2025年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專項訓(xùn)練14 解三角形（解析版）

2025二輪復(fù)習(xí)專項訓(xùn)練14解三角形[考情分析]解三角形是高考考查的熱點(diǎn)，三角恒等變換單獨(dú)考查的題目較少，多以解三角形為背景，在用正弦定理、余弦定理的同時，經(jīng)常應(yīng)用三角恒等變換進(jìn)行化簡，綜合性較強(qiáng)，難度中等．【練前疑難講解】一、正弦定理、余弦定理1．正弦定理及其變形在△ABC中，eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2R(R為△ABC的外接圓半徑)．變形：a＝2RsinA，sinA＝eq\f(a,2R)，a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC等．2．余弦定理及其變形在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bccosA.變形：b2＋c2－a2＝2bccosA，cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc).二、解三角形在實(shí)際生活中的應(yīng)用求實(shí)際問題的注意事項(1)選定或確定要創(chuàng)建的三角形，首先確定所求量所在的三角形，若其他量已知，則直接解；若有未知量，則把未知量放在另一確定的三角形中求解．(2)確定用正弦定理還是余弦定理，如都可用，就選便于計算的定理．三、正弦定理、余弦定理的綜合應(yīng)用以三角恒等變換、正弦定理、余弦定理為解題工具，常與三角函數(shù)、向量、基本不等式、平面幾何等交匯命題．一、單選題1．（2024·全國·高考真題）在中,內(nèi)角所對的邊分別為，若，，則（

）A． B． C． D．2．（2024·貴州遵義·三模）在中，角的對邊分別為，D為的中點(diǎn)，已知，，且，則的面積為（

）A． B． C． D．二、多選題3．（2024·福建廈門·二模）如圖1，扇形的弧長為，半徑為，線段上有一動點(diǎn)，弧上一點(diǎn)是弧的三等分點(diǎn)，現(xiàn)將該扇形卷成以為頂點(diǎn)的圓錐，使得和重合，則在圖2的圓錐中（

）

A．圓錐的體積為B．當(dāng)為中點(diǎn)時，線段在底面的投影長為C．存在，使得D．4．（2024·浙江·三模）已知的內(nèi)角的對邊分別為，且，下列結(jié)論正確的是（

）A．B．若，則有兩解C．當(dāng)時，為直角三角形D．若為銳角三角形，則的取值范圍是三、填空題5．（2024高三·江蘇·專題練習(xí)）在中，內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，已知，則=；若，則面積的最大值為．6．（2023·山東青島·一模）濕地公園是國家濕地保護(hù)體系的重要組成部分，某市計劃在如圖所示的四邊形區(qū)域建一處濕地公園．已知，，，，千米，則千米．四、解答題7．（2023·全國·高考真題）已知在中，．(1)求；(2)設(shè)，求邊上的高．8．（23-24高三上·山東棗莊·期末）在中，角所對的邊分別為.若.(1)求；(2)若為銳角三角形，求的取值范圍.參考答案：題號1234答案CDBCDACD1．C【分析】利用正弦定理得，再利用余弦定理有，由正弦定理得到的值，最后代入計算即可.【詳解】因為，則由正弦定理得.由余弦定理可得:，即:，根據(jù)正弦定理得，所以，因為為三角形內(nèi)角，則，則.故選：C.2．D【分析】先利用正弦定理化邊為角求出角，在向量化求出邊，再根據(jù)三角形的面積公式即可得解.【詳解】因為，由正弦定理得，即，又，所以，又，所以，在中，D為的中點(diǎn)，則，則，即，解得（舍去），所以.故選：D.3．BCD【分析】求得圓錐的底面半徑和高，根據(jù)圓錐體積公式即可判斷A；設(shè)M在底面上的投影為H，利用余弦定理求得投影的長，判斷B；根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理可判斷C；結(jié)合，可求得的長，即可判斷D.【詳解】對于A，設(shè)圓錐的底面半徑為R，高為h，由題意知，圓錐的母線長為，故，故圓錐體積為，A錯誤；對于B，當(dāng)為中點(diǎn)時，設(shè)M在底面上的投影為H，則H為的中點(diǎn)，則為線段在底面的投影，，而，在中，，即，即線段在底面的投影長為，B正確；

對于C，作于T，作于，連接，設(shè)圓錐底面直徑為，由于，即，則，，則為正三角形，故T為的中點(diǎn)，則，故，即為的四等分點(diǎn)，由于平面底面，平面底面，底面，，故平面，平面，故，又，平面，故平面，平面，故，故當(dāng)M與重合時，，C正確；對于D，由C的分析知，，而，故，D正確，故選：BCD4．ACD【分析】通過正弦定理、誘導(dǎo)公式、二倍角公式及輔助角公式即可判斷A；通過余弦定理即可判斷B；通過余弦定理及可得或，即可判斷C；通過求的取值范圍，并將即可判斷D.【詳解】對于A，因為，所以由及正弦定理得，，由誘導(dǎo)公式得，，因為，故，所以，化解得，即，所以或，即（舍）或，故A正確；對于B，由余弦定理得，即，得，由，所以(負(fù)值舍)，即有一解，故B錯誤；對于C，因為，兩邊平方得，由余弦定理得，由兩式消得，，解得或，由解得，由解得;故為直角三角形，故C正確；對于D，因為為銳角三角形，且，所以，即，所以，所以，故D正確.故選：ACD.5．【分析】先由正弦定理化邊為角整理得到，兩邊平方即得的值；再利用同角的三角函數(shù)基本關(guān)系式求得的值，利用余弦定理和基本不等式求得的最大值，從而得到面積的最大值.【詳解】因為，由正弦定理得，因為，則有，所以，得，即，故；因，，故，可得，由，解得，得，由余弦定理得，，所以，由，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，可得，，即面積的最大值為.故答案為：

；.6．【分析】在中由正弦定理可得，在中由余弦定理可得.【詳解】在三角形中由正弦定理得，所以，即，所以，所以，又，，所以為等腰直角三角形，所以，在中由余弦定理得，所以.故答案為：.7．(1)(2)6【分析】（1）根據(jù)角的關(guān)系及兩角和差正弦公式，化簡即可得解；（2）利用同角之間的三角函數(shù)基本關(guān)系及兩角和的正弦公式求,再由正弦定理求出，根據(jù)等面積法求解即可.【詳解】（1），，即，又，，，，即，所以，.（2）由（1）知，，由，由正弦定理，，可得，，.8．(1)；(2).【分析】（1）利用邊化角及三角恒等變換公式整理計算即可;（2）通過角的轉(zhuǎn)化，借助三角恒等變換公式，得到，利用的范圍，即可求出結(jié)果.【詳解】（1）因為，整理得，所以，由正弦定理得：，因為，所以，所以.（2）因為為銳角三角形，，所以，且，所以，解法，因為，所以，所以，即的取值范圍是.解法，因為，所以，得，所以，即的取值范圍是.【基礎(chǔ)保分訓(xùn)練】一、單選題1．（2024·湖北黃石·三模）若的三個內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，，，則（

）A． B． C． D．62．（2024·江西贛州·一模）在中，，則（

）A． B． C． D．3．（2024·湖北黃岡·一模）已知的內(nèi)角所對的邊分別為，，下面可使得有兩組解的的值為（

）A． B． C． D．4．（2024·遼寧葫蘆島·一模）的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，，的面積為，則（

）A． B．4 C．2 D．5．（2024·全國·模擬預(yù)測）如圖，已知四邊形ABCD是菱形，，點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，把沿DE折起，使點(diǎn)A到達(dá)點(diǎn)P的位置，且平面平面BCDE，則異面直線PD與BC所成角的余弦值為（

）

A． B． C． D．6．（23-24高一下·安徽宿州·期中）在中，內(nèi)角的對邊分別為若滿足，則該三角形為（

）A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等邊三角形 D．不能確定7．（2022·全國·模擬預(yù)測）圭表（如圖甲）是我國古代一種通過測量正午日影長度來推定節(jié)氣的天文儀器，它包括一根直立的標(biāo)竿（稱為“表”）和一把呈南北方向水平固定擺放的與標(biāo)竿垂直的長尺（稱為“圭”），當(dāng)太陽在正午時刻照射在表上時，日影便會投影在圭面上，圭面上日影長度最長的那一天定為冬至，日影長度最短的那一天定為夏至．圖乙是一個根據(jù)某地的地理位置設(shè)計的主表的示意圖，已知某地冬至正午時太陽高度角（即∠ABC）大約為15°，夏至正午時太陽高度角（即∠ADC）大約為60°，圭面上冬至線與夏至線之間的距離（即DB的長）為a，則表高（即AC的長）為（注：）（

）A． B． C． D．8．（2024·山東聊城·二模）如圖，在平面四邊形中，，記與的面積分別為，則的值為（

）A．2 B． C．1 D．二、多選題9．（2023·河北秦皇島·二模）平面直角坐標(biāo)系中，的三個頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別是A0,2,B1,0,CA．sinA<sinC BC．的面積為 D．的外接圓半徑大于210．（2024·重慶·三模）在中，角的對邊為若，則的面積可以是（

）A． B．3 C． D．11．（2024·廣西南寧·三模）銳角三角形中，角，，所對應(yīng)的邊分別是，，，下列結(jié)論一定成立的有（

）.A． B．C．若，則 D．若，則三、填空題12．（2024·山東泰安·一模）在中，內(nèi)角的對邊分別為，已知，則．13．（2021·全國·高考真題）記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，面積為，，，則．14．（2024·江蘇揚(yáng)州·模擬預(yù)測）《海島算經(jīng)》是魏晉時期數(shù)學(xué)家劉徽所著的測量學(xué)著作，書中有一道測量山上松樹高度的題目，受此題啟發(fā)，小李同學(xué)打算用學(xué)到的解三角形知識測量某建筑物上面一座信號塔的高度．把塔底與塔頂分別看作點(diǎn)C，D，CD與地面垂直，小李先在地面上選取點(diǎn)A，B，測得，在點(diǎn)A處測得點(diǎn)C，D的仰角分別為，，在點(diǎn)B處測得點(diǎn)D的仰角為，則塔高CD為m．四、解答題15．（2024·黑龍江哈爾濱·一模）在中，角所對的邊分別為，已知，角的平分線交邊于點(diǎn)，且.(1)求角的大?。?2)若，求的面積.16．（2024·貴州黔東南·二模）在中，角的對邊分別為，且.(1)求；(2)若，求的面積.17．（2023·湖南·模擬預(yù)測）的內(nèi)角A，，的對邊分別為，，，已知.(1)求；(2)若，的面積為，求的周長.18．（2022·江蘇南京·模擬預(yù)測）記的內(nèi)角的對邊分別為，已知，是邊上的一點(diǎn)，且.(1)證明：；(2)若，求.19．（2022高一下·四川成都·競賽）如圖，在△ABC中，AC⊥BC．延長BA到D，使得AD＝2，且．(1)若，求△DBC的面積；(2)當(dāng)時，求△ACD面積的取值范圍．20．（21-22高二下·山西·期中）在中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且．(1)求角B；(2)若，，求的取值范圍．參考答案：題號12345678910答案BBDCBBDBCDAC題號11答案BCD1．B【分析】根據(jù)正弦定理和比例的性質(zhì)可得，可得結(jié)果.【詳解】在中，，所以，所以，由正弦定理以及比例的性質(zhì)可得：.故選：B2．B【分析】由已知利用余弦定理可求的值，根據(jù)正弦定理可求的值．【詳解】∵，∴由余弦定理可得：,∴解得：，或（舍去），∴由正弦定理可得：．故選:B3．D【分析】根據(jù)，即可得到答案.【詳解】要使得有兩組解，則，又，得到，故選：D.4．C【分析】借助三角形面積公式及余弦定理計算即可得.【詳解】，由，故，又，故，，由余弦定理可得：，即.故選：C.5．B【分析】解法一：找到異面直線所成角因為四邊形ABCD是菱形，所以，則或其補(bǔ)角就是異面直線PD與BC所成的角，結(jié)合已知條件得出相關(guān)線段的長度，最后利用余弦定理求解即可；解法二：用向量法求異面直線夾角的余弦值，分別表示出，，代入公式即可；解法三：建系，利用空間向量法求異面直線夾角.【詳解】解法一第一步：找到異面直線所成角因為四邊形ABCD是菱形，所以，則或其補(bǔ)角就是異面直線PD與BC所成的角．第二步：結(jié)合已知條件得出相關(guān)線段的長度連接AP，易知，．第三步：利用余弦定理求解在中，由余弦定理得，所以異面直線PD與BC所成角的余弦值為，故選：B．解法二

設(shè)，，，則，，兩兩垂直，且，，則，，則異面直線PD與BC所成角的余弦值為，故選：B．解法三

易知ED，EB，EP兩兩垂直，以E為坐標(biāo)原點(diǎn)，ED，EB，EP所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，則，，，，得，，故異面直線PD與BC所成角的余弦值為，故選：B．

6．B【分析】利用正弦定理以及兩角和差的正弦公式得到，再求解即可.【詳解】在中，已知由正弦定理得，所以即又，則，則，所以所以該三角形為等腰三角形.故選：B.7．D【分析】由銳角三角函數(shù)的定義與同角三角函數(shù)的關(guān)系求解，【詳解】設(shè)表高為，則，，而，得，，故，得，故選：D8．B【分析】根據(jù)余弦定理得、，兩式相減可得，由三角形的面積公式得，即可求解.【詳解】在中，由余弦定理得，即，得①，在中，由余弦定理得，即，得②，又，所以③，由②①，得，由，得，代入③得.故選：B9．CD【分析】根據(jù)正弦定理、余弦定理、三角形的面積公式等知識確定正確答案.【詳解】c=AB所以，由正弦定理得sinC<sinA，故由余弦定理，得cosB=5+10-17250=-由，得sinB=7的面積為12ac×sinB=設(shè)的外接圓半徑為，則2R=bsinB=故選：CD10．AC【分析】根據(jù)余弦定理和面積公式即可求解.【詳解】由余弦定理得:，即或4，故面積或.故選：AC.11．BCD【分析】由為銳角三角形，正弦定理及余弦定理即可判斷A；由誘導(dǎo)公式即可判斷B；由為銳角三角形及三角函數(shù)的單調(diào)性即可判斷C；由為銳角三角形及列出不等式組求解即可判斷D．【詳解】對于A，因為為銳角三角形，所以，由余弦定理得，，即，由正弦定理得，，故A錯誤；對于B，，故B正確；對于C，因為為銳角三角形，且，所以，又因為在上單調(diào)遞增，所以，故C正確；對于D，由得，，由為銳角三角形得，，即，解得，故D正確；故選：BCD．12．/【分析】根據(jù)題意，由正弦定理可以將，變形可得，由三角函數(shù)恒等變形公式可得，即，求出.【詳解】根據(jù)題意，在中，，則，變形可得，則有，因為sinB>0，所以，因為，則.故答案為：.13．【分析】由三角形面積公式可得，再結(jié)合余弦定理即可得解.【詳解】由題意，，所以，所以，解得（負(fù)值舍去）.故答案為：.14．20【分析】確定每個角的大小，可得均為等腰三角形，在中，設(shè)，通過余弦定理計算即可.【詳解】在中，延長與的延長線交于點(diǎn)E，如圖所示.由題意可知，，因為小李同學(xué)根據(jù)課本書中有一道測量山上松樹高度的題目受此題啟發(fā)，所以三點(diǎn)在同一條直線上.所以，所以為等腰三角形，即.設(shè)，即，，在中，由余弦定理得,即，，所以，又因為，所以.故答案為：.15．(1)2(2)【分析】（1）由兩角和的正弦公式以及正弦定理可得，可得結(jié)果；（2）由三角形面積公式并利用，可得，再由余弦定理即可求得,由三角形的面積公式可得結(jié)果.【詳解】（1）因為，由正弦定理可得，所以，故，.（2）由題意可知，即，化簡可得，在中，由余弦定理得，從而，解得或（舍），所以.16．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)三角形中，將已知條件化簡為，化簡后再根據(jù)求解；（2）由（1）結(jié)果結(jié)合已知條件，根據(jù)余弦定理求出，再利用面積公式求解.【詳解】（1）因為，所以.因為，所以.因為，所以，所以由，得.因為，所以.（2）由余弦定理知.因為，所以，所以，故的面積.17．(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理結(jié)合正弦的和角公式計算即可；（2）利用余弦定理結(jié)合三角形面積公式化簡計算即可.【詳解】（1）因為，所以由正弦定理可得.又，所以.因為，所以；（2）的面積，則.由余弦定理：，得，所以，故的周長為.18．(1)證明見解析(2)【分析】（1）分別在和中利用正弦定理表示出，代入已知等式化簡整理即可得到結(jié)果；（2）根據(jù)，在和利用余弦定理可整理得到；在中，利用余弦定理可得，進(jìn)而得到，代入中即可求得結(jié)果.【詳解】（1）證明：在中，由正弦定理得：，在中，由正弦定理得：，在中，，所以，，所以.（2）由，得，在中，由余弦定理得：，在中，由余弦定理得：，，，即，整理可得：；在中，由余弦定理得：，則，，，即，.19．(1)(2)【分析】（1）在△ACD中，根據(jù)正弦定理可得，則可利用面積公式求△ACD的面積，根據(jù)邊角關(guān)系再求Rt△ABC的面積；（2）設(shè)，用表示，代入面積公式計算整理，并注意．【詳解】（1）在△ACD中，∵，則，即△ACD的面積在Rt△ABC中，，即△ABC的面積△DBC的面積（2）在△ACD中，設(shè)，∵，則△ACD的面積若，則則，即△ACD面積的取值范圍20．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題意，利用正弦定理化簡得到，求得，即可求解；（1）由正弦定理可得，化簡，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.，【詳解】（1）解：因為，由正弦定理得，因為，可得，所以，所以．（2）解：因為，，由正弦定理可得，所以，，所以，由且，可得，所以，所以，所以，即的取值范圍為．【能力提升訓(xùn)練】一、單選題1．（2024·廣東韶關(guān)·二模）在中，．若的最長邊的長為．則最短邊的長為（

）A． B． C．2 D．2．（2024·湖北·模擬預(yù)測）在中，已知，，，若存在兩個這樣的三角形，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．3．（2024·安徽·二模）已知的內(nèi)角A，，對邊分別為，，，滿足，若，則面積的最大值為（

）A． B． C． D．4．（2024·湖北·一模）如圖，在中，是邊上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，是邊上的動點(diǎn)，則的取值范圍為（

）

A． B． C． D．5．（22-23高一下·福建廈門·期末）一個人騎自行車由地出發(fā)向正東方向騎行了到達(dá)地，然后由地向南偏東方向騎行了到達(dá)地，再從地向北偏東方向騎行了到達(dá)地，則兩地的距離為（

）A． B． C． D．6．（24-25高二上·安徽馬鞍山·階段練習(xí)）如圖所示的鐘樓是馬鞍山二中的標(biāo)志性建筑之一.某同學(xué)為測量鐘樓的高度，在鐘樓的正西方向找到一座建筑物，高為米，在地面上點(diǎn)處（三點(diǎn)共線）測得建筑物頂部，鐘樓頂部的仰角分別為和，在處測得鐘樓頂部的仰角為，則鐘樓的高度為（

）米.A． B．C． D．二、多選題7．（23-24高一下·山東泰安·階段練習(xí)）在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，下列命題正確的是（

）A．若，，，則有兩解B．若，，則的面積最大值為C．若，，，則外接圓半徑為D．若，則一定是等腰三角形8．（2022·山東濟(jì)南·模擬預(yù)測）如圖所示，設(shè)單位圓與軸的正半軸相交于點(diǎn)，以軸非負(fù)半軸為始邊作銳角，，，它們的終邊分別與單位圓相交于點(diǎn)，，，則下列說法正確的是（

）A．的長度為B．扇形OA1C．當(dāng)與重合時，AP1D．當(dāng)時，四邊形OAA1P9．（2024·廣東·一模）嘌呤是一種雜環(huán)有機(jī)化合物，它在能量的供應(yīng)、代謝的調(diào)節(jié)等方面都有十分重要的作用，它的化學(xué)結(jié)構(gòu)式主要由一個正五邊形與一個正六邊形構(gòu)成（設(shè)它們的邊長均為1），其平面圖形如圖所示，則（

）A． B．O到AC的距離是C．O是的內(nèi)切圓的圓心 D．三、填空題10．（2024·全國·模擬預(yù)測）在中，，，分別是角，，的對邊，若，則的值為.11．（2024·廣東東莞·模擬預(yù)測）在中，A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，，，則的值為．12．（23-24高三上·江蘇鹽城·階段練習(xí)）如圖，在平面凸四邊形中，，，，，為鈍角，則對角線的最大值為.四、解答題13．（2024·遼寧·一模）已知在中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，其中.(1)求A；(2)已知直線為的平分線，且與BC交于點(diǎn)M，若求的周長.14．（2024·貴州貴陽·一模）記的內(nèi)角的對邊分別為，已知.(1)求角；(2)若，求面積的最大值.15．（2024·廣東梅州·二模）在中，角A，B，C所對應(yīng)的邊分別為a，b，c，，，(1)求A的大?。?2)點(diǎn)D在BC上，（Ⅰ）當(dāng)，且時，求AC的長；（Ⅱ）當(dāng)，且時，求的面積．16．（2024·江蘇鹽城·模擬預(yù)測）在中，已知角，，所對的邊分別為，，，．(1)求角的大??；(2)若為銳角三角形，求的取值范圍．17．（2024·云南·二模）中，內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c，B是與的等差中項.(1)若，判斷的形狀;(2)若是銳角三角形，求的取值范圍.18．（2024·廣東·模擬預(yù)測）在中，角的對邊分別是，且．(1)證明：．(2)若是銳角三角形，求的取值范圍．19．（2024·河北衡水·一模）在中，內(nèi)角所對的邊分別是，三角形面積為，若為邊上一點(diǎn)，滿足，且.(1)求角；(2)求的取值范圍.20．（2024·黑龍江齊齊哈爾·三模）已知的內(nèi)角的對邊分別為的面積為．(1)求；(2)若，且的周長為5，設(shè)為邊BC中點(diǎn)，求AD.21．（2024·山西·一模）中角所對的邊分別為，其面積為，且.(1)求；(2)已知，求的取值范圍.22．（2024·北京·三模）已知函數(shù)的最小正周期為.(1)求的值；(2)在銳角中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.c為在上的最大值，再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知，求的取值范圍.條件①：；條件②：；條件③：的面積為S，且.注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個條件計分.參考答案：題號123456789答案ACCCBCACACDAD1．A【分析】求出，為鈍角，故，確定，求出，由正弦定理求出答案.【詳解】因為，又，故為銳角，為鈍角，故，因為在上單調(diào)遞增，，故，所以，又，，解得，同理可得，由正弦定理得，即，解得.故選：A2．C【分析】由正弦定理可得，分析可知關(guān)于A的方程：在有兩解，結(jié)合正弦函數(shù)圖象分析求解.【詳解】由正弦定理可得，由題意可知：關(guān)于A的方程：在有兩解，在同一坐標(biāo)系內(nèi)分別作出曲線，和水平直線，

因為它們有兩個不同的交點(diǎn)，所以，所以.故選：C.3．C【分析】根據(jù)正弦定理得，然后根據(jù)余弦定理求出，再利用重要不等式求出即可【詳解】由，由正弦定理得，又，且，所以，故，又，所以，由，即，得，面積的最大值為，故選：C．4．C【分析】先用余弦定理求出，再將向量用基底表示，借助向量運(yùn)算性質(zhì)計算即可.【詳解】由，解得.設(shè)，則.故選：C5．B【分析】根據(jù)給定條件，作出幾何圖形，延長AB交CD于點(diǎn)E，再利用余弦定理求解作答.【詳解】如圖，，延長AB交CD于點(diǎn)E，則，

因此是正三角形，，于是，在中，由余弦定理得，所以兩地的距離為.故選：B6．C【分析】利用求出，在中利用正弦定理求出，最后借助于中三角函數(shù)的定義即可求得鐘樓的高度.【詳解】如圖所示，在中，，在中，,則，由正弦定理，，故得,在中，.故選：C.7．AC【分析】對于A，利用正弦定理判斷，對于B，先利用余弦定理結(jié)合基本不等式求出的最大值，從而可求出的面積最大值，對于C，先利用余弦定理求出，再利用同角三角函數(shù)的關(guān)系求出，然后利用正弦定理可求出外接圓半徑，對于D，利用余弦定理將已知等式統(tǒng)一成邊的形式，然后化簡可判斷三角形的形狀.【詳解】對于A，因為，所以，所以如圖有兩解，所以A正確，

對于B，因為，，所以由余弦定理得，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以當(dāng)?shù)拿娣e最大值為，所以B錯誤，對于C，因為，，，所以由余弦定理得，因為，所以，所以由正弦定理得，得，所以C正確，對于D，因為，所以由余弦定理得，所以，所以，所以，所以，所以，或，所以為等腰三角形或直角三角形，所以D錯誤，故選：AC8．ACD【分析】利用弧長公式判斷A，利用扇形面積公式判斷B，利用銳角三角函數(shù)判斷C，根據(jù)SOAA【詳解】解：依題意圓的半徑，∠AOA1=β，∠AOP=α-β，所以的長度為α-β?r=α-β，故A正確；因為∠A1OP1=α-β，所以扇形當(dāng)與重合時，即α-β=β，則，則AP1=2sinα2S==因為，所以SOA=所以當(dāng)β+π3=π2，即時故選：ACD9．AD【分析】根據(jù)正六邊形的內(nèi)角及余弦定理判斷A，由正五邊形的內(nèi)角判斷B，根據(jù)不是角平分線判斷C，根據(jù)角的大小及正切函數(shù)判斷D.【詳解】由正六邊形知，由余弦定理得，故A正確；由正五邊形知，，所以，故O到AC的距離是，故B錯誤；因為，所以，即不平分，所以O(shè)不是的內(nèi)切圓的圓心，故C錯誤；由題意，，，，由正切函數(shù)的單調(diào)性可知，故D正確.故選：AD10．2023【分析】由已知可利用余弦定理轉(zhuǎn)化為新的關(guān)系式，再由已知可用切化弦思想及正弦定理的邊角互化思想就可得到結(jié)果.【詳解】因為，由余弦定理得，所以，所以，故答案為：2023.11．/【分析】根據(jù)三角形的面積公式，求得，在利用正弦定理求得外接圓直徑，即可求解.【詳解】由，可得，解得，所以為等邊三角形，故外接圓直徑為所以．故答案為：.12．/【分析】可設(shè)出，利用余弦定理表示出可得，結(jié)合正弦定理找到與的關(guān)系，進(jìn)而表示出，結(jié)合三角函數(shù)運(yùn)算即可得.【詳解】方法一：設(shè)，，，，，中，，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，.方法二：設(shè)，，由，則，，，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題解答的關(guān)鍵在與如何借助已知條件將線段表示出來，可以設(shè)出未知角度，借助正余弦定理將所需條件一一計算出來，最后借助三角函數(shù)性質(zhì)得到最值.13．(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理的邊角變換，結(jié)合三角函數(shù)的和差公式即可得解；（2）利用三角形面積公式與余弦定理得到關(guān)于的方程組，結(jié)合整體法即可得解.【詳解】（1）根據(jù)題意可得，由正弦定理得，又，故，又，所以，則，因為，所以.（2）因為，所以，又平分，所以，所以，則，即由余弦定理得，即，所以，解得（負(fù)值舍去），故的周長為.14．(1)(2)【分析】（1）由正弦定理，將邊化為角，根據(jù)三角函數(shù)值，即可求解；（2）根據(jù)（1）的結(jié)果，寫出余弦定理，再結(jié)合基本不等式和三角形的面積公式，即可求解.【詳解】（1）由正弦定理，得，又，所以，即.又，所以.（2）由余弦定理，得，所以.由基本不等式知，于是.當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.所以的面積，當(dāng)且僅當(dāng)時，面積取得最大值.15．(1)(2)；【分析】（1）利用正弦定理，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡已知等式可得的值，結(jié)合即可求解的值；（2）（Ⅰ）根據(jù)銳角三角函數(shù)和差角公式可得正弦定理即可求解.（Ⅱ）采用面積分割的方法以及正弦定理即可解決．【詳解】（1）因為，所以由正弦定理可得，又，所以，因為為三角形內(nèi)角，，所以，可得，因為，所以；（2）（Ⅰ）此時，，所以，所以，在中，由正弦定理可得；（Ⅱ）設(shè)，由，可得，化簡可得有，由于，所以，所以，則．16．(1)(2)【分析】（1）由二倍角的正弦和余弦公式，結(jié)合余弦定理將角轉(zhuǎn)化為邊，可將式子變形為，再利用余弦定理即可求解；（2）利用正弦定理將邊轉(zhuǎn)化為角，再結(jié)合三角恒等變換可得，根據(jù)銳角三角形可得的取值范圍，結(jié)合三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可求解.【詳解】（1）在中，，因為，所以，化簡得，由余弦定理得，又，所以；（2）由正弦定理知，由為銳角三角形可知，而，所以得，所以，所以，即，則的取值范圍為.17．(1)是以為斜邊的直角三角形.(2)【分析】（1）根據(jù)等差中項性質(zhì)及三角