浙江省北斗聯(lián)盟2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期中聯(lián)考試題含解析

浙江省北斗聯(lián)盟2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期中聯(lián)考試題考生須知：1．本卷共6頁滿分150分，考試時間120分鐘；2．答題前，在答題卷指定區(qū)域填寫班級、姓名、考場號、座位號及準(zhǔn)考證號并填涂相應(yīng)數(shù)字.3．全部答案必需寫在答題紙上，寫在試卷上無效；4．考試結(jié)束后，只需上交答題紙.選擇題部分一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求出集合A，再依據(jù)交集的運(yùn)算即可得出答案.【詳解】解：，所以.故選：C.2.已知函數(shù)則（）A.-2 B.-1 C.1 D.2【答案】D【解析】【分析】先依據(jù)分段函數(shù)求出，再依據(jù)分段函數(shù)，即可求出結(jié)果.【詳解】因為，所以.故選：D.3.在北京冬奧會開幕式上，二十四節(jié)氣倒計時驚艷了世界．從冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個節(jié)氣的日影長依次成等差數(shù)列，若冬至的日影長為18.5尺，立春的日影長為15.5尺，則春分的日影長為（）A.9.5尺 B.10.5尺 C.11.5尺 D.12.5尺【答案】D【解析】【分析】由等差數(shù)列相關(guān)運(yùn)算得到公差，進(jìn)而求出春分的日影長.【詳解】由題意得：為等差數(shù)列，公差為d，則，，則，解得：，則，故春分的日影長為12.5尺.故選：D4.如圖，已知橢圓，F(xiàn)1、F2分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，A為橢圓的上頂點(diǎn)，直線AF2交橢圓于另一點(diǎn)B，若∠F1AB＝90°，則此橢圓的離心率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由∠F1AB＝90°，得△F1AF2為等腰直角三角形，從而得，易得離心率．【詳解】若∠F1AB＝90°，則△F1AF2為等腰直角三角形，所以有|OA|＝|OF2|，即b＝c．所以，．故選：C．5.下列圖象中，函數(shù)，圖象的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由條件，分析可得為偶函數(shù)且在區(qū)間上恒成立，由此可以用解除法得到答案.【詳解】依據(jù)題意，.所以為偶函數(shù)，其圖像關(guān)于軸對稱，所以可以解除選項.在上單調(diào)遞增，所以，且.則在上，解除選項.故選：D【點(diǎn)睛】本題考查依據(jù)函數(shù)解析式選擇函數(shù)圖像，留意分析函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、定義域、值域和一些特別點(diǎn)處的函數(shù)值，屬于中檔題.6.已知非零向量，滿意，且，則與的夾角為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】設(shè)向量與的夾角為，由，得，結(jié)合已知條件化簡可得答案【詳解】設(shè)向量與的夾角為，因為，所以，即，又，所以，因為所以.故選：C7.阿波羅尼斯約公元前年證明過這樣一個命題：平面內(nèi)到兩定點(diǎn)距離之比為常數(shù)且的點(diǎn)的軌跡是圓．后人將這個圓稱為阿氏圓．若平面內(nèi)兩定點(diǎn)A，B間的距離為2，動點(diǎn)P與A，B距離之比滿意：，當(dāng)P、A、B三點(diǎn)不共線時，面積的最大值是（）A. B.2 C. D.【答案】C【解析】【分析】依據(jù)給定條件建立平面直角坐標(biāo)系，求出點(diǎn)P的軌跡方程，探求點(diǎn)P與直線AB的最大距離即可計算作答.【詳解】依題意，以線段AB的中點(diǎn)為原點(diǎn)，直線AB為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖，則，，設(shè)，因，則，化簡整理得：，因此，點(diǎn)P的軌跡是以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓，點(diǎn)P不在x軸上時，與點(diǎn)A，B可構(gòu)成三角形，當(dāng)點(diǎn)P到直線(軸)的距離最大時，的面積最大，明顯，點(diǎn)P到軸的最大距離為，此時，，所以面積的最大值是．故選：C8.已知定義在R上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且滿意，，則不等式的解集為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由題設(shè)，由已知得函數(shù)在R上單調(diào)遞增，且，依據(jù)函數(shù)的單調(diào)性建立不等式可得選項.詳解】由題可設(shè)，又，則，所以函數(shù)在R上單調(diào)遞增，，將不等式轉(zhuǎn)化為，所以，即，有，故得，所以不等式的解集為，故選：D.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決本題的問題關(guān)鍵在于構(gòu)造函數(shù)，并且得出函數(shù)的單調(diào)性，依據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得出不等式，解之得選項.二?選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.甲袋中有個白球，個紅球，乙袋中有個白球，個紅球，這些小球除顏色外完全相同.從甲、乙兩袋中各任取個球，則下列結(jié)論正確的是（）A.個球顏色相同的概率為 B.個球不都是紅球的概率為C.至少有個紅球的概率為 D.個球中恰有個紅球的概率為【答案】ACD【解析】【分析】分別計算出從甲袋和乙袋中任取個球，該球為白球或紅球的概率，然后利用獨(dú)立事務(wù)、互斥事務(wù)以及對立事務(wù)的概率公式可推斷各選項.【詳解】從甲袋中任取個球，該球為白球的概率為，該球為紅球的概率為，從乙袋中任取個球，該球為白球的概率為，該球為紅球的概率為.對于A選項，個球顏色相同的概率為，A對；對于B選項，個球不都是紅球的概率為，B錯；對于C選項，至少有個紅球的概率為，C對；對于D選項，個球中恰有個紅球的概率為，D對.故選：ACD.10.若數(shù)列的前n項和為，且，則（）A. B.C.數(shù)列是等比數(shù)列 D.【答案】AC【解析】【分析】先代入求出，再依據(jù)即可得出數(shù)列為等比數(shù)列，再求和推斷BD即可.【詳解】將代入得，A對；因為，則，，即所以數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，C對；，，BD錯誤.故選：AC11.已知函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，設(shè)，則（

）A.在上單調(diào)遞增B.的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱C.在上的最小值為D.是的一個周期【答案】BD【解析】【分析】對于A，依據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系即可求解；對于B，利用函數(shù)的奇偶性的定義即可推斷；對于C，通過換元及三角函數(shù)的性質(zhì)即可推斷；對于D，依據(jù)三角函數(shù)周期性的性質(zhì)即可推斷.【詳解】對于A，由，得恒成立，所以在上單調(diào)遞增，并不是在上單調(diào)遞增，故A不正確；對于B，因為的定義域為，其關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱，，所以是奇函數(shù)，即的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，故B正確；對于C，由，得，令，則，，，，所以在上單調(diào)遞減，當(dāng)即，時，取最小值，明顯，所以函數(shù)無最小值，故C不正確；對于D，，所以是的一個周期，故D正確.故選：BD.12.如圖，在長方體中，，點(diǎn)P滿意，，，，則下列結(jié)論正確的有（）A.當(dāng)時，B.當(dāng)時，平面C.當(dāng)，時，三棱錐的體積為定值D.當(dāng)，時，與平面所成角的正切值為【答案】BCD【解析】【分析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，當(dāng)時，得，知A錯誤；當(dāng)時，知四點(diǎn)共面，由面面平行的性質(zhì)可得平面，知B正確；當(dāng)，時，利用點(diǎn)到面的距離的向量求法可求得點(diǎn)到平面的距離，利用體積橋可得，知C正確；當(dāng)，時，利用線面角的向量求法可求得，進(jìn)而得到，知D正確.【詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸可建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，，則，，；對于A，設(shè)，則，又，，不恒成立，A錯誤；對于B，當(dāng)時，四點(diǎn)共面，即平面；，平面，平面，平面，同理可得：平面，又，平面，平面平面，平面，B正確；對于C，設(shè)，則，設(shè)，則，，，，，；平面，平面的一個法向量為，點(diǎn)到平面的距離，又，，即三棱錐的體積為定值，C正確；對于D，當(dāng)，時，，設(shè)，則，，，，，，平面，平面的一個法向量，設(shè)與平面所成角為，則，，即與平面所成角的正切值為，D正確.故選：BCD.非選擇題部分三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知復(fù)數(shù)z滿意，為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)_________【答案】【解析】【分析】依據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算計算即可得解.【詳解】，.故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)除法運(yùn)算，解題關(guān)鍵是駕馭復(fù)數(shù)除法的運(yùn)算方法，考查了分析計算實力，屬于基礎(chǔ)題．14.已知雙曲線的右焦點(diǎn)到它的一條漸近線的距離為4，且焦距為10，則該雙曲線的漸近線方程為___________.【答案】【解析】【分析】由標(biāo)準(zhǔn)方程可得漸近線方程，利用點(diǎn)到直線的距離構(gòu)造方程，求得的值，從而得到漸近線方程.【詳解】漸近線方程為：，由雙曲線對稱性可知，兩焦點(diǎn)到兩漸近線的距離均相等，取漸近線，又因為焦距為10，故右焦點(diǎn)為，，漸近線方程為：.故答案為：15.已知圓錐的底面半徑為1，母線長為3，則該圓錐內(nèi)半徑最大的球的體積為_________．【答案】【解析】【分析】將原問題轉(zhuǎn)化為求解圓錐內(nèi)切球的問題，然后結(jié)合截面確定其半徑即可確定體積的值.【詳解】易知半徑最大球為圓錐的內(nèi)切球，球與圓錐內(nèi)切時的軸截面如圖所示，其中，且點(diǎn)M為BC邊上的中點(diǎn)，設(shè)內(nèi)切圓的圓心為，由于，故，設(shè)內(nèi)切圓半徑為，則：，解得：，其體積：.故答案為：.【點(diǎn)睛】與球有關(guān)的組合體問題，一種是內(nèi)切，一種是外接．解題時要仔細(xì)分析圖形，明準(zhǔn)確點(diǎn)和接點(diǎn)的位置，確定有關(guān)元素間的數(shù)量關(guān)系，并作出合適的截面圖，如球內(nèi)切于正方體，切點(diǎn)為正方體各個面的中心，正方體的棱長等于球的直徑；球外接于正方體，正方體的頂點(diǎn)均在球面上，正方體的體對角線長等于球的直徑.16.已知函數(shù)，若且，則的取值范圍是_____．【答案】【解析】【分析】由題設(shè)，結(jié)合對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可得，再依據(jù)基本不等式即可求得答案.【詳解】解：由對數(shù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性得函數(shù)在上單調(diào)遞增，因為，所以函數(shù)在上，在上，因為且，所以，即，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，由于，所以等號不能取到，所以，所以的取值范圍是故答案為：四?解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.17.在中，內(nèi)角所對的邊分別為.已知，，.（Ⅰ）求和的值；（Ⅱ）求的值.【答案】（Ⅰ）.=.（Ⅱ）.【解析】【詳解】試題分析：利用正弦定理“角轉(zhuǎn)邊”得出邊的關(guān)系，再依據(jù)余弦定理求出，進(jìn)而得到，由轉(zhuǎn)化為，求出，進(jìn)而求出，從而求出的三角函數(shù)值，利用兩角差的正弦公式求出結(jié)果.試題解析：（Ⅰ）解：在中，因為，故由，可得.由已知及余弦定理，有，所以.由正弦定理,得.所以，的值為，的值為.（Ⅱ）解：由（Ⅰ）及，得，所以，故.考點(diǎn)：正弦定理、余弦定理、解三角形【名師點(diǎn)睛】利用正弦定理進(jìn)行“邊轉(zhuǎn)角”尋求角的關(guān)系，利用“角轉(zhuǎn)邊”尋求邊的關(guān)系，利用余弦定理借助三邊關(guān)系求角，利用兩角和差公式及二倍角公式求三角函數(shù)值.利用正、余弦定理解三角形問題是高考高頻考點(diǎn)，常常利用三角形內(nèi)角和定理，三角形面積公式，結(jié)合正、余弦定理解題.18.2024年3月18日，位于孝感市孝南區(qū)長興工業(yè)園內(nèi)的湖北福益康醫(yī)療科技有限公司正式落地投產(chǎn)，這是孝感市第一家獲批的具有省級醫(yī)療器械生產(chǎn)許可證資質(zhì)的企業(yè)，也是我市首家“一次性運(yùn)用醫(yī)用口罩、醫(yī)用外科口罩”生產(chǎn)企業(yè).在暑期新冠肺炎疫情反彈期間，該公司加班加點(diǎn)生產(chǎn)口罩、防護(hù)服，消毒水等防疫物品，保障抗疫一線醫(yī)療物資供應(yīng)，在社會上贏得一片贊譽(yù)．在加大生產(chǎn)的同時，該公司狠抓質(zhì)量管理，不定時抽查口罩質(zhì)量，該企業(yè)質(zhì)檢人員從所生產(chǎn)的口罩中隨機(jī)抽取了100個，將其質(zhì)量指標(biāo)值分成以下六組：，，，…，，得到如下頻率分布直方圖．（1）求出直方圖中m的值；（2）利用樣本估計總體的思想，估計該企業(yè)所生產(chǎn)的口罩的質(zhì)量指標(biāo)值的平均數(shù)和中位數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點(diǎn)值作代表，中位數(shù)精確到）；（3）現(xiàn)規(guī)定：質(zhì)量指標(biāo)值小于70的口罩為二等品，質(zhì)量指標(biāo)值不小于70的口罩為一等品．利用分層抽樣的方法從該企業(yè)所抽取的100個口罩中抽出5個口罩，其中一等品的概率是多少．【答案】（1）0.030（2）平均數(shù)71，中位數(shù)7333（3）【解析】【分析】（1）依據(jù)頻率分布直方圖頻率之和為1列方程求解即可；（2）由頻率分布直方圖取各組中點(diǎn)值計算均值即可，再由頻率分布直方圖求中位數(shù)的方法求解即可.（3）由分層抽樣可知抽取的5個口罩中一等品與二等品的件數(shù)，再由古典概型計算即可.【小問1詳解】由，得，所以直方圖中m的值是0.030；【小問2詳解】平均數(shù)為，因為，，所以中位數(shù)在第4組，設(shè)中位數(shù)為n，則，解得，所以可以估計該企業(yè)所生產(chǎn)口罩的質(zhì)量指標(biāo)值的平均數(shù)為71，中位數(shù)為；【小問3詳解】由頻率分布直方圖知：100個口罩中一等品、二等品各有60個、40個，由分層抽樣可知，所抽取的5個口罩中一等品有：(個)，二等品有：(個)，所以抽取的5個口罩中一等品有3個，二等品有2個.一等品的概率為.19.如圖，在三棱柱-中，，，，在底面的射影為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn).（1）證明：D平面；（2）求二面角-BD-的平面角的余弦值.【答案】（1）詳見解析；（2）.【解析】【詳解】（1）依據(jù)條件首先證得平面，再證明，即可得證；（2）作，且，可證明為二面角的平面角，再由余弦定理即可求得，從而求解.試題解析：（1）設(shè)為的中點(diǎn)，由題意得平面，∴，∵，∴，故平面，由，分別，的中點(diǎn)，得且，從而，∴四邊形為平行四邊形，故，又∵平面，∴平面；（2）作，且，連結(jié)，由，，得，由，，得，由，得，因此為二面角的平面角，由，，，得，，由余弦定理得，.考點(diǎn)：1.線面垂直的判定與性質(zhì)；2.二面角的求解20.已知拋物線：的焦點(diǎn)為，過且斜率為的直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，在軸的上方，且點(diǎn)的橫坐標(biāo)為4.（1）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)點(diǎn)為拋物線上異于，的點(diǎn)，直線與分別交拋物線的準(zhǔn)線于，兩點(diǎn)，軸與準(zhǔn)線的交點(diǎn)為，求證：為定值，并求出定值.【答案】（1）（2）見證明【解析】【分析】（1）先由題意得到，，依據(jù)的斜率為，求出，即可得出拋物線方程；（2）先由（1）的結(jié)果，得到點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)點(diǎn)，結(jié)合題意，求出與，計算其乘積，即可得出結(jié)論成立.【詳解】（1）由題意得：，因為點(diǎn)的橫坐標(biāo)為4，且在軸的上方，所以，因為的斜率為，所以，整理得：，即，得，拋物線的方程為：.（2）由（1）得：，，淮線方程，直線的方程：，由解得或，于是得.設(shè)點(diǎn)，又題意且,所以直線：，令，得，即，同理可得：，.【點(diǎn)睛】本題主要考查求拋物線的方程，以及拋物線的應(yīng)用，熟記拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與拋物線的簡潔性質(zhì)即可，屬于?？碱}型.21.已知函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程為.（1）若對隨意有恒成立，求實數(shù)的取值范圍；（2）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有3個零點(diǎn)，求實數(shù)范圍.【答案】（1），；（2）.【解析】分析】（1），，依據(jù)函數(shù)的圖象