及其關(guān)系、充分條件與必要條件

【考情分析】

1.理解命題的概念。

2.了解“若p,則q”形式的命題及其逆命題、否命題與逆否命題，會(huì)分析四種命題的相互關(guān)系。

3.理解必要條件、充分條件與充要條件的含義。

4重點(diǎn)考查數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理能力的核心素養(yǎng)。

【知識(shí)清單】

知識(shí)點(diǎn)一命題及其關(guān)系

1.命題

用語(yǔ)言、符號(hào)或式子表達(dá)的，可以判斷真假的陳述句叫做她題，其中判斷為真的語(yǔ)句叫做真血題，判

斷為假的語(yǔ)句叫做假命題。

2.四種命題及其相互關(guān)系

(1)四種命題間的相互關(guān)系

⑵四種命題的真假關(guān)系

①兩個(gè)命題互為逆查全題，它們具有相同的真例j

②兩個(gè)命題為互逆命題或互否命題,它們的真假性沒(méi)有關(guān)系.

知識(shí)點(diǎn)二充分條件與必要條件

1.充分條件、必要條件與充要條件的概念

若〃=%則P是4的充分條件，4是〃的必要條件

p是q的充分不必要條件p=q且q*p

〃是夕的必要不充分條件p#q且qnp

"是’的充要條件poq

p是q的既不充分也不必要條件p#q且q#p

【特別提醒】若條件p,g以集合的形式出現(xiàn)，即4={.即（x）},B={x\q（x）},則由可■得，〃是q的

充分條件，請(qǐng)寫出集合4,8的其他關(guān)系對(duì)應(yīng)的條件p,q的關(guān)系.

2.數(shù)學(xué)中的定義、判定定理、性質(zhì)定理與必要條件、充分條件的聯(lián)系

①判定定理中前提是結(jié)論的充分條件；

②性質(zhì)定理中結(jié)論是前提的必要條件；

③數(shù)學(xué)定義中條件是結(jié)論的充要條件.即定義可以用于判定也可以作為性質(zhì).

3.充分條件與必要條件的兩個(gè)特征

①對(duì)稱性：若p是g的充分條件，則g是p的必要條件，即“png”則“gup”.

②傳遞性：若p是g的充分（必要）條件，q是r的充分（必要）條件，則p是一的充分（必要）條件，即“p=g

且q=尸，則"p=尸（“pug且qu尸，貝『力<=尸）.

【考點(diǎn)梳理】

高頻考點(diǎn)一、四種命題及其相互關(guān)系

例1、（2020?廣東廣雅中學(xué)模擬）給出以下四個(gè)命題：

①“若x+y=0,則x,y互為相反數(shù)”的逆命題；

②“全等三角形的面積相等”的否命題；

③“若q<-h則x2+x+q=0有實(shí)根”的逆否命題；

④若ab是正整數(shù)，則a,b都是正整數(shù).

其中真命題是.（寫出所有真命題的序號(hào)）

【答案】（D?

【解析】①命題“若x+y=0,則x,y互為相反數(shù)”的逆命題為“若x,y互為相反數(shù)，則x+y=0"，顯然①

為真命題；②不全等的三角形的面積不相等，故②為假命題：

③原命題正確，所以它的逆否命題也正確，故③為真命題；④若ab是正整數(shù)，但a,b不一定都是正整

數(shù)，例如a=-l,b=-3,故④為假命題。

【規(guī)律方法】

L寫一個(gè)命題的其他三種命題時(shí)，需注意：

（1）對(duì)于不是“若P，則4”形式的命題，需先改寫；

（2）若命題有大前提，寫其他三種命題時(shí)需保留大前提.

2.（1）判斷一個(gè)命題為真命題，要給出推理證明；判斷一個(gè)命題是假命題，只需舉出反例.

（2）根據(jù)“原命題與逆否命題同真同假，逆命題與否命題同真同假”這一性質(zhì)，當(dāng)一個(gè)命題直接判斷不易

時(shí)，可間接判斷.

【變式探究】(2020.河北邯單R四中模擬)給出命題:若函數(shù)產(chǎn)f(x)是幕函數(shù)，則函數(shù)產(chǎn)f(x)的圖象不過(guò)第

四象限。在它的逆命題、否命題、逆否命題三個(gè)命題中，真命題的個(gè)數(shù)是()

A.3B.2C.lD.0

【答案】C

【解析】原命題與逆否命題等價(jià)，而原命題為真，所以逆否命題為真命題。原命題的逆命題為:若y=f(x)

的圖象不過(guò)第四象限，則函數(shù)y=f(x)是第函數(shù)，顯然此命題為假，又因?yàn)槟婷}與否命題同真假，所以否命

題為假。

高頻考點(diǎn)二充分條件與必要條件的判定

例2、(2019年北京)設(shè)點(diǎn)A,B,C不共線，則，腦與祀的夾角為銳角”是“油+命|>|展1"的()

A.充分而不必要條件

B.必要而不充分條件

C.充分必要條件

D.既不充分也不必要條件

【答案】C

【解析】|訕+&1>|砧=勵(lì)+乃>就一牯|自彷^啟+^^九正>M2+祀2一加祀0霜.祀〉

0,由點(diǎn)A,B,C不共線，得〈城祀〉e(o,2)t故油.祀>00福祀的夾角為銳角，故選C。

【規(guī)律方法】充要條件的判斷方法

⑴定義法：根據(jù)p=g,g=p進(jìn)行判斷.

(2)集合法：根據(jù)使p,q成立的對(duì)象的集合之間的包含關(guān)系進(jìn)行判斷.

(3)等價(jià)轉(zhuǎn)化法：根據(jù)一個(gè)命題與其逆否命題的等價(jià)性，把要判斷的命題轉(zhuǎn)化為其逆否命題進(jìn)行判斷.這

個(gè)方法特別適合以否定形式給出的問(wèn)題.

【變式探究】(2019年天津)設(shè)xwR,則是“|不一1|〈1"的()

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【解析1由d—5xv0可得0<x<5，由可得0<xv2,

易知由0<尢<5推不出0<x<2,

由0cx<2能推出Ovxv5，

故0vxv5是0vxv2的必要而不充分條件，

因_5x<0”是X-11<1"的必要而不充分條隹

故選Bo

高頻考點(diǎn)三充分條件、必要條件的應(yīng)用

例3、（2020.陜西省咸陽(yáng)一中質(zhì)檢）已知^={4^-8^-20<0},非空集合S={x|l—gSl+加}.若x

是x￡S的必要條件，則機(jī)的取值范圍為。

【答案】［0,3J

【解析】由/一81一2040得一2登10,

AP={x|-2<x<10},

由是x￡S的必要條件，知SCP.

又S為非空集合，

1~m<\+m,

則,1一/史一2,

.'.0<w<3.

艮］所求〃?的取值范圍是［0,3］o

【方法技巧】根據(jù)充分、必要條件求參數(shù)的值或取值范圍的關(guān)鍵點(diǎn)

（1）先合理轉(zhuǎn)化條件，常通過(guò)有關(guān)性質(zhì)、定理、圖象將恒成立問(wèn)題和有解問(wèn)題轉(zhuǎn)化為最值問(wèn)題等，得到

關(guān)于參數(shù)的方程或不等式（組），再通過(guò)解方程或不等式（組）求出參數(shù)的值或取值范圍.

（2）求解參數(shù)的取值范圍時(shí)，一定要注意區(qū)間端點(diǎn)值的檢驗(yàn)，尤其是利用兩個(gè)集合之間的關(guān)系求解參數(shù)

的取值范圍時(shí)，不等式是否能夠取等號(hào)決定端點(diǎn)值的取舍，處理不當(dāng)容易出現(xiàn)漏解或增解的現(xiàn)象.

【變式探究】（2020?安徽省蚌埠二中模擬）設(shè)〃￡N*則一元二次方程f—4x+〃=0有整數(shù)根的充要條

件是n=o

【答案】3或4

【解析】由4=16—4佗0,得，區(qū)4,

又〃￡N*,則〃=1,2,3,4.

當(dāng)〃=1,2時(shí)，方程沒(méi)有整數(shù)根；

當(dāng)〃=3時(shí)，方程有整數(shù)根1,3,

當(dāng)〃=4時(shí)，方程有整數(shù)根2.

綜上可知，〃=3或4。

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專題1.3簡(jiǎn)單的邏輯聯(lián)結(jié)詞、全稱量詞與存在量詞

【核心素養(yǎng)分析】

1.了解邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”“且”“非”的含義。

2.理解全稱量詞和存在量詞的意義。

3.能正確地對(duì)含一個(gè)量詞的命題進(jìn)行否定。

4.重點(diǎn)培養(yǎng)邏輯推理的學(xué)科素養(yǎng)。

【知識(shí)梳理】

1.簡(jiǎn)單的邏輯聯(lián)結(jié)詞

⑴命題中的且、或、非叫做邏輯聯(lián)結(jié)詞.

(2)命題p且外p或外非〃的真假判斷

Pqp且qp或q非p

真真真真假

真假假真假

假真假真真

假假假假真

知識(shí)點(diǎn)二全稱量詞和存在量詞

2.全稱量詞和存在量詞

(I)全稱量詞：短語(yǔ)“所有的”“任意一個(gè)”等在邏輯中通常叫做全稱量詞，用符號(hào)“V”表示.

(2)存在量詞：短語(yǔ)“存在一個(gè)”“至少有一個(gè)”等在邏輯中通常叫做存在量詞，用符號(hào)“ZT表示.

知識(shí)點(diǎn)三全稱命題、特稱命題及含一個(gè)量詞的命題的否定

3.全稱命題、特稱命題及含一個(gè)量詞的命題的否定

命題名稱語(yǔ)言表示符號(hào)表示命題的否定

對(duì)M中任意一個(gè)

全稱命題PxRM,p(x)M,-]p(xo)

X,有p(x)成立

存在M中的一個(gè)

特稱命題3xo€A/,p(xo)VxGA/,~|P(x)

xo，使p(M>)成立

【典例剖析】

高頻考點(diǎn)一含有邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題的真假判斷

例1、（2020?山西平遙中學(xué)模擬）設(shè)a,b,c是非零向量.已知命題p:若4?b=0,bc=0,則℃=0；

命題q：若?！╞,b//c,則a〃c.則下列命題中真命題是（）

A.pVgB.p八q

C（iP）八皿）D.pA（qq）

【答案】B

【解析】取a=c=（L0）,b=（0,1）,顯然。?力=0,bc=0,但ac=l刈，，p是假命題.

又小b,c是非零向量，

由a〃b知a=x"x￡R）,由/?〃c知b=yc（y￡R）,

?*.a=xycf,.a//c,是真命題.

綜上知.Vq是真命題，〃八q是假命題.

為真命題，［夕為假命題.

?'?（1P）八（19），〃八（1g）都是假命題.

【規(guī)律方法】

L“pV/、形式命題真假的判斷關(guān)鍵是對(duì)邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”“且X非”含義的理解，其操作步

驟是：（1）明確其構(gòu)成形式；（2）判斷其中命題〃，〃的真假；（3）確定“〃\//“力/0"、〃”形式命題的真假.

2.p/\q形式是“一假必假，全真才真”,pVg形式是“一真必真，全假才假”，則是“與p的真假相反”.

【變式探究】（2020?吉林長(zhǎng)春市實(shí)驗(yàn)中學(xué)模擬）己知命題p：BxeR,x2-x+l>0；命題g：若。2<分，

則〃</>.下列命題為真命題的是（）

A.pAgB./?A-|q

C.qp/\qD.-|pAqq

【答案】B

【解析】???一元二次方程r-x+UO的判別式n=（-1）2—4x1x10,.ir-x+lX）恒成立，

?'.p是真命題，7〃為假命題.

???當(dāng)。=-1,8=一2時(shí)，（-1）2<（—2）2,但一1>一2,

???夕為假命題，74為真命題.

，〃八14為真命題，p/\q，1〃八14為假命題.

高頻考點(diǎn)二全稱（特稱）命題的真假判斷

例2、（202。浙江效實(shí)中學(xué)模擬）已知定義域?yàn)镽的函數(shù)外）不是偶函數(shù)，則下列命題一定為真命題的

是（）

A.VxeR,火-x）胡x）

B.VxWR，五一力，一段）

/（一必）頰xo）

D.m&GR,A-xo）^—fixd）

【答案】C

【解析】二定義域?yàn)镽的函數(shù)人r）不是偶函數(shù)，，x）=/（x）為假命題，，小o￡R,犬-xo）M/（xo）

為真命題.

【規(guī)律方法】

1,全稱命題與特稱命題的否定與命題的否定有一定的區(qū)別，否定全稱命題和特稱命題時(shí)，一是要改寫量

詞，全稱量詞改寫為存在量詞，存在量詞改寫為全稱量詞；二是要否定結(jié)論，而一般命題的否定只需直接

否定結(jié)論.

2,判定全稱命題“Vx￡M,p（x）”是真命題，需要對(duì)集合M中的每一個(gè)元素4,證明p（x）成立；要判斷特

稱命題是真命題，只要在限定集合內(nèi)至少找到一個(gè)X=M,使pUo）成立.

Vo

【變式探究】（2020?福建泉州五中模擬）已知命題p：3x0e（-oo,0）,2<3叫命題g：Vx￡（0,號(hào)，

sinx<xt則下列命題為真命題的是（）

A.p/\qB.pA（-|q）

C.（ip）AgD.（[p）八（i4）

【答案】C

【解析】因?yàn)楫?dāng)MO時(shí)，停）">1,即”>33所以命題〃為假命題，從而ip為真命題；因?yàn)楫?dāng)x￡（0,5

時(shí)，Qsinx,所以命題夕為真命題，所以hp）八夕為真命題.

高頻考點(diǎn)三由命題的真假求參數(shù)的取值范圍

例3、（2020?山東日照一中模擬）已知命題p：VxGR,logzM+x+a）>。恒成立，命題十三覺(jué)￡[-2,

2],2"2叫若命題〃八4為真命題，則實(shí)數(shù)。的取值范圍為.

【答案】?，2

【解析】由題知，命題p：log2（/+x+a）>0恒成立，即/+工+。-1>0恒成立，所以/=1一4（〃

5

sV?>74?

-l)<0,解得蘇卬命題夕：3x0e[-2,2],使得2"2°,則H2.當(dāng)p△夕為真命題時(shí)，須滿足，故實(shí)數(shù)

?！?,

。的取值范圍為?，2.

【規(guī)律方法】

1，由含邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題真假求參數(shù)的方法步驟：

(1)求出每個(gè)命題是真命題時(shí)參數(shù)的取值范圍；

(2)根據(jù)每個(gè)命題的真假情況，求出參數(shù)的取值范圍.

2,全稱命題可轉(zhuǎn)化為恒成立問(wèn)題.

含量詞的命題中參數(shù)的取值范圍，可根據(jù)命題的含義，利用函數(shù)的最值解決.

、X

【變式探究】(2020?廣東湛江一中模擬)已知人笛=1??+1),若對(duì)Vxi￡[0,3],3x2

￡[1,2],使得於D溝(X2)，則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是.

【答案】+8)

【解析】當(dāng)工￡[0,3]時(shí)，?v)min=/(0)=0，當(dāng)x￡[l,2]時(shí)，g(x)min=g(2)=；一M，對(duì)可￡[0,3],3X2

￡[1，2]使得於D溝(X2)等價(jià)于/(A)mii^(x)min，得0g—，所以〃號(hào).

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專題2.1函數(shù)及其表示

【核心素養(yǎng)分析】

L了解構(gòu)成函數(shù)的要素，會(huì)求一些簡(jiǎn)單函數(shù)的定義域和值域；了解映射的概念.

2.在實(shí)際情境中，會(huì)根據(jù)不同的需要選擇恰當(dāng)?shù)姆椒?如圖象法、列表法、解析法)表示函數(shù).

3.了解簡(jiǎn)單的分段函數(shù)，并能簡(jiǎn)單應(yīng)用(函數(shù)分段不超過(guò)三段).

4.培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算能力。

【重點(diǎn)知識(shí)梳理】

知識(shí)點(diǎn)1.函數(shù)與映射的概念

(1)函數(shù)：一般地，設(shè)A,B是兩個(gè)非空的數(shù)集，如果按照某種確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系了,使對(duì)于集合A中的任

意一個(gè)數(shù)X,在集合8中都有唯一確定的數(shù)人幻和它對(duì)應(yīng)，那么就稱/：A—8為從集合A到集合8的一個(gè)函

數(shù)，記作y=/(x),其中，x叫做自變量，1的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域，與x的值相對(duì)應(yīng)的y值

叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合伏工)枚￡4｝叫做函數(shù)的值域.

(2)映射：-一般地，設(shè)4,B是兩個(gè)非空的集合，如果按某一個(gè)確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系力使對(duì)于集合4中的任

意一個(gè)元素-在集合8中都有唯一確定的元素)，與之對(duì)應(yīng)，那么就稱對(duì)應(yīng)f：A-8為從集合A到集合8

的一個(gè)映射.

知識(shí)點(diǎn)2.函數(shù)的表示方法

(1)用數(shù)學(xué)表達(dá)式表示兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系的方法叫做解析法.

(2)用圖象表示兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系的方法叫做圖象法.

(3)列出表格表示兩個(gè)變量之間的時(shí)應(yīng)關(guān)系的方法叫做列表法.

知識(shí)點(diǎn)3.函數(shù)的三要素

(1)函數(shù)的三要素：定義域、對(duì)應(yīng)關(guān)系、值域.

(2)兩個(gè)函數(shù)相等：如果兩個(gè)函數(shù)的定義域相同，并且對(duì)應(yīng)關(guān)系完全一致，則稱這兩個(gè)函數(shù)相等.

知識(shí)點(diǎn)4.分段函數(shù)

若函數(shù)在定義域的不同子集上的對(duì)應(yīng)關(guān)系不同，則這種形式的函數(shù)叫做分段函數(shù)，它是一類重要的函

數(shù).

知識(shí)點(diǎn)5.復(fù)合函數(shù)

一般地，對(duì)于兩個(gè)函數(shù)尸仙)和〃=蛆)，如果通過(guò)變量〃，y可以表示成k的函數(shù)，那么稱這個(gè)函數(shù)為

函數(shù))=/(〃)和〃=g(x)的復(fù)合函數(shù)，記作y=?/S(x))，其中叫做復(fù)合函數(shù)y=/S(x))的外層函數(shù)，〃=g(x)

叫做j=Ag（x））的內(nèi)層函數(shù).

【典型題分析】

高頻考點(diǎn)一求函數(shù)的定義域

例1.（2020?北京卷）函數(shù)/（幻=」一+的工的定義域是.

J+1

【答案】（0,+8）

x>0

【解析】由題意得〈.八，/.x>0

x+1^0

【變式探究】【2019?江蘇卷】函數(shù)y=j7+6x-d的定義域是

【答案】[-1,7]

【解析】由題意得到關(guān)于x的不等式，解不等式可得函數(shù)的定義域.

由已知得7+6x—即*2一6工—7《0,解得一故函數(shù)的定義域?yàn)閇-1,7].

【方法技巧】

⑴求具體函數(shù)y=_/（x）的定義域

（2）求抽象函數(shù)的定義域一般有兩種情況：

①已知.v=#x）的定義域是A,求y=/g（x））的定義域，可由g（x）￡A求出k的范圍，即為￥=黃以6）的定

義域：

②已知），=y（g（x））的定義域是A,求y=ya）的定義域，可由XWA求出以外的范圍，即為），=/a）的定義域.

【舉一反三】（2018?江蘇卷）函數(shù)J（x）=yj\og2X-1的定義域?yàn)?

【答案】{x應(yīng)2}

【解析】ilogix-1>0,即log論logz2,解得應(yīng)2,

滿足x>0,

所以函數(shù)?x）=^/log2X—1的定義域?yàn)閧x|xN2}.

高頻考點(diǎn)二求函數(shù)的解析式

例2.（2020?山東濟(jì)南一中模擬）

(1)已知二次函數(shù);(2x+l)=4f—6x+5,求人r)；

(2)已知函數(shù)y(.r)滿足大一工)+”.r)=21，求於).

【解析】(1)法一：(待定系數(shù)法)

因?yàn)榉玻?是二次函數(shù)，所以設(shè)段)=ar2+笈+c(〃卻)，則?2x+1)=a(2x+1)2+b(2x+l)+c=4ai2+(4a

+2b)z+a+b+c.

因?yàn)榇?x+l)=4f-6x+5,

4a=4,pz=l,

所以，4a+2匕=-6,解得，b=~5,

.a+Z?+c=5,1c=9,

所以人幻=(-5x+9(x￡R).

法二：(換元法)

l-1

令2x+l=Q￡R)，則x=f

2

所以7（f）=4gy^—6J~^+5=/2—5Z+9?￡R）,

所以/(x)=r-5x+9(.i￡R).

法三：(配湊法)

因?yàn)?(2x+l)=4x2—6x+5=(2x+l)2-10x+4=(2x+l)2-5(Zr+l)+9,所以＞(x)=x2-5x+9(xWR).

⑵(解方程組法)

由式一?+紈笛=2',①

得式外+紈-x)=2i,②

①x2—②，得3兀0=2'+1-2一。

—2一*

艮140=―5—.

2巾一2r

故凡外的解析式是抬尸一3—(x仁R).

【方法技巧】函數(shù)解析式的常見(jiàn)求法

(1)配湊法：已知y(/2a))=g(x),求兒0的問(wèn)題，往往把右邊的g(x)整理或配湊成只含人(幻的式子，然后用

X將〃㈤代換.

(2)待定系數(shù)法：已知函數(shù)的類型(如一次函數(shù)、二次函數(shù))可用待定系數(shù)法，比如二次函數(shù)共處可設(shè)為外)

=加+以+以存0),其中a,b,。是待定系數(shù)，根據(jù)題設(shè)條件，列出方程組，解出小b,c即可.

(3)換元法：已知;(〃(x))=g(x),求?丫)時(shí)，往往可設(shè)力(x)=E,從中解出X,代入g(x)進(jìn)行換元.應(yīng)用換元

法時(shí)要注意新元的取值范圍.

(4)解方程組法：已知?r)滿足某個(gè)等式，這個(gè)等式除K0是未知量外，還有其他未知量，如70)(或人一

%))等，可根據(jù)已知等式再構(gòu)造其他等式組成方程組，通過(guò)解方程組求出?r).

【變式探究】(2020?河北衡水中學(xué)調(diào)研)已知/)是二次函數(shù)，月/0)=0,火x+l)=/U)+x+l,求遂》)

的解析式.

【解析】設(shè)危)=ar2+bx+c(存0),曰/(0)=0,知c=0,府)=加+加，

又由於+l)=/U)+x+l,

得a(x+1)2+力(3+1)=渥+加+4+1,

艮]ox2+(2a+b)x+a+b=ar2+(b+i)x+i,

2a^-b=b~\~\

所以解得

。+。=1,

所以+表。￡R).

高頻考點(diǎn)三分段函數(shù)求值

例3.(2020?吉林長(zhǎng)春實(shí)驗(yàn)中學(xué)模擬)

f

Jx+x—2，x>2,

已知函數(shù)危)=[則用(1))=()

[f+Z,x<2,

A.4B.2C.4D.11

【答案】C

【解析】因?yàn)?1)=12+2=3,所以川(1))=?3)=3+，工=4.故選C.

【方法技巧】(1)求分段函數(shù)的函數(shù)值時(shí)，要先確定要求值的自變量屬于哪一區(qū)間，然后代入該區(qū)間對(duì)

應(yīng)的解析式求值.

(2)當(dāng)出現(xiàn)/(/(〃))的形式時(shí)，應(yīng)從內(nèi)到外依次求值.

(3)當(dāng)自變量的值所在區(qū)間不確定時(shí)，要分類討論，分類標(biāo)準(zhǔn)應(yīng)參照分段函數(shù)不同段的端點(diǎn)。

logu，X>0>

【變式3】(202。安徽安慶一中模擬)已知兀0=丫，，八(OVaVl),且犬-2)=5,人-1)=3,則

cf,-rb,爛0

,/W-3))=()

A.-2B.2C.3D.-3

【答案】B

【解析】(1)因?yàn)閒(l)=R+2=3,所以f(f(l))=f(3)=3+?^=4.故選C.

(2)由題意得，f(-2)=a-2+b=5,①

f(—l)=a~l+b=3,②

聯(lián)立①②，結(jié)合0<a<l,得a=；,b=i,

’10g3X,x>0,

所以f(x)=<

團(tuán)+l,x<0,

-3

則f(-3)=R)+1=9,f(f(-3))=f(9)=10g39=2,故選B。

高頻考點(diǎn)四求參數(shù)或自變量的值(范圍)

例4.(2020.山東卷)若定義在R的奇函數(shù)在(一嗎。)單調(diào)遞減，且八2)=0,則滿足4*—1)之。的

工的取值范圍是()

A.[-U]U[3,+oo)B.[-3,-l]U[O,l]

C.[-1,O]U[1,-HX)D.f-l,0]kJn,31

【答案】D

【解析】因?yàn)槎x在R上的奇函數(shù)/(x)在(-8,0)上單調(diào)遞減，且7(2)=0,

所以/(%)在(0,+o。)上也是單調(diào)遞減，且/(一2)=0,/(0)=0,

所以當(dāng)％w(-oo,-2)u(0,2)時(shí),/(X)>0,當(dāng)xw(-2,0)U(2,+oo)時(shí)，f(x)<0,

所以由可得：

x<0fx>0

[-24%一1?0蛆一1之2或(0?工一1?2垢一1?—2或'=°

解得一1WxWO或1Wx03,

所以滿足？(x-l)NO的x的取值范圍是[T,0]u[l,3],

【方法技巧】已知函數(shù)值(或函數(shù)值的范圍)求自變量的值(或范圍)：應(yīng)根據(jù)每一段的解析式分別求解,

但要注意檢驗(yàn)所求自變量的值(或范圍)是否符合相應(yīng)段的自變量的取值范圍，當(dāng)分段函數(shù)的自變量范圍不確

定時(shí)，應(yīng)分類討論。

2~x,爛0,

【變式探究】（2018?全國(guó)卷I）設(shè)函數(shù)"r）=,八則滿足*x+l）q/（2r）的x的取值范圍是（

1,x>0,

A.(—oo,—1]B.(0,+oo)

C.(-1,0)D.(—00,0)

【答案】D

【解析】

|x+1<0,

方法一：①當(dāng)|即爛一1時(shí)，於+1）勺（2x）即為2一（介“<2。，即一（x+l）<-2x,

2x<0,

解得X<1.因此不等式的解集為（-8,-1J.

②當(dāng)|經(jīng)。1<0,時(shí)’不等式組無(wú)解.

[x+l>0,

③當(dāng)即一1—0時(shí)，於+l）?2x）即1<2鼻解得x〈0.因此不等式的解集為（一1,0）.

2x<0,

[x+1>0?

④當(dāng)即Q0時(shí)，?v+l)=La)=1,不合題意.

2x>0,

綜上，不等式上+1）勺3）的解集為（一8,0）.

故選D.

2一3爛0,

方法二：???段）=

、1,x>0,

：?函數(shù)./（X）的圖象如圖所示.

結(jié)合圖象知，要使?r+l）<y（2x）,

x+l<0,

fx+l>0,

則需，2r<0,或|2x<0,

、2xVx+1

/.x<0,故選D。

高頻考點(diǎn)五函數(shù)新定義問(wèn)題

例5.（2020?廣東省惠州一中模擬）在平面直角坐標(biāo)系中，橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)稱為整點(diǎn)，若函數(shù)

段）的圖象恰好經(jīng)過(guò)〃（〃￡N"）個(gè)整點(diǎn)，則稱函數(shù)兒t）為〃階整點(diǎn)函數(shù).給出下列函數(shù)：

0/（x）=sin2x；②g（x）=V；

X

?h（x）=（§；④磯x）=Inx.

其中是一階整點(diǎn)函數(shù)的是（）

A.?@??B.???

C.@@D.④

【答案】C

【解析】對(duì)于函數(shù)次x）=sin2x,它的圖象（圖略）只經(jīng)過(guò)一個(gè)整點(diǎn)（0,0）,