2025年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專項訓(xùn)練8 恒成立問題與能成立問題（解析版）

2025二輪復(fù)習(xí)專項訓(xùn)練8恒成立問題與能成立問題[考情分析]恒成立問題(能成立問題)多與參數(shù)的取值范圍問題聯(lián)系在一起，是近幾年高考的熱門題型，難度大，一般為高考題中的壓軸題．【練前疑難講解】一、恒成立問題(1)由不等式恒成立求參數(shù)的取值范圍問題的策略①求最值法，將恒成立問題轉(zhuǎn)化為利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值問題．②分離參數(shù)法，將參數(shù)分離出來，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為a>f(x)max或a<f(x)min的形式，通過導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用求出f(x)的最值，即得參數(shù)的范圍．(2)不等式有解問題可類比恒成立問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，要理解清楚兩類問題的差別．(3)判斷含x，lnx，ex的混合式的函數(shù)值的符號時，需利用x0＝及ex≥x＋1，lnx≤x－1對函數(shù)式放縮，有時可放縮為一個常量，變形為關(guān)于x的一次式或二次式，再判斷符號．二、能成立問題(1)含參數(shù)的不等式能成立(存在性)問題的轉(zhuǎn)化方法若a≥f(x)在x∈D上能成立，則a≥f(x)min；若a≤f(x)在x∈D上能成立，則a≤f(x)max.(2)不等式能成立問題的解題關(guān)鍵點一、單選題1．（2024·陜西商洛·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，若對任意的，當(dāng)時，都有，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．2．（2023·貴州·二模）已知函數(shù)，，對任意，，都有不等式成立，則a的取值范圍是（

）A． B．C． D．二、多選題3．（2023·安徽馬鞍山·一模）已知函數(shù)，若恒成立，則實數(shù)的可能的值為（

）A． B． C． D．4．（2023·廣東廣州·一模）已知函數(shù)，點分別在函數(shù)的的圖像上，為坐標(biāo)原點，則下列命題正確的是（

）A．若關(guān)于的方程在上無解，則B．存在關(guān)于直線對稱C．若存在關(guān)于軸對稱，則D．若存在滿足，則三、填空題5．（2024·河北·三模）已知對任意恒成立，則實數(shù)的取值范圍是．6．（2023·江蘇連云港·模擬預(yù)測）已知定義在R上的函數(shù)，若有解，則實數(shù)a的取值范圍是．四、解答題7．（2023·全國·高考真題）已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)證明：當(dāng)時，．8．（2024·福建泉州·模擬預(yù)測）已知函數(shù)．(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)若存在，使得成立，求實數(shù)的取值范圍．參考答案：題號1234答案CCADBCD1．C【分析】構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)，分離參數(shù)求最值即可.【詳解】不等式等價于，令，根據(jù)題意對任意的，當(dāng)時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以在上恒成立，即在上恒成立.令，則，所以當(dāng)時，，單調(diào)遞增，當(dāng)時，單調(diào)遞減.所以，所以.故選：C.【點睛】結(jié)論點睛：對于恒成立問題，常用到以下兩個結(jié)論：（1）恒成立；（2）恒成立.2．C【分析】將問題轉(zhuǎn)化為，利用導(dǎo)數(shù)求在上的最小值、在上的最小值，即可得結(jié)果.【詳解】對任意，，都有不等式成立，，，，則在區(qū)間上單調(diào)遞增，∴，，，，則在上單調(diào)遞增，，，則在上單調(diào)遞減，，，故，綜上，.故選：C3．AD【分析】根據(jù)轉(zhuǎn)化成恒成立，構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)求解的單調(diào)性，問題進(jìn)一步轉(zhuǎn)化成恒成立，構(gòu)造，求解最值即可.【詳解】，故恒成立，轉(zhuǎn)化成恒成立，記，則在單調(diào)遞增，故由得，故恒成立，記，故當(dāng)時，單調(diào)遞減，當(dāng)時，單調(diào)遞增，故當(dāng)時，取最大值，故由恒成立，即,故，故選：AD【點睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的應(yīng)用，著重考查了轉(zhuǎn)化與化歸思想、邏輯推理能力與計算能力，對導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查主要從以下幾個角度進(jìn)行：(1)考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求解曲線在某點處的切線方程；(2)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性，求參數(shù)；(3)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決函數(shù)的恒成立與有解問題，同時注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.4．BCD【分析】根據(jù)給定條件，求出方程在上有解的a范圍判斷A；設(shè)出點的坐標(biāo)，由方程有解判斷B；設(shè)出點的坐標(biāo)，建立函數(shù)關(guān)系，求出函數(shù)的值域判斷CD作答.【詳解】函數(shù)，對于A，方程在上有解，顯然函數(shù)在上單調(diào)遞增，則有，解得，因此關(guān)于的方程在上無解，則或，A錯誤；對于B，設(shè)點，依題意，點Q關(guān)于直線對稱點在函數(shù)的圖象上，即關(guān)于t的方程有解，即有解，此時，令函數(shù)，，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，，而函數(shù)在上都單調(diào)遞增，它們的取值集合分別為，因此函數(shù)的值域為，又，于是在有解，所以存在關(guān)于直線對稱，B正確；對于C，設(shè)點，則點P關(guān)于y軸對稱點在函數(shù)的圖象上，即，令，，即函數(shù)在上單調(diào)遞減，，又，恒有，因此，C正確；對于D，令，由得，顯然，且，，令，，當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減，因此，即有，，而，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以，即，D正確.故選：BCD5．【分析】將原不等式變形為，設(shè)，通過求導(dǎo)求的最小值，然后解不等式即可.【詳解】因為，，所以，即，設(shè)，，令，，即在上單調(diào)遞增，令，，即在上單調(diào)遞減，則，所以，解得.故答案為：.6．【分析】分析的奇偶性和單調(diào)性，根據(jù)奇偶性和單調(diào)性求解.【詳解】，所以是奇函數(shù)，又，在R的范圍內(nèi)是增函數(shù)，有解等價于，有解，令，當(dāng)時，是增函數(shù)，當(dāng)x趨于時，趨于，滿足題意；當(dāng)時，當(dāng)時，，是增函數(shù)，當(dāng)時，是減函數(shù)，；令，則，當(dāng)時，，是增函數(shù)，當(dāng)時，是減函數(shù)，并且當(dāng)時，，，當(dāng)時，即當(dāng)時，滿足題意，所以a的取值范圍是；故答案為：.7．(1)答案見解析(2)證明見解析【分析】（1）先求導(dǎo)，再分類討論與兩種情況，結(jié)合導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系即可得解；（2）方法一：結(jié)合（1）中結(jié)論，將問題轉(zhuǎn)化為的恒成立問題，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)證得即可.方法二：構(gòu)造函數(shù)，證得，從而得到，進(jìn)而將問題轉(zhuǎn)化為的恒成立問題，由此得證.【詳解】（1）因為，定義域為，所以，當(dāng)時，由于，則，故恒成立，所以在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，令，解得，當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞增；綜上：當(dāng)時，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）方法一：由（1）得，，要證，即證，即證恒成立，令，則，令，則；令，則；所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，則恒成立，所以當(dāng)時，恒成立，證畢.方法二：令，則，由于在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，又，所以當(dāng)時，；當(dāng)時，；所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故，則，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，因為，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，所以要證，即證，即證，令，則，令，則；令，則；所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，則恒成立，所以當(dāng)時，恒成立，證畢.8．(1)單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；(2)【分析】（1）先對函數(shù)求導(dǎo)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性關(guān)系即可求解；（2）由已知不等式成立，先分離參數(shù)，結(jié)合成立與最值關(guān)系的轉(zhuǎn)化即可求解．【詳解】（1）因為，，令f'(x)=0，解得當(dāng)時，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，則的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；（2）依題意，存在，使得，令，則，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，故，因此，故的取值范圍為．【基礎(chǔ)保分訓(xùn)練】一、單選題1．（2024·河南·三模）若關(guān)于的不等式恒成立，則實數(shù)的最大值為（

）A． B． C．1 D．2．（2021·四川瀘州·模擬預(yù)測）設(shè)函數(shù)（其中為自然對數(shù)的底數(shù)），若存在實數(shù)a使得恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是（

）A． B．C． D．3．（2023·四川成都·模擬預(yù)測）若關(guān)于的不等式在內(nèi)有解，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．二、多選題4．（21-22高二下·黑龍江哈爾濱·期中）已知函數(shù)，下列命題正確的是（

）A．若是函數(shù)的極值點，則B．若是函數(shù)的極值點，則在上的最小值為C．若在上單調(diào)遞減，則D．若在上恒成立，則5．（2021·山東菏澤·一模）對于函數(shù)，下列說法正確的是（

）A．在處取得極大值B．有兩個不同的零點C．D．若在(0,+∞)上恒成立，則6．（2022·河北·模擬預(yù)測）若存在正實數(shù)x，y，使得等式成立，其中e為自然對數(shù)的底數(shù)，則a的取值可能是（

）A． B． C． D．2三、填空題7．（2023·河北保定·一模）已知是函數(shù)在定義域上的導(dǎo)函數(shù)，且，，若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在零點，則實數(shù)m的最小值為．8．（2023·河南開封·模擬預(yù)測）實數(shù)x，y滿足，則的值為．9．（2023·山西·二模）已知，，且滿足，則．四、解答題10．（2024·四川南充·二模）已知函數(shù).(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若對任意的，不等式恒成立，求的取值范圍.11．（23-24高二上·陜西榆林·開學(xué)考試）已知函數(shù).(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)當(dāng)時，證明：當(dāng)時，.12．（2024·福建泉州·模擬預(yù)測）（1）已知，求的最大值與最小值；（2）若關(guān)于x的不等式存在唯一的整數(shù)解，求實數(shù)a的取值范圍.參考答案：題號123456答案BABABCACDACD1．B【分析】對所給不等式進(jìn)行適當(dāng)變形，利用同構(gòu)思想得出對于任意的恒成立，進(jìn)一步利用導(dǎo)數(shù)求出不等式右邊的最小值即可求解.【詳解】顯然首先，，令，則，所以在定義域內(nèi)嚴(yán)格單調(diào)遞增，所以若有成立，則必有，即對于任意的恒成立，令，則，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，取得最小值，從而，所以的取值范圍是，即實數(shù)的最大值為.故選：B.2．A【分析】由題意可得，令，函數(shù)和函數(shù)的圖象，一個在直線上方，一個在直線下方，等價于一個函數(shù)的最小值大于另一個函數(shù)的最大值，即可得出答案．【詳解】函數(shù)的定義域為，由，得，所以，令，由題意知，函數(shù)和函數(shù)的圖象，一個在直線上方，一個在直下方，等價于一個函數(shù)的最小值大于另一個函數(shù)的最大值，由，得，所以當(dāng)時，單調(diào)遞增，當(dāng)時，單調(diào)遞減，所以，沒有最小值，由，得，當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以有最大值，無最小值，不合題意，當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以即，所以，即m的取值范圍為．故選：A．3．B【分析】題設(shè)中的不等式等價于，令，結(jié)合導(dǎo)數(shù)可得該函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合可得的解，從而可求實數(shù)的取值范圍.【詳解】由有意義可知，.由，得.令，即有.因為，所以，令，問題轉(zhuǎn)化為存在，使得.因為，令，即，解得；令，即，解得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.又，所以當(dāng)時，.因為存在，使得成立，所以只需且，解得.故選：.4．ABC【分析】對于A，由可求出的值，對于B，由選項A，可求得，然后利用導(dǎo)數(shù)可求出在上的最小值，對于C，由題意可得，可求出的范圍，對于D，將問題轉(zhuǎn)化為在上恒成立，構(gòu)造函數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)求出其最大值即可【詳解】對于A，由，得，因為是函數(shù)的極值點，所以，得，經(jīng)檢驗是函數(shù)的極小值點，所以A正確，對于B，由選項A，可知，則，由，得或，由，得，所以在和遞增，在上遞減，所以當(dāng)時，時，取得最小值，所以B正確，對于C，因為在上單調(diào)遞減，所以，即，得在上恒成立，令，則，所以在單調(diào)遞增，所以，即，所以，所以C正確，對于D，由在上恒成立，得在上恒成立，即在上恒成立，令，，則，所以上單調(diào)遞增，所以，所以，所以D錯誤，故選：ABC5．ACD【分析】對求導(dǎo)，利用導(dǎo)函數(shù)的符號判斷的單調(diào)性即可得極值，可判斷選項A；由的單調(diào)性以及函數(shù)值的符號可判斷選項B；利用得單調(diào)性以及函數(shù)值與的關(guān)系可判斷選項C；分離可得，計算的最大值可判斷選項D，進(jìn)而可得正確選項.【詳解】對于選項A：函數(shù)定義域為(0,+∞)，，令可得，令可得，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，所以在時取得極大值，故選項A正確對于選項B：令，可得，因此只有一個零點，故選項B不正確；對于選項C：顯然，在單調(diào)遞減，可得，因為，即，故選項C正確；對于選項D：由題意知：在(0,+∞)上恒成立，令則，因為易知當(dāng)時.，當(dāng)時，，所以在時取得極大值也是最大值，所以，所以在上恒成立，則，故選項D正確.故選：ACD.【點睛】方法點睛：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值的步驟：①寫定義域，對函數(shù)求導(dǎo)；②在定義域內(nèi)，解不等式和得到單調(diào)性；③利用單調(diào)性判斷極值點，代入解析式即可得極值.6．ACD【分析】，即，令，則，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的值域，從而可得出答案.【詳解】解：由題意，不等于，由，得，令，則，設(shè)，則，因為函數(shù)在上單詞遞增，且，所以當(dāng)時，，當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，從而，即，解得或.故.故選：ACD.7．1【分析】（1）首先根據(jù)條件等式，變形得到函數(shù)，再變形得到，通過構(gòu)造函數(shù)得到，參變分離后，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域，即可求的取值范圍.【詳解】在中，，∴，∴∴（c為常數(shù)），由，解得：，∴，若在區(qū)間內(nèi)存在零點，整理可得：，設(shè)，，令，得，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，函數(shù)取得最小值，，所以，當(dāng)時，等號成立，所以當(dāng)且僅當(dāng)時，上式取等號即存在，使，設(shè)，，令，得，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，函數(shù)取得最小值，，所以，故m最小值為1,故答案為：1【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，零點，不等式的綜合問題，本題的關(guān)鍵一是利用導(dǎo)數(shù)的等式，通過構(gòu)造得到函數(shù)的解析式，關(guān)鍵二是利用同構(gòu)得到等式，再構(gòu)造函數(shù)求得，參變分離后即可求解.8．【分析】將原不等式變?yōu)?，利用換元法令和構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性求出，當(dāng)且僅當(dāng)時成立，則，即可得出結(jié)果.【詳解】因為，所以．顯然，令，則，且，令，則，所以當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以對，，即，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立．綜上，當(dāng)且僅當(dāng)時，成立，此時，解得．故答案為：9．【分析】原式等價于.構(gòu)造，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)求出函數(shù)的最值，可得，即可得出，，求出的值，即可得出答案.【詳解】因為，構(gòu)造，，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減.所以，在處取得極大值，也是最大值，所以.由題意可知，，所以，.因為，所以，，所以.故答案為：.【點睛】方法點睛：同構(gòu)變形后，構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，進(jìn)而得出結(jié)論.10．(1)答案見解析(2)【分析】（1）求出導(dǎo)函數(shù)，按照的正負(fù)分類討論，由的正負(fù)可得單調(diào)性；（2）將不等式變形為，令，對求導(dǎo)，再令，由的單調(diào)性判斷的符號，進(jìn)而確定的單調(diào)性，求出的最大值即可求出的取值范圍.【詳解】（1）由題意知的定義域為，

，當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減；

當(dāng)時，令，，故方程有兩個不同的實數(shù)根，分別為，，且，，

當(dāng)時，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，單調(diào)遞增.綜上可知，當(dāng)時，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；（2）由可得，即，設(shè)，，則，設(shè)，，因為，則在上單調(diào)遞減，且，所以當(dāng)時，，即，所以在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，，即，所以在上單調(diào)遞減，所以的最大值為，所以，即的取值范圍為.11．(1)答案見解析(2)證明見解析【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，分類討論即可得解；（2）構(gòu)造函數(shù)，利用二次導(dǎo)數(shù)，結(jié)合函數(shù)的最值情況，證得，從而得證.【詳解】（1）因為的定義域為，所以，當(dāng)時，恒成立，所以在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，令，得，當(dāng)時，單調(diào)遞減，當(dāng)時，單調(diào)遞增，綜上，當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）當(dāng)時，，令，則，令，則，因為，所以，所以當(dāng)時，恒成立，所以在上單調(diào)遞減，即在上單調(diào)遞減，所以，所以在上單調(diào)遞減，所以，即.【點睛】結(jié)論點睛：恒成立問題：（1）恒成立；恒成立．（2）恒成立；恒成立．（3）恒成立；恒成立；（4），，．12．（1）最大值，最小值1；（2）【分析】（1）求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合區(qū)間端點函數(shù)值比較大小即可求解最值；（2）解法一：把不等式化為，由的單調(diào)性結(jié)合端點函數(shù)值分析求解即可；解法二：令，求導(dǎo)，對a進(jìn)行分類討論，判斷函數(shù)單調(diào)性及最大值，從而求得a的范圍，結(jié)合gx>0有唯一整數(shù)解，進(jìn)一步求出a的取值范圍【詳解】（1）因為，，所以，令，解得，f'x，的變化情況如下表所示．x1f+0單調(diào)遞增單調(diào)遞減1所以，在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減.當(dāng)時，有極大值，也是的最大值.又因為，，而，所以，所以為的最小值.（2）解法一：因為，所以不等式可化為，由（1）可知在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減.因為的最大值，，，，，所以，時，最大，所以不等式，即存在唯一的整數(shù)解只能為1，所以，所以a的取值范圍為.解法二：令，由題意可知gx>0，當(dāng)時，，所以在0,+∞單調(diào)遞增，而，所以，與題意矛盾；當(dāng)時，由可得或（舍去），當(dāng)時，，時，，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，所以時，取最大值為，由題意可知，解得，因為，所以當(dāng)即時，由gx>0有唯一整數(shù)解知，解得，若，由在單調(diào)遞增知，矛盾所以，由在單調(diào)遞減可知，所以符合題意；當(dāng)時，，，由在單調(diào)遞減可知，，不符合題意；綜上所述，a的取值范圍為.【能力提升訓(xùn)練】一、單選題1．（2024·陜西·模擬預(yù)測）當(dāng)時，恒成立，則實數(shù)最大值為（

）A． B．4 C． D．82．（2024·湖南·一模）若不等式對恒成立，其中，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．3．（2024·全國·模擬預(yù)測）若關(guān)于的不等式在內(nèi)有解，則正實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．二、多選題4．（2025·廣東·一模）已知定義在上的函數(shù)的圖象連續(xù)不間斷，當(dāng)，且當(dāng)x>0時，，則下列說法正確的是（）A．B．在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減C．若，則D．若是在內(nèi)的兩個零點，且，則5．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知，恒成立，則下列說法正確的是（

）A．若，則 B．C．恒成立 D．的最大值為6．（2023·重慶·模擬預(yù)測）已知，當(dāng)時，存在b，，使得成立，則下列選項正確的是（

）A． B． C． D．三、填空題7．（2024·浙江臺州·二模）已知關(guān)于x的不等式恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是.8．（2022高三·全國·專題練習(xí)）已知，不等式對任意的實數(shù)恒成立，則實數(shù)a的最小值為：．9．（22-23高三上·全國·階段練習(xí)）若關(guān)于x的不等式有且只有一個整數(shù)解，則實數(shù)a的取值范圍為．四、解答題10．（2024·福建廈門·二模）若，都存在唯一的實數(shù)，使得，則稱函數(shù)存在“源數(shù)列”.已知.(1)證明：存在源數(shù)列；(2)（ⅰ）若恒成立，求的取值范圍；（ⅱ）記的源數(shù)列為，證明：前項和.11．（2023·浙江·模擬預(yù)測）已知為正實數(shù)，函數(shù).(1)若恒成立，求的取值范圍；(2)求證：（）.12．（2023·北京海淀·一模）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時，求曲線在點處的切線方程；(2)求的單調(diào)區(qū)間；(3)若存在，使得，求a的取值范圍．參考答案：題號123456答案BAAACDACDABC1．B【分析】本題考查利用導(dǎo)數(shù)解決不等式恒成立問題，根據(jù)題意易于分離參數(shù)得，再利用切線放縮化簡求出的取值范圍.【詳解】因為，由，得.令令，則在上恒成立，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以即，由，得，所以.當(dāng)且僅當(dāng)時，取“=”，此時，由與圖象可知使，此時.所以，即有最大值為4.故選：B.2．A【分析】先討論的范圍，當(dāng)時，利用導(dǎo)數(shù)求最值，根據(jù)最小值大于等于0可得，然后將二元化一元，令，利用導(dǎo)數(shù)求最值可解.【詳解】令，即，當(dāng)時，由函數(shù)與的圖象可知，兩函數(shù)圖象有一個交點，記為，則當(dāng)時，，即，不滿足題意；當(dāng)時，令，則，令，則，因為單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，f'x<0，當(dāng)時，f'x>0，所以時，有最小值，又對恒成立，所以，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.令，則，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，所以當(dāng)時，，所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)，時等號成立，所以的取值范圍為.故選：A【點睛】方法點睛：本題屬于恒成立問題，難點在于將恒成立轉(zhuǎn)化為最值問題，以及利用的不等關(guān)系將二元化一元，此處應(yīng)注意保證任何時候都能取到等號.3．A【分析】將由不等式轉(zhuǎn)化為，令，得到，令函數(shù)，問題轉(zhuǎn)化為存在，使得，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合，得到且，即可求解.【詳解】由不等式，即，令，即有，又由，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，因為，所以，令，問題轉(zhuǎn)化為存在，使得，因為，令，可得；令，得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又因為，所以當(dāng)時，，若存在，使得成立，只需且，解得，因為，所以.故選：A.【點睛】方法技巧：已知函數(shù)零點（方程根）的個數(shù)，求參數(shù)的取值范圍問題的三種常用方法：1、直接法，直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式（組），再通過解不等式（組）確定參數(shù)的取值范圍；2、分離參數(shù)法，先分離參數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題加以解決；3、數(shù)形結(jié)合法，先對解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解.結(jié)論拓展：與和相關(guān)的常見同構(gòu)模型①，構(gòu)造函數(shù)或；②，構(gòu)造函數(shù)或；③，構(gòu)造函數(shù)或.4．ACD【分析】選項，令x=0，可求；選項，對兩邊求導(dǎo)，結(jié)合得，，可判斷單調(diào)性；C選項，的大小關(guān)系進(jìn)行分類討論，利用函數(shù)單調(diào)性，證明不等式；D選項，證明，利用函數(shù)單調(diào)性，證明且，可得結(jié)論.【詳解】選項，令x=0，則有，所以，故正確.選項，對兩邊求導(dǎo)，得，所以，代入，得當(dāng)x>0時，，所以.又因為，所以，.因此，當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增.故錯誤.C選項，對的大小關(guān)系進(jìn)行分類討論：①當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，所以，顯然有；②當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，不符合題意；③當(dāng)時，當(dāng)時，.令，又因為，所以，因此.因為，由的單調(diào)性得，.故C正確.選項，因為，所以.先證，即證，即，只需證，即證.事實上，，因此得證.此時有.因為，又，所以，因為，又，所以.綜上，，故D正確.故選：ACD.【點睛】方法點睛：導(dǎo)函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，?；癁椴坏仁胶愠闪栴}．注意分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；二是函數(shù)的零點、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問題處理．證明不等式，構(gòu)造一個適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，利用它的單調(diào)性進(jìn)行解題，是一種常用技巧.許多問題，如果運用這種思想去解決，往往能獲得簡潔明快的思路，有著非凡的功效.5．ACD【分析】構(gòu)造，則原命題等價為，恒成立.由導(dǎo)數(shù)法判斷，可求得為最小值點，即有a與b的關(guān)系.對A，由a與b的關(guān)系求范圍；對B，由a與b的關(guān)系直接判斷；對CD，由a與b的關(guān)系化簡式子，結(jié)合導(dǎo)數(shù)法求最值判斷.【詳解】對B，令，則，恒成立等價為，恒成立.單調(diào)遞增，由，且，單調(diào)遞減；，單調(diào)遞增.又，∴，B錯；對A，，，A對；對C，，令，由.故，單調(diào)遞減；，單調(diào)遞增.故，C對；對D，，令，由.故，單調(diào)遞增；，單調(diào)遞減.故，D對.故選：ACD.【點睛】含指對數(shù)式不等式恒成立問題，一般需構(gòu)造函數(shù)，通過導(dǎo)數(shù)法研究函數(shù)單調(diào)性及最值，結(jié)合命題，從而得到相關(guān)結(jié)論6．ABC【分析】對A，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)，再設(shè)，利用其單調(diào)性得到，然后對分類討論即可；對B，計算出在時的切線方程即可得到，即可得到的范圍，對于C,D，代入得，則可確定和的范圍，【詳解】對A，由,令,所以,令,其對稱軸為,故函數(shù)在上單調(diào)遞增,所以,當(dāng)時,即時,,則函數(shù)單調(diào)遞增,所以.當(dāng)時,即時,存在,使得,即,當(dāng)時,,則函數(shù)單調(diào)遞減,所以0,與矛盾,綜上,，A正確;對B，由可得與在上存在分隔直線,，，，，，，則在處的切線方程分別為:,所以,可得,故B正確;對C，取得,所以,得,故C正確,對D，由C知，故D錯誤.故選：ABC.

【點睛】關(guān)鍵點睛：本題A選項的關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)，然后求導(dǎo)，對進(jìn)行分類討論，對B關(guān)鍵是得到在處的切線方程的斜率，從而得到不等式，對C和D通過代入得到，即可進(jìn)行判斷.7．【分析】原不等式變形轉(zhuǎn)化為，構(gòu)造函數(shù)，轉(zhuǎn)化為恒成立，利用導(dǎo)數(shù)研究，可得，再分離參數(shù)即可得解.【詳解】原不等式，構(gòu)造函數(shù)，則，則，令，解得，故當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，若，則當(dāng)時，，此時恒不成立，故，所以，所以成立，只需成立即可，即恒成立，令，則，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故，所以.故答案為：【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵在于對不等式結(jié)構(gòu)的觀察，同構(gòu)出函數(shù)，轉(zhuǎn)化為研究函數(shù)大致變化情況，再由對的分類討論確定，且能得出，即可脫去“”，轉(zhuǎn)化為恒成立，分參即可得解.8．【分析】將不等式化簡后，構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)單調(diào)性轉(zhuǎn)化為恒成立問題求解【詳解】，∴，構(gòu)造函數(shù)，顯然在上單調(diào)遞增，故等價于，即任意的實數(shù)恒成立，．令，則，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，得．故答案為：9．【分析】令，求導(dǎo)計算函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，題目轉(zhuǎn)化為，計算，得到，計算得到答案.【詳解】令，則，當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減，且當(dāng)時，，當(dāng)時，，，原不等式等價于或（不存在整數(shù)解），有且只有一個整數(shù)解，，故，即實數(shù)a的取值范圍為．故答案為：【點睛】關(guān)鍵點睛：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)解決方程的解的個數(shù)問題，意在考查學(xué)生的計算能力，轉(zhuǎn)化能力和綜合應(yīng)用能力，其中構(gòu)造函數(shù)確定單調(diào)性，將題目轉(zhuǎn)化為是解題的關(guān)鍵.10．(1)證明見解析(2)（i）；（ii）證明見解析【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合，根據(jù)數(shù)列的新定義，即可證明結(jié)論；（2）（i）由恒成立，可得恒成立，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的最值，即可求得答案；（ii）由（i）可得，從而由，推得，可得到，繼而可利用放縮法以及裂項求和法，證明不等式.【詳解】（1）由，得，即在上單調(diào)遞減，又，當(dāng)且x無限趨近于0時，趨向于正無窮大，即的值域為，且函數(shù)在上單調(diào)遞減，對于可以取到任意正整數(shù)，且在上都有存在唯一自變量與之對應(yīng)，故對于，令，其在上