2025年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題六 解析幾何 第2講　圓錐曲線的方程與性質(zhì)解析版

第2講圓錐曲線的方程與性質(zhì)（新高考專用）目錄目錄【真題自測】 2【考點(diǎn)突破】 12【考點(diǎn)一】圓錐曲線的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程 12【考點(diǎn)二】橢圓、雙曲線的幾何性質(zhì) 18【考點(diǎn)三】拋物線的幾何性質(zhì)及應(yīng)用 23【專題精練】 27考情分析：高考對(duì)這部分知識(shí)的考查側(cè)重三個(gè)方面：一是求圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；二是求橢圓的離心率、雙曲線的離心率以及漸近線問題；三是拋物線的性質(zhì)及應(yīng)用問題．真題自測真題自測一、單選題1．（2024·全國·高考真題）已知雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)在該雙曲線上，則該雙曲線的離心率為（

）A．4 B．3 C．2 D．2．（2024·全國·高考真題）已知曲線C：（），從C上任意一點(diǎn)P向x軸作垂線段PP'，為垂足，則線段PP'的中點(diǎn)M的軌跡方程為（

A．（） B．（）C．（） D．（）3．（2023·全國·高考真題）設(shè)為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，若，則（

）A．1 B．2 C．4 D．54．（2023·全國·高考真題）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)P在C上，，則（

）A． B． C． D．5．（2023·全國·高考真題）已知雙曲線的離心率為，C的一條漸近線與圓交于A，B兩點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．6．（2023·全國·高考真題）設(shè)A，B為雙曲線上兩點(diǎn)，下列四個(gè)點(diǎn)中，可為線段AB中點(diǎn)的是（

）A． B． C． D．7．（2023·全國·高考真題）設(shè)橢圓的離心率分別為．若，則（

）A． B． C． D．8．（2022·全國·高考真題）已知橢圓的離心率為，分別為C的左、右頂點(diǎn)，B為C的上頂點(diǎn)．若，則C的方程為（

）A． B． C． D．二、多選題9．（2022·全國·高考真題）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過拋物線焦點(diǎn)F的直線與C交于A，B兩點(diǎn)，其中A在第一象限，點(diǎn)M(p,0)，若，則（

）A．直線的斜率為 B．|OB|=|OF|C．|AB|>4|OF| D．三、填空題10．（2023·全國·高考真題）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為．點(diǎn)在上，點(diǎn)在軸上，，則的離心率為．11．（2022·全國·高考真題）已知直線l與橢圓在第一象限交于A，B兩點(diǎn)，l與x軸，y軸分別交于M，N兩點(diǎn)，且，則l的方程為．12．（2022·全國·高考真題）記雙曲線的離心率為e，寫出滿足條件“直線與C無公共點(diǎn)”的e的一個(gè)值．參考答案：題號(hào)123456789答案CABBDDABACD1．C【分析】由焦點(diǎn)坐標(biāo)可得焦距，結(jié)合雙曲線定義計(jì)算可得，即可得離心率.【詳解】由題意，設(shè)、、，則，，，則，則.故選：C.2．A【分析】設(shè)點(diǎn)，由題意，根據(jù)中點(diǎn)的坐標(biāo)表示可得，代入圓的方程即可求解.【詳解】設(shè)點(diǎn)，則，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，即，又在圓上，所以，即，即點(diǎn)的軌跡方程為.故選：A3．B【分析】方法一：根據(jù)焦點(diǎn)三角形面積公式求出的面積，即可解出；方法二：根據(jù)橢圓的定義以及勾股定理即可解出．【詳解】方法一：因?yàn)?，所以，從而，所以．故選：B.方法二：因?yàn)?，所以，由橢圓方程可知，，所以，又，平方得：，所以．故選：B.4．B【分析】方法一：根據(jù)焦點(diǎn)三角形面積公式求出的面積，即可得到點(diǎn)的坐標(biāo)，從而得出OP的值；方法二：利用橢圓的定義以及余弦定理求出，再結(jié)合中線的向量公式以及數(shù)量積即可求出；方法三：利用橢圓的定義以及余弦定理求出，即可根據(jù)中線定理求出．【詳解】方法一：設(shè)，所以，由，解得：，由橢圓方程可知，，所以，，解得：，即，因此．故選：B．方法二：因?yàn)棰?，，即②，?lián)立①②，解得：，而，所以，即．故選：B．方法三：因?yàn)棰伲?，即②，?lián)立①②，解得：，由中線定理可知，，易知，解得：．故選：B．【點(diǎn)睛】本題根據(jù)求解的目標(biāo)可以選擇利用橢圓中的二級(jí)結(jié)論焦點(diǎn)三角形的面積公式快速解出，也可以常規(guī)利用定義結(jié)合余弦定理，以及向量的數(shù)量積解決中線問題的方式解決，還可以直接用中線定理解決，難度不是很大．5．D【分析】根據(jù)離心率得出雙曲線漸近線方程，再由圓心到直線的距離及圓半徑可求弦長.【詳解】由，則，解得，所以雙曲線的漸近線為，當(dāng)漸近線為時(shí)，圓心到該漸近線的距離，不合題意；當(dāng)漸近線為時(shí)，則圓心到漸近線的距離，所以弦長.故選：D6．D【分析】根據(jù)點(diǎn)差法分析可得，對(duì)于A、B、D：通過聯(lián)立方程判斷交點(diǎn)個(gè)數(shù)，逐項(xiàng)分析判斷；對(duì)于C：結(jié)合雙曲線的漸近線分析判斷.【詳解】設(shè)，則的中點(diǎn)，可得，因?yàn)樵陔p曲線上，則，兩式相減得，所以.對(duì)于選項(xiàng)A：可得，則，聯(lián)立方程，消去y得，此時(shí)，所以直線AB與雙曲線沒有交點(diǎn)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B：可得，則，聯(lián)立方程，消去y得，此時(shí)，所以直線AB與雙曲線沒有交點(diǎn)，故B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C：可得，則由雙曲線方程可得，則為雙曲線的漸近線，所以直線AB與雙曲線沒有交點(diǎn)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D：，則，聯(lián)立方程，消去y得，此時(shí)，故直線AB與雙曲線有交兩個(gè)交點(diǎn)，故D正確；故選：D.7．A【分析】根據(jù)給定的橢圓方程，結(jié)合離心率的意義列式計(jì)算作答.【詳解】由，得，因此，而，所以.故選：A8．B【分析】根據(jù)離心率及，解得關(guān)于的等量關(guān)系式，即可得解.【詳解】解：因?yàn)殡x心率，解得，，分別為C的左右頂點(diǎn)，則，B為上頂點(diǎn)，所以.所以，因?yàn)樗?，將代入，解得，故橢圓的方程為.故選：B.9．ACD【分析】由及拋物線方程求得A(3p4,6p2)，再由斜率公式即可判斷A選項(xiàng)；表示出直線的方程，聯(lián)立拋物線求得B(p3,-6p3)，即可求出判斷B選項(xiàng)；由拋物線的定義求出即可判斷C選項(xiàng)；由OA【詳解】對(duì)于A，易得，由可得點(diǎn)在的垂直平分線上，則點(diǎn)橫坐標(biāo)為，代入拋物線可得，則A(3p4,6p2)，則直線對(duì)于B，由斜率為可得直線的方程為x=12?6y+設(shè)，則，則，代入拋物線得，解得，則B(p3,-6p3則，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由拋物線定義知：，C正確；對(duì)于D，OA?OB=(又MA?MB=(-又，則，D正確.故選：ACD.10．/【分析】方法一：利用雙曲線的定義與向量數(shù)積的幾何意義得到關(guān)于的表達(dá)式，從而利用勾股定理求得，進(jìn)而利用余弦定理得到的齊次方程，從而得解.方法二：依題意設(shè)出各點(diǎn)坐標(biāo)，從而由向量坐標(biāo)運(yùn)算求得，，將點(diǎn)代入雙曲線得到關(guān)于的齊次方程，從而得解；【詳解】方法一：依題意，設(shè)，則，在中，，則，故或（舍去），所以，，則，故，所以在中，，整理得，故.方法二:依題意，得，令，因?yàn)椋?，則，又，所以，則，又點(diǎn)在上，則，整理得，則，所以，即，整理得，則，解得或，又，所以或（舍去），故.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：雙曲線過焦點(diǎn)的三角形的解決關(guān)鍵是充分利用雙曲線的定義，結(jié)合勾股定理與余弦定理得到關(guān)于的齊次方程，從而得解.11．【分析】令的中點(diǎn)為，設(shè)，，利用點(diǎn)差法得到，設(shè)直線，，，求出、的坐標(biāo)，再根據(jù)求出、，即可得解；【詳解】[方法一]：弦中點(diǎn)問題：點(diǎn)差法令的中點(diǎn)為，設(shè)，，利用點(diǎn)差法得到，設(shè)直線，，，求出、的坐標(biāo)，再根據(jù)求出、，即可得解；解：令的中點(diǎn)為，因?yàn)?，所以，設(shè)，，則，，所以，即所以，即，設(shè)直線，，，令得，令得，即，，所以，即，解得或（舍去），又，即，解得或（舍去），所以直線，即；故答案為：[方法二]：直線與圓錐曲線相交的常規(guī)方法解：由題意知，點(diǎn)既為線段的中點(diǎn)又是線段MN的中點(diǎn)，設(shè)，，設(shè)直線，，，則，，，因?yàn)?，所以?lián)立直線AB與橢圓方程得消掉y得其中，∴AB中點(diǎn)E的橫坐標(biāo),又，∴∵，，∴,又，解得m=2所以直線，即12．2（滿足皆可）【分析】根據(jù)題干信息，只需雙曲線漸近線中即可求得滿足要求的e值.【詳解】解：，所以C的漸近線方程為,結(jié)合漸近線的特點(diǎn)，只需，即，可滿足條件“直線與C無公共點(diǎn)”所以，又因?yàn)椋?，故答案為?（滿足皆可）考點(diǎn)突破考點(diǎn)突破【考點(diǎn)一】圓錐曲線的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程核心梳理：1．圓錐曲線的定義(1)橢圓：|PF1|＋|PF2|＝2a(2a>|F1F2|)．(2)雙曲線：||PF1|－|PF2||＝2a(0<2a<|F1F2|)．(3)拋物線：|PF|＝|PM|，l為拋物線的準(zhǔn)線，點(diǎn)F不在定直線l上，PM⊥l于點(diǎn)M.2．求圓錐曲線標(biāo)準(zhǔn)方程“先定型，后計(jì)算”“定型”：確定曲線焦點(diǎn)所在的坐標(biāo)軸的位置；“計(jì)算”：利用待定系數(shù)法求出方程中的a2，b2，p的值．一、單選題1．（2024·江蘇南京·二模）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，下頂點(diǎn)為，直線交于另一點(diǎn)，的內(nèi)切圓與相切于點(diǎn)．若，則的離心率為（

）A． B． C． D．2．（2024·山西呂梁·二模）若函數(shù)，且的圖象所過定點(diǎn)恰好在橢圓上，則的最小值為（

）A．6 B．12 C．16 D．18二、多選題3．（2020·山東·高考真題）已知曲線.（

）A．若m>n>0，則C是橢圓，其焦點(diǎn)在y軸上B．若m=n>0，則C是圓，其半徑為C．若mn<0，則C是雙曲線，其漸近線方程為D．若m=0，n>0，則C是兩條直線4．（2024·重慶·三模）已知雙曲線的左，右焦點(diǎn)分別為為雙曲線上點(diǎn)，且的內(nèi)切圓圓心為，則下列說法正確的是（

）A． B．直線PF1的斜率為C．的周長為 D．的外接圓半徑為三、填空題5．（2024·黑龍江哈爾濱·一模）直線與拋物線交于兩點(diǎn)，若，則中點(diǎn)到軸距離的最小值是．6．（2023·重慶沙坪壩·模擬預(yù)測）已知拋物線為拋物線內(nèi)一點(diǎn)，不經(jīng)過點(diǎn)的直線與拋物線相交于兩點(diǎn)，連接分別交拋物線于兩點(diǎn)，若對(duì)任意直線，總存在，使得成立，則該拋物線方程為.參考答案：題號(hào)1234答案BCACDACD1．B【分析】由三角形內(nèi)切圓的性質(zhì)得出的周長為，再由橢圓的定義得的周長為，列出等式即可求解．【詳解】設(shè)橢圓的長軸長為，短軸長為，焦距為，則，AF2=a，設(shè)的內(nèi)切圓與，相切于點(diǎn)，如圖所示，則，，所以，所以的周長為，由橢圓定義可得，，所以，則，故選：B．

.2．C【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)求出定點(diǎn)，根據(jù)定點(diǎn)在橢圓上，將定點(diǎn)代入橢圓方程，得到m與n的等量關(guān)系，再利用基本不等式即可求解.【詳解】由題意得，函數(shù)，且的圖象所過定點(diǎn)為，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立.故選：C.3．ACD【分析】結(jié)合選項(xiàng)進(jìn)行逐項(xiàng)分析求解，時(shí)表示橢圓，時(shí)表示圓，時(shí)表示雙曲線，時(shí)表示兩條直線.【詳解】對(duì)于A，若，則可化為，因?yàn)椋?，即曲線表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，故A正確；對(duì)于B，若，則可化為，此時(shí)曲線表示圓心在原點(diǎn)，半徑為的圓，故B不正確；對(duì)于C，若，則可化為，此時(shí)曲線表示雙曲線，由可得，故C正確；對(duì)于D，若，則可化為，，此時(shí)曲線表示平行于軸的兩條直線，故D正確；故選：ACD.【點(diǎn)睛】本題主要考查曲線方程的特征，熟知常見曲線方程之間的區(qū)別是求解的關(guān)鍵，側(cè)重考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).4．ACD【分析】對(duì)于A，根據(jù)三角形與其內(nèi)切圓性質(zhì)結(jié)合雙曲線定義即可求解；根據(jù)已知條件、、以及與各個(gè)所需量的關(guān)系即可求出、和，進(jìn)而可依次求出直線PF1的斜率、結(jié)合焦三角形面積公式得的周長、結(jié)合正弦定理得的外接圓半徑.【詳解】如圖1，由條件，點(diǎn)應(yīng)在雙曲線的右支上，設(shè)圓分別與的三邊切于點(diǎn)，則由題，且，，又，A選項(xiàng)正確；由選項(xiàng)A得，連接、、，則，所以，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；同理，，，，所以由焦三角面積公式得，又，故得，的周長為，選項(xiàng)正確；由，由正弦定理得，D選項(xiàng)正確.故選：ACD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：求直線PF1的斜率、的周長、的外接圓半徑的關(guān)鍵是根據(jù)已知條件、、以及與各個(gè)所需量的關(guān)系即可求出、和.5．2【分析】利用拋物線的定義結(jié)合中位線定理，列出不等式，發(fā)現(xiàn)取等條件，得到最小值即可.【詳解】如圖，由拋物線得焦點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為，過分別作的垂線，交于，連接，則，當(dāng)且僅當(dāng)過點(diǎn)時(shí)取等，顯然是梯形的中位線，又由中位線定理知，則，故到軸距離的最小值為.故答案為：26．【分析】設(shè)，根據(jù)推出，結(jié)合點(diǎn)在拋物線上可得，，即可求得p，即得答案.【詳解】由題意設(shè)，由可得：，可得：，同理可得：，則：（*）將兩點(diǎn)代入拋物線方程得，作差可得：，而，即，同理可得，，代入（*），可得，此時(shí)拋物線方程為，故答案為：規(guī)律方法：求圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)的常見錯(cuò)誤雙曲線的定義中忽略“絕對(duì)值”致錯(cuò)；橢圓與雙曲線中參數(shù)的關(guān)系式弄混，橢圓中的關(guān)系式為a2＝b2＋c2，雙曲線中的關(guān)系式為c2＝a2＋b2；確定圓錐曲線的方程時(shí)還要注意焦點(diǎn)位置．【考點(diǎn)二】橢圓、雙曲線的幾何性質(zhì)核心梳理：1．求離心率通常有兩種方法(1)求出a，c，代入公式e＝eq\f(c,a).(2)根據(jù)條件建立關(guān)于a，b，c的齊次式，消去b后，轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程或不等式，即可求得e的值或取值范圍．2．與雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)共漸近線bx±ay＝0的雙曲線方程為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝λ(λ≠0)．一、單選題1．（23-24高三下·貴州·階段練習(xí)）已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，則的最小值為（

）A．7 B．9 C．13 D．152．（2023·安徽蚌埠·三模）若橢圓的離心率為，則橢圓的長軸長為（

）A．6 B．或 C． D．或二、多選題3．（2024·浙江·二模）已知橢圓左右兩個(gè)焦點(diǎn)分別為和，動(dòng)直線經(jīng)過橢圓左焦點(diǎn)與橢圓交于兩點(diǎn)，且的最大值為8，下列說法正確的是（

）A． B．C．離心率 D．若，則4．（2024·遼寧·模擬預(yù)測）已知是等軸雙曲線C的方程，P為C上任意一點(diǎn)，，則（

）A．C的離心率為B．C的焦距為2C．平面上存在兩個(gè)定點(diǎn)A，B，使得D．的最小值為三、填空題5．（2024·湖北·二模）已知雙曲線的左右頂點(diǎn)分別為，點(diǎn)是雙曲線上在第一象限內(nèi)的點(diǎn)，直線的傾斜角分別為，則；當(dāng)取最小值時(shí)，的面積為．6．（2024·廣東深圳·二模）已知△ABC中，，雙曲線E以B，C為焦點(diǎn)，且經(jīng)過點(diǎn)A，則E的兩條漸近線的夾角為；的取值范圍為．參考答案：題號(hào)1234答案ADABACD1．A【分析】由橢圓方程確定，的坐標(biāo)，根據(jù)向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示求出的表達(dá)式，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)，即可求得答案.【詳解】由橢圓可得，，點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，取到最小值7，即的最小值為7，故選：A2．D【分析】根據(jù)離心率的計(jì)算公式，分焦點(diǎn)的位置，討論即可求解．【詳解】當(dāng)焦點(diǎn)在軸時(shí)，由，解得，符合題意，此時(shí)橢圓的長軸長為；當(dāng)焦點(diǎn)在軸時(shí)，由，解得，符合題意，此時(shí)橢圓的長軸長為．故選：D．3．AB【分析】根據(jù)橢圓定義利用通徑長可求得，由橢圓性質(zhì)可得，且離心率，聯(lián)立直線和橢圓方程可知當(dāng)，方程無解，因此D錯(cuò)誤.【詳解】如下圖所示：易知，由橢圓定義可知，因?yàn)?，?dāng)軸，即AB為通徑時(shí)，AB最小，所以，解得，所以A正確；當(dāng)AB為長軸時(shí)，AB最大，此時(shí)，所以，即B正確；可得橢圓方程為，易知，所以離心率，即C錯(cuò)誤；因?yàn)?，可設(shè)直線的方程為，Ax1,y聯(lián)立，整理可得，因此；若，可得，即，所以；整理得，此時(shí)方程無解，因此D錯(cuò)誤.故選：AB4．ACD【分析】根據(jù)等軸雙曲線的離心率可判斷A的正誤，根據(jù)圖象的對(duì)稱軸可求，從而可求，故可判斷BCD的正誤.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)槭堑容S雙曲線，故其離心率為，故A正確.對(duì)于B，因?yàn)閳D象的對(duì)稱軸為和，由可得或，故雙曲線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，故雙曲線的實(shí)半軸長為，故半焦距為，故焦距為4，故B錯(cuò)誤.對(duì)于C，因焦點(diǎn)在直線上，故設(shè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為，因?yàn)?，且雙曲線的中心為原點(diǎn)，故即，取，由雙曲線的定義可得，故C正確.對(duì)于D，由C的分析可得為焦點(diǎn)，則，故D正確，故選：ACD.5．【分析】根據(jù)雙曲線的幾何性質(zhì)，斜率公式，以及基本不等式，即可分別求解.【詳解】設(shè)，則，可得，又因?yàn)榉謩e為雙曲線的左右頂點(diǎn)，可得，所以；又由，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以，解得，所以，所以，所以的面積為.故答案為：；.6．【分析】根據(jù)雙曲線的性質(zhì)和三角形內(nèi)心性質(zhì)得到垂足的位置，再由得到雙曲線中的關(guān)系，即可得到漸近線的夾角；根據(jù)對(duì)所求式進(jìn)行化簡，再根據(jù)基本不等式求得范圍即可.【詳解】如圖所示，設(shè)雙曲線的實(shí)軸長為，虛軸長為，焦距為.設(shè)的內(nèi)心為，過點(diǎn)向三邊作垂線，垂足分別為.

根據(jù)三角形內(nèi)心的性質(zhì)可知，，又因?yàn)殡p曲線E以B，C為焦點(diǎn)，且經(jīng)過點(diǎn)A，所以，即，因?yàn)?，所以，所以，所以點(diǎn)在雙曲線的左支上，所以.而，所以，所以為雙曲線的左頂點(diǎn).所以，所以，即，所以，漸近線的傾斜角為，所以兩條漸近線的夾角為.又因?yàn)?，所以，而，所?故答案為：；【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查雙曲線的性質(zhì)和三角形的最值.本題的關(guān)鍵點(diǎn)在于根據(jù)作出三角形的內(nèi)心，從而根據(jù)內(nèi)心性質(zhì)和雙曲線的定義進(jìn)行求解.規(guī)律方法：(1)在“焦點(diǎn)三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，結(jié)合橢圓(或雙曲線)的定義，運(yùn)用平方的方法，建立與|PF1|·|PF2|的聯(lián)系．(2)求雙曲線漸近線方程的關(guān)鍵在于求eq\f(b,a)或eq\f(a,b)的值，也可將雙曲線方程中等號(hào)右邊的“1”變?yōu)椤?”，然后因式分解得到．【考點(diǎn)三】拋物線的幾何性質(zhì)及應(yīng)用核心梳理：拋物線的焦點(diǎn)弦的幾個(gè)常見結(jié)論設(shè)AB是過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則(1)x1x2＝eq\f(p2,4)，y1y2＝－p2.(2)|AB|＝x1＋x2＋p.(3)當(dāng)AB⊥x軸時(shí)，弦AB的長最短為2p.一、單選題1．（22-23高三下·河南開封·階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線為軸正半軸上一點(diǎn)，線段的垂直平分線交于兩點(diǎn)，若，則四邊形的周長為（

）A． B．64 C． D．802．（23-24高三上·山東青島·開學(xué)考試）設(shè)拋物線：的焦點(diǎn)為，在上，，則的方程為（

）A． B． C． D．二、多選題3．（2024·湖南長沙·二模）已知拋物線與拋物線關(guān)于軸對(duì)稱，則下列說法正確的是（

）A．拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是B．拋物線關(guān)于軸對(duì)稱C．拋物線的準(zhǔn)線方程為D．拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為44．（2024·河北·二模）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)為的拋物線過點(diǎn)，過且與垂直的直線與拋物線的另一交點(diǎn)為，則（

）A． B．C． D．直線與拋物線的準(zhǔn)線相交于點(diǎn)三、填空題5．（2024·河南鄭州·二模）拋物線的準(zhǔn)線方程為，則實(shí)數(shù)a的值為.6．（2024·河南·模擬預(yù)測）設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，直線與的一個(gè)交點(diǎn)為，直線與的另一個(gè)交點(diǎn)為，則.參考答案：題號(hào)1234答案AAACACD1．A【分析】線段的垂直平分線交于兩點(diǎn),結(jié)合拋物線的對(duì)稱性可得與互相平分,則四邊形為菱形,可設(shè)點(diǎn)坐標(biāo),通過幾何關(guān)系求出點(diǎn)坐標(biāo),在代入拋物線方程即可求解.【詳解】因?yàn)榫€段的垂直平分線交于兩點(diǎn)，所以結(jié)合拋物線的對(duì)稱性可得與互相平分,則四邊形為菱形.設(shè)點(diǎn)且則線段的垂直平分線方程為，令與軸交于點(diǎn),又，

則在直角三角形中繼而可得，所以點(diǎn)坐標(biāo)為，代入拋物線，可得，解得，直角三角形中,所以四邊形的周長為.故選：A.2．A【分析】根據(jù)拋物線的定義求得，進(jìn)而確定正確答案.【詳解】拋物線的開口向上，由于在上，且，根據(jù)拋物線的定義可知，所以拋物線的方程為.故選：A3．AC【分析】依題意可得拋物線的方程為，即可得到其焦點(diǎn)坐標(biāo)與準(zhǔn)線方程，再根據(jù)拋物線的性質(zhì)判斷即可.【詳解】因?yàn)閽佄锞€與拋物線關(guān)于軸對(duì)稱，所以拋物線的方程為，則拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是，準(zhǔn)線方程為，故A、C正確；拋物線關(guān)于軸對(duì)稱，故B錯(cuò)誤；拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，故D錯(cuò)誤.故選：AC4．ACD【分析】將點(diǎn)代入拋物線方程可確定拋物線方程，可判斷A；由拋物線定義可求，可判斷B；求出直線的方程，與拋物線方程聯(lián)立解得點(diǎn)，從而求出MN，可判斷C；易求出直線與準(zhǔn)線交點(diǎn)，可判斷D.【詳解】由拋物線過點(diǎn)，可得，則，故A正確；由上可知拋物線，準(zhǔn)線方程為，所以，故B錯(cuò)誤；由已知可得，所以直線的方程為，即，聯(lián)立方程組，得，解得或，故，所以，故C正確；由直線的方程，令，得，所以直線與拋物線的準(zhǔn)線相交于點(diǎn)，故D正確.故選：ACD5．/【分析】根據(jù)拋物線方程及準(zhǔn)線方程列出方程，解出即可.【詳解】依題可知，則，故答案為：.6．【分析】根據(jù)給定條件，聯(lián)立直線與拋物線的方程求出交點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求出點(diǎn)的坐標(biāo)，再借助拋物線定義求出長.【詳解】拋物線的焦點(diǎn)為，由，解得或，即點(diǎn)或，當(dāng)點(diǎn)時(shí)，直線，即，由，得，因此，顯然點(diǎn)與關(guān)于軸對(duì)稱，則當(dāng)點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，，所以.故答案為：規(guī)律方法：利用拋物線的幾何性質(zhì)解題時(shí)，要注意利用定義構(gòu)造與焦半徑相關(guān)的幾何圖形(如三角形、直角梯形等)來溝通已知量與p的關(guān)系，靈活運(yùn)用拋物線的焦點(diǎn)弦的特殊結(jié)論，使問題簡單化且減少數(shù)學(xué)運(yùn)算．專題精練專題精練一、單選題1．（2023·江蘇南通·三模）已知為橢圓：的右焦點(diǎn)，為上一點(diǎn)，為圓：上一點(diǎn)，則的最大值為（

）A．5 B．6 C． D．2．（23-24高三上·全國·開學(xué)考試）已知橢圓的焦點(diǎn)在軸上，若焦距為4，則該橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．3．（2024·遼寧·三模）設(shè)點(diǎn)分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓上任意一點(diǎn)，若使得成立的點(diǎn)恰好有4個(gè)，則實(shí)數(shù)的值可以是（

）A．0 B．2 C．4 D．64．（2024·遼寧撫順·三模）過雙曲線的左焦點(diǎn)作傾斜角為的直線交于兩點(diǎn)．若，則（

）A． B． C． D．5．（24-25高二上·廣西梧州·階段練習(xí)）若雙曲線的右支上一點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離為9，則到左焦點(diǎn)的距離為（

）A．3 B．12 C．15 D．3或156．（2024·北京海淀·一模）若雙曲線上的一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離比到焦點(diǎn)的距離大，則該雙曲線的方程為（

）A． B． C． D．7．（2024·江蘇南通·二模）設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F，C的準(zhǔn)線與x軸交于點(diǎn)A，過A的直線與C在第一象限的交點(diǎn)為M，N，且，則直線MN的斜率為（）A． B． C． D．8．（2024·廣東·模擬預(yù)測）拋物線的焦點(diǎn)為，過的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)．則的最小值為（

）A．6 B．7 C．8 D．9二、多選題9．（23-24高二上·福建南平·期末）已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，過的直線交橢圓于兩點(diǎn)，則（

）A．的周長為4B．PF1C．PQ的最小值是3D．若點(diǎn)在橢圓上，且線段中點(diǎn)為，則直線的斜率為10．（2024·湖北·一模）某數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)，反比例函數(shù)的圖象是雙曲線，設(shè)其焦點(diǎn)為，若為其圖象上任意一點(diǎn)，則（

）A．是它的一條對(duì)稱軸 B．它的離心率為C．點(diǎn)是它的一個(gè)焦點(diǎn) D．11．（2024·全國·二模）已知圓O：經(jīng)過橢圓C：（）的兩個(gè)焦點(diǎn)，，且P為圓O與橢圓C在第一象限內(nèi)的公共點(diǎn)，且的面積為1，則下列結(jié)論正確的是（

）A．橢圓C的長軸長為2 B．橢圓C的短軸長為2C．橢圓C的離心率為 D．點(diǎn)P的坐標(biāo)為三、填空題12．（23-24高三下·上?！るA段練習(xí)）若拋物線的焦點(diǎn)到它的準(zhǔn)線距離為1，則實(shí)數(shù)m=13．（2024·江蘇南京·模擬預(yù)測）已知是雙曲線上任意一點(diǎn)，若到的兩條漸近線的距離之積為，則上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最小值為．14．（23-24高三上·江蘇無錫·階段練習(xí)）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，P是C上一點(diǎn)，且，H是線段上靠近的三等分點(diǎn)，且，則C的離心率為.四、解答題15．（22-23高二上·河北邢臺(tái)·階段練習(xí)）已知橢圓經(jīng)過點(diǎn)，.(1)求橢圓的方程；(2)若直線交橢圓于，兩點(diǎn)，是坐標(biāo)原點(diǎn)，求的面積.16．（2024·浙江·模擬預(yù)測）如圖，由部分橢圓和部分雙曲線，組成的曲線稱為“盆開線”．曲線與軸有兩個(gè)交點(diǎn)，且橢圓與雙曲線的離心率之積為．(1)設(shè)過點(diǎn)1,0的直線與相切于點(diǎn)，求點(diǎn)的坐標(biāo)及直線的方程；(2)過的直線與相交于點(diǎn)三點(diǎn)，求證：．17．（23-24高三下·河南·階段練習(xí)）已知是拋物線上任意一點(diǎn)，且到的焦點(diǎn)的最短距離為.直線與交于兩點(diǎn)，與拋物線交于兩點(diǎn)，其中點(diǎn)在第一象限，點(diǎn)在第四象限.(1)求拋物線的方程.(2)證明：(3)設(shè)的面積分別為，其中為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，求.參考答案：題號(hào)12345678910答案DBBDCDADBCDABD題號(hào)11答案BD1．D【分析】利用橢圓的定義、點(diǎn)和圓的位置關(guān)系等知識(shí)確定正確答案.【詳解】依題意，設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，圓的圓心為，半徑為，，當(dāng)三點(diǎn)共線，且在之間時(shí)等號(hào)成立.而，所以，當(dāng)四點(diǎn)共線，且在之間，是的延長線與圓的交點(diǎn)時(shí)等號(hào)成立.故選：D

2．B【分析】根據(jù)橢圓的焦點(diǎn)在軸上，焦距為4，結(jié)合a,b,c之間的關(guān)系以及離心率公式可得答案.【詳解】由題得，即，由焦距為4得，解得，可得橢圓方程為，所以，，所以離心率為.故選：B.3．B【分析】設(shè)，表示向量，由條件可得，，結(jié)合對(duì)稱性列不等式，求的范圍，由此可得結(jié)論..【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)；所以，設(shè)則，由可得，又因?yàn)樵跈E圓上，即，所以，由對(duì)稱性可得，要使得成立的點(diǎn)恰好是個(gè)，則解得，所以的值可以是.故選：B.4．D【分析】根據(jù)雙曲線的定義，結(jié)合焦點(diǎn)三角形以及余弦定理即可求解.【詳解】設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為,連接,由題意可得，設(shè)由余弦定理可得,即，解得，所以，故．故選：D5．C【分析】利用雙曲線方程求得，再利用雙曲線的定義即可得解.【詳解】因?yàn)殡p曲線方程為，所以，則，設(shè)雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為，又點(diǎn)在雙曲線的右支上，且，所以，則.故選：C.6．D【分析】根據(jù)題意及雙曲線的定義可知，，再結(jié)合，求出，即可求出結(jié)果.【詳解】由題知，根據(jù)題意，由雙曲線的定義知，又，所以，得到，所以雙曲線的方程為，故選：D.7．A【分析】根據(jù)題意可設(shè)直線方程為，聯(lián)立直線與拋物線方程，通過根與系數(shù)的關(guān)系及拋物線的焦半徑公式，建立方程，即可求解，【詳解】根據(jù)題意可得拋物線的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為，則有，設(shè)直線方程為，聯(lián)立，可得，則，得，故，設(shè)，，到準(zhǔn)線距離為，到準(zhǔn)線距離為，又，有，即，得，，又，解得，，又，解得.故選：A8．D【分析】利用拋物線的焦點(diǎn)弦性質(zhì)結(jié)合基本不等式計(jì)算即可.【詳解】由題意可知F1,0，設(shè)，Ax1聯(lián)立直線與拋物線方程，所以，而.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得等號(hào).故選：D9．BCD【分析】利用橢圓的定義可判定A，利用焦半徑公式可判定B，利用橢圓弦長公式可判定C，利用點(diǎn)差法可判定D.【詳解】由題意可知橢圓的長軸長，左焦點(diǎn)，由橢圓的定義可知，故A錯(cuò)誤；設(shè)，，易知，故B正確；若的斜率存在，不妨設(shè)其方程為：，聯(lián)立橢圓方程，則，所以，若的斜率不存在，則其方程為，與橢圓聯(lián)立易得，顯然當(dāng)?shù)男甭什淮嬖跁r(shí)，，故C正確；設(shè)，易知，若中點(diǎn)為，則，故D正確.故選：BCD10．ABD【分析】由題意可知反比例函數(shù)的圖象為等軸雙曲線，進(jìn)一步分別計(jì)算出離心率以及即可逐一判斷求解.【詳解】反