江西省新余四中、上2025屆高三下學(xué)期聯(lián)考數(shù)學(xué)試題含解析

江西省新余四中、上2025屆高三下學(xué)期聯(lián)考數(shù)學(xué)試題請(qǐng)考生注意：1．請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫(xiě)在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫(xiě)在試題卷、草稿紙上均無(wú)效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知函數(shù)，集合，，則（）A． B．C． D．2．若復(fù)數(shù)滿足，則的虛部為（）A．5 B． C． D．-53．已知數(shù)列為等差數(shù)列，為其前項(xiàng)和，，則（）A．7 B．14 C．28 D．844．我國(guó)著名數(shù)學(xué)家陳景潤(rùn)在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界矚目的成就，哥德巴赫猜想內(nèi)容是“每個(gè)大于的偶數(shù)可以表示為兩個(gè)素?cái)?shù)的和”（注：如果一個(gè)大于的整數(shù)除了和自身外無(wú)其他正因數(shù)，則稱這個(gè)整數(shù)為素?cái)?shù)），在不超過(guò)的素?cái)?shù)中，隨機(jī)選取個(gè)不同的素?cái)?shù)、，則的概率是（）A． B． C． D．5．已知雙曲線的左，右焦點(diǎn)分別為，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，P為雙曲線在第一象限上的點(diǎn)，直線PO，分別交雙曲線C的左，右支于另一點(diǎn)，且，則雙曲線的離心率為()A． B．3 C．2 D．6．已知集合，，則等于（）A． B． C． D．7．將函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位得到函數(shù)的圖像，則的最小值為（）A． B． C． D．8．已知不同直線、與不同平面、，且，，則下列說(shuō)法中正確的是（）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則9．設(shè)，是空間兩條不同的直線，，是空間兩個(gè)不同的平面，給出下列四個(gè)命題：①若，，，則；②若，，，則；③若，，，則；④若，，，，則.其中正確的是（）A．①② B．②③ C．②④ D．③④10．兩圓和相外切，且，則的最大值為（）A． B．9 C． D．111．已知集合，，則A． B．C． D．12．已知，其中是虛數(shù)單位，則對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知實(shí)數(shù)，滿足，則的最大值為_(kāi)_____.14．春節(jié)期間新型冠狀病毒肺炎疫情在湖北爆發(fā)，為了打贏疫情防控阻擊戰(zhàn)，我省某醫(yī)院選派2名醫(yī)生，6名護(hù)士到湖北、兩地參加疫情防控工作，每地一名醫(yī)生，3名護(hù)士，其中甲乙兩名護(hù)士不到同一地，共有__________種選派方法.15．已知點(diǎn)是雙曲線漸近線上的一點(diǎn)，則雙曲線的離心率為_(kāi)______16．若且時(shí)，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(kāi)_______．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）某省新課改后某校為預(yù)測(cè)2020屆高三畢業(yè)班的本科上線情況，從該校上一屆高三（1）班到高三（5）班隨機(jī)抽取50人，得到各班抽取的人數(shù)和其中本科上線人數(shù)，并將抽取數(shù)據(jù)制成下面的條形統(tǒng)計(jì)圖.（1）根據(jù)條形統(tǒng)計(jì)圖，估計(jì)本屆高三學(xué)生本科上線率.（2）已知該省甲市2020屆高考考生人數(shù)為4萬(wàn)，假設(shè)以（1）中的本科上線率作為甲市每個(gè)考生本科上線的概率.（i）若從甲市隨機(jī)抽取10名高三學(xué)生，求恰有8名學(xué)生達(dá)到本科線的概率（結(jié)果精確到0.01）；（ii）已知該省乙市2020屆高考考生人數(shù)為3.6萬(wàn)，假設(shè)該市每個(gè)考生本科上線率均為，若2020屆高考本科上線人數(shù)乙市的均值不低于甲市，求p的取值范圍.可能用到的參考數(shù)據(jù)：取，.18．（12分）對(duì)于給定的正整數(shù)k，若各項(xiàng)均不為0的數(shù)列滿足：對(duì)任意正整數(shù)總成立，則稱數(shù)列是“數(shù)列”.（1）證明：等比數(shù)列是“數(shù)列”；（2）若數(shù)列既是“數(shù)列”又是“數(shù)列”，證明：數(shù)列是等比數(shù)列.19．（12分）已知數(shù)列，滿足.（1）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；（2）分別求數(shù)列，的前項(xiàng)和，.20．（12分）記數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知成等差數(shù)列.（1）證明：數(shù)列是等比數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；（2）記數(shù)列的前項(xiàng)和為，求.21．（12分）設(shè)函數(shù)（其中），且函數(shù)在處的切線與直線平行.（1）求的值；（2）若函數(shù)，求證：恒成立.22．（10分）設(shè)為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，且，．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若滿足不等式的正整數(shù)恰有個(gè)，求正實(shí)數(shù)的取值范圍．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】

分別求解不等式得到集合,再利用集合的交集定義求解即可.【詳解】,，∴．故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了集合的基本運(yùn)算,難度容易.2、C【解析】

把已知等式變形，再由復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)得答案．【詳解】由（1+i）z＝|3+4i|，得z，∴z的虛部為．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)的基本概念，是基礎(chǔ)題．3、D【解析】

利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，可求解得到，利用求和公式和等差中項(xiàng)的性質(zhì)，即得解【詳解】，解得．．故選：D【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、求和公式和等差中項(xiàng)，考查了學(xué)生綜合分析，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于中檔題.4、B【解析】

先列舉出不超過(guò)的素?cái)?shù)，并列舉出所有的基本事件以及事件“在不超過(guò)的素?cái)?shù)中，隨機(jī)選取個(gè)不同的素?cái)?shù)、，滿足”所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.【詳解】不超過(guò)的素?cái)?shù)有：、、、、、，在不超過(guò)的素?cái)?shù)中，隨機(jī)選取個(gè)不同的素?cái)?shù)，所有的基本事件有：、、、、、、、、、、、、、、，共種情況，其中，事件“在不超過(guò)的素?cái)?shù)中，隨機(jī)選取個(gè)不同的素?cái)?shù)、，且”包含的基本事件有：、、、，共種情況，因此，所求事件的概率為.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查古典概型概率的計(jì)算，一般利用列舉法列舉出基本事件，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.5、D【解析】

本道題結(jié)合雙曲線的性質(zhì)以及余弦定理，建立關(guān)于a與c的等式，計(jì)算離心率，即可．【詳解】結(jié)合題意，繪圖，結(jié)合雙曲線性質(zhì)可以得到PO=MO，而，結(jié)合四邊形對(duì)角線平分，可得四邊形為平行四邊形，結(jié)合，故對(duì)三角形運(yùn)用余弦定理，得到，而結(jié)合，可得，，代入上式子中，得到，結(jié)合離心率滿足，即可得出，故選D．【點(diǎn)睛】本道題考查了余弦定理以及雙曲線的性質(zhì)，難度偏難．6、A【解析】

進(jìn)行交集的運(yùn)算即可．【詳解】，1，2，，，，1，．故選：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了列舉法、描述法的定義，考查了交集的定義及運(yùn)算，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．7、B【解析】

根據(jù)三角函數(shù)的平移求出函數(shù)的解析式，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解即可．【詳解】將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位，得到，此時(shí)與函數(shù)的圖象重合，則，即，，當(dāng)時(shí)，取得最小值為，故選：．【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用三角函數(shù)的平移關(guān)系求出解析式是解決本題的關(guān)鍵．8、C【解析】

根據(jù)空間中平行關(guān)系、垂直關(guān)系的相關(guān)判定和性質(zhì)可依次判斷各個(gè)選項(xiàng)得到結(jié)果.【詳解】對(duì)于，若，則可能為平行或異面直線，錯(cuò)誤；對(duì)于，若，則可能為平行、相交或異面直線，錯(cuò)誤；對(duì)于，若，且，由面面垂直的判定定理可知，正確；對(duì)于，若，只有當(dāng)垂直于的交線時(shí)才有，錯(cuò)誤.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查空間中線面關(guān)系、面面關(guān)系相關(guān)命題的辨析，關(guān)鍵是熟練掌握空間中的平行關(guān)系與垂直關(guān)系的相關(guān)命題.9、C【解析】

根據(jù)線面平行或垂直的有關(guān)定理逐一判斷即可.【詳解】解：①：、也可能相交或異面，故①錯(cuò)②：因?yàn)?，，所以或，因?yàn)?，所以，故②?duì)③：或，故③錯(cuò)④：如圖因?yàn)?，，在?nèi)過(guò)點(diǎn)作直線的垂線，則直線，又因?yàn)椋O(shè)經(jīng)過(guò)和相交的平面與交于直線，則又，所以因?yàn)椋?，所以，所以，故④?duì).故選：C【點(diǎn)睛】考查線面平行或垂直的判斷，基礎(chǔ)題.10、A【解析】

由兩圓相外切，得出，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，即可得出答案.【詳解】因?yàn)閮蓤A和相外切所以，即當(dāng)時(shí)，取最大值故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查了由圓與圓的位置關(guān)系求參數(shù)，屬于中檔題.11、D【解析】

因?yàn)椋?，所以，，故選D．12、C【解析】

利用復(fù)數(shù)相等的條件求得，，則答案可求．【詳解】由，得，．對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，，．故選：．【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，考查復(fù)數(shù)相等的條件，是基礎(chǔ)題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

畫(huà)出不等式組表示的平面區(qū)域，將目標(biāo)函數(shù)理解為點(diǎn)與構(gòu)成直線的斜率，數(shù)形結(jié)合即可求得.【詳解】不等式組表示的平面區(qū)域如下所示：因?yàn)榭梢岳斫鉃辄c(diǎn)與構(gòu)成直線的斜率，數(shù)形結(jié)合可知，當(dāng)且僅當(dāng)目標(biāo)函數(shù)過(guò)點(diǎn)時(shí)，斜率取得最大值，故的最大值為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查目標(biāo)函數(shù)為斜率型的規(guī)劃問(wèn)題，屬基礎(chǔ)題.14、24【解析】

先求出每地一名醫(yī)生，3名護(hù)士的選派方法的種數(shù)，再減去甲乙兩名護(hù)士到同一地的種數(shù)即可.【詳解】解：每地一名醫(yī)生，3名護(hù)士的選派方法的種數(shù)有，若甲乙兩名護(hù)士到同一地的種數(shù)有，則甲乙兩名護(hù)士不到同一地的種數(shù)有.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查利用間接法求排列組合問(wèn)題，正難則反，是基礎(chǔ)題.15、【解析】

先表示出漸近線，再代入點(diǎn)，求出，則離心率易求.【詳解】解：的漸近線是因?yàn)樵跐u近線上，所以，故答案為：【點(diǎn)睛】考查雙曲線的離心率的求法，是基礎(chǔ)題.16、【解析】

將不等式兩邊同時(shí)平方進(jìn)行變形，然后得到對(duì)應(yīng)不等式組，對(duì)的取值進(jìn)行分類，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在區(qū)間上恒正、恒負(fù)時(shí)求參數(shù)范圍，列出對(duì)應(yīng)不等式組，即可求解出的取值范圍.【詳解】因?yàn)椋?，所以，所以，所以或，?dāng)時(shí)，對(duì)且不成立，當(dāng)時(shí)，取，顯然不滿足，所以，所以，解得；當(dāng)時(shí)，取，顯然不滿足，所以，所以，解得，綜上可得的取值范圍是：.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)不等式恒成立求解參數(shù)范圍，難度較難.根據(jù)不等式恒成立求解參數(shù)范圍的兩種常用方法：（1）分類討論法：分析參數(shù)的臨界值，對(duì)參數(shù)分類討論；（2）參變分離法：將參數(shù)單獨(dú)分離出來(lái)，再以函數(shù)的最值與參數(shù)的大小關(guān)系求解出參數(shù)范圍.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1)60%；(2)（i）0.12（ii）【解析】

（1）利用上線人數(shù)除以總?cè)藬?shù)求解；（2）（i）利用二項(xiàng)分布求解；（ii）甲、乙兩市上線人數(shù)分別記為X，Y，得，.，利用期望公式列不等式求解【詳解】（1）估計(jì)本科上線率為.（2）（i）記“恰有8名學(xué)生達(dá)到本科線”為事件A，由圖可知，甲市每個(gè)考生本科上線的概率為0.6，則.（ii）甲、乙兩市2020屆高考本科上線人數(shù)分別記為X，Y，依題意，可得，.因?yàn)?020屆高考本科上線人數(shù)乙市的均值不低于甲市，所以，即，解得，又，故p的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)分布的綜合應(yīng)用，考查計(jì)算求解能力，注意二項(xiàng)分布與超幾何分布是易混淆的知識(shí)點(diǎn).18、（1）證明見(jiàn)詳解；（2）證明見(jiàn)詳解【解析】

（1）由是等比數(shù)列，由等比數(shù)列的性質(zhì)可得：即可證明.（2）既是“數(shù)列”又是“數(shù)列”，可得，，則對(duì)于任意都成立，則成等比數(shù)列，設(shè)公比為，驗(yàn)證得答案.【詳解】（1）證明：由是等比數(shù)列，由等比數(shù)列的性質(zhì)可得：等比數(shù)列是“數(shù)列”.（2）證明：既是“數(shù)列”又是“數(shù)列”，可得，（）（），（）可得：對(duì)于任意都成立，即成等比數(shù)列，即成等比數(shù)列，成等比數(shù)列，成等比數(shù)列，設(shè)，（）數(shù)列是“數(shù)列”時(shí)，由（）可得：時(shí)，由（）可得：，可得，同理可證成等比數(shù)列，數(shù)列是等比數(shù)列【點(diǎn)睛】本題是一道數(shù)列的新定義題目，考查了等比數(shù)列的性質(zhì)、通項(xiàng)公式等基本知識(shí)，考查代數(shù)推理、轉(zhuǎn)化與化歸以及綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)探究與解決問(wèn)題的能力，屬于難題.19、（1）（2）；【解析】

（1），，可得為公比為2的等比數(shù)列，可得為公差為1的等差數(shù)列，再算出，的通項(xiàng)公式，解方程組即可；（2）利用分組求和法解決.【詳解】（1）依題意有又.可得數(shù)列為公比為2的等比數(shù)列，為公差為1的等差數(shù)列，由，得解得故數(shù)列，的通項(xiàng)公式分別為.（2），.【點(diǎn)睛】本題考查利用遞推公式求數(shù)列的通項(xiàng)公式以及分組求和法求數(shù)列的前n項(xiàng)和，考查學(xué)生的計(jì)算能力，是一道中檔題.20、（1）證明見(jiàn)解析，；（2）【解析】

（1）由成等差數(shù)列，可得到，再結(jié)合公式，消去，得到，再給等式兩邊同時(shí)加1，整理可證明結(jié)果；（2）將（1）得到的代入中化簡(jiǎn)后再裂項(xiàng)，然后求其前項(xiàng)和.【詳解】（1）由成等差數(shù)列，則，即，①當(dāng)時(shí)，，又，②由①②可得：，即，時(shí)，.所以是以3為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，，所以.（2），所以.【點(diǎn)睛】此題考查了數(shù)列遞推式，等比數(shù)列的證明，裂列相消求和，考查了學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題.21、（1）（2）證明見(jiàn)解析【解析】

（1）求導(dǎo)得到，解得答案.（2）變形得到，令函數(shù)，求導(dǎo)得到函數(shù)單調(diào)區(qū)間得到，，得到證明.【詳解】（1），，解得.（2）得，變形得，令函數(shù)，，令解得，當(dāng)時(shí)，時(shí).函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，而函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，，，即，即，恒成立.【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)切線求參數(shù)，證明不等式，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化能力，綜合應(yīng)用能力.22、（1）；（2）．【解析】

（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，根據(jù)題意得出關(guān)于和的方程組，解出這兩個(gè)量的值，然后利用等