2025年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專項(xiàng)訓(xùn)練15 等差數(shù)列、等比數(shù)列（解析版）

2025二輪復(fù)習(xí)專項(xiàng)訓(xùn)練15等差數(shù)列、等比數(shù)列[考情分析]高考必考內(nèi)容，主要考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式以及性質(zhì)的應(yīng)用，等差數(shù)列、等比數(shù)列的判斷與證明，常以選擇題、填空題或綜合的解答題形式考查，屬于中檔題目．【練前疑難講解】一、等差數(shù)列、等比數(shù)列的基本運(yùn)算1．等差數(shù)列(1)通項(xiàng)公式：an＝a1＋(n－1)d；(2)求和公式：Sn＝eq\f(na1＋an,2)＝na1＋eq\f(nn－1,2)d.2．等比數(shù)列(1)通項(xiàng)公式：an＝a1qn－1(q≠0)；(2)求和公式：q＝1，Sn＝na1；q≠1，Sn＝eq\f(a11－qn,1－q)＝eq\f(a1－anq,1－q).二、等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)1．等差數(shù)列常用性質(zhì)：(1)若m，n，p，q∈N*，且m＋n＝p＋q，則am＋an＝ap＋aq；(2)an＝am＋(n－m)d；(3)Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…成等差數(shù)列．2．等比數(shù)列常用性質(zhì)：(1)若m，n，p，q∈N*，且m＋n＝p＋q，則am·an＝ap·aq；(2)an＝am·qn－m.三、等差數(shù)列、等比數(shù)列的判斷與證明證明數(shù)列{an}是等差(比)數(shù)列的方法：(1)證明數(shù)列{an}是等差數(shù)列的兩種基本方法：①利用定義，證明an＋1－an(n∈N*)為一常數(shù)；②利用等差中項(xiàng)，即證明2an＝an－1＋an＋1(n≥2，n∈N*)．(2)證明數(shù)列{an}是等比數(shù)列的兩種基本方法：①利用定義，證明eq\f(an＋1,an)(an≠0，n∈N*)為一常數(shù)；②利用等比中項(xiàng)，證明aeq\o\al(2,n)＝an－1an＋1(an≠0，n≥2，n∈N*)．一、單選題1．（2024·河南信陽·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，且是，的等差中項(xiàng)，則使得成立的最小的的值為（

）A．8 B．9 C．10 D．112．（2024·河南鄭州·二模）已知數(shù)列為等比數(shù)列，且，，設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，則（

）A．－36或36 B．－36 C．36 D．18二、多選題3．（23-24高三上·河南南陽·期中）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，的公差為，則（

）A． B．C．若為等差數(shù)列，則 D．若為等差數(shù)列，則4．（2024·廣東梅州·二模）已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，，在中依次選取若干項(xiàng)（至少3項(xiàng)），，，，，，使成為一個(gè)等比數(shù)列，則下列說法正確的是（

）A．若取，，則B．滿足題意的也必是一個(gè)等比數(shù)列C．在的前100項(xiàng)中，的可能項(xiàng)數(shù)最多是6D．如果把中滿足等比的項(xiàng)一直取下去，總是無窮數(shù)列三、填空題5．（23-24高三上·江蘇·期末）若數(shù)列滿足，（），則.6．（2024·湖北·一模）設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則公比的取值范圍為．四、解答題7．（2024·云南昆明·三模）正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，，(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項(xiàng)和．8．（2024·黑龍江·二模）已知等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，其中.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)在與之間插入n個(gè)數(shù)，使這個(gè)數(shù)組成一個(gè)公差為的等差數(shù)列，在數(shù)列中是否存在不同三項(xiàng)，，（其中成等差數(shù)列）成等比數(shù)列？若存在，求出這樣的三項(xiàng)；若不存在，請(qǐng)說明理由.參考答案：題號(hào)1234答案DCBDAB1．D【分析】由題意得到是等比數(shù)列，進(jìn)而得到，利用錯(cuò)位相減法求出，構(gòu)造函數(shù)，并利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，即可求出符合條件的的最小值.【詳解】是，的等差中項(xiàng)，，故，而，，故數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，則，，記，則，，兩式相減可得，，即，令，即，設(shè)，則，，，在單調(diào)遞減，是遞減數(shù)列，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，使得成立的最小的的值為11.故選：D.2．C【分析】根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求得，繼而求得的值，利用等差數(shù)列前項(xiàng)和公式進(jìn)行計(jì)算即可.【詳解】數(shù)列為等比數(shù)列，設(shè)公比為q，且，，則，則，則，則，故選：C.3．BD【分析】A選項(xiàng)，根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)得到，A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，由等差數(shù)列性質(zhì)得到；C選項(xiàng)，計(jì)算出，要想為常數(shù)，則，故C不正確；D選項(xiàng)，根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式的函數(shù)特征得到，D正確.【詳解】A選項(xiàng)，，而不一定相等，A不正確；B選項(xiàng)，因?yàn)?，，所以，故B正確；C選項(xiàng)，因?yàn)?，若為等差?shù)列，則，要想為常數(shù)，則，故C不正確；D選項(xiàng)，由題可知，若為等差數(shù)列，則為關(guān)于的一次函數(shù)，所以，即，故D正確．故選：BD4．AB【分析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)判斷A、B、D，利用反例說明C.【詳解】因?yàn)閿?shù)列的通項(xiàng)公式為，對(duì)于A，取，，則，，由于為等比數(shù)列，則，則有，即，故A正確；對(duì)于B，數(shù)列的通項(xiàng)公式為，則，若為等比數(shù)列，即，，，，，是等比數(shù)列，則，，，，，，是等比數(shù)列，故滿足題意的也必是一個(gè)等比數(shù)列，故B正確；對(duì)于C，在的前項(xiàng)中，可以取，，，，，，，可以使成為一個(gè)等比數(shù)列，此時(shí)為項(xiàng)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，取，，則，則，不是數(shù)列的項(xiàng)，所以把中滿足等比的項(xiàng)一直取下去，不總是無窮數(shù)列，故D錯(cuò)誤．故選：AB．5．3268【分析】由數(shù)列遞推式可得到，和已知等式作差得，利用累加法即可求得答案.【詳解】由題意可得，作差得，故，故答案為：32686．【分析】由可得，，討論或，即可得出答案.【詳解】由，因?yàn)椋杂?，可得，由可得，即，即，即，即，則，因?yàn)槿?，則，解得：，若，則，解得：，所以公比的取值范圍為：.故答案為：.7．(1)；(2)【分析】（1）由與的關(guān)系，結(jié)合等差數(shù)列和等比數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式，可得所求；（2）求得后，討論n為奇數(shù)或偶數(shù)，由數(shù)列的裂項(xiàng)相消求和，即可得到所求.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，即，，所以，同理．當(dāng)時(shí)，，化簡(jiǎn)得：，因?yàn)?，所以，即，故，又，所以．同理，或，因?yàn)槭堑缺葦?shù)列，所以，即，所以．（2）由（1）知，所以當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，，同理當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，．所以.8．(1)(2)不存在，理由見解析【分析】（1）根據(jù)遞推關(guān)系可得，從而可得公比，故可求首項(xiàng)從而得到通項(xiàng)公式；（2）先求出的通項(xiàng)，再利用反證法結(jié)合等比中項(xiàng)的性質(zhì)可得矛盾，從而得到數(shù)列中不存在不同三項(xiàng)，，（其中成等差數(shù)列）成等比數(shù)列.【詳解】（1）因?yàn)?，故，故，而為等比?shù)列，故其公比為，又，故，故，故.（2）由題設(shè)可得，若數(shù)列中存在不同三項(xiàng)，，（其中成等差數(shù)列）成等比數(shù)列，則，因?yàn)榈炔顢?shù)列，故即，故，故即，這樣不同矛盾，故數(shù)列中不存在不同三項(xiàng)，，（其中成等差數(shù)列）成等比數(shù)列.【基礎(chǔ)保分訓(xùn)練】一、單選題1．（2024·浙江·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列滿足：，且數(shù)列為等差數(shù)列，則（

）A．10 B．40 C．100 D．1032．（2024·河南·三模）已知等比數(shù)列的公比為，若，且成等差數(shù)列，則（

）A． B． C． D．3．（2023·陜西寶雞·一模）已知等差數(shù)列滿足，則下列命題：①是遞減數(shù)列；②使成立的的最大值是9；③當(dāng)時(shí)，取得最大值；④，其中正確的是（

）A．①② B．①③C．①④ D．①②③4．（2024·廣東深圳·模擬預(yù)測(cè)）已知等差數(shù)列和的前項(xiàng)和分別為、，若，則（）A． B． C． D．5．（23-24高三下·重慶渝中·階段練習(xí)）中國(guó)載人航天工程發(fā)射的第十八艘飛船，簡(jiǎn)稱“神十八”，于2024年4月執(zhí)行載人航天飛行任務(wù)．運(yùn)送“神十八”的長(zhǎng)征二號(hào)運(yùn)載火箭，在點(diǎn)火第一秒鐘通過的路程為，以后每秒鐘通過的路程都增加，在達(dá)到離地面的高度時(shí)，火箭開始進(jìn)入轉(zhuǎn)彎程序．則從點(diǎn)火到進(jìn)入轉(zhuǎn)彎程序大約需要的時(shí)間是（

）秒．A．10 B．11 C．12 D．136．（2024·河南洛陽·模擬預(yù)測(cè)）折紙是一種用紙張折成各種不同形狀的藝術(shù)活動(dòng)，起源于中國(guó)，其歷史可追溯到公元583年，民間傳統(tǒng)折紙是一項(xiàng)利用不同顏色、不同硬度、不同質(zhì)地的紙張進(jìn)行創(chuàng)作的手工藝．其以紙張為主材，剪刀、刻刀、畫筆為輔助工具，經(jīng)多次折疊造型后再以剪、刻、畫手法為輔助手段，創(chuàng)作出或簡(jiǎn)練、或復(fù)雜的動(dòng)物、花卉、人物、鳥獸等內(nèi)容的立體幾何造型作品．隨著一代代折紙藝人的傳承和發(fā)展，現(xiàn)代折紙技術(shù)已發(fā)展至一個(gè)前所未有的境界，有些作品已超越一般人所能想象，其復(fù)雜而又栩栩如生的折紙作品是由一張完全未經(jīng)裁剪的正方形紙張所創(chuàng)作出來的，是我們中華民族的傳統(tǒng)文化，歷史悠久，內(nèi)涵博大精深，世代傳承．在一次數(shù)學(xué)實(shí)踐課上某同學(xué)將一張腰長(zhǎng)為l的等腰直角三角形紙對(duì)折，每次對(duì)折后仍成等腰直角三角形，則對(duì)折6次后得到的等腰直角三角形斜邊長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．7．（23-24高三下·江西·階段練習(xí)）已知是正項(xiàng)等比數(shù)列的前項(xiàng)和，且，，則（

）A．212 B．168 C．121 D．1638．（2023·上海浦東新·三模）設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，設(shè)甲：，乙：是嚴(yán)格增數(shù)列，則甲是乙的（

）A．充分非必要條件 B．必要非充分條件 C．充要條件 D．既非充分又非必要條件9．（23-24高二上·安徽宣城·期末）設(shè)是等比數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則（

）A．2 B． C． D．10．（21-22高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）如圖，雪花形狀圖形的作法是:從一個(gè)正三角形開始，把每條邊分成三等份，然后以各邊的中間一段為底邊分別向外作正三角形，再去掉底邊.反復(fù)進(jìn)行這一過程，就得到一條“雪花”狀的曲線.設(shè)原正三角形(圖①)的邊長(zhǎng)為1，把圖①，圖②，圖③，圖④中圖形的周長(zhǎng)依次記為，，，，則（

）A． B． C． D．二、多選題11．（23-24高二上·河北石家莊·階段練習(xí)）關(guān)于等差數(shù)列和等比數(shù)列，下列四個(gè)選項(xiàng)中正確的有（

）A．等差數(shù)列，若，則B．等比數(shù)列，若，則C．若為數(shù)列前n項(xiàng)和，則，仍為等差數(shù)列D．若為數(shù)列前n項(xiàng)和，則，仍為等比數(shù)列12．（22-23高二上·廣東廣州·期末）記為數(shù)列的前項(xiàng)和，下列說法正確的是（

）A．若對(duì)，，有，則數(shù)列一定是等差數(shù)列B．若對(duì)，，有，則數(shù)列一定是等比數(shù)列C．已知，則一定是等差數(shù)列D．已知，則一定是等比數(shù)列三、填空題13．（23-24高三下·湖南·開學(xué)考試）若數(shù)列滿足，，則的最小值是．14．（23-24高三上·云南昆明·開學(xué)考試）設(shè)是等比數(shù)列，且，，則.四、解答題15．（2024·四川成都·二模）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)記，求數(shù)列的前項(xiàng)和.16．（2024·山東·二模）已知數(shù)列．求：(1)數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)數(shù)列的前項(xiàng)和的最大值．17．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式.(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.18．（2023·吉林·模擬預(yù)測(cè)）已知等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝﹣m.(1)求m的值，并求出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)令，設(shè)Tn為數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和，求T2n.參考答案：題號(hào)12345678910答案DCDBCACDBA題號(hào)1112答案ACAC1．D【分析】設(shè)數(shù)列的公差為，借助等差數(shù)列的性質(zhì)可計(jì)算出，即可得，即可得解.【詳解】設(shè)數(shù)列的公差為，則，故，所以．故選：D.2．C【分析】根據(jù)等差數(shù)列定義和等比數(shù)列通項(xiàng)公式可構(gòu)造方程求得結(jié)果.【詳解】成等差數(shù)列，，又，，整理可得：，，解得：（舍）或.故選：C.3．D【分析】設(shè)出公差為，列出方程組，求出首項(xiàng)和公差，根據(jù)判斷①正確，寫出，解不等式求出成立的的最大值是9，②正確；根據(jù)與，得到當(dāng)時(shí)，取得最大值，③正確；利用通項(xiàng)公式求出的值，得到④錯(cuò)誤.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，故，解得：，由于，故是遞減數(shù)列，①正確；，令，解得：，且，故使成立的的最大值是9，②正確；，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故當(dāng)時(shí)，取得最大值，③正確；，④錯(cuò)誤.故選：D4．B【分析】計(jì)算出，由等差數(shù)列的性質(zhì)得，，從而得到答案.【詳解】因?yàn)榈炔顢?shù)列和的前項(xiàng)和分別為、，滿足，所以，又，故，故選：B5．C【分析】由題意結(jié)合等差數(shù)列的定義求出通項(xiàng)公式，再由前項(xiàng)和公式計(jì)算即可.【詳解】設(shè)出每一秒鐘的路程為數(shù)列，由題意可知為等差數(shù)列，則數(shù)列首項(xiàng)，公差，所以，由求和公式有，解得，故選：C．6．A【分析】由題意知對(duì)折后的等腰直角三角形的腰長(zhǎng)成首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，進(jìn)而求出對(duì)折6次后的腰長(zhǎng)，即可求解.【詳解】由題意可知，對(duì)折后的等腰直角三角形的腰長(zhǎng)成等比數(shù)列，且首項(xiàng)為，公比為，故對(duì)折6次后，得到腰長(zhǎng)為的等腰直角三角形，所以斜邊長(zhǎng)為.故選：A．7．C【分析】由條件結(jié)合等比數(shù)列性質(zhì)求出，再列方程求出數(shù)列的公比，利用等比數(shù)列求和公式可求.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，因?yàn)閿?shù)列為正項(xiàng)等比數(shù)列，所以，因?yàn)椋?，所以，因?yàn)?，所以或，若，則，解得，，所以，若，則，解得，，所以，所以，故選：C.8．D【分析】舉出反例得到充分性和必要性均不成立.【詳解】不妨設(shè)，則，滿足，但是嚴(yán)格減數(shù)列，充分性不成立，當(dāng)時(shí)，是嚴(yán)格增數(shù)列，但，必要性不成立，故甲是乙的既非充分又非必要條件.故選：D9．B【分析】成等比數(shù)列，得到方程，求出，得到答案.【詳解】由題意得，，因?yàn)槌傻缺葦?shù)列，故，即，解得，故.故選：B10．A【分析】觀察圖形可得出為首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，即可求出.【詳解】觀察圖形發(fā)現(xiàn)，從第二個(gè)圖形開始，每一個(gè)圖形的周長(zhǎng)都在前一個(gè)的周長(zhǎng)的基礎(chǔ)上多了其周長(zhǎng)的，即，所以為首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，.故選：A11．AC【分析】利用等差數(shù)列下標(biāo)和性質(zhì)判斷A；舉例說明判斷B；利用等差數(shù)列定義判斷C；舉例說明判斷D.【詳解】對(duì)于A，由等差數(shù)列下標(biāo)和性質(zhì)知，A正確；對(duì)于B，取，顯然數(shù)列成等比數(shù)列，且，而，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，等差數(shù)列的公差為，，，有，因此成等差數(shù)列，C正確；對(duì)于D，當(dāng)?shù)缺葦?shù)列bn的公比，為正偶數(shù)時(shí)，，顯然不成等比數(shù)列，D錯(cuò)誤.故選：AC12．AC【分析】利用等差，等比數(shù)列的定義和性質(zhì)，以及等差，等比數(shù)列的前項(xiàng)和的形式，可逐一判斷.【詳解】由和等差中項(xiàng)的性質(zhì)，可得數(shù)列是等差數(shù)列，即A正確；當(dāng)時(shí)，由和等比中項(xiàng)的性質(zhì)，可得數(shù)列是等比數(shù)列，即B不正確；由等差數(shù)列前項(xiàng)和，得可看成的二次函數(shù)，且不含常數(shù)項(xiàng)，則C正確；由等比數(shù)列前項(xiàng)和，若，則，所以，則此時(shí)數(shù)列不是等比數(shù)列，則D錯(cuò).故選：AC13．/【分析】利用累加法求得，利用基本不等式求得的最小值.【詳解】由已知，，…，，，所以，又也滿足上式，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以的最小值是．故答案為：14．189【分析】由是等比數(shù)列，則，，，成等比數(shù)列，再根據(jù)新等比數(shù)列的性質(zhì)計(jì)算即可.【詳解】由是等比數(shù)列，設(shè)其公比為，則，，，構(gòu)成等比數(shù)列，且公比為，，，則.故答案為：189.15．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)作差即可得解；（2）由（1）可得，利用裂項(xiàng)相消法計(jì)算可得.【詳解】（1）數(shù)列的前項(xiàng)和為，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以，又當(dāng)時(shí)，也成立，數(shù)列的通項(xiàng)公式為.（2）由（1）可得，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，則.16．(1)；(2)28【分析】（1）根據(jù)題目條件得到是以13為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，求出通項(xiàng)公式；（2）求出通項(xiàng)公式，解不等式，得到數(shù)列從第5項(xiàng)開始小于0，從而得到數(shù)列的前4項(xiàng)和最大，利用求和公式求出答案.【詳解】（1）由，可知，所以數(shù)列是以13為首項(xiàng)，以為公差的等差數(shù)列，所以；（2）由（1）可知，令，解得，令，解得，即數(shù)列從第5項(xiàng)開始小于0，所以數(shù)列的前4項(xiàng)和最大，最大值為．17．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)等比數(shù)列基本量的計(jì)算可得，，即可求解公比得解，（2）利用錯(cuò)位相減法求和即可求解.【詳解】（1）由以及可得，又，故，因此公比，故（2），則，，兩式相減可得，，，.18．(1)m＝，(2)n【分析】（1）直接利用數(shù)列的遞推關(guān)系求出m的值；（2）利用（1）的結(jié)論，進(jìn)一步利用分組法的應(yīng)用求出數(shù)列的和.【詳解】（1）等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝﹣m①.當(dāng)n＝1時(shí)，解得，當(dāng)n≥2時(shí)，②，①﹣②得：，又{an}是等比數(shù)列，n＝1時(shí)也符合，當(dāng)n＝1時(shí)，，故m＝.（2）由（1）得：，所以T2n＝﹣1+2﹣3+4+...+﹣（2n﹣1）+2n＝（﹣1+2）+（﹣3+4）+...+（﹣2n+1+2n）＝n.【能力提升訓(xùn)練】一、單選題1．（2024·北京東城·一模）設(shè)等差數(shù)列的公差為，則“”是“為遞增數(shù)列”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件2．（23-24高二上·黑龍江牡丹江·期末）已知等差數(shù)列，的前項(xiàng)和分別為，，若，則（

）A． B． C． D．3．（2024·黑龍江·二模）在公差不為0的等差數(shù)列中，，，是公比為2的等比數(shù)列，則（

）A．11 B．13 C．15 D．174．（2022·江西上饒·二模）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列中，若，則＝（

）A．2 B．3 C．4 D．95．（2024·北京順義·二模）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，，，則（

）A．511 B．61 C．41 D．96．（2024·湖北襄陽·模擬預(yù)測(cè)）已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，且，則（

）A．40 B．-30 C．30 D．-30或407．（2024·陜西商洛·模擬預(yù)測(cè)）已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和，則（

）A．3 B．9 C． D．8．（2024·安徽合肥·三模）某銀行大額存款的年利率為，小張于2024年初存入大額存款10萬元，按照復(fù)利計(jì)算8年后他能得到的本利和約為（

）（單位：萬元，結(jié)果保留一位小數(shù)）A．12.6 B．12.7 C．12.8 D．12.9二、多選題9．（23-24高二上·湖北武漢·期末）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，公差為，且，則下列說法正確的是（

）A． B． C．當(dāng)時(shí)，取得最小值 D．10．（2023·安徽蕪湖·模擬預(yù)測(cè)）下面是關(guān)于公差的等差數(shù)列的四個(gè)命題，其中正確的有（

）A．?dāng)?shù)列是等差數(shù)列 B．?dāng)?shù)列是等差數(shù)列C．?dāng)?shù)列是遞增數(shù)列 D．?dāng)?shù)列是遞增數(shù)列11．（2024·湖南長(zhǎng)沙·一模）小郡玩一種跳棋游戲，一個(gè)箱子中裝有大小質(zhì)地均相同的且標(biāo)有的10個(gè)小球，每次隨機(jī)抽取一個(gè)小球并放回，規(guī)定：若每次抽取號(hào)碼小于或等于5的小球，則前進(jìn)1步，若每次抽取號(hào)碼大于5的小球，則前進(jìn)2步.每次抽取小球互不影響，記小郡一共前進(jìn)步的概率為，則下列說法正確的是（

）A．B．C．D．小華一共前進(jìn)3步的概率最大三、填空題12．（2024·山東日照·模擬預(yù)測(cè)）若函數(shù)的四個(gè)零點(diǎn)成等差數(shù)列，則．13．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列滿足，，且數(shù)列的前項(xiàng)和為．若的最大值為，則實(shí)數(shù)的最大值是．14．（21-22高二·全國(guó)·課后作業(yè)）在等比數(shù)列中，，，則．四、解答題15．（2024·浙江·一模）已知數(shù)列滿足，記數(shù)列的前項(xiàng)和為．(1)求；(2)已知且，若數(shù)列是等比數(shù)列，記的前項(xiàng)和為，求使得成立的的取值范圍．16．（2024·陜西西安·一模）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，且滿足.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列bn的前項(xiàng)和.17．（2024·浙江·二模）歐拉函數(shù)的函數(shù)值等于所有不超過正整數(shù)且與互素的正整數(shù)的個(gè)數(shù)，例如：，，，數(shù)列滿足.(1)求，，，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)記，求數(shù)列的前和.18．（2024·河北石家莊·二模）已知數(shù)列滿足(1)寫出;(2)證明:數(shù)列為等比數(shù)列;(3)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.參考答案：題號(hào)12345678910答案AACCBADBBCABD題號(hào)11答案BC1．A【分析】利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式求出，再利用單調(diào)數(shù)列的定義，結(jié)合充分條件、必要條件的意義判斷即得.【詳解】由等差數(shù)列的公差為，得，則，當(dāng)時(shí)，，而，則，因此，為遞增數(shù)列；當(dāng)為遞增數(shù)列時(shí)，則，即有，整理得，不能推出，所以“”是“為遞增數(shù)列”的充分不必要條件.故選：A2．A【分析】根據(jù)，結(jié)合等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式，構(gòu)造出符合題意的一組與的通項(xiàng)公式，再進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】根據(jù)題意，數(shù)列、都是等差數(shù)列，顯然兩個(gè)數(shù)列都不是常數(shù)列，，因?yàn)榈炔顢?shù)列前項(xiàng)和公式為，所以不妨令為常數(shù)，且，所以時(shí)，，．，，，.故選：A3．C【分析】利用基本量法可求的值.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，因?yàn)?，，是公比?的等比數(shù)列，所以，由前者得到，代入后者可得，故，故選：C.4．C【分析】利用對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)結(jié)合等比中項(xiàng)求解即可.【詳解】由題意得，由等比中項(xiàng)性質(zhì)得，故.故選：C5．B【分析】利用對(duì)數(shù)運(yùn)算法則可求得，即可知數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)分別成等比數(shù)列，再由分組求和可得結(jié)果.【詳解】由可得，即，所以，兩式相除可得；即，由可得，因此數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)是以為首項(xiàng)，公比為2的等比數(shù)列，偶數(shù)項(xiàng)是以為首項(xiàng)，公比為2的等比數(shù)列，所以.故選：B6．A【分析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)可知片段和成等比數(shù)列，求出片段和等比數(shù)列公比即可得解.【詳解】因?yàn)?，且，所以，，故，所以，即，解得或（舍去），由等比?shù)列性質(zhì)可知，成等比數(shù)列，公比為所以，解得，故選：A7．D【分析】根據(jù)，再結(jié)合為等比數(shù)列，表示，求出的值.【詳解】當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，又是等比數(shù)列，所以，解得.故選：D.8．B【分析】根據(jù)復(fù)利可知每年末本息和構(gòu)成等比數(shù)列，利用等比數(shù)列通項(xiàng)公式及二項(xiàng)式定理求解即可.【詳解】存入大額存款10萬元，按照復(fù)利計(jì)算，每年末本利和是以10為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以本利和．故選：B．9．BC【分析】由題意得，結(jié)合等差數(shù)列求和公式可判斷ABD；進(jìn)一步有，由此可判斷C.【詳解】由題意可知，故B正確D錯(cuò)誤；所以，故A錯(cuò)誤；而，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，故C正確.故選：BC.10．ABD【分析】由題意寫出等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，根據(jù)公差，逐一寫出四個(gè)選項(xiàng)的通項(xiàng)公式，利用等差數(shù)列的定義以及函數(shù)單調(diào)性加以判斷即可.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，所以，對(duì)于A，由，則，所以，即數(shù)列是等差數(shù)列為公差為的等差數(shù)列，故A正確；對(duì)于B，由，所以，則，所以數(shù)列是以公差為的等差數(shù)列，故B正確；對(duì)于C，由，可得，當(dāng)時(shí)，數(shù)列不是遞增數(shù)列，故C不正確；對(duì)于D，由，可得，所以，所以數(shù)列是遞增數(shù)列，故D正確；故選：ABD11．BC【分析】根據(jù)題意直接求概率判斷選項(xiàng)A，然后根據(jù)題意求出遞推公式即可判斷選項(xiàng)B，根據(jù)遞推公式判斷數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，求通項(xiàng)公式判斷選項(xiàng)C，分類討論求解概率通項(xiàng)的最大值判斷D.【詳解】根據(jù)題意，小郡前進(jìn)1步的概率和前進(jìn)2步的概率都是，所以，，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，其前進(jìn)幾步是由兩部分組成：先前進(jìn)步，再前進(jìn)1步，其概率為，或者先前進(jìn)步，再前進(jìn)2步，其概率為，所以，故選項(xiàng)B正確；因?yàn)?，所以，而，所以，即，故選項(xiàng)C正確；因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以，又，所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列.所以，所以.當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，為偶數(shù)，則，此時(shí)數(shù)列單調(diào)遞增，所以；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，為奇數(shù)，則，此時(shí)數(shù)列單調(diào)遞減，所以；綜上，