19.3 課題學習 選擇方案 （解析版）-2020-2021學年八年級數(shù)學下冊精講精練（人教版）

第頁19.3課題學習選擇方案一次函數(shù)是最基本的函數(shù)，它與一次方程、一次不等式有密切聯(lián)系，在實際生活中有廣泛的應用。例如，利用一次函數(shù)等有關知識可以在某些經(jīng)濟活動中作出具體的方案決策。近幾年來一些省市的中考或競賽試題中出現(xiàn)了這方面的應用題，這些試題新穎靈活，具有較強的時代氣息和很強的選拔功能?！纠}1】（2020?懷化）某商店計劃采購甲、乙兩種不同型號的平板電腦共20臺，已知甲型平板電腦進價1600元，售價2000元；乙型平板電腦進價為2500元，售價3000元．（1）設該商店購進甲型平板電腦x臺，請寫出全部售出后該商店獲利y與x之間函數(shù)表達式．（2）若該商店采購兩種平板電腦的總費用不超過39200元，全部售出所獲利潤不低于8500元，請設計出所有采購方案，并求出使商店獲得最大利潤的采購方案及最大利潤．【答案】見解析?！痉治觥浚?）根據(jù)利潤等于每臺電腦的利潤乘以臺數(shù)列得函數(shù)關系式即可；（2）根據(jù)題意列不等式組，求出解集，根據(jù)解集即可得到四種采購方案，由（1）的函數(shù)關系式得到當x取最小值時，y有最大值，將x＝12代入函數(shù)解析式求出結(jié)果即可．【解析】（1）由題意得：y＝（2000﹣1600）x+（3000﹣2500）（20﹣x）＝﹣100x+10000，∴全部售出后該商店獲利y與x之間函數(shù)表達式為y＝﹣100x+10000；（2）由題意得：1600x+2500(20?x)≤39200400x+500(20?x)≥8500解得12≤x≤15，∵x為正整數(shù)，∴x＝12、13、14、15，共有四種采購方案：①甲型電腦12臺，乙型電腦8臺，②甲型電腦13臺，乙型電腦7臺，③甲型電腦14臺，乙型電腦6臺，④甲型電腦15臺，乙型電腦5臺，∵y＝﹣100x+10000，且﹣100＜0，∴y隨x的增大而減小，∴當x取最小值時，y有最大值，即x＝12時，y最大值＝﹣100×12+10000＝8800，∴采購甲型電腦12臺，乙型電腦8臺時商店獲得最大利潤，最大利潤是8800元．解答題1．（2020?河南）暑期將至，某健身俱樂部面向?qū)W生推出暑期優(yōu)惠活動，活動方案如下．方案一：購買一張學生暑期專享卡，每次健身費用按六折優(yōu)惠；方案二：不購買學生暑期專享卡，每次健身費用按八折優(yōu)惠．設某學生暑期健身x（次），按照方案一所需費用為y1（元），且y1＝k1x+b；按照方案二所需費用為y2（元），且y2＝k2x．其函數(shù)圖象如圖所示．（1）求k1和b的值，并說明它們的實際意義；（2）求打折前的每次健身費用和k2的值；（3）八年級學生小華計劃暑期前往該俱樂部健身8次，應選擇哪種方案所需費用更少？說明理由．【答案】見解析?！痉治觥浚?）把點（0，30），（10，180）代入y1＝k1x+b，得到關于k1和b的二元一次方程組，求解即可；（2）根據(jù)方案一每次健身費用按六折優(yōu)惠，可得打折前的每次健身費用，再根據(jù)方案二每次健身費用按八折優(yōu)惠，求出k2的值；（3）將x＝8分別代入y1、y2關于x的函數(shù)解析式，比較即可．【解析】（1）∵y1＝k1x+b過點（0，30），（10，180），∴b=3010k1k1＝15表示的實際意義是：購買一張學生暑期專享卡后每次健身費用為15元，b＝30表示的實際意義是：購買一張學生暑期專享卡的費用為30元；（2）由題意可得，打折前的每次健身費用為15÷0.6＝25（元），則k2＝25×0.8＝20；（3）選擇方案一所需費用更少．理由如下：由題意可知，y1＝15x+30，y2＝20x．當健身8次時，選擇方案一所需費用：y1＝15×8+30＝150（元），選擇方案二所需費用：y2＝20×8＝160（元），∵150＜160，∴選擇方案一所需費用更少．2．某校實行學案式教學，需印制若干份數(shù)學學案，印刷廠有甲、乙兩種收費方式，除按印數(shù)收取印刷費外，甲種方式還需收取制版費而乙種不需要．兩種印刷方式的費用y（元）與印刷份數(shù)x（份）之間的關系如圖所示：（1）填空：甲種收費的函數(shù)關系式是________．乙種收費的函數(shù)關系式是____________．（2）該校某年級每次需印制100～450（含100和450）份學案，選擇哪種印刷方式較合算？【答案】印制100～300（含100）份學案，選擇乙種印刷方式較合算，印制300份學案，甲、乙兩種印刷方式都一樣合算，印制300～450（含450）份學案，選擇甲種印刷方式較合算．【解析】考點有待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式；一次函數(shù)的應用．A.設甲種收費的函數(shù)關系式y(tǒng)1=kx+b，乙種收費的函數(shù)關系式是y2=k1x，直接運用待定系數(shù)法就可以求出結(jié)論；B.由（1）的解析式分三種情況進行討論，當y1＞y2時，當y1=y2時，當y1＜y2時分別求出x的取值范圍就可以得出選擇方式．（1）設甲種收費的函數(shù)關系式y(tǒng)1=kx+b，乙種收費的函數(shù)關系式是y2=k1x，由題意，得，12=100k1，解得：，k1=0.12，∴y1=0.1x+6（x≥0），y2=0.12x（x≥0）；（2）由題意，得當y1＞y2時，0.1x+6＞0.12x，得x＜300；當y1=y2時，0.1x+6=0.12x，得x=300；當y1＜y2時，0.1x+6＜0.12x，得x＞300；∴當100≤x＜300時，選擇乙種方式合算；當x=300時，甲、乙兩種方式一樣合算；當300＜x≤450時，選擇甲種方式合算．3．甲、乙兩車從A地駛向B地，并以各自的速度勻速行駛，甲車比乙車早行駛2h，并且甲車途中休息了0.5h，如圖是甲乙兩車行駛的距離y（km）與時間x（h）的函數(shù)圖象．（1）求出圖中m，a的值；（2）求出甲車行駛路程y（km）與時間x（h）的函數(shù)解析式，并寫出相應的x的取值范圍；（3）當乙車行駛多長時間時，兩車恰好相距50km．【答案】見解析?！窘馕觥浚?）由題意，得m=1.5﹣0.5=1．120÷（3.5﹣0.5）=40，∴a=40．a(chǎn)=40，m=1；（2）當0≤x≤1時設y與x之間的函數(shù)關系式為y=k1x，由題意，得40=k1，∴y=40x當1＜x≤1.5時，y=40；當1.5＜x≤7設y與x之間的函數(shù)關系式為y=k2x+b，由題意，得，解得：，∴y=40x﹣20．y=；（3）設乙車行駛的路程y與時間x之間的解析式為y=k3x+b3，由題意，得，解得：，∴y=80x﹣160．當40x﹣20﹣50=80x﹣160時，解得：x=．當40x﹣20+50=80x﹣160時，解得：x=．=，．乙車行駛小時或小時，兩車恰好相距50km．4.小王從A地前往B地，到達后立刻返回，他與A地的距離y（千米）和所用的時間x（小時）之間的函數(shù)關系如圖所示。（1）小王從B地返回A地用了多少小時？（2）求小王出發(fā)6小時后距A地多遠？（3）在A、B之間友誼C地，小王從去時途經(jīng)C地，到返回時路過C地，共用了2小時20分，求A、C兩地相距多遠？【答案】見解析。【解析】（1）小王從B地返回A地用了4小時。（2）小王出發(fā)6小時，∵6>3，可知小王此時在返回途中。于是，設DE所在直線的解析式為，由圖象可得：，解得∴DE所在直線的解析式為當x=6時，有∴小王出發(fā)6小時后距A地60千米。（3）設AD所在直線的解析式為，易求∴AD所在直線的解析式為設小王從C到B用了小時，則去時C距A的距離為返回時，從B到C用了（）小時，這時C距A的距離為由，解得故C距A的距離為米5.某商店銷售10臺A型和20臺B型電腦的利潤為4000元，銷售20臺A型和10臺B型電腦的利潤為3500元．（1)求每臺A型電腦和B型電腦的銷售利潤；（2）該商店計劃一次購進兩種型號的電腦共100臺，其中B型電腦的進貨量不超過A型電腦的2倍。設購進A掀電腦x臺，這100臺電腦的銷售總利潤為y元。①求y與x的關系式；②該商店購進A型、B型各多少臺，才能使銷售利潤最大？（3）實際進貨時，廠家對A型電腦出廠價下調(diào)m（0＜m＜100）元，且限定商店最多購進A型電腦70臺。若商店保持兩種電腦的售價不變，請你以上信息及（2）中的條件，設計出使這100臺電腦銷售總利潤最大的進貨方案?！敬鸢浮恳娊馕觥！窘馕觥浚?）設每臺A型電腦的銷售利潤為a元，每臺B型電腦的銷售利潤為b元，則有解得即每臺A型電腦的銷售利潤為100元，每臺B型電腦的銷售利潤為150元.（2)①根據(jù)題意得y＝100x＋150(100－x)，即y＝－50x＋15000②根據(jù)題意得100－x≤2x，解得x≥100/3，∵y＝－50x+15000，－50＜0，∴y隨x的增大而減小.∵x為正整數(shù)，∴當x=34最小時，y取最大值，此時100－x=66.即商店購進A型電腦34臺，B型電腦66臺，才能使銷售總利潤最大（3）根據(jù)題意得y＝（100+m）x＋150(100－x)，即y＝（m－50）x＋15000.100/3≤x≤70.①當0＜m＜50時，m－50＜0，y隨x的增大而減小．∴當x=34時，y取得最大值．即商店購進34臺A型電腦和66臺B型電腦才能獲得最大利潤；②當m=50時，m－50=0，y＝15000．即商店購進A型電腦數(shù)最滿足100/3≤x≤70的整數(shù)時，均獲得最大利潤；③當50＜m＜100時，m－50＞0，y隨x的增大而增大．∴x=70時，y取得最大值．即商店購進70臺A型電腦和30臺B型電腦才能獲得最大利潤．6．今年我市水果大豐收，A、B兩個水果基地分別收獲水果380件、320件，現(xiàn)需把這些水果全部運往甲、乙兩銷售點，從A基地運往甲、乙兩銷售點的費用分別為每件40元和20元，從B基地運往甲、乙兩銷售點的費用分別為每件15元和30元，現(xiàn)甲銷售點需要水果400件，乙銷售點需要水果300件．（1）設從A基地運往甲銷售點水果x件，總運費為w元，請用含x的代數(shù)式表示w，并寫出x的取值范圍；（2）若總運費不超過18300元，且A地運往甲銷售點的水果不低于200件，試確定運費最低的運輸方案，并求出最低運費．【答案】見解析?！窘馕觥勘绢}考查了一次函數(shù)的應用，一元一次不等式組的應用，讀懂題目信息，準確表示出從A、B兩個基地運往甲、乙兩個銷售點的水果的件數(shù)是解題的關鍵．（1）設從A基地運往甲銷售點水果x件，則從A基地運往乙銷售點的水果（380﹣x）件，從B基地運往甲銷售點水果（400﹣x）件，運往乙基地（x﹣80）件，由題意得，W=40x+20（380﹣x）+15（400﹣x）+30（x﹣80），=35x+11000，即W=35x+11000，∵，∴80≤x≤380，即x的取值范圍是80≤x≤380；（2）∵A地運往甲銷售點的水果不低于200件，∴x≥200，∵35＞0，∴運費W隨著x的增大而增大，∴當x=200時，運費最低，為35×200+11000=18000元，此時，從A基地運往甲銷售點水果200件，從A基地運往乙銷售點的水果180件，從B基地運往甲銷售點水果200件，運往乙基地120件．7.由于持續(xù)高溫和連日無雨，某水庫的蓄水量隨時間的增加而減少，已知原有蓄水量y1（萬m3）與干旱持續(xù)時間x（天）的關系如圖中線段l1所示，針對這種干旱情況，從第20天開始向水庫注水，注水量y2（萬m3）與時間x（天）的關系如圖中線段l2所示（不考慮其它因素）．（1）求原有蓄水量y1（萬m3）與時間x（天）的函數(shù)關系式，并求當x=20時的水庫總蓄水量．（2）求當0≤x≤60時，水庫的總蓄水量y（萬m3）與時間x（天）的函數(shù)關系式（注明x的范圍），若總蓄水量不多于900萬m3為嚴重干旱，直接寫出發(fā)生嚴重干旱時x的范圍．【答案】見解析?！窘馕觥勘绢}考查了一次函數(shù)的應用，熟練掌握利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式：設直線解析式為y=kx+b，將直線上兩點的坐標代入列二元一次方程組，求解；注意分段函數(shù)的實際意義，會觀察圖象．（1）根據(jù)兩點的坐標求y1（萬m3）與時間x（天）的函數(shù)關系式，并把x=20代入計算；設y1=kx+b，把（0，1200）和（60，0）代入到y(tǒng)1=kx+b得：解得，∴y1=﹣20x+1200當x=20時，y1=﹣20×20+1200=800，（2）分兩種情況：①當0≤x≤20時，y=y1，②當20＜x≤60時，y=y1+y2；并計算分段函數(shù)中y≤900時對應的x的取值．設y2=kx+b，把（20，0）和（60，1000）代入到y(tǒng)2=kx+b中得：解得，∴y2=25x﹣500，當0≤x≤20時，y=﹣20x+1200，當20＜x≤60時，y=y1+y2=﹣20x+1200+25x﹣500=5x+700，y≤900，則5x+700≤900，x≤40，當y1=900時，900=﹣20x+1200，x=15，∴發(fā)生嚴重干旱時x的范圍為：15≤x≤40．8.北京某廠和上海某廠同時制成電子計算機若干臺，北京廠可支援外地10臺，上海廠可支援外地4臺，現(xiàn)在決定給重慶8臺，漢口6臺。如果從北京運往漢口、重慶的運費分別是4百元/臺、8百元/臺，從上海運往漢口、重慶的運費分別是3百元/臺、5百元/臺。求：(1)若總運費為8400元，上海運往漢口應是多少臺?(2)若要求總運費不超過8200元，共有幾種調(diào)運方案?(3)求出總運費最低的調(diào)運方案，最低總運費是多少元?【答案】見解析?！窘馕觥吭O上海廠運往漢口x臺，那么上海運往重慶有(4-x)臺，北京廠運往漢口(6-x)臺，北京廠運往重慶(4+x)臺，則總運費W關于x的一次函數(shù)關系式：W=3x+4(6-x)+5(4-x)+8(4+x)=76+2x。(1)當W=84(百元)時，則有76+2x=84,