2025屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題突破-抽象函數(shù)性質(zhì)問題含解析

Page12024屆高三二輪復(fù)習(xí)專題突破——抽象函數(shù)性質(zhì)問題一、單選題(共0分)1．已知函數(shù)的定義域為，，是偶函數(shù)，隨意滿意，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由是偶函數(shù)，得函數(shù)圖像關(guān)于直線對稱，結(jié)合單調(diào)性求解不等式即可得到結(jié)果.【詳解】因為是偶函數(shù)，所以的圖像關(guān)于直線對稱，則，因為隨意滿意，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故等價于，解得.故選：D2．已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為R，若滿意，且為奇函數(shù)，則下列選項中肯定成立的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】依據(jù)題意可得函數(shù)的奇偶性，然后令，即可求得，從而得到結(jié)果.【詳解】因為為奇函數(shù)，則，即，所以為偶函數(shù)，由，得，即，故A正確，C錯誤令，則，則，故D錯誤；令，則，故不肯定等于0.故B錯誤.故選:A3．定義在上的函數(shù)滿意，時，若的解集為，其中，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】依據(jù)題意可知：函數(shù)關(guān)于對稱，作出函數(shù)在區(qū)間上的圖象，然后依據(jù)函數(shù)的圖象和不等式的解集確定實數(shù)的取值范圍即可.【詳解】因為函數(shù)滿意，所以函數(shù)關(guān)于對稱，作出函數(shù)在區(qū)間上的圖象，又因為不等式的解集為，其中，依據(jù)圖象可知：當(dāng)直線過點時為臨界狀態(tài)，此時，故要使不等式的解集為，其中，則，故選：.4．已知定義在上的偶函數(shù)滿意，若，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】構(gòu)造，利用已知可得函數(shù)的單調(diào)性，利用周期性求出，化簡已知不等式，利用單調(diào)性得出解集．【詳解】是偶函數(shù)，，則，即是奇函數(shù)，由，可得，構(gòu)造，則單調(diào)遞增；，，即的周期為，則，即；不等式可化簡為，即，由單調(diào)性可得，解得故選：A5．已知函數(shù)的定義域均為為偶函數(shù)，且，，下列說法正確的有（

）A．函數(shù)的圖象關(guān)于對稱B．函數(shù)的圖象關(guān)于對稱C．函數(shù)是以4為周期的周期函數(shù)D．函數(shù)是以6為周期的周期函數(shù)【答案】C【分析】依據(jù)題中所給條件可推斷關(guān)于和對稱，進而得的周期性，結(jié)合的周期性和的奇偶性即可推斷的周期性，結(jié)合選項即可逐一求解.【詳解】由得，又為偶函數(shù)，所以，進而可得；因此可得的圖象關(guān)于對稱,又可得，結(jié)合為偶函數(shù)，所以，故的圖象關(guān)于對稱，因此，所以是以4為周期的周期，故D錯誤，由于，所以且，因此的圖象關(guān)于對稱，函數(shù)是以4為周期的周期函數(shù)，故C正確，B錯誤，依據(jù)是以4為周期的周期函數(shù)，由，得，所以數(shù)的圖象關(guān)于對稱，故A錯誤，故選：C6．已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為，記，若為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，則（

）A．2024 B．2024 C．2024 D．2024【答案】C【分析】先依據(jù)為偶函數(shù)得到，兩邊取的導(dǎo)數(shù)可得：求，進而得到，在依據(jù)導(dǎo)函數(shù)為奇函數(shù)可得到導(dǎo)函數(shù)的遞推公，然后依據(jù)遞推公式即可求解.【詳解】∵為偶函數(shù)，∴，即，兩邊同時對x求導(dǎo)得，即，令，則，∵為奇函數(shù)，∴，又，即，聯(lián)立得，即，∴，故選：C．7．已知函數(shù)的定義域為，且為偶函數(shù)，若，則（

）A．116 B．115 C．114 D．113【答案】C【分析】由可得函數(shù)的周期為，再結(jié)合為偶函數(shù)，可得也為偶函數(shù)，通過周期性與對稱性即可求解.【詳解】由，得，即，所以，所以函數(shù)的周期為，又為偶函數(shù)，則，所以，所以函數(shù)也為偶函數(shù)，又，所以，，所以，又，即，所以，又，，，所以故選：.8．已知函數(shù)的定義域均為R，且．若的圖像關(guān)于直線對稱，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】依據(jù)對稱性和已知條件得到，從而得到，，然后依據(jù)條件得到的值，再由題意得到從而得到的值即可求解.【詳解】因為的圖像關(guān)于直線對稱，所以，因為，所以，即，因為，所以，代入得，即，所以，.因為，所以，即，所以.因為，所以，又因為，聯(lián)立得，，所以的圖像關(guān)于點中心對稱，因為函數(shù)的定義域為R，所以因為，所以.所以.故選：D【點睛】含有對稱軸或?qū)ΨQ中心的問題往往條件比較隱藏，考生須要依據(jù)已知條件進行恰當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化，然后得到所需的一些數(shù)值或關(guān)系式從而解題.二、填空題(共0分)9．函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)定義域均為，且是偶函數(shù)，記，也是偶函數(shù)，則___________．【答案】【分析】依據(jù)函數(shù)的奇偶性得到，依據(jù)導(dǎo)函數(shù)的奇偶性得到，確定函數(shù)的周期為4，得到，計算得到答案.【詳解】是偶函數(shù)，，兩邊求導(dǎo)得到，即，即，取，，，也是偶函數(shù)，故，即，故，即，.故，是函數(shù)的一個周期，.故答案為：10．已知是定義域為的函數(shù)，為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，則______.【答案】0【分析】依題意可得關(guān)于直線對稱、關(guān)于點對稱且時周期為的周期函數(shù)，再求出、，即可得解.【詳解】解：因為為偶函數(shù)，所以，所以，即，則關(guān)于直線對稱，因為為奇函數(shù)，所以，所以的圖象關(guān)于點對稱，所以，則，所以是周期為的周期函數(shù)，由，即，所以為奇函數(shù)，又是定義域為的函數(shù)，所以，在中，令，所以，所以，在中，令，所以，所以，所以，所以.故答案為：11．設(shè)是定義在上的不恒為零的函數(shù)，且滿意為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，則______.【答案】0【分析】依據(jù)函數(shù)的奇偶性可知函數(shù)是周期為4的函數(shù)，然后利用周期性求解即可【詳解】由為偶函數(shù)，則函數(shù)關(guān)于直線對稱，則有；由函數(shù)為奇函數(shù)，則函數(shù)關(guān)于對稱，則，所以，設(shè)，則，從而函數(shù)是周期為4的函數(shù)，又由函數(shù)關(guān)于對稱，可得且，由可得，所以，因為，所以，故答案為：0三、多選題(共0分)12．已知函數(shù)，則（

）A．的定義域是 B．的值域是C．是奇函數(shù) D．在上單調(diào)遞減【答案】AC【分析】逐個推斷每個選項.【詳解】對于A項，分式中分母不等于0，所以，解得：所以的定義域是；故A項正確；對于B項，的值域是，故B項錯誤；對于C項，，令，定義域為，所以是奇函數(shù)，即是奇函數(shù)，故C項正確；對于D項，多個單調(diào)區(qū)間可用逗號（或“和”）隔開，所以在，上單調(diào)遞減，在上不是單調(diào)遞減的，故D項錯誤.故選：AC.13．已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為R，記，若，均為奇函數(shù)，則（

）A． B．C． D．【答案】AD【分析】對A，依據(jù)定義域為R的奇函數(shù)的滿意在處的值為0推斷即可；對B，依據(jù)題意不能求出的值；對C，依據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)可得的關(guān)系；對D，依據(jù)為奇函數(shù)推導(dǎo)可得，再為奇函數(shù)可得的周期為2，再令可得，進而依據(jù)周期性推斷即可【詳解】對A，因為為奇函數(shù)，且定義域為R，故，即，故A正確；對B，為奇函數(shù)則，且無條件推出的值，故B錯誤；對C，因為為奇函數(shù)，故，即，故C錯誤；對D，因為為奇函數(shù)，則，故，故，所以，即關(guān)于對稱.又為奇函數(shù)，故關(guān)于對稱，結(jié)合關(guān)于對稱有，即.故，又，所以，即的周期為2.又，即，所以，即，故D正確；故選：AD14．已知函數(shù)是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，并且當(dāng)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．在上為減函數(shù)B．在上C．在上為增函數(shù)D．關(guān)于對稱【答案】BD【分析】由已知可得的圖象關(guān)于中心對稱，且關(guān)于軸對稱，周期為，則可依次推斷每個選項正誤.【詳解】因為是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，所以，，所以，又，所以，所以函數(shù)的周期為，其圖象關(guān)于軸對稱，當(dāng)時，，則函數(shù)在上遞減，依據(jù)對稱性可得在單調(diào)遞增，再結(jié)合周期性可得在上為增函數(shù)，故A錯誤，因為當(dāng)時，，在小于0，依據(jù)對稱性可得在小于0，故B正確；的圖象關(guān)于軸對稱，所以，，所以不行能在上為增函數(shù)，故C錯誤；因為，，所以所以的圖象關(guān)于軸對稱，因為的周期為，所以關(guān)于對稱，故D正確.故選：BD.15．已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且.若時，，則下列結(jié)論正確的有（

）A．函數(shù)的值域為B．函數(shù)圖像關(guān)于直線對稱C．當(dāng)實數(shù)時，關(guān)于的方程恰有三個不同實數(shù)根D．當(dāng)實數(shù)時，關(guān)于的方程恰有四個不同實根【答案】ABD【分析】依據(jù)已知利用周期性得到函數(shù)的圖像，數(shù)形結(jié)合推斷方程根的個數(shù)即可求得的范圍進行推斷.【詳解】解析：由，函數(shù)周期為4．又為奇函數(shù)，而時，，即，變形整理得．可得函數(shù)圖像：由圖像可知，函數(shù)的值域為且關(guān)于對稱，選項A、B正確．記，由，所以為偶函數(shù)，當(dāng)時，，當(dāng)時，，圖像為：又方程有四個不同的根，當(dāng)時，即直線與函數(shù)，，有四個交點，即直線與函數(shù)，，有四個交點，數(shù)形結(jié)合可得，又因為為偶函數(shù)，所以，同時時恰有一個交點，選項C錯誤，D正確．故選：ABD16．已知函數(shù)的定義域為，函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，下列結(jié)論正確的有（

）A． B． C． D．【答案】BCD【分析】依據(jù)給定條件，探討函數(shù)的性質(zhì)，再逐項推斷作答.【詳解】函數(shù)的定義域為，由函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，得的圖象關(guān)于點對稱，則有，取得，B正確；由函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，得，則有，函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，因此，有，C正確；于是得，即，有，取得，D正確；函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，且關(guān)于直線對稱，而，A不正確.故選：BCD17．已知奇函數(shù)在R上可導(dǎo)，其導(dǎo)函數(shù)為，且恒成立，若在單調(diào)遞增，則（

）A．在上單調(diào)遞減 B．C． D．【答案】BCD【分析】依據(jù)函數(shù)的的對稱性和周期性，以及函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的相關(guān)性質(zhì)，逐個選項進行驗證即可.【詳解】方法一：對于A，若，符合題意，故錯誤，對于B，因已知奇函數(shù)在R上可導(dǎo)，所以，故正確，對于C和D，設(shè)，則為R上可導(dǎo)的奇函數(shù)，，由題意，得，關(guān)于直線對稱，易得奇函數(shù)的一個周期為4，，故C正確，由對稱性可知，關(guān)于直線對稱，進而可得，（其證明過程見備注）且的一個周期為4，所以，故D正確．備注：，即，所以，等式兩邊對x求導(dǎo)得，，令，得，所以．方法二：對于A，若，符合題意，故錯誤，對于B，因已知奇函數(shù)在R上可導(dǎo)，所以，故正確，對于C，將中的x代換為，得，所以，可得，兩式相減得，，則，，…，，疊加得，又由，得，所以，故正確，對于D，將的兩邊對x求導(dǎo)，得，令得，，將的兩邊對x求導(dǎo)，得，所以，將的兩邊對x求導(dǎo)，得，所以，故正確．故選：BCD18．已知函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，且對有.當(dāng)時，，則下列說法正確的是（

）A．的最小正周期是8 B．的最大值為5C． D．為偶函數(shù)【答案】ACD【分析】利用對稱關(guān)系以及恒等式對等式進行變形，可以得到函數(shù)的周期，即可推斷選項A，由上述過程中可得，即可推斷選項D，求出函數(shù)在，上的函數(shù)解析式，利用函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，探討一個周期中的最大值，即可推斷選項B，利用函數(shù)的周期性以及對稱性求解，即可推斷選項C．【詳解】解：因為函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，故的圖象關(guān)于直線對稱，因為對有，所以函數(shù)的圖象關(guān)于點成中心對稱，所以，即，又，即，所以，所以，所以，所以的周期為8，故A正確；又，故函數(shù)為偶函數(shù)，故D正確；因為當(dāng)，時，，且，則當(dāng)，時，，，所以，所以，故當(dāng)，時，，又函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，所以在同一個周期，上，的最大值為，故在上的最大值為4，故B錯誤；因為，所以C正確．故選：ACD．19．已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為R，若，均為奇函數(shù)，則（

）A． B． C． D．【答案】ACD【分析】由題知，，進而得，可推斷A；再對求導(dǎo)可得，進而得為周期函數(shù)，周期為，進而可得，可推斷BD；再依據(jù)得，進而得時，可推斷C..【詳解】解：因為若，為奇函數(shù)，所以，令得，，即，，A選項正確；所以，，即，所以，函數(shù)關(guān)于對稱，對稱，所以，，即所以，，所以，，即函數(shù)為周期函數(shù)，周期為，所以，，，故D選項正確，B選項錯誤；對于C選項，由可得，其中為常數(shù)，所以，所以，故令得，即，故C選項正確.故選：ACD.20．已知函數(shù)、的定義域均為，為偶函數(shù)，且，，下列說法正確的有（

）A．函數(shù)的圖象關(guān)于對稱 B．函數(shù)的圖象關(guān)于對稱C．函數(shù)是以為周期的周期函數(shù) D．函數(shù)是以為周期的周期函數(shù)【答案】BC【分析】利用題中等式以及函數(shù)的對稱性、周期性的定義逐項推導(dǎo)，可得出合適的選項.【詳解】對于A選項，因為為偶函數(shù)，所以．由，可得，可得，所以，函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，A錯；對于B選項，因為，則，又因為，可得，所以，函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，B對；對于C選項，因為函數(shù)為偶函數(shù)，且，則，從而，則，所以，函數(shù)是以為周期的周期函數(shù)，C對；對于D選項，因為，且，，又因為，所以，，又因為，則，所以，，故，因此，函數(shù)是周期為的周期函數(shù)，D錯.故選：BC.【點睛】結(jié)論點睛：對稱性與周期性之間的常用結(jié)論：（1）若函數(shù)的圖象關(guān)于直線和對稱，則函數(shù)的周期為；（2）若函數(shù)的圖象關(guān)于點和點對稱，則函數(shù)的周期為；（3）若函數(shù)的圖象關(guān)于直線和點對稱，則函數(shù)的周期為.21．已知定義在R上的函數(shù)滿意，，且當(dāng)時，，則（

）A．的圖像關(guān)于點對稱B．在區(qū)間上單調(diào)遞減C．若關(guān)于x的方程在區(qū)間上的全部實數(shù)根的和為，則D．函數(shù)有4個零點【答案】ACD【分析】對于A，由，結(jié)合偶函數(shù)性質(zhì)，可得答案；對于B，依據(jù)偶函數(shù)的對稱性和函數(shù)圖像的中心對稱性，可得答案；對于C，依據(jù)函數(shù)與方程的關(guān)系，結(jié)合對稱性，可得答案；對于D，依據(jù)函數(shù)的圖像性質(zhì)，函數(shù)值域之間的比較，可得答案.【詳解】由題意，得，所以，所以是以4為周期的函數(shù)，故，所以的圖像關(guān)于點對稱，故選項A正確；由A可知：當(dāng)時，，當(dāng)時，，.即當(dāng)時，，又，所以為偶函數(shù)，則當(dāng)時，，，所以.依據(jù)的周期性，當(dāng)時，，則，同理，當(dāng)，，得，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，故選項B錯誤；依據(jù)上述結(jié)論，函數(shù)在上的圖像如下：求方程等價于函數(shù)的圖像與的圖像相交點的橫坐標，如圖，設(shè)從小到大依次為，，，其中，其和，解得，代入，得，故選項C正確；求函數(shù)的零點個數(shù)，即求曲線與的公共點個數(shù).當(dāng)時，在點處的切線方程為，故與只有一個公共點.由，，得時，與有一個交點，故當(dāng)時，與有2個公共點.由與均為偶函數(shù)，得當(dāng)時，與有2個公共點，故函數(shù)有4個零點.如下圖.故選項D正確.故選：ACD.22．設(shè)函數(shù)定義域為，為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，當(dāng)時，，則下列結(jié)論正確的是（

）A．B．為奇函數(shù)C．在上為減函數(shù)D．方程僅有6個實數(shù)解【答案】ABD【分析】利用函數(shù)奇偶性以及特值可以得到，選項A正確；利用函數(shù)奇偶性可以得到函數(shù)的周期性選項B正確；利用函數(shù)奇偶性以及周期性得出函數(shù)圖象可得選項C錯誤；通過數(shù)形結(jié)合可選項D正確.【詳解】對于選項A：為偶函數(shù)，故，令得：，又為奇函數(shù)，故，令得：，其中，所以，故選項A正確；對于選項B：因為為奇函數(shù)，所以關(guān)于對稱，又為偶函數(shù)，則關(guān)于對稱，所以周期為，故，所以，從而為奇函數(shù)，故選項B正確；對于選項C：在上單調(diào)遞增，又關(guān)于對稱，所以在上單調(diào)遞增，且周期為8，故在上單調(diào)遞增，故選項C錯誤；對于選項D：依據(jù)題目條件畫出與的函數(shù)圖象，如圖所示：其中單調(diào)遞減且，所以兩函數(shù)有6個交點，故方程僅有6個實數(shù)解，故選項D正確.故選：ABD23．定義在R上的函數(shù)與的導(dǎo)函數(shù)分別為和，若，，且為奇函數(shù)，則下列說法中肯定正確的是（

）A． B．函數(shù)關(guān)于對稱C．函數(shù)是周期函數(shù) D．【答案】ACD【分析】由為奇函數(shù)可得，由取導(dǎo)數(shù)可得，結(jié)合條件可得，推斷B，再由條件推斷函數(shù)，的周期，由此計算，推斷C，D.【詳解】因為為奇函數(shù)，所以，取可得，A對，因為，所以所以，又，即，，故，所以函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，B錯，因為，所以所以，為常數(shù)，因為，所以，所以，取可得，所以，又，即，所以，所以，所以，故函數(shù)為周期為4的函數(shù)，因為，所以，，所以，所以，所以，故的值為0，D正確；因為，即故函數(shù)也為周期為4的函數(shù)，C正確.故選：ACD.【點睛】本題的關(guān)鍵在于結(jié)合，，且為奇函數(shù)三個條件，得到函數(shù)，的周期，利用對稱性和周期性推斷各個選項.24．已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為R，記，，，則（

）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】代入，找到含有的等式可推斷A正確，令，建立等式并求導(dǎo)，可得到關(guān)于對稱，利用，用換得到方程組解得，可知為偶函數(shù)，進而可推斷周期為2，簡單推斷D正確，利用為周期為2的偶函數(shù)，結(jié)合選項變換函數(shù)值，可求得，推斷不肯定相等.【詳解】令，得，所以A正確.令，則求導(dǎo)數(shù)得，，即所以關(guān)于對稱，又因為所以為偶函數(shù).，的周期為2.因為為周期為2的偶函數(shù)，所以令時，令，得，所以B不正確，C正確.因為的周期為2，，所以D正確.故選：ACD.【點睛】解決函數(shù)性質(zhì)綜合問題，要仔細分析條件，聯(lián)系函數(shù)的性質(zhì)，推斷函數(shù)是否具備奇偶性，周期性，對稱性等性質(zhì)，然后再利用函數(shù)性質(zhì)，結(jié)合選項，選擇特值找尋與選項有關(guān)的等式或不等式進行計算或者推斷.25．已知都是定義在上的函數(shù)，對隨意滿意，且，則下列說法正確的有（

）A．B．函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱C．D．若，則【答案】ABD【分析】利用賦值法結(jié)合題目給定的條件可推斷ABC，對于D，通過視察選項可以推斷很可能為周期函數(shù)，結(jié)合，的特殊性以及一些已經(jīng)證明的結(jié)論，想到當(dāng)令和時可構(gòu)建出兩個式子，兩式相加即可得出，進一步可得出是周期函數(shù)，從而可得出的值.【詳解】對于A，令，代入已知等式得，得，再令，，代入已知等式得，可得，結(jié)合得，故A正確；對于B，再令，代入已知等式得，將代入上式，得，∴函數(shù)為奇函數(shù)，∴函數(shù)關(guān)于點對稱，故B正確；對于C，再令，代入已知等式，得，∵，∴，又∵，∴，∵，∴，故C錯誤；對于D，分別令和，代入已知等式，得以下兩個等式：，兩式相加易得，所以有，即：，有：，即：，∴為周期函數(shù)，且周期為3，∵，∴，∴，，∴，∴，故D正確.故選：ABD.【點睛】思路點睛：對于含有，，的抽象函數(shù)的一般解題思路是：視察函數(shù)關(guān)系，發(fā)覺可利用的點，以及利用證明白的條件或者選項；抽象函數(shù)一般通過賦值法來確定、推斷某些關(guān)系，特殊是有，雙變量，須要雙賦值，可以得到一個或多個關(guān)系式，進而得到所需的關(guān)系.此過程中的難點是給予哪些合適的值，這就