2025年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題六 解析幾何 第1講　直線與圓解析版

第1講直線與圓（新高考專用）目錄目錄【真題自測(cè)】 2【考點(diǎn)突破】 9【考點(diǎn)一】直線的方程 9【考點(diǎn)二】圓的方程 13【考點(diǎn)三】直線、圓的位置關(guān)系 18【專題精練】 23考情分析：1.求直線的方程，考查點(diǎn)到直線的距離公式，直線間的位置關(guān)系，多以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)，中低難度.2.和圓錐曲線相結(jié)合，求圓的方程或弦長(zhǎng)、面積等，中高難度．真題自測(cè)真題自測(cè)一、單選題1．（2024·全國·高考真題）已知b是的等差中項(xiàng)，直線與圓交于兩點(diǎn)，則AB的最小值為（

）A．1 B．2 C．4 D．2．（2023·全國·高考真題）已知雙曲線的離心率為，C的一條漸近線與圓交于A，B兩點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．3．（2023·全國·高考真題）過點(diǎn)與圓相切的兩條直線的夾角為，則（

）A．1 B． C． D．4．（2022·全國·高考真題）橢圓的左頂點(diǎn)為A，點(diǎn)P，Q均在C上，且關(guān)于y軸對(duì)稱．若直線的斜率之積為，則C的離心率為（

）A． B． C． D．二、填空題5．（2023·全國·高考真題）已知直線與交于A，B兩點(diǎn)，寫出滿足“面積為”的m的一個(gè)值．6．（2022·全國·高考真題）設(shè)點(diǎn)，若直線關(guān)于對(duì)稱的直線與圓有公共點(diǎn)，則a的取值范圍是．7．（2022·全國·高考真題）若雙曲線的漸近線與圓相切，則．8．（2022·全國·高考真題）過四點(diǎn)中的三點(diǎn)的一個(gè)圓的方程為．參考答案：題號(hào)1234答案CDBA1．C【分析】結(jié)合等差數(shù)列性質(zhì)將代換，求出直線恒過的定點(diǎn)，采用數(shù)形結(jié)合法即可求解.【詳解】因?yàn)槌傻炔顢?shù)列，所以，，代入直線方程得，即，令得，故直線恒過，設(shè)，圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程得：，設(shè)圓心為，畫出直線與圓的圖形，由圖可知，當(dāng)時(shí)，AB最小，，此時(shí).

故選：C2．D【分析】根據(jù)離心率得出雙曲線漸近線方程，再由圓心到直線的距離及圓半徑可求弦長(zhǎng).【詳解】由，則，解得，所以雙曲線的漸近線為，當(dāng)漸近線為時(shí)，圓心到該漸近線的距離，不合題意；當(dāng)漸近線為時(shí)，則圓心到漸近線的距離，所以弦長(zhǎng).故選：D3．B【分析】方法一：根據(jù)切線的性質(zhì)求切線長(zhǎng)，結(jié)合倍角公式運(yùn)算求解；方法二：根據(jù)切線的性質(zhì)求切線長(zhǎng)，結(jié)合余弦定理運(yùn)算求解；方法三：根據(jù)切線結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式可得，利用韋達(dá)定理結(jié)合夾角公式運(yùn)算求解.【詳解】方法一：因?yàn)?，即，可得圓心，半徑，過點(diǎn)作圓C的切線，切點(diǎn)為，因?yàn)?，則，可得，則，，即為鈍角，所以；法二：圓的圓心，半徑，過點(diǎn)作圓C的切線，切點(diǎn)為，連接，可得，則，因?yàn)榍?，則，即，解得，即為鈍角，則，且為銳角，所以；方法三：圓的圓心，半徑，若切線斜率不存在，則切線方程為x=0，則圓心到切點(diǎn)的距離，不合題意；若切線斜率存在，設(shè)切線方程為，即，則，整理得，且設(shè)兩切線斜率分別為，則，可得，所以，即，可得，則，且，則，解得.故選：B.

4．A【分析】設(shè)，則，根據(jù)斜率公式結(jié)合題意可得，再根據(jù)，將用表示，整理，再結(jié)合離心率公式即可得解.【詳解】[方法一]：設(shè)而不求設(shè)，則則由得：，由，得，所以，即，所以橢圓的離心率，故選A.[方法二]：第三定義設(shè)右端點(diǎn)為B，連接PB，由橢圓的對(duì)稱性知：故，由橢圓第三定義得：，故所以橢圓的離心率，故選A.5．（中任意一個(gè)皆可以）【分析】根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系，求出弦長(zhǎng)，以及點(diǎn)到直線的距離，結(jié)合面積公式即可解出．【詳解】設(shè)點(diǎn)到直線的距離為，由弦長(zhǎng)公式得，所以，解得：或，由，所以或，解得：或．故答案為：（中任意一個(gè)皆可以）．6．【分析】首先求出點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)，即可得到直線的方程，根據(jù)圓心到直線的距離小于等于半徑得到不等式，解得即可；【詳解】解：關(guān)于對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為，在直線上，所以所在直線即為直線，所以直線為，即；圓，圓心，半徑，依題意圓心到直線的距離，即，解得，即；故答案為：7．【分析】首先求出雙曲線的漸近線方程，再將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)式，即可得到圓心坐標(biāo)與半徑，依題意圓心到直線的距離等于圓的半徑，即可得到方程，解得即可．【詳解】解：雙曲線的漸近線為，即，不妨取，圓，即，所以圓心為，半徑，依題意圓心到漸近線的距離，解得或（舍去）．故答案為：．8．或或或．【分析】方法一：設(shè)圓的方程為，根據(jù)所選點(diǎn)的坐標(biāo)，得到方程組，解得即可；【詳解】[方法一]：圓的一般方程依題意設(shè)圓的方程為，（1）若過，，，則，解得，所以圓的方程為，即；（2）若過，，，則，解得，所以圓的方程為，即；（3）若過，，，則，解得，所以圓的方程為，即；（4）若過，，，則，解得，所以圓的方程為，即；故答案為：或或或．[方法二]：【最優(yōu)解】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（三點(diǎn)中的兩條中垂線的交點(diǎn)為圓心）設(shè)（1）若圓過三點(diǎn)，圓心在直線，設(shè)圓心坐標(biāo)為，則，所以圓的方程為；（2）若圓過三點(diǎn)，設(shè)圓心坐標(biāo)為，則，所以圓的方程為；（3）若圓過三點(diǎn)，則線段的中垂線方程為，線段的中垂線方程為，聯(lián)立得，所以圓的方程為；（4）若圓過三點(diǎn)，則線段的中垂線方程為，線段中垂線方程為，聯(lián)立得，所以圓的方程為．故答案為：或或或．【整體點(diǎn)評(píng)】方法一；利用圓過三個(gè)點(diǎn)，設(shè)圓的一般方程，解三元一次方程組，思想簡(jiǎn)單，運(yùn)算稍繁；方法二；利用圓的幾何性質(zhì)，先求出圓心再求半徑，運(yùn)算稍簡(jiǎn)潔，是該題的最優(yōu)解．考點(diǎn)突破考點(diǎn)突破【考點(diǎn)一】直線的方程核心梳理：1．已知直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0，直線l2：A2x＋B2y＋C2＝0，則l1∥l2?A1B2－A2B1＝0，且A1C2－A2C1≠0(或B1C2－B2C1≠0)，l1⊥l2?A1A2＋B1B2＝0.2．點(diǎn)P(x0，y0)到直線l：Ax＋By＋C＝0(A，B不同時(shí)為零)的距離d＝eq\f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2)).3．兩條平行直線l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0(A，B不同時(shí)為零)間的距離d＝eq\f(|C1－C2|,\r(A2＋B2)).一、單選題1．（23-24高三下·安徽蕪湖·階段練習(xí)）已知直線，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分又不必要條件2．（20-21高二·全國·單元測(cè)試）如圖，函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線是，則（

）A． B． C．2 D．1二、多選題3．（2024·浙江溫州·二模）已知圓與圓相交于兩點(diǎn)．若，則實(shí)數(shù)的值可以是（

）A．10 B．2 C． D．4．（2024·全國·模擬預(yù)測(cè)）已知點(diǎn)在定圓內(nèi)，經(jīng)過點(diǎn)的動(dòng)直線與交于兩點(diǎn)，若的最小值為4，則（

）A．B．若，則直線的傾斜角為C．存在直線使得D．的最大值為12三、填空題5．（2024·浙江杭州·二模）寫出與圓相切且方向向量為的一條直線的方程．6．（2024·遼寧沈陽·二模）已知，若平面內(nèi)滿足到直線的距離為1的點(diǎn)有且只有3個(gè)，則實(shí)數(shù)．參考答案：題號(hào)1234答案CDBDBC1．C【分析】當(dāng)時(shí)可得，即；當(dāng)時(shí)可得，結(jié)合充分、必要條件的定義即可求解.【詳解】當(dāng)時(shí)，，即，則，即；當(dāng)時(shí)，，解得.所以“”是“”的充要條件.故選：C2．D【分析】根據(jù)已知求出切線方程，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義得，由切線方程得，從而可得結(jié)論．【詳解】由題可得函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，則切線，即.所以，，，.故選：D．3．BD【分析】根據(jù)題意，由條件可得弦所在的直線方程，然后將轉(zhuǎn)化為圓心到直線的距離關(guān)系，列出方程，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【詳解】由題意可得弦所在的直線方程為，因?yàn)閳A，圓心，圓，圓心，設(shè)圓心與圓心到直線的距離分別為，因?yàn)?，即，所以，又，即，化?jiǎn)可得，即，解得或.故選：BD4．BC【分析】A選項(xiàng)，根據(jù)點(diǎn)在圓的內(nèi)部得到不等式，求出，利用垂徑定理得到，而，從而得到方程，求出；B選項(xiàng)，在A選項(xiàng)基礎(chǔ)上得到，結(jié)合求出直線的斜率和傾斜角；C選項(xiàng)，假設(shè)存在，結(jié)合滿足要求，故C正確；D選項(xiàng)，由三角形面積公式和相交弦定理得到D錯(cuò)誤.【詳解】A．因?yàn)辄c(diǎn)在圓的內(nèi)部，所以，解得．設(shè)點(diǎn)到直線的距離為，則，其中為定值，所以當(dāng)時(shí)，最大，AB最?。謭A心，所以，所以，解得，A錯(cuò)誤．B．由選項(xiàng)可知，當(dāng)AB=4時(shí)，直線，而，所以，所以直線的傾斜角為，B正確．C．假設(shè)存在直線使得，則此時(shí)點(diǎn)到直線的距離為，滿足要求，所以假設(shè)成立，C正確．D．由三角形面積公式得，

因?yàn)橄乙欢ń?jīng)過點(diǎn)，設(shè)直線與圓相交于點(diǎn)，因?yàn)?，所以∽，故，故，因?yàn)?，所以，所以，?dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，故D錯(cuò)誤．故選：BC．5．或（寫出一個(gè)即可）【分析】由條件可設(shè)直線方程為，結(jié)合條件列方程求即可得結(jié)論.【詳解】因?yàn)榍芯€的方向向量為，所以切線的斜率為，故可設(shè)切線方程為，因?yàn)橹本€與圓相切，又圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為，圓心到直線的距離為，所以，所以或，所以與圓相切且方向向量為的直線為或，故答案為：或（寫出一個(gè)即可）.6．或【分析】設(shè)出動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)，由求得其軌跡方程，由題意知，只需使圓心到直線的距離等于1即可.【詳解】設(shè)點(diǎn)，由可得：，兩邊平方整理得：，即點(diǎn)的軌跡是圓,圓心在原點(diǎn)，半徑為2.若該圓上有且只有3個(gè)點(diǎn)到直線的距離為1，則圓心到直線的距離，解得．故答案為：或.規(guī)律方法：解決直線方程問題的三個(gè)注意點(diǎn)(1)利用A1B2－A2B1＝0后，要注意代入檢驗(yàn)，排除兩條直線重合的可能性．(2)要注意直線方程每種形式的局限性．(3)討論兩直線的位置關(guān)系時(shí)，要注意直線的斜率是否存在．【考點(diǎn)二】圓的方程核心梳理：1．圓的標(biāo)準(zhǔn)方程當(dāng)圓心為(a，b)，半徑為r時(shí)，其標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2.2．圓的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，其中D2＋E2－4F>0，表示以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))為圓心，eq\f(\r(D2＋E2－4F),2)為半徑的圓．一、單選題1．（2024·廣西來賓·模擬預(yù)測(cè)）一動(dòng)圓與圓外切，同時(shí)與圓內(nèi)切，則動(dòng)圓圓心的軌跡方程為（

）A． B．C． D．2．（2024·廣東·一模）過，，三點(diǎn)的圓與軸交于，兩點(diǎn)，則（

）A．3 B．4 C．8 D．6二、多選題3．（22-23高二上·廣東深圳·期末）已知是圓心為，半徑為2的圓上一動(dòng)點(diǎn)，是圓所在平面上一定點(diǎn)，設(shè)（）．若線段的垂直平分線與直線交于點(diǎn)，記動(dòng)點(diǎn)的軌跡為，則（

）A．當(dāng)時(shí)，為橢圓 B．當(dāng)時(shí)，為雙曲線C．當(dāng)時(shí)，為雙曲線一支 D．當(dāng)且越大時(shí)，的離心率越大4．（2024·湖南邵陽·二模）已知復(fù)數(shù)滿足：(其中為虛數(shù)單位)，則下列說法正確的有(

)A． B．C．的最小值為 D．的最大值為三、填空題5．（2024·廣東佛山·二模）在平面直角坐標(biāo)系中，已知，，，則的外接圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．6．（23-24高三上·浙江溫州·期末）已知圓與直線交于A，B兩點(diǎn)，則經(jīng)過點(diǎn)A，B，的圓的方程為．參考答案：題號(hào)1234答案CDABDBC1．C【分析】計(jì)算兩個(gè)已知圓的圓心和半徑，根據(jù)圓的位置關(guān)系得到動(dòng)圓圓心到兩已知圓圓心距離和為定值，結(jié)合橢圓的定義即可得到結(jié)果.【詳解】圓可化為，圓心，半徑為.圓可化為，圓心，半徑為.設(shè)動(dòng)圓圓心為點(diǎn)，半徑為，圓與圓外切于點(diǎn)，圓與圓內(nèi)切于點(diǎn)，如圖所示：由題意得，三點(diǎn)共線，三點(diǎn)共線，，，∴，∴點(diǎn)的軌跡為以為焦點(diǎn)的橢圓，且，，∴，∴點(diǎn)的軌跡方程為.故選：C.2．D【分析】設(shè)圓的方程為，代入坐標(biāo)得的值，即可得圓的方程，再令，即可求得與軸相交弦長(zhǎng).【詳解】設(shè)圓的方程為，代入點(diǎn)，，，則，解得，可得，整理得符合題意，所以圓的方程為，令，可得，解得，所以．故選：D.3．ABD【分析】根據(jù)題意，由線段垂直平分線的性質(zhì)可得，結(jié)合選項(xiàng)，判斷點(diǎn)B與圓的位置關(guān)系，結(jié)合橢圓、雙曲線的定義以及其幾何性質(zhì)，依次判斷選項(xiàng)即可.【詳解】A：由題意知，點(diǎn)A、B為定點(diǎn)，，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)B在圓內(nèi)，由線段垂直平分線的性質(zhì)知，，所以，由橢圓的定義知，點(diǎn)M的軌跡為橢圓，故A正確；B：當(dāng)時(shí)，點(diǎn)B在圓外，不妨設(shè)點(diǎn)B在點(diǎn)A的右邊，由線段垂直平分線的性質(zhì)知，，所以；同理，若點(diǎn)B在點(diǎn)A的左邊，有，所以，由雙曲線的定義知，點(diǎn)M的軌跡為雙曲線，故B正確；C：由選項(xiàng)B的分析，可知C錯(cuò)誤；D：由選項(xiàng)A知，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)M的軌跡是以A、B為焦點(diǎn)的橢圓，且，焦距為t，若t增大，則半焦距c增大，所以離心率隨之增大；由選項(xiàng)B知，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)M的軌跡是以A、B為焦點(diǎn)的雙曲線，且，焦距為t，若t增大，則半焦距c增大，所以離心率隨之增大；所以當(dāng)且越大時(shí)，E的離心率越大，故D正確.故選：ABD.4．BC【分析】設(shè)，，根據(jù)已知條件求出兩個(gè)復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的軌跡，從而依次計(jì)算可得正確答案．【詳解】設(shè)，則，即，它表示以原點(diǎn)為圓心，半徑為1的圓；設(shè)，則由，得，即，它表示一條直線；對(duì)于選項(xiàng)A：，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B：，故選項(xiàng)B正確；對(duì)于選項(xiàng)C和D：表示圓上點(diǎn)與直線上點(diǎn)的連線段的長(zhǎng)度，該距離最小為圓心到直線距離減去圓的半徑，即為；該距離無最大值（直線上的點(diǎn)可離圓上的點(diǎn)無窮遠(yuǎn)）；故選：BC．5．；【分析】利用待定系數(shù)法，結(jié)合配方法即可得解.【詳解】依題意，設(shè)的外接圓的一般方程為，則，解得，所以所求圓的一般方程為，則其標(biāo)準(zhǔn)方程為.故答案為：.6．【分析】設(shè)Ax1,y1,Bx2,y2，直線方程與圓的方程聯(lián)立求出【詳解】設(shè)Ax由解得，可得，設(shè)經(jīng)過點(diǎn)A，B，的圓的方程為，所以，解得，即，可得.故答案為：.規(guī)律方法：解決圓的方程問題一般有兩種方法(1)幾何法：通過研究圓的性質(zhì)、直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系，進(jìn)而求得圓的基本量和方程．(2)代數(shù)法：即用待定系數(shù)法先設(shè)出圓的方程，再由條件求得各系數(shù)．【考點(diǎn)三】直線、圓的位置關(guān)系核心梳理：1．直線與圓的位置關(guān)系：相交、相切和相離．其判斷方法為：(1)點(diǎn)線距離法．(2)判別式法：設(shè)圓C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，直線l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，聯(lián)立方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Ax＋By＋C＝0，,x－a2＋y－b2＝r2，))消去y，得到關(guān)于x的一元二次方程，其根的判別式為Δ，則直線與圓相離?Δ<0，直線與圓相切?Δ＝0，直線與圓相交?Δ>0.2．圓與圓的位置關(guān)系，即內(nèi)含、內(nèi)切、相交、外切、外離．一、單選題1．（2024·山東濟(jì)南·一模）與拋物線和圓都相切的直線的條數(shù)為（

）A．0 B．1 C．2 D．32．（2023·湖南永州·一模）在平面直角坐標(biāo)系中，過直線上一點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，則的最大值為（

）A． B． C． D．二、多選題3．（2024·安徽合肥·二模）已知圓，圓，則（

）A．兩圓的圓心距的最小值為1B．若圓與圓相切，則C．若圓與圓恰有兩條公切線，則D．若圓與圓相交，則公共弦長(zhǎng)的最大值為24．（2024·安徽·二模）已知雙曲線：（，）左右焦點(diǎn)分別為，，.經(jīng)過的直線與的左右兩支分別交于，，且為等邊三角形，則（

）A．雙曲線的方程為B．的面積為C．以為直徑的圓與以實(shí)軸為直徑的圓相交D．以為直徑的圓與以實(shí)軸為直徑的圓相切三、填空題5．（2024·福建漳州·一模）過點(diǎn)作圓：的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，，若直線與圓：相切，則．6．（2023·河南·模擬預(yù)測(cè)）圓與x軸交于A，B兩點(diǎn)(A在B的左側(cè))，點(diǎn)N滿足，直線與圓M和點(diǎn)N的軌跡同時(shí)相切，則直線l的斜率為．參考答案：題號(hào)1234答案DAADBD1．D【分析】設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出拋物線的切線方程，再由圓的切線性質(zhì)列式計(jì)算即得.【詳解】設(shè)直線與拋物線相切的切點(diǎn)坐標(biāo)為，由，求導(dǎo)得，因此拋物線在點(diǎn)處的切線方程為，即，依題意，此切線與圓相切，于是，解得或，所以所求切線條數(shù)為3.故選：D2．A【分析】由題意圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，如圖，又，所以，又由圓心到直線的距離可求出的最小值，進(jìn)而求解.【詳解】如下圖所示：

由題意圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，，又因?yàn)?，所以，所以，又圓心到直線的距離為，所以，所以不妨設(shè)，則，又因?yàn)樵趩握{(diào)遞增，所以當(dāng)且僅當(dāng)即，即當(dāng)且僅當(dāng)直線垂直已知直線時(shí)，有最大值.故選：A.3．AD【分析】根據(jù)兩點(diǎn)的距離公式，算出兩圓的圓心距，從而判斷出A項(xiàng)的正誤；根據(jù)兩圓相切、相交的性質(zhì)，列式算出的取值范圍，判斷出B,C兩項(xiàng)的正誤；當(dāng)圓的圓心在兩圓的公共弦上時(shí)，公共弦長(zhǎng)有最大值，從而判斷出D項(xiàng)的正誤．【詳解】根據(jù)題意，可得圓的圓心為，半徑，圓的圓心為，半徑．對(duì)于A，因?yàn)閮蓤A的圓心距，所以A項(xiàng)正確；對(duì)于B，兩圓內(nèi)切時(shí)，圓心距，即，解得．兩圓外切時(shí)，圓心距，即，解得．綜上所述，若兩圓相切，則或，故B項(xiàng)不正確；對(duì)于C，若圓與圓恰有兩條公切線，則兩圓相交，，即，可得，解得且，故C項(xiàng)不正確；對(duì)于D，若圓與圓相交，則當(dāng)圓的圓心在公共弦上時(shí)，公共弦長(zhǎng)等于，達(dá)到最大值，因此，兩圓相交時(shí)，公共弦長(zhǎng)的最大值為2，故D項(xiàng)正確．故選：AD．4．BD【分析】根據(jù)雙曲線定義結(jié)合為等邊三角形得，，由余弦定理得，進(jìn)而求出方程為判斷選項(xiàng)A；求出判斷選項(xiàng)B；利用兩圓相切的幾何意義可判斷選項(xiàng)C、D.【詳解】由已知得，由雙曲線定義知：，因?yàn)?，所以，故，，在中，由余弦定理得：，解得：，所以，方程為，A錯(cuò)誤.的面積為，B正確.取的中點(diǎn)，，兩圓內(nèi)切，故C錯(cuò)誤.取的中點(diǎn)，則，兩圓外切，故D正確.故選：BD5．81【分析】由題意可知點(diǎn)在以為直徑的圓上，結(jié)合兩圓相交可得直線的方程為，再根據(jù)直線與圓相切列式求解.【詳解】圓：的圓心為O0,0，半徑；圓：的圓心為，半徑；由題意可知：，可知點(diǎn)在以為直徑的圓上，以為直徑的圓為，整理得，結(jié)合圓：，兩圓方程作差，可得直線的方程為，即，若直線與圓：相切，則，整理得.故答案為：81.6．【分析】求出A、B坐標(biāo)，設(shè)N(x,y)，求出N的軌跡圓E的方程，作出圖象，利用圓的公切線的幾何性質(zhì)即可求其斜率．【詳解】對(duì)于圓，令，得，解得或，則，．設(shè)，∵，∴，則，整理得，則點(diǎn)N的軌跡是圓心為，半徑為的圓．又圓M的方程為，則圓M的圓心為，半徑為．∵，∴兩圓相交，設(shè)直線l與圓M和點(diǎn)N軌跡圓E切點(diǎn)分別為C，D，連接CM，DE，過M作DE的垂線，垂足為點(diǎn)F，則四邊形CDFM為矩形，∵，，∴，則，則兩圓公切線CD的斜率即為直線FM的斜率為．故答案為：.規(guī)律方法：直線與圓相切問題的解題策略當(dāng)直線與圓相切時(shí)，利用“切線與過切點(diǎn)的半徑垂直，圓心到切線的距離等于半徑”建立關(guān)于切線斜率的等式，所以求切線方程時(shí)主要選擇點(diǎn)斜式．過圓外一點(diǎn)求解切線段長(zhǎng)的問題，可先求出圓心到圓外一點(diǎn)的距離，再結(jié)合半徑利用勾股定理計(jì)算．專題精練專題精練一、單選題1．（2024·河南洛陽·模擬預(yù)測(cè)）“”是“直線與直線平行”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件2．（2024·福建廈門·二模）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)在直線上.若向量，則在上的投影向量為（

）A． B． C． D．3．（23-24高三下·內(nèi)蒙古赤峰·開學(xué)考試）若雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為2，離心率為，則雙曲線的左焦點(diǎn)到一條漸近線的距離為（

）A． B． C．1 D．24．（2024·遼寧大連·一模）過點(diǎn)和，且圓心在x軸上的圓的方程為（

）A． B．C． D．5．（2024·江西·模擬預(yù)測(cè)）若點(diǎn)在圓的外部，則a的取值范圍為（

）A． B． C． D．6．（2023·北京房山·一模）已知直線與圓相交于M，N兩點(diǎn).則的最小值為（

）A． B． C．4 D．67．（2023·湖北·二模）已知?jiǎng)又本€l的方程為，，，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)O作直線l的垂線，垂足為Q，則線段PQ長(zhǎng)度的取值范圍為（

）A． B． C． D．8．（2024·安徽合肥·一模）已知直線與交于兩點(diǎn)，設(shè)弦的中點(diǎn)為為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．二、多選題9．（22-23高二上·湖北武漢·期末）設(shè)圓，直線為上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)為為圓上任意兩點(diǎn)，則下列說法中正確的有（

）A．的取值范圍為B．四邊形面積的最大值為C．滿足的點(diǎn)有兩個(gè)D．的面積最大值為10．（23-24高三上·河北衡水·階段練習(xí)）已知直線和圓，則（

）A．直線過定點(diǎn)B．直線與圓有兩個(gè)交點(diǎn)C．存在直線與直線垂直D．直線被圓截得的最短弦長(zhǎng)為11．（2024·廣東汕頭·一模）如圖，是連接河岸與的一座古橋，因保護(hù)古跡與發(fā)展的需要，現(xiàn)規(guī)劃建一座新橋，同時(shí)設(shè)立一個(gè)圓形保護(hù)區(qū).規(guī)劃要求：①新橋與河岸垂直；②保護(hù)區(qū)的邊界為一個(gè)圓，該圓與相切，且圓心在線段上；③古橋兩端和到該圓上任意一點(diǎn)的距離均不少于.經(jīng)測(cè)量，點(diǎn)分別位于點(diǎn)正北方向?正東方向處，.根據(jù)圖中所給的平面直角坐標(biāo)系，下列結(jié)論中，正確的是（

）A．新橋的長(zhǎng)為B．圓心可以在點(diǎn)處C．圓心到點(diǎn)的距離至多為D．當(dāng)長(zhǎng)為時(shí)，圓形保護(hù)區(qū)的面積最大三、填空題12．（2023·全國·模擬預(yù)測(cè)）已知圓與圓有3條公切線，則的值為．13．（2024·四川·模擬預(yù)測(cè)）圓與圓的公共弦長(zhǎng)為.14．（23-24高三下·山東菏澤·階段練習(xí)）若曲線上兩個(gè)不同點(diǎn)處的切線重合，則稱這條切線為曲線的“自公切線”，則下列方程對(duì)應(yīng)的曲線中存在“自公切線”的序號(hào)為．．四、解答題15．（23-24高二上·江蘇南通·階段練習(xí)）已知圓O：(1)過圓外一點(diǎn)引圓的切線，求切線方程；(2)設(shè)點(diǎn)P是直線上的一點(diǎn)，過點(diǎn)P作圓的切線，切點(diǎn)是M，求的面積最小值以及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．16．（22-23高二上·云南昆明·期中）已知圓C：和直線l：相切．(1)求圓C半徑；(2)若動(dòng)點(diǎn)M在直線上，過點(diǎn)M引圓C的兩條切線MA、MB，切點(diǎn)分別為A、B．①記四邊形MACB的面積為S，求S的最小值；②證明直線AB恒過定點(diǎn)．17．（2024·四川成都·模擬預(yù)測(cè)）已知點(diǎn)，，點(diǎn)P在以AB為直徑的圓C上運(yùn)動(dòng)，軸，垂足為D，點(diǎn)M滿足，點(diǎn)M的軌跡為W，過點(diǎn)的直線l交W于點(diǎn)E、F.(1)求W的方程；(2)若直線l的傾斜角為，求直線l被圓C截得的弦長(zhǎng)；(3)設(shè)直線AE，BF的斜率分別為，，證明為定值，并求出該定值.參考答案：題號(hào)12345678910答案DCADACBDACABC題號(hào)11答案AC1．D【分析】求出直線平行的充要條件為，結(jié)合充分條件、必要條件的定義即可得解.【詳解】若，則有，所以或，當(dāng)時(shí)，，故，重合；當(dāng)時(shí)，，滿足條件，所以“”是“”的既不充分也不必要條件，故選：D．2．C【分析】確定直線的方向向量，結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算判斷出為直線的法向量，結(jié)合投影向量的含義即可求得答案.【詳解】由題意設(shè)直線的方向向量為，則，而，則，即為直線的法向量，又O到直線的距離為，故在上的投影向量為，

故選：C3．A【分析】根據(jù)條件列方程組求出，然后利用點(diǎn)到直線的距離求解即可.【詳解】由已知得，解得，則雙曲線的左焦點(diǎn)，一條漸近線，故雙曲線的左焦點(diǎn)到一條漸近線的距離為.故選：A.4．D【分析】借助待定系數(shù)法計(jì)算即可得.【詳解】令該圓圓心為，半徑為，則該圓方程為，則有，解得，故該圓方程為.故選：D.5．A【分析】根據(jù)表示圓得，又利用點(diǎn)在圓外得，從而可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)榭苫癁椋瑒t，所以．又點(diǎn)在圓的外部，所以，故，綜上，．故選：A.6．C【分析】先求出圓心和半徑，以及直線的定點(diǎn)，利用圓的幾何特征可得到當(dāng)時(shí)，最小【詳解】由圓的方程，可知圓心，半徑，直線過定點(diǎn)，因?yàn)?，則定點(diǎn)在圓內(nèi)，則點(diǎn)和圓心連線的長(zhǎng)度為，當(dāng)圓心到直線距離最大時(shí)，弦長(zhǎng)最小，此時(shí)，由圓的弦長(zhǎng)公式可得，故選：C7．B【分析】利用萬能公式將直線方程化為，求出過原點(diǎn)與直線垂直的直線方程，進(jìn)而得出點(diǎn)的軌跡為圓心為半徑為3的圓，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到圓的距離即可求解.【詳解】由可得，令，由萬能公式可得，，所以直線的方程為①，由題意可知過原點(diǎn)與直線垂直的直線方程為②，可得，即表示點(diǎn)的軌跡為圓心為半徑為3的圓，于是線段長(zhǎng)度的取值范圍為，因?yàn)?，所以線段PQ長(zhǎng)度的取值范圍為，故選：B.8．D【分析】首先求出圓心坐標(biāo)與半徑，再求出直線過定點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)Ax1,y1，Bx2,y2【詳解】即，則圓心為，半徑，直線，令，解得，即直線恒過定點(diǎn)1,0，又，所以點(diǎn)1,0在圓內(nèi)，設(shè)Ax1,y1，B消去整理得，顯然，則，則，所以，，則，則，又直線的斜率不為，所以不過點(diǎn)1,0，所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為（除點(diǎn)1,0外），圓的圓心為，半徑，又，所以，即，即的取值范圍為.故選：D

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵是求出動(dòng)點(diǎn)的軌跡，再求出圓心到原點(diǎn)的距離，最后根據(jù)圓的幾何性質(zhì)計(jì)算可得.9．AC【分析】根據(jù)切線長(zhǎng)公式即可求解A,B,C，根據(jù)三角形的面積公式可求解D.【詳解】圓心到直線的距離，所以，因?yàn)閳A的半徑為，根據(jù)切線長(zhǎng)公式可得，當(dāng)時(shí)取得等號(hào)，所以的取值范圍為，A正確；因?yàn)?，所以四邊形的面積等于，四邊形面積的最小值為，故B錯(cuò)誤；因?yàn)椋?，在直角三角形中，，所以，設(shè)，因?yàn)?，整理得，則有，所以滿足條件的點(diǎn)有兩個(gè)，C正確；因?yàn)樗援?dāng)，即，面積有最大值為，此時(shí)四邊形為正方形，則，滿足要求，故D錯(cuò)誤，故選:AC.10．ABC【分析】利用直線方程求定點(diǎn)可判斷選項(xiàng)A；利用直線恒過定點(diǎn)在圓內(nèi)可判斷選項(xiàng)B；利用兩直線的垂直關(guān)系與斜率的關(guān)系判斷選項(xiàng)C；利用弦長(zhǎng)公式可判斷選項(xiàng)D.【詳解】對(duì)A，由可得，，令，即，此時(shí)，所以直線l恒過定點(diǎn)，A正確；對(duì)B，因?yàn)槎c(diǎn)到圓心的距離為，所以定點(diǎn)在圓內(nèi)，所以直線l與圓O相交，B正確；對(duì)C，因?yàn)橹本€的斜率為，所以直線l的斜率為，即，此時(shí)直線l與直線垂直，滿足題意，C正確；對(duì)D，因?yàn)橹本€l恒過定點(diǎn)，圓心到直線l的最大距離為，此時(shí)直線l被圓O截得的弦長(zhǎng)最短為，D錯(cuò)誤；故選：ABC.11．AC【分析】根據(jù)給定條件，求出直線的方程，聯(lián)立求出點(diǎn)的坐標(biāo)判斷A；設(shè)，由題意列出不等式組，再結(jié)合代換求得的范圍，判斷BCD.【詳解】如圖，以為軸建立直角坐標(biāo)系，則，，依題意，直線的斜率，直線方程為：，直線的斜率，則直線方程為，由，解得，即，，A正確；設(shè)，即，直線的一般方程為，圓的半徑為，顯然，由，得，則，解得，即長(zhǎng)的范圍是，B錯(cuò)誤，C正確；當(dāng)，即長(zhǎng)為時(shí)，圓的半徑最大，圓形保護(hù)區(qū)的面積最大，D錯(cuò)誤.故選：AC【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：某些實(shí)際應(yīng)用問題，由題意建立平面直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)法求解是解題的關(guān)鍵.12．【分析】根據(jù)兩圓外切求解可得.【詳解】由題可得，圓，圓心為，半徑為2；圓，圓心為，半徑為1．因?yàn)閮蓤A有3條公切線，所以兩圓外切，故圓心距，解得．故答案為：13．【分析】將兩個(gè)圓的方程作差可得公共弦所在的直線，再求出到直線的的距離，則公共弦長(zhǎng)為，即可得出答案.【詳解】將兩個(gè)圓的方程作差得：，即公共弦所在的直線為，又知，，則到直線的的距離為：，所以公共弦長(zhǎng)為，故答案為：.14．①②④【分析】①在和處的切線都是，故有“自公切線”;②此函數(shù)為周期函數(shù)，