2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第四章指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)質(zhì)量評估新人教A版必修第一冊

第四章質(zhì)量評估(時間:120分鐘分值:150分)一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.1.設(shè)a=3525,b=2535,c=2525A.a>c>bB.a>b>cC.c>a>b D.b>c>a答案:A2.計算:2lg2+lg25等于 ()A.1B.2C.3D.4答案:B3.已知a=log52,b=log83,c=12,則下列推斷正確的是 (A.c<b<a B.b<a<cC.a<c<b D.a<b<c答案:C4.函數(shù)y=ax-3+3(a>0,且a≠1)的圖象過定點()A.(3,3) B.(3,4)C.(0,3) D.(0,4)答案:B5.下列四類函數(shù)中,具有性質(zhì)“對隨意的m,n∈R,函數(shù)f(x)滿意f(m+n)=f(m)·f(n)”的是 ()A.冪函數(shù) B.對數(shù)函數(shù)C.指數(shù)函數(shù) D.一次函數(shù)答案:C6.已知函數(shù)f(x)=ax3+bx+4(a,b∈R),f(lg(log210))=5,則f(lg(lg2))的值為 ()A.-3 B.-1 C.3 D.4答案:C 7.函數(shù)f(x)=ln(x+3)的圖象與函數(shù)g(x)=|x2-2|的圖象的交點個數(shù)為()A.2 B.3 C.4 D.0解析:如圖,可知函數(shù)f(x)=ln(x+3)的圖象與函數(shù)g(x)=|x2-2|的圖象的交點個數(shù)為4,故選C.答案:C8.將甲桶中的aL水緩慢注入空的乙桶中,tmin后甲桶剩余的水量符合指數(shù)衰減曲線y=aent,假設(shè)5min后甲桶和乙桶的水量相等.若再過mmin甲桶中的水有a4L,則m的值為 (A.10 B.9 C.8 D.5答案:D二、選擇題:本題共4小題,每小題5分,共20分.在每小題給出的選項中,有多項符合題目要求.全部選對的得5分,部分選對的得2分,有選錯的得0分.9.若2x=3,則x等于 ()A.log32 B.log23 C.lg2lg3 D.答案:BD10.設(shè)函數(shù)f(x)=3x,x≤0,|log3xA.12 B.1 C.-答案:AB11.若a,b是實數(shù),其中a>0,且a≠1,則滿意loga(a-b)>1的是 ()A.a>1,b>0 B.a>1,b<0C.0<a<1,0<b<a D.0<a<1,b<0答案:BC12.已知函數(shù)f(x)=ex+a,x≤0,|lnx|,x>0,g(A.-3 B.-2 C.0 D.1答案:CD三、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分.13.求值:log34273+lg25+lg4+7lo14.已知函數(shù)f(x)=2x+2,x≤1,loga(x-115.若函數(shù)f(x)=ax-1+3(a≠0)的圖象經(jīng)過定點P,則點P的坐標是(1,4).16.已知函數(shù)f(x)=lg(1-x)-lg(1+x),函數(shù)g(x)=2-ax(a>0,且a≠1).若當(dāng)x∈[0,1)時,函數(shù)f(x)與函數(shù)g(x)的值域的交集非空,則實數(shù)a的取值范圍為(2,+∞).四、解答題:本題共6小題,共70分,解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.(10分)計算下列各式:(1)12-1-350+94-0.5+4(2)lg500+lg85-12lg64+50(lg2+lg5)解:(1)原式=2+1-1+23+e-2=23(2)原式=lg5+lg102+lg23-lg5-12lg26+50(lg10)218.(12分)已知f(x)=(log12x)2-2log12x+4,(1)設(shè)t=log12x,x∈[2,4],求(2)求f(x)的值域.解:(1)因為函數(shù)t=log12所以tmax=log122=-1,tmin=log12(2)令g(t)=t2-2t+4=(t-1)2+3.由(1),得t∈[-2,-1],所以當(dāng)t=-2時,g(t)max=12;當(dāng)t=-1時,g(t)min=7,所以當(dāng)x=4時,f(x)max=12;當(dāng)x=2時,f(x)min=7.因此,函數(shù)f(x)的值域為[7,12].19.(12分)已知函數(shù)f(x)=a3x2-3,g(x)=1a5x+5,其中a>(1)若0<a<1,求滿意不等式f(x)<1的x的取值范圍;(2)求關(guān)于x的不等式f(x)≥g(x)的解集.解:(1)由不等式f(x)<1,得a3x2-3<因為0<a<1,所以3x2-3>0,即(x+1)(x-1)>0,解得x<-1或x>1.故滿意不等式f(x)<1的x的取值范圍為(-∞,-1)∪(1,+∞).(2)由不等式f(x)≥g(x),得a3x2-3≥a①若0<a<1,則3x2-3≤-5x-5,所以3x2+5x+2≤0,即(3x+2)(x+1)≤0,解得-1≤x≤-23②若a>1,則3x2-3≥-5x-5,所以3x2+5x+2≥0,即(3x+2)(x+1)≥0,解得x≤-1或x≥-23綜上所述,若0<a<1,則所求解集為[-1,-23若a>1,則所求解集為(-∞,-1]∪[-23,+∞)20.(12分)已知函數(shù)f(x)=13x3-x2+1(1)證明方程f(x)=0在區(qū)間(0,2)上有實數(shù)解;(2)請運用二分法,取區(qū)間的中點兩次,指出方程f(x)=0,x∈[0,2]的實數(shù)解x0在哪個較小的區(qū)間內(nèi).(1)證明:因為f(0)=1>0,f(2)=-13<0,所以f(0)f(2)=-13<因為函數(shù)f(x)=13x3-x2+所以方程f(x)=0在區(qū)間(0,2)上有實數(shù)解.(2)解:取x1=12×(0+2)=1,得f(1)=13>因為f(1)f(2)=-19<所以下一個有解區(qū)間為(1,2).再取x2=12×(1+2)=32,得f(32)=-1因為f(1)f(32)=-124所以下一個有解區(qū)間為(1,32)所以實數(shù)解x0在較小區(qū)間(1,32)內(nèi)21.(12分)某公司制訂了一個激勵銷售人員的嘉獎方案:當(dāng)銷售利潤不超過10萬元時,按銷售利潤的15%進行嘉獎;當(dāng)銷售利潤超過10萬元時,若超出A萬元,則額外嘉獎2log5(A+1)萬元.記獎金為y(單位:萬元),銷售利潤為x(單位:萬元).(1)干脆寫出該公司激勵銷售人員的嘉獎方案的函數(shù)模型.(2)假如業(yè)務(wù)員小李獲得3.5萬元的獎金,那么他的銷售利潤是多少萬元?解:(1)由題意,得該公司激勵銷售人員的嘉獎方案的函數(shù)模型為y=0(2)由(1)知,當(dāng)x∈[0,10]時,0≤0.15x≤1.5.因為業(yè)務(wù)員小李獲得3.5萬元的獎金,3.5>1.5,所以x>10.所以1.5+2log5(x-9)=3.5,解得x=14.所以業(yè)務(wù)員小李的銷售利潤是14萬元.22.(12分)已知函數(shù)f(x)=|x|+mx-1(x≠0)(1)若對隨意的x>0,不等式f(x)>0恒成立,求m的取值范圍;(2)試探討函數(shù)f(x)零點的個數(shù).解:(1)當(dāng)x>0時,f(x)=x+mx-1,不等式f(x)>0恒成立等價于x+mx-1則有m>x-x2(x>0)恒成立,而