必修五簡單的線性規(guī)劃

必修五簡單的線性規(guī)劃演講人：日期：目錄contents線性規(guī)劃基本概念線性規(guī)劃圖解法單純形法求解線性規(guī)劃對偶理論與靈敏度分析運(yùn)輸問題和指派問題求解整數(shù)規(guī)劃問題簡介線性規(guī)劃基本概念01定義線性規(guī)劃是一種數(shù)學(xué)方法，用于在給定線性約束條件下，求解線性目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解。特點(diǎn)線性規(guī)劃的目標(biāo)函數(shù)和約束條件都是線性的，這使得問題可以通過數(shù)學(xué)方法得到精確解。此外，線性規(guī)劃具有廣泛的應(yīng)用性，可以應(yīng)用于各個(gè)領(lǐng)域。線性規(guī)劃定義與特點(diǎn)資源分配問題生產(chǎn)計(jì)劃問題運(yùn)輸問題其他問題線性規(guī)劃問題分類01020304涉及如何將有限資源分配給不同部門或項(xiàng)目，以最大化或最小化特定目標(biāo)。涉及如何安排生產(chǎn)計(jì)劃，以滿足市場需求并最小化成本。涉及如何將物品從供應(yīng)地運(yùn)輸?shù)叫枨蟮兀宰钚』\(yùn)輸成本。包括投資組合優(yōu)化、網(wǎng)絡(luò)流優(yōu)化等。表示要優(yōu)化（最大化或最小化）的線性表達(dá)式，通常表示為c^Tx，其中c是目標(biāo)函數(shù)系數(shù)向量，x是決策變量向量。目標(biāo)函數(shù)表示決策變量必須滿足的線性等式或不等式，通常表示為Ax<=b或Ax=b，其中A是約束條件系數(shù)矩陣，b是約束條件向量。約束條件滿足所有約束條件的決策變量集合?？尚杏蛟诳尚杏騼?nèi)使目標(biāo)函數(shù)達(dá)到最優(yōu)值的決策變量取值。最優(yōu)解線性規(guī)劃數(shù)學(xué)模型線性規(guī)劃圖解法02滿足所有約束條件的解構(gòu)成的集合，在平面上表現(xiàn)為一個(gè)多邊形區(qū)域?？尚杏蜃顑?yōu)解邊界與頂點(diǎn)在可行域中，使得目標(biāo)函數(shù)達(dá)到最大或最小值的解?？尚杏虻倪吔缬杉s束條件決定，頂點(diǎn)為多條約束條件交匯的點(diǎn)，通常是最優(yōu)解的候選點(diǎn)。030201可行域與最優(yōu)解概念繪制約束條件確定可行域?qū)ふ易顑?yōu)解示例分析圖解法步驟及示例將線性規(guī)劃問題的約束條件轉(zhuǎn)化為直線方程，并在坐標(biāo)系中繪制出來。通過平移目標(biāo)函數(shù)直線，觀察其與可行域的交點(diǎn)，確定最優(yōu)解的位置。根據(jù)約束條件的符號（≤、≥、=），確定可行域的范圍。結(jié)合具體例題，展示圖解法的應(yīng)用過程。圖解法適用于二維平面上的線性規(guī)劃問題，對于高維問題無法直接應(yīng)用。適用場景有限圖解法需要手工繪制圖形并觀察交點(diǎn)，過程較為繁瑣，容易出錯(cuò)。手工操作繁瑣由于手工操作和觀察的限制，圖解法的精度可能受到一定影響。精度受限對于大規(guī)模線性規(guī)劃問題，圖解法效率低下，難以實(shí)際應(yīng)用。無法處理大規(guī)模問題圖解法局限性分析單純形法求解線性規(guī)劃03單純形法是一種迭代算法，用于求解線性規(guī)劃問題。它的基本思想是從一個(gè)可行解出發(fā)，通過不斷迭代，逐步改善目標(biāo)函數(shù)值，直到找到最優(yōu)解。單純形法利用線性規(guī)劃問題的特殊結(jié)構(gòu)，通過一系列線性變換，將原問題轉(zhuǎn)化為一系列等價(jià)的子問題，從而逐步逼近最優(yōu)解。單純形法原理簡介大M法通過在原線性規(guī)劃問題中加入人工變量和一個(gè)大數(shù)M，構(gòu)造一個(gè)新的線性規(guī)劃問題，其最優(yōu)解即為原問題的初始基可行解。初始基可行解是單純形法迭代過程的起點(diǎn)，可以通過兩階段法或大M法等方法獲取。兩階段法將原問題分為兩個(gè)階段進(jìn)行求解，第一階段求解一個(gè)輔助線性規(guī)劃問題，得到一個(gè)基可行解，第二階段在保持基可行性的前提下，逐步改善目標(biāo)函數(shù)值。初始基可行解獲取方法單純形法的迭代過程是通過不斷進(jìn)行基變換，將非基變量逐一出基，將進(jìn)基變量換入基中，從而得到新的基可行解。在每次迭代中，需要選取一個(gè)合適的非基變量進(jìn)行出基操作，以及選取一個(gè)合適的進(jìn)基變量進(jìn)行換入基操作，以保證目標(biāo)函數(shù)值得到改善。最優(yōu)解判定是通過檢驗(yàn)所有非基變量的檢驗(yàn)數(shù)是否均小于等于0來進(jìn)行的。若所有非基變量的檢驗(yàn)數(shù)均小于等于0，則當(dāng)前基可行解即為最優(yōu)解；否則，需要繼續(xù)進(jìn)行迭代。迭代過程及最優(yōu)解判定對偶理論與靈敏度分析04在數(shù)學(xué)規(guī)劃中，每一個(gè)線性規(guī)劃問題都存在一個(gè)與之相聯(lián)系的對偶問題，對偶問題是從不同角度、用不同提法來描述實(shí)質(zhì)相同的問題。對偶問題定義對偶問題具有對稱性，即原問題的對偶問題的對偶問題是原問題；弱對偶性，即原問題的任一可行解所對應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)值，總是大于等于對偶問題的任一可行解所對應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)值；強(qiáng)對偶性，即在一定條件下，原問題的最優(yōu)解只由各個(gè)約束條件的邊界匯合而成，對偶問題的最優(yōu)解也只由各個(gè)約束條件的邊界匯合而成，此時(shí)原問題與對偶問題的最優(yōu)解相等。對偶問題性質(zhì)對偶問題定義及性質(zhì)對偶單純形法求解過程確定初始基可行解首先找到一個(gè)初始基可行解，這可以通過兩階段法或者大M法來實(shí)現(xiàn)。進(jìn)行最優(yōu)性檢驗(yàn)計(jì)算非基變量的檢驗(yàn)數(shù)，如果所有檢驗(yàn)數(shù)都小于等于0，則當(dāng)前基可行解就是最優(yōu)解，否則需要進(jìn)行基變換。選擇出基變量與進(jìn)基變量根據(jù)一定的規(guī)則（如最小檢驗(yàn)數(shù)規(guī)則）選擇出基變量和進(jìn)基變量，進(jìn)行基變換，得到新的基可行解。重復(fù)進(jìn)行最優(yōu)性檢驗(yàn)和基變換直到找到最優(yōu)解為止。靈敏度分析定義01靈敏度分析是研究線性規(guī)劃問題中參數(shù)變化時(shí)最優(yōu)解的變化情況，即分析當(dāng)某些數(shù)據(jù)在一個(gè)小范圍內(nèi)變動(dòng)時(shí)，最優(yōu)解將如何變化，它為決策者在實(shí)際問題中提供了一定的預(yù)測和決策依據(jù)。靈敏度分析步驟02首先求解原問題得到最優(yōu)解，然后分析目標(biāo)函數(shù)系數(shù)或約束條件右端項(xiàng)的變化對最優(yōu)解的影響，最后根據(jù)分析結(jié)果給出相應(yīng)的預(yù)測或決策建議。應(yīng)用舉例03例如在生產(chǎn)計(jì)劃中，當(dāng)原材料價(jià)格、市場需求等因素發(fā)生變化時(shí)，可以通過靈敏度分析來預(yù)測和調(diào)整生產(chǎn)計(jì)劃，以達(dá)到降低成本、提高效益的目的。靈敏度分析及應(yīng)用舉例運(yùn)輸問題和指派問題求解05運(yùn)輸問題是一種特殊的線性規(guī)劃問題，其數(shù)學(xué)模型通常包括供應(yīng)地、需求地、運(yùn)輸成本等要素，目標(biāo)是最小化總運(yùn)輸成本或最大化總運(yùn)輸效益。運(yùn)輸問題數(shù)學(xué)模型運(yùn)輸問題可以采用多種方法進(jìn)行求解，如單純形法、表上作業(yè)法、內(nèi)點(diǎn)法等。其中，表上作業(yè)法是一種簡便易行的方法，適用于規(guī)模較小的運(yùn)輸問題。求解方法運(yùn)輸問題數(shù)學(xué)模型及求解方法指派問題數(shù)學(xué)模型指派問題是一種特殊的0-1整數(shù)規(guī)劃問題，其數(shù)學(xué)模型通常包括n個(gè)任務(wù)和n個(gè)人，每個(gè)人完成不同任務(wù)的成本不同，目標(biāo)是最小化總成本或最大化總效益。求解方法指派問題可以采用匈牙利算法、分支定界法等方法進(jìn)行求解。其中，匈牙利算法是一種高效的求解方法，適用于大多數(shù)指派問題。指派問題數(shù)學(xué)模型及求解方法運(yùn)輸問題和指派問題關(guān)系探討運(yùn)輸問題和指派問題都是線性規(guī)劃問題的特例，它們在數(shù)學(xué)模型上具有一定的相似性。例如，都可以表示為最小化或最大化某個(gè)目標(biāo)函數(shù)的形式，都需要滿足一定的約束條件。運(yùn)輸問題和指派問題的聯(lián)系運(yùn)輸問題和指派問題在問題規(guī)模、約束條件、求解方法等方面存在一定的差異。例如，運(yùn)輸問題通常涉及多個(gè)供應(yīng)地和需求地，而指派問題則只涉及一組任務(wù)和一組人；運(yùn)輸問題的約束條件通常比較復(fù)雜，而指派問題的約束條件則相對簡單；此外，兩者的求解方法也有所不同。運(yùn)輸問題和指派問題的區(qū)別整數(shù)規(guī)劃問題簡介06整數(shù)規(guī)劃定義與分類整數(shù)規(guī)劃定義整數(shù)規(guī)劃是指一類數(shù)學(xué)規(guī)劃問題，其中全部或部分決策變量被限制為整數(shù)值。這類問題在實(shí)際應(yīng)用中廣泛存在，如生產(chǎn)調(diào)度、物流配送、資源分配等。整數(shù)規(guī)劃分類根據(jù)約束條件和目標(biāo)函數(shù)的性質(zhì)，整數(shù)規(guī)劃可分為線性整數(shù)規(guī)劃、二次整數(shù)規(guī)劃和非線性整數(shù)規(guī)劃。線性整數(shù)規(guī)劃是最常見的一類，其約束條件和目標(biāo)函數(shù)均為線性函數(shù)。分支定界法是一種求解整數(shù)規(guī)劃的常用方法。它通過不斷將原問題分解為子問題（分支）并估計(jì)子問題的解的范圍（定界），從而逐步縮小搜索范圍，最終找到最優(yōu)解。分支定界法原理分支定界法的基本步驟包括選擇分支變量、創(chuàng)建子問題、求解子問題、更新上下界和剪枝等。在實(shí)際應(yīng)用中，還需要根據(jù)問題的具體特點(diǎn)選擇合適的分支策略和定界方法。分支定界法步驟分支定界法求解整數(shù)規(guī)劃VS割平面法是一種求解整數(shù)線性規(guī)劃的常用方法。它通過引入額外的線性