2025屆新高考數(shù)學(xué)培優(yōu)專練專題14分類討論證明或求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間含參教師版

專題14分類探討證明或求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（含參）1．設(shè)函數(shù)．（1）當(dāng)時，探討在內(nèi)的單調(diào)性；（2）當(dāng)時，證明：有且僅有兩個零點(diǎn)．【答案】（1）在或上單調(diào)遞減，在或上單調(diào)遞增；（2）證明見解析.【分析】（1）先求導(dǎo)，依據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)即可求出單調(diào)區(qū)間；（2）先推斷出函數(shù)為偶函數(shù)，則問題轉(zhuǎn)化為在有且只有一個零點(diǎn)，再利用導(dǎo)數(shù)和函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，以及函數(shù)零點(diǎn)存在定理即可求出．【詳解】（1）當(dāng)時，，，令，解得或，，當(dāng)時，解得或，當(dāng)時，解得或，在，或，上單調(diào)遞減，在或上單調(diào)遞增；（2）的定義域為，，為偶函數(shù)，，有且僅有兩個零點(diǎn)等價于在有且只有一個零點(diǎn)，，當(dāng)時，，恒成立，在上單調(diào)遞減，，，在上有且只有一個零點(diǎn)，當(dāng)時，令，即，可知存在唯一，使得，當(dāng)或時，，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時，，，函數(shù)單調(diào)遞減，由，，可得，當(dāng)，，，在上有且只有一個零點(diǎn)，綜上所述，當(dāng)時，有且僅有兩個零點(diǎn)．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：1、利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)鍵在于精確判定導(dǎo)數(shù)的符號，當(dāng)f(x)含參數(shù)時，需依據(jù)參數(shù)取值對不等式解集的影響進(jìn)行分類探討；若可導(dǎo)函數(shù)f(x)在指定的區(qū)間D上單調(diào)遞增(減)，求參數(shù)范圍問題，可轉(zhuǎn)化為f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立問題，從而構(gòu)建不等式，要留意“＝”是否可以取到．2、用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的零點(diǎn)，一方面用導(dǎo)數(shù)推斷函數(shù)的單調(diào)性，借助零點(diǎn)存在性定理推斷；另一方面，也可將零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題，利用數(shù)形結(jié)合來解決.2．已知函數(shù)．（1）探討函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)時，求證：．【答案】（1）答案見解析；（2）證明見解析．【分析】（1）先求導(dǎo)，分為，，和四種情形進(jìn)行分類探討，依據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系即可求出；（2）等價于，令，利用當(dāng)時的結(jié)論，依據(jù)導(dǎo)數(shù)推斷與0的關(guān)系，即可證明.【詳解】解：的定義域為，則，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，當(dāng)時，令，解得或，當(dāng)時，恒成立，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，無單調(diào)遞增區(qū)間，當(dāng)時，，當(dāng)或時，，當(dāng)，時，，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為或，單調(diào)遞增區(qū)間為，，當(dāng)，，當(dāng)或，時，，當(dāng)時，，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為或，，單調(diào)遞增區(qū)間為．綜上所述：當(dāng)時，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，當(dāng)時，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，無單調(diào)遞增區(qū)間，當(dāng)時，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，，單調(diào)遞增區(qū)間為，，當(dāng)時，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為或，，單調(diào)遞增區(qū)間為．（2）證明：要證，即證，令，則，由（1），當(dāng)時，，可得的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，即的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，（1），在上單調(diào)遞增，（1），當(dāng)時，，，當(dāng)時，，，，即．【點(diǎn)睛】含有參數(shù)的函數(shù)單調(diào)性探討常見的形式：（1）對二次項系數(shù)的符號進(jìn)行探討；（2）導(dǎo)函數(shù)是否有零點(diǎn)進(jìn)行探討；（3）導(dǎo)函數(shù)中零點(diǎn)的大小進(jìn)行探討；（4）導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)與定義域端點(diǎn)值的關(guān)系進(jìn)行探討等.3．已知函數(shù).（1）若，求在區(qū)間上的極值；（2）探討函數(shù)的單調(diào)性.【答案】（1）微小值為，無極大值；（2）答案見解析.【分析】（1）當(dāng)時，求得，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，由此可求得函數(shù)在區(qū)間上的極值；（2）求得，分和兩種狀況探討，分析導(dǎo)數(shù)的符號改變，由此可得出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間和遞減區(qū)間.【詳解】（1）當(dāng)時，，所以，，列表；單調(diào)遞減微小單調(diào)遞增所以，在區(qū)間上的有微小值，無極大值；（2）函數(shù)的定義域為，.當(dāng)時，，從而，故函數(shù)在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，若，則，從而；若，則，從而.故函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.綜上所述，當(dāng)時，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，無單調(diào)遞增區(qū)間；當(dāng)時，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：探討含參數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，通常以下幾個方面：（1）求導(dǎo)后看函數(shù)的最高次項系數(shù)是否為，需分類探討；（2）若最高次項系數(shù)不為，且最高次項為一次，一般為一次函數(shù)，求出導(dǎo)數(shù)方程的根；（3）對導(dǎo)數(shù)方程的根是否在定義域內(nèi)進(jìn)行分類探討，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的符號改變可得出函數(shù)的單調(diào)性.4．已知函數(shù)．（1）試探討的單調(diào)性；（2）若，證明：．【答案】（1）答案不唯一見解析；（2）證明見解析.【分析】（1）對函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)得，再對分三種狀況探討，即，，三種狀況；（2）要證明，只需證明，而，因此只需證明，再利用函數(shù)的單調(diào)性，即可得證；【詳解】解析：（1）因為，①當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；②當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；③當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增．（2）要證明，只需證明，而，因此只需證明，當(dāng)時，，由（1）知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以；當(dāng)時，，故．【點(diǎn)睛】利用導(dǎo)數(shù)探討含參函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，要留意先求導(dǎo)后，再解導(dǎo)數(shù)不等式.5．已知函數(shù)，a為非零常數(shù).（1）求單調(diào)遞減區(qū)間；（2）探討方程的根的個數(shù).【答案】（1）當(dāng)時，的單調(diào)遞減區(qū)間為，當(dāng)時，的單調(diào)遞減區(qū)間為；（2）當(dāng)時，原方程有且僅有一個解；當(dāng)時，原方程有兩個解.【分析】（1）求導(dǎo)，對分類探討，利用可解得結(jié)果；（2）轉(zhuǎn)化為函數(shù)與的圖象的交點(diǎn)的個數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)可求得結(jié)果.【詳解】（1），由得，①若時，由得，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為；②若時，由得，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為.綜上所述，當(dāng)時，的單調(diào)遞減區(qū)間為；當(dāng)時，的單調(diào)遞減區(qū)間為.（2）因為方程等價于，令，所以方程的根的個數(shù)等于函數(shù)與的圖象的交點(diǎn)的個數(shù)，因為，由，得，當(dāng)，時，，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，，所以在，上單調(diào)遞減，又，所以當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，.所以，當(dāng)時，原方程有且僅有一個解；當(dāng)時，原方程有兩個解.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：探討函數(shù)零點(diǎn)或方程根的個數(shù)的常用的方法：（1）干脆法：干脆求解方程得到方程的根，可得方程根的個數(shù)；（2）數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，進(jìn)而構(gòu)造兩個函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解6．已知函數(shù)，.（1）推斷函數(shù)的單調(diào)性；（2）若，推斷是否存在實(shí)數(shù)，使函數(shù)的最小值為2？若存在求出的值；若不存在，請說明理由；（3）證明：.【答案】（1）答案見解析；（2）存在，；（3）證明見解析.【分析】（1）先求，再對求導(dǎo)，對參數(shù)a進(jìn)行探討確定導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，即得函數(shù)單調(diào)性；（2）對參數(shù)a進(jìn)行探討確定導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，即得函數(shù)單調(diào)性，再依據(jù)單調(diào)性確定最值等于2，解得符合條件的參數(shù)值即得結(jié)果；（3）先構(gòu)造函數(shù)，證明其小于零，即得時，再將代入求和即證結(jié)論.【詳解】解：（1）由，知，，故，.當(dāng)時，，即在為減函數(shù)，當(dāng)時，在上，所以在為減函數(shù)，在上，所以在增函數(shù).（2）當(dāng)時，在為減函數(shù)，所以.故不存在最小值3.當(dāng)時，，在為減函數(shù)，所以，所以，不合題意，舍去當(dāng)時，在上，函數(shù)單調(diào)遞減；在上，函數(shù)單調(diào)遞增，由此，所以.解得故時，使函數(shù)的最小值為2.（3）構(gòu)造函數(shù)，則，故在上遞減，，故，即時，而，故，即，將依次代入并相加得，即.【點(diǎn)睛】本題解題關(guān)鍵在于視察證明式，構(gòu)造函數(shù)，以證明，將代入求和即突破難點(diǎn).用導(dǎo)數(shù)解決與正整數(shù)n有關(guān)的不等式證明問題，屬于難點(diǎn)，突破點(diǎn)就在于視察構(gòu)造合適的函數(shù)，通過導(dǎo)數(shù)證明不等式，再將關(guān)于n的式子代入即可.7．已知函數(shù)，.（1）推斷函數(shù)的單調(diào)性；（2）若，推斷是否存在實(shí)數(shù)，使函數(shù)的最小值為2？若存在求出的值；若不存在，請說明理由；【答案】（1）答案見解析；（2）存在，.【分析】（1）先求，再對求導(dǎo)，對參數(shù)a進(jìn)行探討確定導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，即得函數(shù)單調(diào)性；（2）對參數(shù)a進(jìn)行探討確定導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，即得函數(shù)單調(diào)性，再依據(jù)單調(diào)性確定最值等于2，解得符合條件的參數(shù)值即得結(jié)果；【詳解】（1）由，知，，故.當(dāng)時，，即在為減函數(shù)，當(dāng)時，在上，所以在為減函數(shù)，在上，所以在增函數(shù).（2）當(dāng)時，在為減函數(shù)，所以.故不存在最小值3.當(dāng)時，，在為減函數(shù)，所以，所以，不合題意，舍去.當(dāng)時，，在上，函數(shù)單調(diào)遞減；在上，函數(shù)單調(diào)遞增，由此，所以.解得，故時，使函數(shù)的最小值為2.【點(diǎn)睛】利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的單調(diào)性和最值的步驟：①寫定義域，對函數(shù)求導(dǎo)；②在定義域內(nèi)，探討不等式何時和③對應(yīng)得到增區(qū)間和減區(qū)間及極值點(diǎn)，進(jìn)而比較端點(diǎn)和極值點(diǎn)的值確定指定區(qū)間的最值即可.8．已知函數(shù).（1）探討函數(shù)的單調(diào)性.（2）若，設(shè)是函數(shù)的兩個極值點(diǎn)，若，求證:.【答案】（1）答案見解析；（2）證明見解析.【分析】（1）先求得的定義域和導(dǎo)函數(shù)，對分成和兩種狀況進(jìn)行分類探討，由此求得的單調(diào)區(qū)間.（2）求得的表達(dá)式，求得，利用根與系數(shù)關(guān)系得到的關(guān)系式以及的取值范圍，將表示為只含的形式，利用構(gòu)造函數(shù)法求得的最小值，從而證得不等式成立.【詳解】(1)由題意得，函數(shù)的定義域為，.當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增.當(dāng)時，令，得.若，則，此時函數(shù)單調(diào)遞增；若，則，此時函數(shù)單調(diào)遞減.綜上，當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.(2)，，.由得，，，.，，，解得..設(shè)，則，函數(shù)在上單調(diào)遞減.當(dāng)時，.時，成立.【點(diǎn)睛】求解含有參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性題，求導(dǎo)后要依據(jù)導(dǎo)函數(shù)的形式進(jìn)行分類探討.9．已知函數(shù).（1）探討的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)時，證明：.【答案】（1）當(dāng)時，的增區(qū)間為，無減區(qū)間；當(dāng)時，的減區(qū)間為，增區(qū)間，（2）證明見解析【分析】（1）先求出函數(shù)的定義域，再求導(dǎo)數(shù)，分和，分別由導(dǎo)數(shù)大于零和小于零，可求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）要證明，只要證，構(gòu)造函數(shù)，然后利用導(dǎo)數(shù)求出此函數(shù)的最小值即可，或要證明，只要證，構(gòu)造函數(shù)，然后用導(dǎo)數(shù)求其最小值，構(gòu)造函數(shù)，然后利用導(dǎo)數(shù)求其最大值，或要證明．由于當(dāng)時，，只要證，構(gòu)造函數(shù)，令，，再利用導(dǎo)數(shù)求其最小值即可【詳解】（1）解：的定義域為，．當(dāng)時，，則的增區(qū)間為，無減區(qū)間．當(dāng)時，由，得．當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以的減區(qū)間為，增區(qū)間．（2）證明：法一：要證明．由于當(dāng)時，，只要證．設(shè)，則，，所以在上是增函數(shù)．又，，所以存在，使得，即，．所以當(dāng)時，；當(dāng)時，，因此在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，所以有微小值，且微小值為．因此，即．綜上，當(dāng)時，．法二：要證明，只要證．設(shè)，則．當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，所以是的微小值點(diǎn)，也是最小值點(diǎn)，且．令，則．當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，所以是的極大值點(diǎn)，也是最大值點(diǎn)，且，所以當(dāng)時，，即．綜上，當(dāng)時，．法三：要證明．由于當(dāng)時，，只要證．設(shè)，令，則，當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，所以是的微小值點(diǎn)，也是的最小值點(diǎn)，即．設(shè)，則．當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，所以是的微小值點(diǎn)，也是的最小值點(diǎn)，即．綜上，（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號），（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號），所以，故當(dāng)時，．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，解題的關(guān)鍵是將不等式等價轉(zhuǎn)化，然后構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想，屬于較難題10．已知函數(shù).（1）試探討函數(shù)的單調(diào)性；（2）對隨意，滿意的圖象與直線恒有且僅有一個公共點(diǎn)，求k的取值范圍.【答案】（1）當(dāng)時，在單調(diào)遞增；當(dāng)時，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；（2）或.【分析】（1）首先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，分和兩千狀況探討導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，確定函數(shù)的單調(diào)性；（2）由方程，轉(zhuǎn)化為，構(gòu)造函數(shù)，利用二階導(dǎo)數(shù)推斷函數(shù)的單調(diào)性，并分狀況探討最小值的正負(fù)，并結(jié)合零點(diǎn)存在性定理，確定函數(shù)的性質(zhì)，依據(jù)有唯一解，確定的取值范圍.【詳解】（1）當(dāng)時，恒有，所以在單調(diào)遞增；當(dāng)時，令，則，則，（舍去），當(dāng)時，，在單調(diào)遞增；當(dāng)時，，在單調(diào)遞減.綜上所述，當(dāng)時，在單調(diào)遞增；當(dāng)時，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.（2）原命題等價于對隨意，有且僅有一解，即；令則，，令得所以在上遞減，在上遞增，當(dāng)時，，所以在R上單調(diào)遞增，又當(dāng)時，，所以；當(dāng)時，，所以.所以在R上必存在唯一零點(diǎn)，此時；當(dāng)時，，同時又當(dāng)時，，所以；當(dāng)時，，所以.所以方程存在兩根，即且，所以在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以的極大值為，微小值為要使有方程唯一解，必有或，又，又，則，，所以在遞減，且時，，所以；同理，，在遞增，，所以.綜上可得，或.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題是一道利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)性質(zhì)，零點(diǎn)的綜合應(yīng)用題型，屬于難題，一般利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)零點(diǎn)或方程的實(shí)數(shù)根時，需依據(jù)題意構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)在該區(qū)間上的單調(diào)性，極值，端點(diǎn)值等性質(zhì)，以及零點(diǎn)存在性定理等探討函數(shù)的零點(diǎn).11．設(shè)函數(shù).（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)在處取得最大值，求a的取值范圍.【答案】（1）當(dāng)時，的單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間；當(dāng)時，的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為；（2）.【分析】（1）先對求導(dǎo)，對導(dǎo)函數(shù)分和兩種狀況探討即可.（2）因為函數(shù)在處取得最大值，所以，利用分別參數(shù)法轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問題，求函數(shù)的最值即可.【詳解】解：（1），當(dāng)時，，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間；當(dāng)時，令，得或，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為和令，得，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為.綜上，當(dāng)時，的單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間；當(dāng)時，的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為.（2）由題意得.因為函數(shù)在處取得最大值，所以，即，當(dāng)時，明顯成立.當(dāng)時，得，即.令，則，恒成立，所以是增函數(shù)，，所以，即，所以a的取值范圍為.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：對含參數(shù)的函數(shù)求單調(diào)區(qū)間，依據(jù)導(dǎo)函數(shù)分類探討是解決這類題的一般方法；已知函數(shù)的最大值求參數(shù)的取值范圍，往往轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問題，假如能分別參數(shù)的話，分別參數(shù)是解決這類題的常用方法，然后再求函數(shù)的最值即可.12．已知函數(shù)（）.（1）探討函數(shù)的單調(diào)性；（2）若關(guān)于的不等式在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）答案不唯一，見解析；（2）.【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過探討a的范圍，推斷函數(shù)的單調(diào)性即可；（2原不等式化為：在上恒成立，設(shè)，，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再令，依據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出a的范圍即可．【詳解】（1），，令，則或，當(dāng)時，函數(shù)在區(qū)間和上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，函數(shù)在區(qū)間和上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減；（2）原不等式化為：在上恒成立，設(shè)，，，令，則，所以在上單調(diào)遞增，，所以，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題考查利用導(dǎo)數(shù)探討單調(diào)性（含參），考查利用導(dǎo)數(shù)探討恒成立問題，解決第（2）問的關(guān)鍵是將原不等式轉(zhuǎn)化為在上恒成立，進(jìn)而利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的單調(diào)性，從而得解，考查邏輯思維實(shí)力和運(yùn)算求解實(shí)力，考查轉(zhuǎn)化和劃歸思想，屬于常考題.13．已知函數(shù).（1）探討的單調(diào)性；（2）當(dāng)時，函數(shù)在其定義域內(nèi)有兩個不同的極值點(diǎn)，記作、，且，若，證明：.【答案】（1）答案見解析；（2）證明見解析.【分析】（1）求出函數(shù)的定義域，求得，對實(shí)數(shù)的取值進(jìn)行分類探討，分析導(dǎo)數(shù)的符號改變，由此可得出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間和遞減區(qū)間；（2）利用分析法得出所證不等式等價于，令，構(gòu)造函數(shù)，其中，利用導(dǎo)數(shù)證明出對隨意的恒成立，由此可證得原不等式成立.【詳解】（1）函數(shù)的定義域為，，方程的判別式.①當(dāng)時，，，在為增函數(shù)；②當(dāng)時，，方程的兩根為，，（i）當(dāng)時，，對隨意的，，在為增函數(shù)；（ii）當(dāng)時，，令，可得，令，可得.所以，在為增函數(shù)，在為減函數(shù).綜上所述：當(dāng)時，的增區(qū)間為，無減區(qū)間；當(dāng)時，的增區(qū)間為，減區(qū)間；（2）證明：，所以，因為有兩極值點(diǎn)、，所以，，欲證等價于要證：，即，所以，因為，，所以原不等式等價于要證明.又，，作差得，，所以原不等式等價于要證明，令，，上式等價于要證，，令，所以，當(dāng)時，，則，所以在上單調(diào)遞增，因此，在上恒成立，所以原不等式成立.【點(diǎn)睛】利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的單調(diào)性，再由單調(diào)性來證明不等式是函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式綜合中的一個難點(diǎn)，解題技巧是構(gòu)造協(xié)助函數(shù)，把不等式的證明轉(zhuǎn)化為利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的單調(diào)性或求最值，從而證得不等式，而如何依據(jù)不等式的結(jié)構(gòu)特征構(gòu)造一個可導(dǎo)函數(shù)是用導(dǎo)數(shù)證明不等式的關(guān)鍵.14．已知實(shí)數(shù)，函數(shù)，.（1）探討函數(shù)的單調(diào)性；（2）若是函數(shù)的極值點(diǎn)，曲線在點(diǎn)?()處的切線分別為?，且?在y軸上的截距分別為?.若，求的取值范圍.【答案】（1）答案見解析；（2）.【分析】（1）對函數(shù)求導(dǎo)，依據(jù)、分類，求得、的解集即可得解；（2）由極值點(diǎn)的性質(zhì)可得，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得、及，轉(zhuǎn)化條件為，構(gòu)造新函數(shù)結(jié)合導(dǎo)數(shù)即可得解.【詳解】（1）由題意，，，，∴，①當(dāng)，即時，，在上單調(diào)遞減；②當(dāng)，即時，當(dāng)時，；當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.綜上所述：當(dāng)時，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；（2）∵是的極值點(diǎn)，∴，即，解得或（舍），此時，，方程為，令，得，同理可得，，，整理得：，，又，則，解得，，令，則，設(shè)，則，在上單調(diào)遞增，又，，，即的取值范圍為.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵是利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義轉(zhuǎn)化條件，再構(gòu)造新函數(shù)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)即可得解.15．已知函數(shù).(1)探討函數(shù)的單調(diào)性；(2)若，函數(shù)在上恒成立，求證：.【答案】（1）答案不唯一，見解析（2）證明見解析【分析】（1）求導(dǎo)后分解因式，分類探討即可得到函數(shù)的單調(diào)性；（2）由題意求出，轉(zhuǎn)化為在上恒成立，利用導(dǎo)數(shù)求出的最小值，即可求解.【詳解】（1）若時，，在上單調(diào)遞增；若時，，當(dāng)或時，，為增函數(shù)，當(dāng)時，，為減函數(shù)，若時，，當(dāng)或時，，為增函數(shù)，當(dāng)時，，為減函數(shù).綜上，時，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（2）由，解得，所以，由時，，可知在上恒成立可化為在上恒成立，設(shè)，則，設(shè)，則，所以在上單調(diào)遞增，又，所以方程有且只有一個實(shí)根，且所以在上，，單調(diào)遞減，在上，單調(diào)遞增，所以函數(shù)的最小值為，從而【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解答本題的難點(diǎn)在于得到后，不能求出的零點(diǎn)，須要依據(jù)的單調(diào)性及零點(diǎn)存在定理得到的大致范圍，再利用的范圍及證明不等式.16．設(shè)，其中是不等于零的常數(shù)，（1）寫出的定義域；（2）求的單調(diào)遞增區(qū)間；【答案】（1）；（2）答案見解析.【分析】（1）由已知得出，解出可得的定義域；（2）對函數(shù)求導(dǎo)，按，，和四種狀況，分別求出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間即可．【詳解】（1）∵，∴∴的定義域為（2）時，恒成立，在遞增；時，令，解得或，即函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，當(dāng)即時，在遞增當(dāng)即時，在遞增當(dāng)即時，在無遞增區(qū)間綜上可得：時，在遞增；時，在遞增；時，在遞增【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查函數(shù)的定義域，考查導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的單調(diào)性，解決本題的關(guān)鍵是令求出函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間，探討定義域的區(qū)間端點(diǎn)和單調(diào)區(qū)間的關(guān)系，考查了學(xué)生分類探討思想和計算實(shí)力，屬于中檔題．17．已知，函數(shù)．（為自然對數(shù)的底數(shù)）．（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）求函數(shù)在上的最大值．【答案】（1）單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為；（2）.【分析】（1）由題得，再利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間得解；（2）證明，列出表格得出單調(diào)區(qū)間，比較區(qū)間端點(diǎn)與極值即可得到最大值．【詳解】（1）由題得，令或，因為，所以，所以不等式組的解為或，所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為；令或，解之得，所以函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為；所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為.（2）令，，，所以在，上是減函數(shù)，（1），．即所以，隨的改變狀況如下表：，，0微小值，，，．對隨意的，，的圖象恒在下方，所以，所以，即，所以函數(shù)在，上的最大值．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解答本題的關(guān)鍵點(diǎn)有兩個，其一：是構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)比較的大??；其二：是比較的大小，確定函數(shù)的最大值.18．已知函數(shù)．（1）若函數(shù)在處取得極值，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）探討函數(shù)的單調(diào)性；（3）當(dāng)時，，證明：函數(shù)有且僅有兩個零點(diǎn)，且兩個零點(diǎn)互為倒數(shù)．【答案】（1）；（2）答案見解析；（3）證明見解析．【分析】(1)求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，由已知極值點(diǎn)可求出，從而可求出函數(shù)解析式，求出切點(diǎn)坐標(biāo)和切線斜率從而可求出切線的方程.(2)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，分，兩種狀況進(jìn)行探討，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的符號從而可確定函數(shù)的單調(diào)性.(3)求出，由的單調(diào)性可推斷存在唯一使得，進(jìn)而可求出的單調(diào)性，從而可證明函數(shù)的零點(diǎn)問題.【詳解】（1）求導(dǎo)：，由已知有，即，所以，則，所以切點(diǎn)為，切線斜率，故切線方程為：.（2）的定義域為且，若，則當(dāng)時，，故在上單調(diào)遞增；若，則當(dāng)，當(dāng)，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（3），所以，，因為在上遞增，在遞減，所以在上遞增，又，故存在唯一使得，所以在上遞減，在上遞增，又，所以在內(nèi)存在唯一根，由得，又，故是在上的唯一零點(diǎn)．綜上，函數(shù)有且僅有兩個零點(diǎn)，且兩個零點(diǎn)互為倒數(shù).【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)時，常用的方法有：一、干脆依據(jù)零點(diǎn)存在定理推斷；二、將整理變形成的形式，通過兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)確定函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)；三、結(jié)合導(dǎo)數(shù)，求函數(shù)的單調(diào)性，從而推斷函數(shù)零點(diǎn)個數(shù).19．已知函數(shù)（1）當(dāng)時，探討函數(shù)的單調(diào)性；（2）若函數(shù)有兩個極值點(diǎn)，證明；【答案】（1）當(dāng)時，在單調(diào)遞增；當(dāng)時，在區(qū)間，單調(diào)遞增；在區(qū)間單調(diào)遞減；（2）證明見解析.【分析】（1）求出導(dǎo)函數(shù)，然后依據(jù)方程的判別式得到導(dǎo)函數(shù)的符號，進(jìn)而得到函數(shù)的單調(diào)性；（2）由題意得到方程有兩個根，故可得，且．然后可得，最終利用導(dǎo)數(shù)可證得，從而不等式成立．【詳解】解：（1）函數(shù)的定義域為，，①當(dāng)，即時，，所以在單調(diào)遞增；②當(dāng)，即時，令，得，，且，，當(dāng)時，；當(dāng)時，；∴單調(diào)遞增區(qū)間為，；單調(diào)遞減區(qū)間為．綜上所述：當(dāng)時，在單調(diào)遞增；時，在區(qū)間，單調(diào)遞增；在區(qū)間單調(diào)遞減．（2）由（1）得，∵函數(shù)有兩個極值點(diǎn)，，∴方程有兩個根，，∴，且，解得．所以，.故令，.∴，∴在上單調(diào)遞減，∴，即.【點(diǎn)睛】（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間或探討函數(shù)的單調(diào)性時，若解析式中含有參數(shù)時，解題中肯定要弄清參數(shù)對導(dǎo)函數(shù)在某一區(qū)間內(nèi)的符號是否有影響，若有影響則必需進(jìn)行分類探討，故解題的關(guān)鍵是分和兩類狀況探討求解．（2）解答其次問的關(guān)鍵在于求出的表達(dá)式后將問題轉(zhuǎn)化，通過構(gòu)造新函數(shù)并利用單調(diào)性可得結(jié)論成立．20．（1）已知函數(shù)f（x）=2lnx+1．若f（x）≤2x+c，求c的取值范圍；（2）已知函數(shù).探討函數(shù)的單調(diào)性.【答案】（1）．（2）答案見解析．【分析】（1）不等式變形為，求出的最大值后可得的范圍；（2）求出導(dǎo)函數(shù)，確定的正負(fù)，得的單調(diào)性．【詳解】（1）定義域是，由得，，設(shè)，則，當(dāng)時，，當(dāng)時，，∴在上遞增，在上遞減，∴，∴．（2），定義域是，，當(dāng)時，，在上遞增，當(dāng)時，，當(dāng)時，，時，，∴在上遞增，在上遞減．綜上，時，的增區(qū)間是，時，的增區(qū)間是，減區(qū)間是．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題考查函數(shù)的單調(diào)性，考查不等式恒成立問題．（1）已知的導(dǎo)函數(shù)是，解不等式可得增區(qū)間，可得減區(qū)間．（2）恒成立，則，若恒成立，則．21．已知函數(shù)（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)時，證明：對隨意的.【答案】（1）答案見解析；（2）證明見解析.【分析】（1）求出導(dǎo)函數(shù)，分類探討確定的正負(fù)，得增減區(qū)間；（2）不等式變形為，令，由的單調(diào)確定其有唯一零點(diǎn)，得出為微小值點(diǎn)，也是最小值點(diǎn)，證明最小值即得．【詳解】（1）由題意知，函數(shù)的定義域為由已知得當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為當(dāng)時，由，得，由，得所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為綜上，當(dāng)時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為．（2）當(dāng)時，不等式可變?yōu)?令，則，可知函數(shù)在單調(diào)遞增，..而，所以方程在上存在唯一實(shí)根，即當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增；所以即在上恒成立，所以對隨意成立.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，考查不等式恒成立問題．把不等式化簡后，引入新函數(shù)，由導(dǎo)數(shù)得出新函數(shù)的最值，證明最值符合不等關(guān)系即可證原不等式．這里對導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)不能求得詳細(xì)數(shù)，可以得出其存在性，得出其性質(zhì)（范圍），然后利用導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)化簡原函數(shù)的最值，以證結(jié)論．22．設(shè)函數(shù)，.（1）探討函數(shù)的單調(diào)性；（2）假如對于隨意的，都有成立，試求的取值范圍.【答案】（1）答案見解析；（2）.【分析】（1）求導(dǎo)分和兩種狀況，分別分析導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)，可得出原函數(shù)的單調(diào)性；（2）先求導(dǎo)，分析導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)，得出函數(shù)的單調(diào)性，從而求得最值，運(yùn)用不等式恒成立思想，將問題轉(zhuǎn)化為在上恒成立，令，運(yùn)用導(dǎo)函數(shù)得出函數(shù)的最大值，可求得實(shí)數(shù)a的取值范圍.【詳解】（1）函數(shù)的定義域為，當(dāng)時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，當(dāng)時，則，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減，所以時，函數(shù)在單調(diào)遞減，在上遞增；（2）由已知得，所以當(dāng)時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，又，所以函數(shù)在上的最大值為1，依題意得，只需在，恒成立，即，也即是在上恒成立，令，則，有，當(dāng)時，，，，即在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，，，所以在上單調(diào)遞減，所以，當(dāng)時，函數(shù)取得最大值，故，即實(shí)數(shù)a的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題考查運(yùn)用導(dǎo)函數(shù)分類探討求得函數(shù)的單調(diào)性，解決不等式恒成立的問題，屬于較難題.不等式的恒成立與有解問題，可按如下規(guī)則轉(zhuǎn)化：一般地，已知函數(shù)，（1）若，，總有成立，故；（2）若，，有成立，故；（3）若，，有成立，故；（4）若，，有，則的值域是值域的子集．23．已知函數(shù).（1）探討函數(shù)的單調(diào)性；（2）若存在兩個極值點(diǎn)，，求證.【答案】（1）答案見解析；（2）證明見解析.【分析】（1）求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，設(shè)方程，可得，依據(jù)和，結(jié)合和分類探討，即可求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）由（1）可得，當(dāng)時，函數(shù)兩個極值點(diǎn)滿意，，依據(jù)函數(shù)的解析式，化簡，令，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與最值，即可求解.【詳解】（1）由題意，函數(shù)的定義域為，且，設(shè)方程，可得，①當(dāng)時，即時，，所以在上單增；②當(dāng)時，即時，設(shè)方程的兩根為和，且，則，，且，①當(dāng)時，可得，，所以在上單減，在上單增；②當(dāng)時，可得，，所以在上單增，在上單減，在上單增.綜上可得：①當(dāng)時，在上單增；②當(dāng)時，在上單減，在上單增；③當(dāng)時，在和上單增，在上單減.（2）由（1）可知，當(dāng)時，函數(shù)存在兩個極值點(diǎn)，，且滿意，，又由，令，可得，所以在上單減，所以，即.【點(diǎn)睛】利用導(dǎo)數(shù)證明不等式問題：（1）干脆構(gòu)造法：證明不等式轉(zhuǎn)化為證明，進(jìn)而構(gòu)造協(xié)助函數(shù)；（2）適當(dāng)放縮構(gòu)造法：一是依據(jù)已知條件適當(dāng)放縮；二是利用常見放縮結(jié)論；（3）構(gòu)造“形似”函數(shù)，稍作變形再構(gòu)造，對原不等式同解變形，依據(jù)相像結(jié)構(gòu)構(gòu)造協(xié)助函數(shù).24．已知函數(shù).（1）探討的單調(diào)性；（2）當(dāng)時，，求a的取值范圍.【答案】（1）答案不唯一，詳細(xì)見解析；（2）.【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過探討的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；（2）時，成立，當(dāng)時，問題轉(zhuǎn)化為，當(dāng)時，問題轉(zhuǎn)化為，令，依據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出的范圍即可．【詳解】解析：（1），若，則，此時單調(diào)遞增；若，由得，由得，此時在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.（2）由得，當(dāng)時，明顯成立；當(dāng)時，，，令，則，在上單調(diào)遞減，，此時；當(dāng)時，，，由知在時取得最小值，，此時，綜上可得a的取值范圍是.【點(diǎn)睛】導(dǎo)函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導(dǎo)數(shù)探討含參函數(shù)的單調(diào)性，?；癁椴坏仁胶愠闪栴}．留意分類探討與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；二是函數(shù)的零點(diǎn)、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問題處理．25．設(shè)函數(shù)，，.（1）探討函數(shù)的單調(diào)性；（2）若，，總有成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍.【答案】（1）答案見解析；（2）.【分析】（1）先求導(dǎo)，再對分類探討求出函數(shù)的單調(diào)性；（2）先求出，，，等價于，對恒成立，即得解.【詳解】函數(shù)的定義域為，（1）若，即，當(dāng)時，；當(dāng)時，.故函數(shù)在(0，1)為減函數(shù)，在上為增函數(shù).若，即a<-1.①當(dāng)，即時，(ⅰ)若時，；(ⅱ)若時，；(ⅲ)若時，.即函數(shù)在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.②當(dāng)，即時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減.③當(dāng)，即時，(ⅰ)若時，；(ⅱ)若時，；(ⅲ)若時，.即函數(shù)在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）由（1）可知，當(dāng)時，在單調(diào)遞減，，當(dāng)時，，∴故對恒成立.即∵∴的取值范圍為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解答第2問的關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化，，總有成立，它等價于，再利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值即得解.對于含有全稱量詞和特稱量詞的命題，首先要精確解讀命題，再解答.26．已知函數(shù)，其中e是自然對數(shù)的底數(shù)，.（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)時，求函數(shù)的最小值.【答案】（1）答案不唯一，詳細(xì)見解析；（2）答案不唯一，詳細(xì)見解析.【分析】（1）對函數(shù)求導(dǎo)，分和分別寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)時，函數(shù)在給定區(qū)間單調(diào)遞增，可得函數(shù)的最小值；當(dāng)時，比較微小值點(diǎn)與區(qū)間端點(diǎn)的大小，分類探討寫出最小值．【詳解】（1）因為若，在單調(diào)遞增；若，在單調(diào)遞增，單調(diào)遞減；（2）由（1），得時，的最小值為時，最小值為時，最小值為【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題考查導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的單調(diào)性與最值問題，設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，在上可導(dǎo)，則：1.若，則在上單調(diào)遞增；2.若，則在上單調(diào)遞減．27．已知函數(shù)，.（1）探討函數(shù)的單調(diào)性；（2）若當(dāng)時，方程有實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）答案見解析；（2）.【分析】（1）先對函數(shù)求導(dǎo)，分和兩種狀況探討，可求解函數(shù)的單調(diào)性；（2）由已知得有實(shí)數(shù)解，構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性及函數(shù)的性質(zhì)求得a的范圍.【詳解】解：（1）函數(shù)的定義域為R，當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，令，得，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）由，得，因為，所以.令，，則.令，得.當(dāng)時，，為減函數(shù)；當(dāng)時，，為增函數(shù).所以.又因為，因為，，所以，所以當(dāng)時，.所以函數(shù)的值域為，因此實(shí)數(shù)a的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的單調(diào)性問題，零點(diǎn)問題，導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的綜合應(yīng)用，考查運(yùn)算求解實(shí)力、轉(zhuǎn)化與化歸思想，屬于較難題．28．已知函數(shù)，