2025年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題一 函數(shù)與導(dǎo)數(shù) 第10講　同構(gòu)函數(shù)問題解析版

第10講同構(gòu)函數(shù)問題（新高考專用）目錄目錄【真題自測】 2【考點突破】 8【考點一】雙變量同構(gòu)問題 8【考點二】指對同構(gòu)問題 21【專題精練】 30考情分析：同構(gòu)函數(shù)問題，是近幾年高考的熱點問題，考查數(shù)學(xué)素養(yǎng)和創(chuàng)新思維．同構(gòu)函數(shù)問題是指在不等式、方程、函數(shù)中，通過等價變形形成相同形式，再構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的性質(zhì)解決問題，常見的同構(gòu)有雙變量同構(gòu)和指對同構(gòu)，一般都是壓軸題，難度較大．真題自測真題自測一、填空題1．（2023·湖北武漢·二模）在同一平面直角坐標(biāo)系中，P，Q分別是函數(shù)和圖象上的動點，若對任意，有恒成立，則實數(shù)m的最大值為．二、解答題2．（2022·浙江·高考真題）設(shè)函數(shù)．(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)已知，曲線上不同的三點處的切線都經(jīng)過點．證明：（?。┤?，則；（ⅱ）若，則．（注：是自然對數(shù)的底數(shù)）3．（2022·全國·高考真題）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時，討論的單調(diào)性；(2)當(dāng)時，，求a的取值范圍；(3)設(shè)，證明：．參考答案：1．【分析】利用同構(gòu)思想構(gòu)造，得到其單調(diào)性，得到，再構(gòu)造，，求導(dǎo)得到其單調(diào)性及其最小值，設(shè)設(shè)，利用基本不等式得到，求出答案.【詳解】，令，，則當(dāng)時，，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，故在處取得極小值，也是最小值，故，故，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，令，，則，令，則在上恒成立，故在上單調(diào)遞增，又，故當(dāng)時，，當(dāng)時，，故時，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，故在處取得極小值，也時最小值，最小值為，設(shè)，由基本不等式得，，當(dāng)且僅當(dāng)，，時，等號成立，故，則．故答案為：【點睛】導(dǎo)函數(shù)求解取值范圍時，當(dāng)函數(shù)中同時出現(xiàn)與，通常使用同構(gòu)來進行求解，本題變形得到，從而構(gòu)造進行求解.2．(1)f(x)的減區(qū)間為，增區(qū)間為.(2)（ⅰ）見解析；（ⅱ）見解析.【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，討論其符號后可得函數(shù)的單調(diào)性.（2）（?。┯深}設(shè)構(gòu)造關(guān)于切點橫坐標(biāo)的方程，根據(jù)方程有3個不同的解可證明不等式成立，（ⅱ），，則題設(shè)不等式可轉(zhuǎn)化為，結(jié)合零點滿足的方程進一步轉(zhuǎn)化為，利用導(dǎo)數(shù)可證該不等式成立.【詳解】（1），當(dāng)，；當(dāng)，，故的減區(qū)間為，的增區(qū)間為.（2）（?。┮驗檫^有三條不同的切線，設(shè)切點為，故，故方程有3個不同的根，該方程可整理為，設(shè)，則，當(dāng)或時，；當(dāng)時，，故在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，因為有3個不同的零點，故且，故且，整理得到：且，此時，設(shè)，則，故為上的減函數(shù)，故，故.（ⅱ）當(dāng)時，同（ⅰ）中討論可得：故在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，不妨設(shè)，則，因為有3個不同的零點，故且，故且，整理得到：，因為，故，又，設(shè)，，則方程即為：即為，記則為有三個不同的根，設(shè)，，要證：，即證，即證：，即證：，即證：，而且，故，故，故即證：，即證：即證：，記，則，設(shè)，則，所以，，故在上為增函數(shù)，故，所以，記，則，所以在為增函數(shù)，故，故即，故原不等式得證：【點睛】思路點睛：導(dǎo)數(shù)背景下的切線條數(shù)問題，一般轉(zhuǎn)化為關(guān)于切點方程的解的個數(shù)問題，而復(fù)雜方程的零點性質(zhì)的討論，應(yīng)該根據(jù)零點的性質(zhì)合理轉(zhuǎn)化需求證的不等式，常用的方法有比值代換等.3．(1)f(x)的減區(qū)間為，增區(qū)間為.(2)(3)見解析【分析】（1）求出，討論其符號后可得的單調(diào)性.（2）設(shè)，求出，先討論時題設(shè)中的不等式不成立，再就結(jié)合放縮法討論符號，最后就結(jié)合放縮法討論的范圍后可得參數(shù)的取值范圍.（3）由（2）可得對任意的恒成立，從而可得對任意的恒成立，結(jié)合裂項相消法可證題設(shè)中的不等式.【詳解】（1）當(dāng)時，，則，當(dāng)時，，當(dāng)時，，故的減區(qū)間為，增區(qū)間為.（2）設(shè)，則，又，設(shè)，則，若，則，因為為連續(xù)不間斷函數(shù)，故存在，使得，總有，故在為增函數(shù)，故，故在為增函數(shù)，故，與題設(shè)矛盾.若，則，下證：對任意，總有成立，證明：設(shè)，故，故在上為減函數(shù)，故即成立.由上述不等式有，故總成立，即在上為減函數(shù)，所以.當(dāng)時，有，

所以在上為減函數(shù)，所以.綜上，.（3）取，則，總有成立，令，則，故即對任意的恒成立.所以對任意的，有，整理得到：，故，故不等式成立.【點睛】思路點睛：函數(shù)參數(shù)的不等式的恒成立問題，應(yīng)該利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性，注意結(jié)合端點處導(dǎo)數(shù)的符號合理分類討論，導(dǎo)數(shù)背景下數(shù)列不等式的證明，應(yīng)根據(jù)已有的函數(shù)不等式合理構(gòu)建數(shù)列不等式.考點突破考點突破【考點一】雙變量同構(gòu)問題一、單選題1．（2024·山東濟南·一模）若不等式對任意的恒成立，則的最小值為（

）A． B．C． D．2．（2023·吉林長春·模擬預(yù)測）已知a，b滿足，，其中e是自然對數(shù)的底數(shù)，則ab的值為（

）A． B． C． D．二、多選題3．（22-23高三上·廣東·階段練習(xí)）已知定義在上的函數(shù)的圖像連續(xù)不間斷，當(dāng)時，，且當(dāng)時，，則下列說法正確的是（

）A．B．在上單調(diào)遞增C．若，則D．若是在區(qū)間內(nèi)的兩個零點，且，則4．（23-24高二上·重慶·期末）已知函數(shù)，，則下列說法正確的是（

）A．若函數(shù)存在兩個極值，則實數(shù)的取值范圍為B．當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增C．當(dāng)時，若存在，使不等式成立，則實數(shù)的最小值為D．當(dāng)時，若，則的最小值為三、填空題5．（2023·福建三明·三模）已知不等式恒成立，其中，則的最大值為.6．（2023·湖南郴州·模擬預(yù)測）已知函數(shù)有兩個極值點，則實數(shù)a的取值范圍為；若，則的最大值為．四、解答題7．（2023·北京通州·三模）已知函數(shù)(1)已知f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為，求實數(shù)a的值；(2)已知f（x）在定義域上是增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍.(3)已知有兩個零點，，求實數(shù)a的取值范圍并證明.8．（23-24高三上·天津?qū)幒印て谀┮阎瘮?shù)，．(1)當(dāng)時，求曲線在處的切線方程；(2)求的單調(diào)區(qū)間；(3)設(shè)是函數(shù)的兩個極值點，證明：．參考答案：題號1234答案ADABDBC1．A【分析】因為，所以，即求直線的縱截距的最小值，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)證明在的圖象上凹，所以直線與相切，切點橫坐標(biāo)越大，縱截距越小，據(jù)此即可求解.【詳解】因為，所以，所以即求直線的縱截距的最小值，設(shè)，所以，所以在單調(diào)遞增，所以在的圖象上凹，所以直線與相切，切點橫坐標(biāo)越大，縱截距越小，令切點橫坐標(biāo)為，所以直線過點，且直線斜率為所以的直線方程為，當(dāng)時，，即直線與相切時，直線與無交點，設(shè)，所以，所以在時斜率為，在時斜率為，均小于直線的斜率，所以可令直線在處與相交，在處與相交，所以直線方程為，所以截距為.故選：A.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題關(guān)鍵在于，，即求直線的縱截距的最小值的分析.2．D【分析】變換得到，，構(gòu)造函數(shù)，確定函數(shù)單調(diào)遞增，得到，化簡得到答案.【詳解】，故，，即；，故，即.設(shè)，，，函數(shù)單調(diào)遞增，，故，即，整理得到，即.故選：D.3．ABD【分析】A選項通過賦值法令可以解決，B選項對兩邊同時求導(dǎo)，結(jié)合以及函數(shù)圖像連續(xù)不斷的性質(zhì)進行判斷，C選項分和的大小關(guān)系，分情況進行討論，D選項先說明，在結(jié)合題目條件說明另一個不等號是否成立的問題.【詳解】對于A，在中令，則，所以，故A正確；對于，當(dāng)時，，對兩邊求導(dǎo)，則，所以時，，故，而時，即在上單調(diào)遞增，注意到的圖像連續(xù)不間斷，故也有在上單調(diào)遞增，故B正確；對于C，由B知，在上單調(diào)遞增，，故當(dāng)時，，即在上單調(diào)遞減.由知不可能均大于等于1，否則，則，這與條件矛盾，舍去.①若，則，滿足條件，此時，；，②若，則，由，取，則，則所以，而，所以，即，故C錯誤；對于D，由在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，知，注意到，根據(jù)零點存在定理，所以，若，根據(jù)C選項，則，則，由，，根據(jù)余弦函數(shù)的單調(diào)性，，與矛盾，舍去.所以，所以，所以，在時，中，令，而由，由，在上單調(diào)遞減，所以，所以，于是，故D正確.故選：ABD4．BC【分析】對A選項：由極值點的性質(zhì)結(jié)合導(dǎo)數(shù)討論單調(diào)性即可得；對B選項：結(jié)合導(dǎo)數(shù)討論單調(diào)性即可得；對C選項：結(jié)合單調(diào)性，可轉(zhuǎn)化為當(dāng)時，有成立，求出最小值即可得；對D選項：采用同構(gòu)法可確定，再將多變量化為單變量后結(jié)合導(dǎo)數(shù)討論單調(diào)性即可得.【詳解】對A選項：，若函數(shù)存在兩個極值，則函數(shù)必有兩個變號零點，令，則，令，則，則當(dāng)時，h'x<0，當(dāng)時，h故hx在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故，又當(dāng)時，恒成立，當(dāng)時，，故當(dāng)，函數(shù)有兩個變號零點，即若函數(shù)存在兩個極值，則實數(shù)的取值范圍為，故A錯誤；對B選項：當(dāng)時，，，令，則，則當(dāng)x∈0,1時，，當(dāng)x∈1,+∞時，故在0,1上單調(diào)遞減，在1,+∞上單調(diào)遞增，故，故函數(shù)在上單調(diào)遞增；故B正確；對C選項：當(dāng)時，，，令，則，則當(dāng)時，；當(dāng)時，；故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故，故在R上單調(diào)遞增，則存在，使不等式成立，等價于存在，使不等式成立，則當(dāng)時，有成立，由當(dāng)時，，且在上單調(diào)遞增，故，即實數(shù)的最小值為，故C正確；對D選項：當(dāng)時，由B、C可知，、均為定義域上的增函數(shù)，由，，故有，，由，則，即，故，又，故，令，則，令，則，則當(dāng)x∈0,1時，，當(dāng)x∈1,+∞時，故在0,1上單調(diào)遞減，在1,+∞上單調(diào)遞增，即，故在0,+∞上單調(diào)遞增，故無最小值，即無最小值，故D錯誤.故選：BC.【點睛】思路點睛：本題考查導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的綜合應(yīng)用問題，其中D選項中涉及到多變量問題的求解，求解此類問題的基本思路是根據(jù)已知中的等量關(guān)系，將多變量轉(zhuǎn)化為單變量的問題，從而將其轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題的求解.5．【分析】分類討論得出，從而得即，構(gòu)造函數(shù)求最值即可.【詳解】令，若，則在定義域上單調(diào)遞增，無最小值，不符合題意；即，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則，設(shè)，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，即，故.故答案為：.6．【分析】由有兩個極值點，得有兩個變號零點，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，得函數(shù)的草圖，利用草圖列式可求出的取值范圍；設(shè)，將化為，再構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)可求出其最大值.【詳解】的定義域為，，由已知得是的兩個變號零點，令，則，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，，，，當(dāng)時，，，，如圖：由圖可知，只需即可，所以，即實數(shù)a的取值范圍是；若，又，則令，由已知，則，則，則，，所以，令，則，令，則，所以函數(shù)在上遞增，又因為，所以當(dāng)時，，即，所以函數(shù)在上遞增，所以，所以的最大值為．【點睛】方法點睛：一般地，若時，涉及到雙變量的不等式的證明，函數(shù)的最值問題可以使用比值換元，令，將問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)進行求解.7．(1)(2)(3)，證明見解析【分析】（1）切線方程的斜率為1，所以有，解方程即得實數(shù)a的值；（2）依題意在（0，+∞）上恒成立.，分參求解即可；（3）求出函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合零點存在性定理即可求實數(shù)a的取值范圍；通過分析法要證明，只需證，構(gòu)造函數(shù)即可證得【詳解】（1）因為，所以.所以，又f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為，所以，解得..（2）f（x）的定義域為（0，+∞），因為f（x）在定義域上為增函數(shù)，所以在（0，+∞）上恒成立.即恒成立.，即，令，所以，時，時，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，即.（3）定義域為當(dāng)時，，所以在（0，+∞）上單調(diào)遞減，不合題意.當(dāng)時，在（0，）上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以的最小值為，函數(shù)存在兩個零點的必要條件是，即，又，所以在（1，）上存在一個零點（）.當(dāng)時，，所以在（，+∞）上存在一個零點，綜上函數(shù)有兩個零點，實數(shù)a的取值范圍是.不妨設(shè)兩個零點由，所以，所以，所以，要證，只需證，只需證，由，只需證，只需證，只需證，令，只需證，令，，∴H（t）在（0，1）上單調(diào)遞增，∴，即成立，所以成立.【點睛】極值點偏移問題，應(yīng)熟練掌握對稱構(gòu)造的基本方法，同時結(jié)合處理雙變量問題的常用方法比值代換的技巧.8．(1)(2)答案見解析(3)證明見解析【分析】（1）求導(dǎo)，然后求出f'1，（2）求導(dǎo)，然后分和討論求的單調(diào)區(qū)間；（3）根據(jù)極值點為導(dǎo)函數(shù)的零點，令，利用韋達定理將用表示，代入，構(gòu)造函數(shù)求其最值即可.【詳解】（1）當(dāng)時，，得，則，，所以切線方程為，即；（2），當(dāng)時，f'x>0恒成立，在0,+當(dāng)時，令f'x>0，得，單調(diào)遞增，令f'x<0，得，綜合得：當(dāng)時，的單調(diào)遞增區(qū)間為0,+∞，無減區(qū)間；當(dāng)時，的單調(diào)遞增區(qū)間為，的單調(diào)遞減區(qū)間為；（3），則，因為是函數(shù)gx=f即是方程的兩不等正根，所以，得，令，則，得，則，所以，則，令，則，所以在0,1上單調(diào)遞增，所以，所以，即.【點睛】關(guān)鍵點睛：對于雙變量問題，我們需要通過換元轉(zhuǎn)化為單變量問題，本題就是利用韋達定理，令達到消元的目的，常用的換元有等.規(guī)律方法：含有地位相等的兩個變量的不等式(方程)，關(guān)鍵在于對不等式(方程)兩邊變形或先放縮再變形，使不等式(方程)兩邊具有結(jié)構(gòu)的一致性，再構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的性質(zhì)解決問題．【考點二】指對同構(gòu)問題一、單選題1．（2023·湖北武漢·三模）已知，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（

）A． B．C． D．2．（23-24高三上·河北·期末）設(shè)實數(shù)，若對恒成立，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．二、多選題3．（23-24高三上·河南·期中）已知實數(shù)m，n滿足，且，則（

）A． B． C． D．4．（2023·浙江紹興·模擬預(yù)測）已知,若,其中是自然對數(shù)的底數(shù),則（

）A． B．C． D．三、填空題5．（2023·湖南郴州·三模）設(shè)實數(shù)，若對任意的，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍為.6．（2022高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)有兩個零點，則實數(shù)a的取值范圍是．四、解答題7．（23-24高三上·陜西漢中·期中）已知函數(shù)，.(1)求函數(shù)的極值；(2)若，求函數(shù)的最小值；(3)若有兩個零點，，證明：.8．（2022高三·全國·專題練習(xí)），若，求a的取值范圍.參考答案：題號1234答案ABACDACD1．A【分析】設(shè)，對求導(dǎo)，得到的單調(diào)性的最值，結(jié)合對數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)的性質(zhì)，即可證明，再證明，令，通過指數(shù)和對數(shù)函數(shù)的運算性質(zhì)可證明，即可得出答案.【詳解】設(shè)，，當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，所以，，又，則，，所以，對于，令，則，此時，所以.故選：A.【點睛】方法點睛：對于比較實數(shù)大小方法：（1）利用基本函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性判斷，（2）利用中間值“1”或“0”進行比較，（3）構(gòu)造函數(shù)利用函數(shù)導(dǎo)數(shù)及函數(shù)單調(diào)性進行判斷.2．B【分析】先將指對混合形式變形為同構(gòu)形式，再構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性求函數(shù)最值，得到參數(shù)范圍.【詳解】由，則，，當(dāng)時，，恒成立，即任意，對恒成立；當(dāng)時，，即，其中，構(gòu)造函數(shù)，則.，因為，所以，單調(diào)遞增；則有，則，構(gòu)造函數(shù)，則，令，解得，當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減，則，即當(dāng)時，，故要使恒成立，則，即的取值范圍為.故選：B.【點睛】一般地，在等式或不等式中指對形同時出現(xiàn)，可能需要利用指對同構(gòu)來解決問題.解決問題的關(guān)鍵在于指對分離，構(gòu)造“指冪—冪對”形式，再構(gòu)造函數(shù)求解.常見的同構(gòu)式有：與，與等.3．ACD【分析】根據(jù)題意可得，即，構(gòu)造函數(shù)，利用其單調(diào)性和函數(shù)值確定，進而等量代換將雙未知量變?yōu)閱挝粗浚纯梢灰磺蠼?【詳解】由可得，，即，則有，也即，設(shè)函數(shù)，則，，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增，且當(dāng)時，；當(dāng)時，；因為，所以，即，所以，即，A正確；，B錯誤；設(shè)，在恒成立，且，所以存在唯一使得，由可得，，所以，，設(shè)在上單調(diào)遞增，所以，所以，C正確；，設(shè)，，令，，易得函數(shù)在單調(diào)遞增，且，所以函數(shù)在單調(diào)遞減，且，所以恒成立，所以單調(diào)遞增，所以，即，所以正確，故D正確；故選:ACD.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵在于利用同構(gòu)思想，將原等式化為，進而構(gòu)造函數(shù)，利用單調(diào)性和函數(shù)值確定，進而利用等量代換，即可求解.4．ACD【分析】由得,由得,構(gòu)造函數(shù),易知函數(shù)為上的增函數(shù),可得,,對于A,依據(jù)零點存在性定理判斷;對于B,依據(jù)條件進行判斷即可;對于C,利用當(dāng)時,判斷即可;對于D,利用在上的單調(diào)性判斷即可.【詳解】由得,①由得,即,②令,易知函數(shù)為上的增函數(shù),又①式化為:,所以,②式化為:,所以,對于A,令,根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì),函數(shù)在上為增函數(shù),當(dāng)時,;當(dāng)時,,則由零點存在性定理可知,故A正確;對于B,因為,,所以,則,故B錯誤;對于C,設(shè),則,當(dāng)時,,則函數(shù)在上為增函數(shù),所以函數(shù),即,所以,故C正確;對于D,由A知,,在上遞減,當(dāng)時,,故D正確.故選：ACD.【點睛】將轉(zhuǎn)化為,轉(zhuǎn)化為,構(gòu)造函數(shù),利用單調(diào)性得到，是解本題的關(guān)鍵.5．【分析】將函數(shù)化簡成，構(gòu)造同構(gòu)函數(shù)，分析單調(diào)性，轉(zhuǎn)化為即求解研究函數(shù)單調(diào)性即可解決.【詳解】因為通分得：即：；設(shè)，函數(shù)在單調(diào)遞增，恒成立，得：即設(shè)，易知函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減故答案為：6．【分析】通過同構(gòu)簡化函數(shù)形式，然后再轉(zhuǎn)化成兩個函數(shù)，畫圖確定參數(shù)范圍.【詳解】，令，，顯然該函數(shù)單調(diào)遞增，即有兩個根，即有兩個根，如下圖，作出函數(shù)的圖像及其過原點的切線，可知當(dāng)時有兩個交點即有兩個根．故答案為：.7．(1)極大值為，無極小值(2)(3)證明見解析【分析】（1）求導(dǎo)后解不等式、即可求得極值.（2）運用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性，進而可求得其最小值.（3）由已知可得，構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)其單調(diào)性可得，構(gòu)造函數(shù)并研究其單調(diào)性，構(gòu)造函數(shù)并研究其單調(diào)性，當(dāng)時，依次結(jié)合函數(shù)、的單調(diào)性即可證得結(jié)果.【詳解】（1）由題意知函數(shù)的定義域為，，，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在處取得極大值，極大值為，無極小值.（2）由題意知函數(shù)的定義域為.，則，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.所以.（3）不妨設(shè)，則由（2）知，.設(shè)，由，得，即，因為函數(shù)在R上單調(diào)遞增，所以成立.構(gòu)造函數(shù)，則，，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，構(gòu)造函數(shù)，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，，即當(dāng)時，，所以，又在上單調(diào)遞減，所以，即.【點睛】極值點偏移問題的方法指導(dǎo)：(1)(對稱化構(gòu)造法)構(gòu)造輔助函數(shù)：對結(jié)論型，構(gòu)造函數(shù)；對結(jié)論型，構(gòu)造函數(shù)，通過研究的單調(diào)性獲得不等式．(2)(比值代換法)通過代數(shù)變形將所證的雙變量不等式通過代換化為單變量的函數(shù)不等式，利用函數(shù)單調(diào)性證明．8．【分析】方法一：構(gòu)造，，對不等式進行變形為，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性求出參數(shù)的取值范圍；方法二：構(gòu)造，對不等式變形為，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性解出不等式，求出參數(shù)取值范圍.【詳解】方法一：定義域為，同構(gòu)構(gòu)造，，當(dāng)時，恒成立，則在上單調(diào)遞增，即，結(jié)合函數(shù)單調(diào)遞增，可知：，即，故恒成立，令，，則，當(dāng)時，，當(dāng)時，故在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，且，所以，則，解得：方法二：構(gòu)造．則恒成立，故單調(diào)遞增，因為即，所以，故令，，則，當(dāng)時，，當(dāng)時，故在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，且，所以，則，解得：【點睛】同構(gòu)適用于方程或不等式中同時出現(xiàn)指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)，常見的同構(gòu)變形有，，，等.規(guī)律方法：指對同構(gòu)的常用形式(1)積型：aea≤blnb，一般有三種同構(gòu)方式：①同左構(gòu)造形式：aea≤lnbelnb，構(gòu)造函數(shù)f(x)＝xex；②同右構(gòu)造形式：ealnea≤blnb，構(gòu)造函數(shù)f(x)＝xlnx；③取對構(gòu)造形式：a＋lna≤lnb＋lneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(lnb))(b>1)，構(gòu)造函數(shù)f(x)＝x＋lnx.(2)商型：eq\f(ea,a)≤eq\f(b,lnb)，一般有三種同構(gòu)方式：①同左構(gòu)造形式：eq\f(ea,a)≤eq\f(elnb,lnb)，構(gòu)造函數(shù)f(x)＝eq\f(ex,x)；②同右構(gòu)造形式：eq\f(ea,lnea)≤eq\f(b,lnb)，構(gòu)造函數(shù)f(x)＝eq\f(x,lnx)；③取對構(gòu)造形式：a－lna≤lnb－ln(lnb)(b>1)，構(gòu)造函數(shù)f(x)＝x－lnx.(3)和、差型：ea±a>b±lnb，一般有兩種同構(gòu)方式：①同左構(gòu)造形式：ea±a>elnb±lnb，構(gòu)造函數(shù)f(x)＝ex±x；②同右構(gòu)造形式：ea±lnea>b±lnb，構(gòu)造函數(shù)f(x)＝x±lnx.專題精練專題精練一、單選題1．（21-22高二下·陜西西安·期末）已知，且，其中e為自然對數(shù)的底數(shù)，則下列選項中一定成立的是（

）A． B． C． D．2．（2022·浙江·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，對于任意的、，當(dāng)時，總有成立，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．3．（2023·廣西柳州·模擬預(yù)測）函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象交點的橫坐標(biāo)，則＝（

）A． B．－ C． D．4．（2023·全國·模擬預(yù)測）若方程在上有實根，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．二、多選題5．（21-22高三上·福建三明·期末）已知函數(shù)有兩個極值點，，則（

）A．a(chǎn)的取值范圍為（－∞，1） B．C． D．6．（23-24高三上·浙江寧波·期末）已知，，，，則（

）A． B． C． D．7．（22-23高三下·浙江杭州·開學(xué)考試）直線與函數(shù)的圖像有4個不同的交點，并且從左到右四個交點分別為，它們的橫坐標(biāo)依次是，則下列關(guān)系式正確的是（

）A． B．C． D．存在使得A點處切線與點處切線垂直8．（22-23高三上·黑龍江哈爾濱·期中）已知函數(shù)則下列結(jié)論正確的有（

）A．當(dāng)時，是的極值點B．當(dāng)時，恒成立C．當(dāng)時，有2個零點D．若是關(guān)于x的方程的2個不等實數(shù)根，則三、填空題9．（22-23高三上·安徽六安·期末）已知函數(shù)，，若，，則的最大值為．10．（2024·全國·模擬預(yù)測）若存在正數(shù)，使得不等式有解，則實數(shù)的取值范圍是．11．（2023·安徽安慶·二模）已知函數(shù)，其中，若不等式對任意恒成立，則的最小值為.12．（23-24高二上·江蘇徐州·期末）若實數(shù)t是方程的根，則的值為.四、解答題13．（2024·廣東湛江·二模）已知函數(shù).(1)求曲線在點處的切線方程；(2)若，，且，證明：.14．（2022高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)，，若對恒成立，求實數(shù)的取值范圍.15．（2023·四川內(nèi)江·一模）已知函數(shù).(1)當(dāng)時，求的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)若函數(shù)恰有兩個極值點，記極大值和極小值分別為，求的取值范圍.16．（2023·浙江溫州·二模）已知函數(shù)．(1)若，求方程的解；(2)若有兩個零點且有兩個極值點，記兩個極值點為，求的取值范圍并證明．參考答案：題號12345678答案CABCBCDABCABDABD1．C【分析】通過構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性以及式子的結(jié)構(gòu)特征進行分析.【詳解】因為，所以，令，所以，對函數(shù)求導(dǎo)：，

由有：，由有：，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，因為，由有：，故A錯誤；因為，所以，由有：，故D錯誤；因為，所以，因為，所以，所以，故C正確；令有：=，當(dāng)，.所以在單調(diào)遞增，當(dāng)時，，即，又，所以，因為，所以，因為在內(nèi)單調(diào)遞減，所以，即，故B錯誤.故選：C.2．A【分析】設(shè)，可知函數(shù)為上的增函數(shù)，即對任意的，，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)在上的最小值，即可得出實數(shù)的取值范圍.【詳解】不妨設(shè)，由可得出，即，令，其中，則，所以，函數(shù)在上為增函數(shù)，則，則，令，其中，，令，其中，所以，，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，因為，，所以，存在，使得，則，令，其中，則，故函數(shù)在上為增函數(shù)，因為，，所以，，由可得，所以，，可得，且當(dāng)時，，此時函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時，，此時函數(shù)單調(diào)遞增，所以，，所以，.故選：A.【點睛】思路點睛：本題關(guān)鍵點在處理函數(shù)的極值點時，根據(jù)零點存在定理得出其極值點滿足，通過利用指對同構(gòu)結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性轉(zhuǎn)化為，，利用整體代換法可求得的取值范圍.3．B【分析】由，代入整理變形可得.構(gòu)造函數(shù)，求出導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)得出在上單調(diào)遞增.即可得出，則，代入即可得出答案.【詳解】由已知可得，，即，即.令，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立.所以恒成立，所以在上單調(diào)遞增.所以有可得，，則，所以.故選：B.【點睛】思路點睛：由得出后，進行同構(gòu)變形得到然后構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)得出函數(shù)的單調(diào)性，得到關(guān)于的關(guān)系式，即可得出答案.4．C【分析】根據(jù)題意，化簡得到，設(shè)，得到，求得，得到為增函數(shù)，轉(zhuǎn)化為方程在上有實根，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合，進而求得的范圍.【詳解】由，可得，即，因為，可得，所以，其中，設(shè)，則，又因為，所以在上為增函數(shù)，所以，即，所以問題轉(zhuǎn)化為方程在上有實根，設(shè)（），則，所以在上是減函數(shù)，所以，解得．故選：C．【點睛】關(guān)鍵點睛：解本題的關(guān)鍵是通過函數(shù)的單調(diào)性，把在上有實根轉(zhuǎn)化為在上有實根，對于既含有指數(shù)式又含有對數(shù)式的等式或不等式，直接求導(dǎo)會出現(xiàn)越求導(dǎo)式子越復(fù)雜的情況，此時可通過同構(gòu)函數(shù)，再利用函數(shù)的單調(diào)性，把問題轉(zhuǎn)化為較為簡單的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)問題．5．BCD【分析】利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)零點的個數(shù)求出的取值范圍，進而確定的取值范圍，再利用不等式的性質(zhì)、構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)逐一判斷即可.【詳解】由題設(shè)，且定義域為，則，當(dāng)時，則單調(diào)遞增，不可能存在兩個零點，即不可能存在兩個極值點，A錯誤；當(dāng)時，即單調(diào)遞增，當(dāng)時，即單調(diào)遞減，即，當(dāng)時，，所以至多有一個零點；當(dāng)時，，而，當(dāng)趨向于0時趨于負(fù)無窮大，當(dāng)趨向于正無窮時趨于負(fù)無窮大，綜上，，在內(nèi)各有一個零點，且，B：由且趨向于0時趨于負(fù)無窮大，所以，故，令，，又，所以單調(diào)遞減，故當(dāng)時，，又，所以，而，因此，故正確；C：，令，顯然有，令，顯然，因此有：，設(shè)，則，當(dāng)時，單調(diào)遞減，當(dāng)時，單調(diào)遞增，因為，所以，令，即，因為，所以單調(diào)遞增，因為，所以，而，所以，因為，所以，當(dāng)時，單調(diào)遞減，因此有，即，正確；D：由，則，故，正確.故選：BCD【點睛】關(guān)鍵點睛：構(gòu)造函數(shù)、、，利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性進行求解.6．ABC【分析】構(gòu)造函數(shù)，則有、，可得C、D，構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合函數(shù)性質(zhì)可得，構(gòu)造函數(shù)及，可得.【詳解】令，則，當(dāng)時，f'x<0，當(dāng)x∈1,+故在、上單調(diào)遞減，在1,+∞上單調(diào)遞增，當(dāng)時，，當(dāng)時，，，有，故，又，，故，故有，故，即C正確，，即，故D錯誤，令，則，令，則，當(dāng)時，，當(dāng)時，，故在上單調(diào)遞增，在1,+∞上單調(diào)遞減，有，故恒成立，即恒成立，故Fx在上單調(diào)遞減，又，故當(dāng)時，，當(dāng)x∈1,+∞，，即當(dāng)時，，當(dāng)x∈1,+∞時，，令，即，此時，故該方程有兩個不相等的實根，設(shè)兩根為、，且，則有，由，且，故有，由，故，即，故A正確；令，有，則，當(dāng)x∈0,1時，，當(dāng)x∈1,+∞，故在0,1上單調(diào)遞增，在1,+∞上單調(diào)遞減，有，又，故，令，則，由，故，即，故在0,1上單調(diào)遞增，又，故恒成立，即，由，即有，又，即有，有，，又在1,+∞上單調(diào)遞減，故，即，故B正確.故選：ABC.【點睛】關(guān)鍵點睛：本題關(guān)鍵在于構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合函數(shù)性質(zhì)，從而得到、、、的大小關(guān)系，即可得C、D，構(gòu)造函數(shù)與函數(shù)，從而得到、與的關(guān)系.7．ABD【分析】AB：為方程兩根，為方程兩根，由韋達定理可判斷選項正誤.C：由圖像可得，注意到，研究函數(shù)，的單調(diào)性可判斷選項.D：由題可建立關(guān)于的方程組，判斷其解是否存在即可.【詳解】由，當(dāng)時，，僅當(dāng)?shù)忍柍闪?，而與有4個交點，顯然不可能存在交點；當(dāng)，，僅當(dāng)?shù)忍柍闪ⅲ缮弦字涸谏线f減，在上遞增，且，綜上，在、上，在上，故在、上，在上，令，則，可得或，要使與有4個交點，則，當(dāng)時；當(dāng)時；據(jù)此可得圖像如下.AB：由圖及題意，為，即的兩根，則.為，即的兩根，則.則，.故AB正確.C：注意到，又在上單調(diào)遞增，則，又.設(shè)，則，所以，得在上單調(diào)遞增，則，從而，故C錯誤.D：因A，B兩點在圖像上，則.又在A，B兩點處切線相互垂直，.則過A點直線斜率為，過B點斜率為，.則建立關(guān)于的方程組，存在相當(dāng)于方程組有解.因，則.設(shè)，由圖可得.，代入，有.令，因，則，又，則，由上有在上有根.令，注意到，，得在上有根，即存在使得A點處切線與點處切線垂直，故D正確.故選：ABD【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題涉及函數(shù)的零點與方程的根，難度較大.AB選項，結(jié)合圖像與題意找到間關(guān)系，后用韋達定理解決問題.C選項，為雙變量問題，注意到，研究在上的單調(diào)性可得答案.D選項，直接求得難度較大，故將的存在性轉(zhuǎn)化為相關(guān)方程組有解.8．ABD【分析】對于A，代入后對求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)極值的關(guān)系即可得證；對于B，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求得，從而可證得；對于C，舉反例排除即可；對于D，利用極值點偏移的證明方法即可證得.【詳解】對于A，當(dāng)時，，則，令，得；令，得；所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以是的極大值點，故A正確；對于B，令，得，令，則，令，解得，故當(dāng)，，單調(diào)遞增；當(dāng)，，單調(diào)遞減；所以，因為，所以，故，整理得，即恒成立，故B正確；對于C，令，則，令，解得，故只有1個零點，故C錯誤；對于D，因為是關(guān)于的方程的2個不等實數(shù)根，所以，即，所以問題等價于有兩個零點，證明，不妨設(shè)，則由得到，要證，只需要證明，即只需證明：，只需證明：，即，令，只需證明：，令，則，即在上單調(diào)遞增，又，所以，即恒成立，綜上所述，原不等式成立，即成立，故D正確.故選：ABD.【點睛】方法點睛：對于利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的綜合問題的求解策略：1、通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；2、利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題．3、根據(jù)恒成立或有解求解參數(shù)的取值時，一般涉及分離參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構(gòu)造的新函數(shù)能直接求出最值點的情況，進行求解，若參變分離不易求解問題，就要考慮利用分類討論法和放縮法，注意恒成立與存在性問題的區(qū)別．9．【分析】對已知等式進行同構(gòu)可得，令，利用導(dǎo)數(shù)可求得單調(diào)遞增，由此可得，從而將所求式子化為；令，利用導(dǎo)數(shù)可求得，即為所求最大值.【詳解】由得：；由得：，；，令，，，在上單調(diào)遞增，；令，則，則當(dāng)時，；當(dāng)時，；在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，即的最大值為.故答案為：.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查利用導(dǎo)數(shù)求解多變量的式子最值的問題；解題關(guān)鍵是能夠?qū)τ谝阎仁竭M行同構(gòu)變形，將問題轉(zhuǎn)化為某一單調(diào)函數(shù)的兩個函數(shù)值相等的問題，從而確定兩個變量之間的關(guān)系，將所求式子化為單變量的式子來進行求解.10．【分析】由轉(zhuǎn)化為，然后構(gòu)造函數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性，從而求解.【詳解】因為，，所以，不等式可以化為，令，則，所以．當(dāng)時，，故函數(shù)在上單調(diào)遞增．當(dāng)時，，不合題意，舍去．當(dāng)時，，因為在上單調(diào)遞增，，所以，即．令，則，當(dāng)時，，當(dāng)x>1時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增，故，所以，即，矛盾，故舍去．當(dāng)時，，所以當(dāng)時，，所以，即．綜上可得，實數(shù)的取值范圍是．【點睛】根據(jù)不等式構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究求解函數(shù)單調(diào)性，從而求解不等式.11．【分析】首先求出，則問題即為，可同構(gòu)變形為，構(gòu)造函數(shù)，，利用導(dǎo)數(shù)說明函數(shù)的單調(diào)性，即可得到，參變分離得到，再令，，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最大值，即可求出參數(shù)的取值范圍，即可得解.【詳解】因為，所以，所以不等式即為，即，構(gòu)造函數(shù)，，則，則即為，因為，所以，所以，，所以，所以在上單調(diào)遞增，而，，因此由等價于，所以，令，，則，所以當(dāng)時，當(dāng)時，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，所以，故正實數(shù)的最小值為.故答案為：【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題解答的關(guān)鍵是同構(gòu)變形，從而可構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，將函數(shù)不等式轉(zhuǎn)化為自變量的不等式，再進行參變分離.12．【分析】將方程進行合理變形可得，利用同構(gòu)函數(shù)并結(jié)合定義域可構(gòu)造函數(shù)，即可得出，利用對數(shù)運算即可得出結(jié)果.【詳解】由可得，即即可得實數(shù)t是方程的根，即；易知，所以；令函數(shù)，則在上恒