人教A版(新教材)高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)學(xué)案：1 1 1 空間向量及其線性運(yùn)算

人教A版(新教材)高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)PAGEPAGE1第一章空間向量與立體幾何〖數(shù)學(xué)文化〗——了解數(shù)學(xué)文化的發(fā)展與應(yīng)用向量最初被應(yīng)用于物理學(xué)，很多物理量都是向量，如：力、速度、位移以及電場(chǎng)強(qiáng)度、磁感應(yīng)強(qiáng)度.大約公元前350年，古希臘著名學(xué)者亞里士多德就知道了力可以表示成向量，兩個(gè)力的合力可以用平行四邊形法則得到.“向量”一詞來(lái)自力學(xué)、〖解析〗幾何中的有向線段.最先使用有向線段表示向量的是英國(guó)科學(xué)家牛頓.歷史上很長(zhǎng)一段時(shí)間，空間的向量結(jié)構(gòu)并未被數(shù)學(xué)家們所認(rèn)識(shí)，直到19世紀(jì)末20世紀(jì)初，人們才把空間的性質(zhì)與向量的運(yùn)算聯(lián)系起來(lái)，使向量成為具有一套優(yōu)良運(yùn)算通性的數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)體系.〖讀圖探新〗——發(fā)現(xiàn)現(xiàn)象背后的知識(shí)空間向量是一種重要的數(shù)學(xué)工具，它不僅在解決幾何問(wèn)題中有著廣泛的應(yīng)用，而且在物理學(xué)、工程學(xué)、衛(wèi)星發(fā)射與運(yùn)行等方面也有著廣泛的應(yīng)用.問(wèn)題1：港珠澳大橋是我國(guó)橋梁建設(shè)史上的又一座豐碑，它必定在推動(dòng)經(jīng)濟(jì)發(fā)展中起到巨大的作用.在港珠澳大橋的建設(shè)過(guò)程中，涉及到很多空間的直線(如把大橋的斜拉索看成直線)和平面(如把海平面看成平面)的夾角問(wèn)題，這些夾角如何計(jì)算？如何保證這些夾角的大小達(dá)到設(shè)計(jì)要求？問(wèn)題2：北斗導(dǎo)航系統(tǒng)是在地球赤道平面上設(shè)置2顆地球同步衛(wèi)星，衛(wèi)星的赤道角距約60°.GPS是在6個(gè)軌道平面上設(shè)置24顆衛(wèi)星，軌道赤道傾角55°，軌道面赤道角距60°.在設(shè)計(jì)過(guò)程中如何計(jì)算這些角？鏈接：兩個(gè)問(wèn)題中都涉及到空間角的計(jì)算問(wèn)題，這些問(wèn)題我們?cè)诟咧袛?shù)學(xué)的必修課中已經(jīng)學(xué)習(xí)了它們的計(jì)算方法，但是運(yùn)算方法技巧性強(qiáng)，不適合現(xiàn)代工程設(shè)計(jì)的實(shí)踐和應(yīng)用，不適合應(yīng)用計(jì)算機(jī)進(jìn)行大量的數(shù)據(jù)處理，我們本章學(xué)習(xí)的空間向量，就可以把這些問(wèn)題代數(shù)化，可以很方便地應(yīng)用計(jì)算機(jī)解決.1.1空間向量及其運(yùn)算1.1.1空間向量及其線性運(yùn)算課標(biāo)要求素養(yǎng)要求1.經(jīng)歷由平面向量推廣到空間向量的過(guò)程，了解空間向量的概念.2.經(jīng)歷由平面向量的運(yùn)算及其法則推廣到空間向量的過(guò)程.3.掌握空間向量的線性運(yùn)算.在空間向量概念的形成中和進(jìn)行線性運(yùn)算的過(guò)程中，經(jīng)歷由具體到抽象、由圖形語(yǔ)言到符號(hào)語(yǔ)言的表達(dá)過(guò)程，發(fā)展學(xué)生的直觀想象、數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).新知探究李老師下班回家，先從學(xué)校大門(mén)口騎自行車向北行駛1000m，再向東行駛1500m，最后乘電梯上升15m到5樓的住處.在這個(gè)過(guò)程中，李老師從學(xué)校大門(mén)口回到住處所發(fā)生的總位移就是三個(gè)位移的合成(如圖所示).問(wèn)題1.以上三個(gè)位移是同一個(gè)平面內(nèi)的向量嗎？2.如何刻畫(huà)李老師行駛的位移？〖提示〗1.不是.2.借助于空間向量的運(yùn)算.1.空間向量的有關(guān)概念(1)空間向量的定義：在空間，我們把具有大小和方向的量叫做空間向量.(2)空間向量的長(zhǎng)度：空間向量的大小叫做向量的長(zhǎng)度或模.(3)表示法：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(①幾何表示法：空間向量用有向線段表示.,②字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向,量a的起點(diǎn)是A，終點(diǎn)是B，則向量a也可,以記作\o(AB,\s\up6(→))，其模記為|a|或\o(AB,\s\up6(→)).))2.特殊的空間向量在空間中，向量、相等向量、共線向量、單位向量等概念與平面向量中對(duì)應(yīng)的概念完全一樣名稱定義及表示零向量規(guī)定長(zhǎng)度為0的向量叫做零向量，記為0單位向量模為1的向量叫做單位向量相反向量與向量a長(zhǎng)度相等而方向相反的向量，叫做a的相反向量，記為－a共線向量如果表示若干空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，那么這些向量叫做共線向量或平行向量.規(guī)定：零向量與任意向量平行，即對(duì)于任意向量a，都有0∥a.相等向量方向相同且模相等的向量稱為相等向量.在空間，同向且等長(zhǎng)的有向線段表示同一向量或相等向量3.空間向量的線性運(yùn)算空間向量的加法滿足三角形法則和平行四邊形法則，減法滿足三角形法則(1)如圖，定義空間向量的加法、減法以及數(shù)乘運(yùn)算：①a＋b＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))；②a－b＝eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))；③當(dāng)λ>0時(shí)，λa＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\o(PQ,\s\up6(→))；當(dāng)λ<0時(shí)，λa＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\o(MN,\s\up6(→))；λ＝0時(shí)，λa＝0.(2)空間向量線性運(yùn)算的運(yùn)算律(其中λ，μ∈R)①交換律：a＋b＝b＋a；②結(jié)合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)，λ(μa)＝(λμ)a；③分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb.4.空間向量共線的充要條件注意充要條件中的“b≠0”(1)空間向量共線的充要條件：對(duì)任意兩個(gè)空間向量a，b(b≠0)，a∥b的充要條件是存在實(shí)數(shù)λ，使a＝λb.(2)方向向量：如圖，O是直線l上一點(diǎn)，在直線l上取非零向量a，則對(duì)于直線l上任意一點(diǎn)P，由數(shù)乘向量的定義及向量共線的充要條件可知，存在實(shí)數(shù)λ，使得eq\o(OP,\s\up6(→))＝λa，我們把與向量a平行的非零向量稱為直線l的方向向量.5.空間向量共面的充要條件(1)向量和直線平行：如果表示向量a的有向線段eq\o(OA,\s\up6(→))所在的直線OA與直線l平行或重合，那么稱向量a平行于直線l.(2)向量和平面平行：如果表示向量a的有向線段eq\o(OA,\s\up6(→))所在的直線OA平行于平面α或在平面α內(nèi)，那么稱向量a平行于平面α.(3)共面向量：平行于同一個(gè)平面的向量，叫做共面向量.(4)空間向量共面的充要條件：如果兩個(gè)向量a，b不共線，那么向量p與向量a，b共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(duì)(x，y)，使p＝xa＋yb.拓展深化〖微判斷〗1.若向量a與b都是單位向量，則a＝b.(×)〖提示〗若a與b都是單位向量，則|a|＝|b|，但未必有a＝b.2.若a＝－b，則|a|＝|b|.(√)3.若兩個(gè)向量的終點(diǎn)重合，則這兩個(gè)向量的方向相同.(×)〖提示〗兩個(gè)向量的終點(diǎn)重合，起點(diǎn)不知如何，則其方向的關(guān)系不能確定.〖微訓(xùn)練〗1.在正方體ABCD－A1B1C1D1中，eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，eq\o(AA1,\s\up6(→))＝c，則eq\o(AC1,\s\up6(→))＝()A.a＋b＋c B.a－b＋cC.a＋b－c D.a－b－c〖解析〗eq\o(AC1,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CC1,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→))＝a＋b＋c.〖答案〗A2.在下列條件中，使點(diǎn)M與點(diǎn)A，B，C一定共面的是()A.eq\o(OM,\s\up6(→))＝3eq\o(OA,\s\up6(→))－2eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))B.eq\o(OM,\s\up6(→))＋eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝0C.eq\o(MA,\s\up6(→))＋eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(MC,\s\up6(→))＝0D.eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(OC,\s\up6(→))〖解析〗∵eq\o(MA,\s\up6(→))＋eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(MC,\s\up6(→))＝0，∴eq\o(MA,\s\up6(→))＝－eq\o(MB,\s\up6(→))－eq\o(MC,\s\up6(→))，∴點(diǎn)M與點(diǎn)A，B，C必共面.〖答案〗C3.化簡(jiǎn)：eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→))＝________.〖解析〗eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→)).〖答案〗eq\o(AD,\s\up6(→))4.已知a與b不共線，若向量2a－b和3a＋mb共線，則實(shí)數(shù)m＝________.〖解析〗因?yàn)?a－b和3a＋mb共線，故存在實(shí)數(shù)λ，使得2a－b＝λ(3a＋mb)，又a與b不共線，故3λ＝2，且λm＝－1，解得m＝－eq\f(3,2).〖答案〗－eq\f(3,2)〖微思考〗1.一條直線的方向向量是唯一的嗎？〖提示〗直線的方向向量是指與直線平行或共線的向量.一條直線的方向向量有無(wú)限多個(gè)，它們的方向相同或相反.2.若向量p，a，b滿足p＝xa＋yb，那么向量p，a，b共面嗎？〖提示〗當(dāng)a與b共線時(shí)，顯然向量p，a，b共面；當(dāng)a與b不共線時(shí)，由向量共面的充要條件，可知向量p，a，b共面.3.若a∥b，b∥c，則一定有a∥c嗎？〖提示〗當(dāng)b＝0時(shí)，不一定.4.在空間中，所有單位向量平移到同一起點(diǎn)后，終點(diǎn)軌跡是什么圖形？〖提示〗因?yàn)閱挝幌蛄康哪＞扔?，那么當(dāng)所有單位向量移到同一起點(diǎn)后，終點(diǎn)軌跡是一個(gè)球面.題型一空間向量的概念〖例1〗(1)下列關(guān)于空間向量的說(shuō)法中正確的是()A.若向量a，b平行，則a，b所在的直線平行B.若|a|＝|b|，則a，b的長(zhǎng)度相等而方向相同或相反C.若向量eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))滿足|eq\o(AB,\s\up6(→))|>|eq\o(CD,\s\up6(→))|，則eq\o(AB,\s\up6(→))>eq\o(CD,\s\up6(→))D.相等向量其方向必相同(2)(多選題)下列命題為真命題的是()A.若空間向量a，b滿足|a|＝|b|，則a＝bB.在正方體ABCD－A1B1C1D1中，必有eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(A1C1,\s\up6(→))C.若空間向量m，n，p滿足m＝n，n＝p，則m＝pD.空間中任意兩個(gè)單位向量必相等.〖解析〗(1)A中，向量a，b平行，則a，b所在的直線平行或重合；B中，|a|＝|b|只能說(shuō)明a，b的長(zhǎng)度相等而方向不確定；C中，向量不能比較大小，故選D.(2)A為假命題，根據(jù)向量相等的定義知，兩向量相等，不僅模要相等，而且還要方向相同，而A中向量a與b的方向不一定相同；B為真命題，eq\o(AC,\s\up6(→))與eq\o(A1C1,\s\up6(→))的方向相同，模也相等，故eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(A1C1,\s\up6(→))；C為真命題，向量的相等滿足傳遞性；D為假命題，空間中任意兩個(gè)單位向量的模均為1，但方向不一定相同，故不一定相等，所以選BC.〖答案〗(1)D(2)BC規(guī)律方法空間向量的概念與平面向量的概念相類似，平面向量的其他相關(guān)概念，如向量的模、相等向量、平行向量、相反向量、單位向量等都可以拓展為空間向量的相關(guān)概念.〖訓(xùn)練1〗如圖所示，以長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1的八個(gè)頂點(diǎn)的兩點(diǎn)為起點(diǎn)和終點(diǎn)的向量中，(1)試寫(xiě)出與eq\o(AB,\s\up6(→))相等的所有向量；(2)試寫(xiě)出eq\o(AA1,\s\up6(→))的相反向量；(3)若AB＝AD＝2，AA1＝1，求向量eq\o(AC1,\s\up6(→))的模.解(1)與向量eq\o(AB,\s\up6(→))相等的所有向量(除它自身之外)有eq\o(A1B1,\s\up6(→))，eq\o(DC,\s\up6(→))及eq\o(D1C1,\s\up6(→))共3個(gè).(2)向量eq\o(AA1,\s\up6(→))的相反向量為eq\o(A1A,\s\up6(→))，eq\o(B1B,\s\up6(→))，eq\o(C1C,\s\up6(→))，eq\o(D1D,\s\up6(→)).(3)|eq\o(AC1,\s\up6(→))|＝3.題型二空間向量的線性運(yùn)算〖例2〗如圖，在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，設(shè)eq\o(AA1,\s\up6(→))＝a，eq\o(AB,\s\up6(→))＝b，eq\o(AD,\s\up6(→))＝c，M，N，P分別是AA1，BC，C1D1的中點(diǎn)，試用a，b，c表示以下各向量：(1)eq\o(AP,\s\up6(→))；(2)eq\o(A1N,\s\up6(→))；(3)eq\o(MP,\s\up6(→))＋eq\o(NC1,\s\up6(→)).解(1)∵P是C1D1的中點(diǎn)，∴eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(A1D1,\s\up6(→))＋eq\o(D1P,\s\up6(→))＝a＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(D1C1,\s\up6(→))＝a＋c＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＝a＋c＋eq\f(1,2)b.(2)∵N是BC的中點(diǎn)，∴eq\o(A1N,\s\up6(→))＝eq\o(A1A,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BN,\s\up6(→))＝－a＋b＋eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))＝－a＋b＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＝－a＋b＋eq\f(1,2)c.(3)∵M(jìn)是AA1的中點(diǎn)，∴eq\o(MP,\s\up6(→))＝eq\o(MA,\s\up6(→))＋eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(A1A,\s\up6(→))＋eq\o(AP,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)a＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋c＋\f(1,2)b))＝eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋c.又eq\o(NC1,\s\up6(→))＝eq\o(NC,\s\up6(→))＋eq\o(CC1,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)c＋a，∴eq\o(MP,\s\up6(→))＋eq\o(NC1,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)a＋\f(1,2)b＋c))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,2)c))＝eq\f(3,2)a＋eq\f(1,2)b＋eq\f(3,2)c.〖遷移1〗例2的條件不變，試用a，b，c表示向量eq\o(PN,\s\up6(→)).解因?yàn)镻，N分別是D1C1，BC的中點(diǎn)，所以eq\o(PN,\s\up6(→))＝eq\o(PC1,\s\up6(→))＋eq\o(C1C,\s\up6(→))＋eq\o(CN,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋(－eq\o(AA1,\s\up6(→)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)\o(AD,\s\up6(→))))＝eq\f(1,2)b－a－eq\f(1,2)c.〖遷移2〗若把例2中“P是C1D1的中點(diǎn)”改為“P在線段C1D1上，且eq\f(C1P,PD1)＝eq\f(1,2)”，其他條件不變，如何表示eq\o(AP,\s\up6(→))？解eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))1＋eq\o(D1P,\s\up6(→))＝eq\o(AA,\s\up6(→))1＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＝a＋c＋eq\f(2,3)b.規(guī)律方法利用數(shù)乘運(yùn)算進(jìn)行向量表示的技巧(1)數(shù)形結(jié)合：利用數(shù)乘運(yùn)算解題時(shí)，要結(jié)合具體圖形，利用三角形法則、平行四邊形法則，將目標(biāo)向量轉(zhuǎn)化為已知向量.(2)明確目標(biāo)：在化簡(jiǎn)過(guò)程中要有目標(biāo)意識(shí)，巧妙運(yùn)用中點(diǎn)性質(zhì).〖訓(xùn)練2〗如圖，在長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，下列各式運(yùn)算結(jié)果不為eq\o(BD1,\s\up6(→))的是()A.eq\o(A1D1,\s\up6(→))－eq\o(A1A,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))B.eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(BB1,\s\up6(→))－eq\o(D1C1,\s\up6(→))C.eq\o(DD1,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))D.eq\o(B1D1,\s\up6(→))－eq\o(A1A,\s\up6(→))＋eq\o(DD1,\s\up6(→))〖解析〗A中，eq\o(A1D1,\s\up6(→))－eq\o(A1A,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AD1,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(BD1,\s\up6(→))；B中，eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(BB1,\s\up6(→))－eq\o(D1C1,\s\up6(→))＝eq\o(BC1,\s\up6(→))＋eq\o(C1D1,\s\up6(→))＝eq\o(BD1,\s\up6(→))；C中，eq\o(DD1,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DD1,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AD1,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(BD1,\s\up6(→))；D中，eq\o(B1D1,\s\up6(→))－eq\o(A1A,\s\up6(→))＋eq\o(DD1,\s\up6(→))＝eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(DD1,\s\up6(→))＝eq\o(BD1,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→))≠eq\o(BD1,\s\up6(→))，故選D.〖答案〗D題型三向量的共線與共面角度1向量共線問(wèn)題〖例3－1〗如圖，四邊形ABCD和ABEF都是平行四邊形，且不共面，M，N分別是AC，BF的中點(diǎn)，則eq\o(CE,\s\up6(→))與eq\o(MN,\s\up6(→))是否共線？解法一∵M(jìn)，N分別是AC，BF的中點(diǎn)，且四邊形ABCD和ABEF都是平行四邊形，∴eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(MA,\s\up6(→))＋eq\o(AF,\s\up6(→))＋eq\o(FN,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(AF,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(FB,\s\up6(→)).①又∵eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(MC,\s\up6(→))＋eq\o(CE,\s\up6(→))＋eq\o(EB,\s\up6(→))＋eq\o(BN,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(CE,\s\up6(→))－eq\o(AF,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(FB,\s\up6(→))，②①＋②得2eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(CE,\s\up6(→))，∴eq\o(CE,\s\up6(→))∥eq\o(MN,\s\up6(→))，即eq\o(CE,\s\up6(→))與eq\o(MN,\s\up6(→))共線.法二∵M(jìn)，N分別是AC，BF的中點(diǎn)，且四邊形ABCD和ABEF都是平行四邊形，∴eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(AN,\s\up6(→))－eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AF,\s\up6(→)))－eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AF,\s\up6(→)))－eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)(eq\o(AF,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)(eq\o(BE,\s\up6(→))－eq\o(BC,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)eq\o(CE,\s\up6(→)).∴eq\o(MN,\s\up6(→))∥eq\o(CE,\s\up6(→))，即eq\o(MN,\s\up6(→))與eq\o(CE,\s\up6(→))共線.角度2向量共面問(wèn)題〖例3－2〗已知A，B，M三點(diǎn)不共線，對(duì)于平面ABM外的任意一點(diǎn)O，確定在下列條件下，點(diǎn)P是否與A，B，M一定共面.(1)eq\o(OM,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＝3eq\o(OP,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))；(2)eq\o(OP,\s\up6(→))＝4eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OM,\s\up6(→)).解(1)∵eq\o(OM,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＝3eq\o(OP,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))，∴eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OM,\s\up6(→))＋(eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OP,\s\up6(→)))＋(eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OP,\s\up6(→)))＝eq\o(OM,\s\up6(→))＋eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))，∴eq\o(OP,\s\up6(→))－eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))，∴eq\o(MP,\s\up6(→))＝eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))，∴eq\o(MP,\s\up6(→))，eq\o(PA,\s\up6(→))，eq\o(PB,\s\up6(→))為共面向量，又eq\o(MP,\s\up6(→))，eq\o(PA,\s\up6(→))，eq\o(PB,\s\up6(→))過(guò)同一點(diǎn)P，∴P與A，B，M共面.(2)∵eq\o(OP,\s\up6(→))＝4eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OM,\s\up6(→))，∴eq\o(OP,\s\up6(→))＝2eq\o(OA,\s\up6(→))＋(eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→)))＋(eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OM,\s\up6(→)))＝2eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(MA,\s\up6(→))，根據(jù)空間向量共面的充要條件可知，點(diǎn)P位于平面ABM內(nèi)的充要條件是eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋xeq\o(BA,\s\up6(→))＋yeq\o(MA,\s\up6(→))，∴P與A，B，M不共面.規(guī)律方法(1)判定向量共線就是充分利用已知條件找到實(shí)數(shù)λ，使a＝λb成立，或充分利用空間向量的運(yùn)算法則，結(jié)合具體圖形通過(guò)化簡(jiǎn)，計(jì)算得出a＝λb，從而得到a∥b.(2)向量共面的充要條件的實(shí)質(zhì)是共面的四點(diǎn)中所形成的兩個(gè)不共線的向量一定可以表示其他向量，對(duì)于向量共面的充要條件，不僅會(huì)正用，也要能夠逆用它求參數(shù)的值.〖訓(xùn)練3〗(1)如圖所示，在空間四邊形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點(diǎn)，請(qǐng)判斷向量eq\o(EF,\s\up6(→))與eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))是否共線.(2)已知三點(diǎn)A，B，C不共線，對(duì)平面ABC外一點(diǎn)O，且滿足eq\o(OA,\s\up6(→))＝3eq\o(OP,\s\up6(→))－4eq\o(OB,\s\up6(→))＋2eq\o(OC,\s\up6(→))，判斷點(diǎn)P是否與點(diǎn)A，B，C共面.解(1)設(shè)AC的中點(diǎn)為G，連接EG，F(xiàn)G，∴eq\o(GF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(EG,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))，∴eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\o(EG,\s\up6(→))＋eq\o(GF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))，∴eq\o(EF,\s\up6(→))與eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))共線.(2)若點(diǎn)P與點(diǎn)A，B，C共面，則存在唯一實(shí)數(shù)對(duì)x，y，使得eq\o(PA,\s\up6(→))＝xeq\o(PB,\s\up6(→))＋yeq\o(PC,\s\up6(→))，那么對(duì)空間任意一點(diǎn)O，有eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OP,\s\up6(→))＝x(eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OP,\s\up6(→)))＋y(eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OP,\s\up6(→)))，即eq\o(OA,\s\up6(→))＝(1－x－y)eq\o(OP,\s\up6(→))＋xeq\o(OB,\s\up6(→))＋yeq\o(OC,\s\up6(→)).與已知條件對(duì)比，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1－x－y＝3，,x＝－4，,y＝2，))即存在實(shí)數(shù)x＝－4，y＝2，使得eq\o(PA,\s\up6(→))＝－4eq\o(PB,\s\up6(→))＋2eq\o(PC,\s\up6(→))，所以向量eq\o(PA,\s\up6(→))，eq\o(PB,\s\up6(→))，eq\o(PC,\s\up6(→))共面，又eq\o(PA,\s\up6(→))，eq\o(PB,\s\up6(→))，eq\o(PC,\s\up6(→))過(guò)同一點(diǎn)P，故點(diǎn)P與點(diǎn)A，B，C共面.一、素養(yǎng)落地1.通過(guò)學(xué)習(xí)空間向量的相關(guān)概念，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).通過(guò)學(xué)習(xí)空間向量的線性運(yùn)算，提升直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).2.空間向量的概念和平面向量類似，向量的模、零向量、單位向量、相等向量、共線向量等都可以結(jié)合平面向量理解.3.向量可以平移，任意兩個(gè)向量都是共面向量.因此空間兩個(gè)向量的線性運(yùn)算和平面向量完全相同，可以利用平行四邊形法則和三角形法則來(lái)進(jìn)行運(yùn)算.二、素養(yǎng)訓(xùn)練1.在平行六面體ABCD－A′B′C′D′的各條棱所在的向量中，模與向量eq\o(A′B′,\s\up6(→))的模相等的向量有()A.7個(gè) B.3個(gè)C.5個(gè) D.6個(gè)〖解析〗|eq\o(D′C′,\s\up6(→))|＝|eq\o(C′D′,\s\up6(→))|＝|eq\o(DC,\s\up6(→))|＝|eq\o(CD,\s\up6(→))|＝|eq\o(BA,