4.4對(duì)數(shù)函數(shù)【四大必考點(diǎn)+十三秒殺招+九大題型+分層訓(xùn)練】高一數(shù)學(xué)題型歸類

4.4對(duì)數(shù)函數(shù)【四大必考點(diǎn)+十三秒殺招+九大題型+分層訓(xùn)練】知識(shí)精講知識(shí)精講知識(shí)點(diǎn)01對(duì)數(shù)函數(shù)一般地，函數(shù)y＝logax(a>0，且a≠1)叫做對(duì)數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，定義域是(0，＋∞).對(duì)數(shù)函數(shù)的特征(1)logax的系數(shù)是1；(2)logax的底數(shù)是不等于1的正數(shù)；(3)logax的真數(shù)僅含自變量x.知識(shí)點(diǎn)02對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)定義y＝logax(a>0，且a≠1)底數(shù)a>10<a<1圖象定義域(0，＋∞)值域R單調(diào)性增函數(shù)減函數(shù)共點(diǎn)性圖象過定點(diǎn)(1,0)，即x＝1時(shí)，y＝0函數(shù)值x∈(0,1)時(shí)，y∈(－∞，0)；x∈[1，＋∞)時(shí)，y∈[0，＋∞)x∈(0,1)時(shí)，y∈(0，＋∞)；x∈[1，＋∞)時(shí)，y∈(－∞，0]對(duì)稱性函數(shù)y＝logax與y＝logeq\f(1,a)x的圖象關(guān)于x軸對(duì)稱趨勢在直線x＝1右側(cè)，a值越大，圖象越靠近x軸在直線x＝1右側(cè)，a值越小，圖象越靠近x軸知識(shí)點(diǎn)03反函數(shù)的概念對(duì)數(shù)函數(shù)y＝logax(a>0，且a≠1)與指數(shù)函數(shù)y＝ax互為反函數(shù)，它們的圖象關(guān)于直線y＝x對(duì)稱．對(duì)數(shù)函數(shù)y＝logax的定義域是指數(shù)函數(shù)y＝ax的值域，而y＝logax的值域是y＝ax的定義域.知識(shí)點(diǎn)04底數(shù)對(duì)對(duì)數(shù)函數(shù)圖象的影響以及圖象的特點(diǎn)(1)對(duì)圖象的影響：比較圖象與直線y＝1的交點(diǎn)，此時(shí)直線y＝1與對(duì)數(shù)函數(shù)圖象交點(diǎn)的坐標(biāo)為(a,1)．交點(diǎn)的橫坐標(biāo)越大，對(duì)應(yīng)的對(duì)數(shù)函數(shù)的底數(shù)越大，即沿著直線y＝1由左向右看，底數(shù)a增大(如圖)：(2)圖象的特點(diǎn)：函數(shù)y＝logax(a>0，且a≠1)的圖象無限靠近y軸，但永遠(yuǎn)不會(huì)與y軸相交；在同一坐標(biāo)系內(nèi)，y＝logax(a>0，且a≠1)的圖象與y＝logeq\f(1,a)x(a>0，且a≠1)的圖象關(guān)于x軸(即直線y＝0)對(duì)稱．解題大招解題大招大招01判斷一個(gè)函數(shù)是對(duì)數(shù)函數(shù)的方法大招02對(duì)數(shù)型函數(shù)的定義域（1）求對(duì)數(shù)型函數(shù)定義域的原則①分母不能為0.②根指數(shù)為偶數(shù)時(shí)，被開方數(shù)非負(fù)．③對(duì)數(shù)的真數(shù)大于0，底數(shù)大于0且不為1.④若需對(duì)函數(shù)進(jìn)行變形，則需先求出定義域，再對(duì)函數(shù)進(jìn)行恒等變形．(2)給定解析式求定義域的限制條件如下:①分母不為0;②偶次方根下非負(fù);③中x≠0;④對(duì)數(shù)的真數(shù)大于0;⑤對(duì)數(shù)、指數(shù)的底a滿足a>0且a≠1.求定義域時(shí)，首先列全限制條件組成不等式組，然后正確解出不等式組，最后結(jié)果一定寫成集合(包含區(qū)間)的形式.大招03求與對(duì)數(shù)函數(shù)相關(guān)的復(fù)合函數(shù)的值域(最值)，關(guān)鍵是根據(jù)單調(diào)性求解，若需換元，需考慮新元的取值范圍．大招04對(duì)于形如y＝logaf(x)(a>0，且a≠1)的復(fù)合函數(shù)，其值域的求解步驟如下：①分解成y＝logau，u＝f(x)兩個(gè)函數(shù)；②求f(x)的定義域；③求u的取值范圍；④利用y＝logau的單調(diào)性求解．大招05對(duì)數(shù)型函數(shù)的圖象過定點(diǎn)問題求函數(shù)y＝m＋logaf(x)(a＞0，且a≠1)的圖象過的定點(diǎn)時(shí)，只需令f(x)＝1求出x，即得定點(diǎn)為(x，m)．大招06根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象判斷底數(shù)大小的方法作直線y＝1與所給圖象相交，交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為各個(gè)底數(shù)，依據(jù)在第一象限內(nèi)，自左向右，圖象對(duì)應(yīng)的對(duì)數(shù)函數(shù)的底數(shù)逐漸變大，可比較底數(shù)的大小．大招07形如f(x)＝logag(x)(a>0，且a≠1)的函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的求法(1)先求g(x)>0的解集(也就是函數(shù)f(x)的定義域)．(2)當(dāng)?shù)讛?shù)a>1時(shí)，在g(x)>0這一前提下，g(x)的單調(diào)增區(qū)間是f(x)的單調(diào)增區(qū)間；g(x)的單調(diào)減區(qū)間是f(x)的單調(diào)減區(qū)間．(3)當(dāng)?shù)讛?shù)0<a<1時(shí)，在g(x)>0這一前提下，g(x)的單調(diào)增區(qū)間是f(x)的單調(diào)減區(qū)間，g(x)的單調(diào)減區(qū)間是f(x)的單調(diào)增區(qū)間．大招08比較對(duì)數(shù)值大小的常用方法(1)同底數(shù)的利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性．(2)同真數(shù)的利用對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象或用換底公式轉(zhuǎn)化．(3)底數(shù)和真數(shù)都不相同時(shí)，找中間量．提示：比較數(shù)的大小時(shí)可先利用性質(zhì)比較出與0或1的大小大招09常見對(duì)數(shù)不等式的2種解法(1)形如logax＞logab的不等式，借助y＝logax的單調(diào)性求解，如果a的取值不確定，需分a＞1與0＜a＜1兩種情況討論．(2)形如logax＞b的不等式，應(yīng)將b化為以a為底數(shù)的對(duì)數(shù)式的形式，再借助y＝logax的單調(diào)性求解．大招10根據(jù)對(duì)數(shù)型函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)已知對(duì)數(shù)型函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍，要結(jié)合復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性規(guī)律，注意函數(shù)的定義域求解；若是分段函數(shù)，則需注意兩段函數(shù)最值的大小關(guān)系．大招11與對(duì)數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)的奇偶性要判斷函數(shù)的奇偶性，首先應(yīng)求出定義域，看函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．對(duì)于形如f(x)＝logag(x)的函數(shù)，利用f(－x)±f(x)＝0來判斷奇偶性較簡便．大招12求反函數(shù)的步驟(1)求出函數(shù)y＝f(x)的值域；(2)僅解x，即由y＝f(x)解出x＝f－1(y)；(3)把x＝f－1(y)改寫成y＝f－1(x)，并寫出函數(shù)的定義域(即原函數(shù)的值域)．大招13(1)互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于直線y＝x對(duì)稱．(2)若互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)是同一個(gè)函數(shù)，則該函數(shù)的圖象自身關(guān)于直線y＝x對(duì)稱．題型分類題型分類題型01對(duì)數(shù)函數(shù)的判斷與求值【例1】下列函數(shù)，其中為對(duì)數(shù)函數(shù)的是（

）A．y=log12(?x) B．y=2log4【答案】C【分析】利用對(duì)數(shù)函數(shù)定義，逐項(xiàng)判斷作答.【詳解】函數(shù)y=log12函數(shù)y=ln函數(shù)y=log(a2+a)x的底數(shù)含有參數(shù)故選：C【變式1-1】下列函數(shù)是對(duì)數(shù)函數(shù)的是（

）A．y=log2x B．y=lnx+1 【變式1-2】函數(shù)y=loga?25?aA．52 C．4 D．5題型02對(duì)數(shù)函數(shù)的解析式【例2】已知對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象過點(diǎn)M9,?2，則此對(duì)數(shù)函數(shù)的解析式為（

A．y=log2xC．y=log13【答案】C【分析】設(shè)對(duì)數(shù)函數(shù)解析式求參即可.【詳解】設(shè)對(duì)數(shù)函數(shù)為y=logM9,?2代入可得?2=所以a?2則對(duì)數(shù)函數(shù)的解析式為y=log故選：C.【變式2-1】對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象過點(diǎn)16,2，則對(duì)數(shù)函數(shù)的解析式為.【變式2-2】已知對(duì)數(shù)函數(shù)fx的圖象過點(diǎn)8,3，則f1題型03對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域【例3】函數(shù)f(x)=2?xlgxA．(?∞,2] B．(?∞,0)∪(0,2]C．(0,2] D．(0,1)∪(1,2]【答案】D【分析】根據(jù)偶次根式被開方數(shù)非負(fù)，分母不為0，對(duì)數(shù)真數(shù)正數(shù)構(gòu)造不等式組求解即可.【詳解】由題意得：2?x≥0lgx≠0x>0故選：D.【變式3-1】函數(shù)y=loga?37?a中，實(shí)數(shù)aA．?∞,7 C．3,4∪4,7 【變式3-2】函數(shù)fx=3?xA．x|x≥3 B．x|x<1 C．x1≤x≤3 D．題型04求對(duì)數(shù)函數(shù)的在區(qū)間上的值域【例4】已知函數(shù)fx=lnx,1A．ln12,C．log92,ln【答案】A【分析】分別求每段函數(shù)的值域，再求并集.【詳解】y=lnx在12y=log9x在2,4因?yàn)閘n12<所以函數(shù)的值域是ln1故選：A【變式4-1】函數(shù)fx=log2x?2A．?32,1C．12,3 【變式4-2】函數(shù)y=2+log5xA．2,+∞ B．C．2,+∞ D．題型05對(duì)數(shù)型函數(shù)圖象過定點(diǎn)問題【例5】函數(shù)y=loga3x?5+2的圖象恒過定點(diǎn)P，點(diǎn)P在冪函數(shù)fA．13 B．3 C．3 【答案】C【分析】由真數(shù)等于1，求出定點(diǎn)P的坐標(biāo)，設(shè)冪函數(shù)fx=xα，將點(diǎn)P的坐標(biāo)代入冪函數(shù)fx=x【詳解】令3x?5=1，得x=2，當(dāng)x=2時(shí)，y=loga3×2?5+2由于函數(shù)fx為冪函數(shù)，設(shè)f將點(diǎn)P的坐標(biāo)代入fx=xα，得∴fx=x故選：C.【變式5-1】函數(shù)y=logax?1+2（a>0，且A．1,0 B．1,1 C．?1,0 D．2,2【變式5-2】已知a>0且a≠1，若函數(shù)gx=log題型06根據(jù)對(duì)數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)取值范圍【例6】已知關(guān)于x的函數(shù)y=log12x2+ax+a?1在A．a(chǎn)≤4 B．a(chǎn)<4C．a(chǎn)≤3 D．a(chǎn)<3【答案】D【分析】由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的性質(zhì)和對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域，知道內(nèi)函數(shù)在區(qū)間?3,?2上單調(diào)遞減且函數(shù)值一定為正，建立不等式組，求得a的取值范圍.【詳解】令t=x則y=log12t，∵0<1由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知，t在?3,?2單調(diào)遞減，∴?a2≥?2∴a<3故選：D【變式6-1】函數(shù)f(x)=log2xA．?∞,12 B．(?∞,?1)【變式6-2】已知函數(shù)f(x)=x2?ax+2a,x<?11?ln(x+2),x??1在A．(?∞,0] C．[?2,+∞) 題型07根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的最值求參數(shù)或范圍【例7】若函數(shù)fx=?x+7,x≤42+loga(x?1),x>4（其中a>0A．13<a<1 B．13≤a<1 C．【答案】D【分析】根據(jù)題意，利用分段函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則，列出不等式，即可求解.【詳解】由函數(shù)fx=?x+7,x≤42+log當(dāng)x≤4時(shí)，函數(shù)fx=?x+7為單調(diào)遞減函數(shù)，所以則當(dāng)x>4時(shí)，函數(shù)fx=2+log且滿足fx>f4=2+log綜上可得，實(shí)數(shù)a的取值范圍為(1,3].故選：D.【變式7-1】已知函數(shù)fx=logax2?ax+1A．14,2 B．12,1∪1,2【變式7-2】若函數(shù)fx=logax2?2ax?A．12 B．13 C．16題型08求反函數(shù)【例8】函數(shù)y=?x?2的反函數(shù)是（

A．y=x2+2C．y=x2+2【答案】D【分析】根據(jù)反函數(shù)定義求解即可.【詳解】解：∵y=?x?2，∴y≤0∴?y=x?2，即y2=x?2將x，y調(diào)換可得，y=x故函數(shù)y=?x?2的反函數(shù)是y=故選：D．【變式8-1】函數(shù)y=2x?1【變式8-2】已知f(x題型09大小比較【例9】設(shè)a=log36,A．b<a<c B．c<b<a C．c<a<b D．a(chǎn)<c<b【答案】C【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，判斷大致范圍即可得解.【詳解】因?yàn)閘og33<log因?yàn)閎=21.2>2所以c<a<b.故選：C【變式9-1】已知a=0.60.1，b=log0.60.3，c=log0.60.4，則A．b>c>a B．a(chǎn)>b>cC．c>b>a D．a(chǎn)>c>b【變式9-2】設(shè)a=0.50.4，b=log0.50.4，c=log40.5，則A．a(chǎn)<b<c B．b<c<a C．?c<b<a D．分層分層訓(xùn)練【基礎(chǔ)過關(guān)】1．已知，（

）A．－2024 B． C． D．－12．已知定義在上的奇函數(shù)滿足．當(dāng)時(shí)，，則（

）A．3 B． C． D．53．“”是“函數(shù)的值域?yàn)椤钡模?/p>

）．A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件4．下列各組中，函數(shù)與表示同一函數(shù)的一組是（

）A．和 B．和C．和 D．和5．給出下列函數(shù)：①；②；③；④．其中是對(duì)數(shù)函數(shù)的有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)6．已知函數(shù)，，且，則函數(shù)可能是（

）A． B．C． D．7．函數(shù)的圖象經(jīng)過變換后得到函數(shù)的圖象，則（）A． B． C． D．8．已知函數(shù)，下列說法錯(cuò)誤的是（

）A．的定義域?yàn)?B．的圖象關(guān)于軸對(duì)稱C．的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱 D．在上單調(diào)遞增9．已知對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)與點(diǎn)，，則（

）A． B． C． D．10．關(guān)于x的不等式對(duì)一切恒成立，則k的取值范圍是（

）A． B．C． D．11．（多選）在同一直角坐標(biāo)系中，函數(shù)，可能的圖象是（

）A． B．C． D．12．（多選）已知a，b，，則下列命題正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則13．（多選）已知函數(shù)，則下列關(guān)于這三個(gè)函數(shù)的描述中，正確的是（

）A．隨著的逐漸增大，增長速度越來越快于B．隨著的逐漸增大，增長速度越來越快于C．當(dāng)時(shí)，增長速度一直快于D．當(dāng)時(shí)，增長速度有時(shí)快于14．已知函數(shù)，記集合為的定義域．(1)求集合；(2)判斷函數(shù)的奇偶性；(3)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的值域．15．函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求該函數(shù)的值域；(2)若對(duì)于恒成立，求的取值范圍．

【能力提升】1．已知是奇函數(shù)，則（

）A． B．0 C． D．42．已知，，，則下列判斷正確的是（

）A． B． C． D．3．已知函數(shù)為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，則（

）A．2 B． C．1 D．4．已知定義在R上的奇函數(shù)滿足：，且當(dāng)時(shí)，（a為常數(shù)），則的值為（

）A．?2 B． C．0 D．15．已知，若不等式的解集為，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．6．已知函數(shù)（，且）的圖象恒過定點(diǎn)，若點(diǎn)在直線上，則的最小值為（

）A．13 B． C． D．87．已知函數(shù)，若，，則（

）A．25 B．20 C．10 D．58．函數(shù)的數(shù)據(jù)如下表，則該函數(shù)的解析式可能形如（

）-2-1012352.31.10.71.12.35.949.1A．B．C．D．9．已知函數(shù)為定義在R上的奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞減，滿足，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（

）A． B． C． D．10．函數(shù)的圖象大致為（

）A． B．C． D．11．（多選）已知函數(shù)，則下列說法正確的是（

）A．的圖象無對(duì)稱中心B．C．的圖象與的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱D．的圖象與的圖象關(guān)于直線對(duì)稱12．（多