新教材適用2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第3章空間向量與立體幾何4向量在立體幾何中的應(yīng)用4.3用向量方法研究立體幾何中的度量關(guān)系第1課時空間中的角課后訓(xùn)練北師大版選擇性必修第一冊

4.3用向量方法探討立體幾何中的度量關(guān)系第1課時空間中的角A組1.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,O為側(cè)面BCC1B1的中心,則AO與平面ABCD夾角的正弦值為().A.33 B.12 C.62.如圖,已知正三棱柱ABC-A1B1C1的棱長均為2,則異面直線A1B與B1C夾角的余弦值是().(第2題)A.32 B.12 C.3.把矩形ABCD沿對角線BD折成二面角A-BD-C,若AB=1,AD=3,AC=72,則平面ABD與平面BCD的夾角為()A.30° B.60° C.120° D.90°4.如圖,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2AB,則異面直線A1B與AD1夾角的余弦值為().(第4題)A.15 B.C.35 D.5.正方形ABCD所在平面外一點(diǎn)P,PA⊥平面ABCD,若PA=AB,則平面PAB與平面PCD夾角的大小為().A.30° B.45° C.60° D.90°6.在正四棱錐P-ABCD中,高為1,底面邊長為2,E為BC的中點(diǎn),則異面直線PE與DB的夾角為.

7.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,二面角A-BD1-B1的平面角大小為.

8.如圖,在以A,B,C,D,E,F為頂點(diǎn)的五面體中,平面ABEF為正方形,AF=2FD,∠AFD=90°,且二面角D-AF-E與二面角C-BE-F都是60°.(第8題)(1)證明:平面ABEF⊥EFDC;(2)求二面角E-BC-A的平面角的余弦值.B組1.(多選題)已知四棱錐P-ABCD的四條側(cè)棱都相等,底面是邊長為2的正方形.若其五個頂點(diǎn)都在一個表面積為81π4的球面上,則PA與底面ABCD夾角的正弦值為(A.23 B.13 C.22.在長方體ABCD-A1B1C1D1中,|AB|=|AA1|=2,|AD|=1,E為CC1的中點(diǎn),則異面直線BC1與AE的夾角的余弦值為().A.1010 B.C.215103.如圖,已知P為菱形ABCD外一點(diǎn),且PA⊥平面ABCD,PA=AD=AC.F為PC的中點(diǎn),則二面角C-BF-D的平面角的正切值為().(第3題)A.36 B.34 C.34.在底面為正三角形的直棱柱(側(cè)棱垂直于底面的棱柱)ABC-A1B1C1中,AB=2,AA1=3,點(diǎn)D為棱BC的中點(diǎn),點(diǎn)E為A1C上的點(diǎn),且滿意A1E=mEC(m∈R),當(dāng)二面角E-AD-C的余弦值為1010時,實(shí)數(shù)m的值為()(第4題)A.1 B.2 C.125.在空間直角坐標(biāo)系O-xyz中,平面α過點(diǎn)(3,0,0)和(0,4,0)及z軸上一點(diǎn)(0,0,a)(a>0),若平面α與平面xOy的夾角為45°,則a=.

6.如圖,正三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E,M分別是線段BC,CC1,AB的中點(diǎn),AA1=2AB=4.(第6題)(1)求證:DE∥平面A1MC.(2)在線段AA1上是否存在一點(diǎn)P,使得二面角A1-BC-P的平面角的余弦值為71938?若存在,求出AP的長;若不存在,7.如圖,在多面體A-PCBE中,四邊形PCBE是直角梯形,且PC⊥BC,PE∥BC,平面PCBE⊥平面ABC,AC⊥BE,M是AE的中點(diǎn),N是PA上的點(diǎn).(第7題)(1)若MN∥平面ABC,求證:N是PA的中點(diǎn);(2)若PE=13BC,且AC=BC=PC,求二面角E-AB-C的平面角的余弦值

參考答案4.3用向量方法探討立體幾何中的度量關(guān)系第1課時空間中的角A組1.C設(shè)BC的中點(diǎn)為E,則∠OAE即為AO與平面ABCD的夾角.2.C如圖,以AC的中點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn),建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz,則A1(0,-(第2題)1,2),B(3,0,0),B1(3,0,2),C(0,1,0),所以A1B=(3,1,-2),B1C=(-所以cos<A1B,3.B過點(diǎn)A作AE⊥BD,過點(diǎn)C作CF⊥BD(圖略),則AE=32,BE=12,所以EF=因?yàn)锳C=所以|AC|2=|AE|2+|EF|2+|FC|2+2|AE||FC|·cos<AE,FC>,且|AE|=|FC|=32,|所以cos<AE,FC>=-所以平面ABD與平面BCD的夾角是60°,故選B.4.D以D為坐標(biāo)原點(diǎn),DA,DC,DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸,建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz(圖略).設(shè)AB=1,則B(1,1,0),A1(1,0,2),A(1,0,0),D1(0,0,2),所以A1B=(0,1,-2),AD1cos<A1B,AD∴異面直線A1B與AD1夾角的余弦值為455.B如圖,建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz.(第5題)設(shè)PA=AB=1,則A(0,0,0),D(0,1,0),P(0,0,1).于是AD=(0,1,0).取PD的中點(diǎn)E,則E0,12,1∴AE=0,12,1易知AD是平面PAB的一個法向量,AE是平面PCD的一個法向量.∵cos<AD,AE>=∴平面PAB與平面PCD的夾角為45°.6.π3如圖,建立空間直角坐標(biāo)系,則B(1,1,0),D(-1,-1,0),E(0,1,0),P(第6題)∴DB=(2,2,0),PE=(0,1,-1).∴cos<DB,PE>=∴<DB,PE>=∴PE與DB的夾角為π37.120°如圖,以C為原點(diǎn),BC,CD,CC1所在直線分別為x軸、y軸、z軸,建立空間直角坐標(biāo)系.(第7題)設(shè)正方體的棱長為a,則A(a,a,0),B(a,0,0),D1(0,a,a),B1(a,0,a),∴BA=(0,a,0),BD1=(-a,a,a),BB1=設(shè)平面ABD1的一個法向量為n=(x,y,z),則n·BA=(x,y,z)·(0,a,0)=ay=0,n·BD1=(x,y,z)·(-a,a,a)=-ax+ay+az=∵a≠0,∴y=0,x=z.取x=z=1,則n=(1,0,1)為平面ABD1的一個法向量.同理可得平面B1BD1的一個法向量為m=(1,1,0).∵cos<n,m>=n·m|n||m|=1而二面角A-BD1-B1為鈍角,故為120°.8.(1)證明由已知可得AF⊥DF,AF⊥FE,DF∩FE=F,所以AF⊥平面EFDC.又AF?平面ABEF,故平面ABEF⊥平面EFDC.(2)解如圖,過點(diǎn)D作DG⊥EF,垂足為點(diǎn)G,(第8題)由(1)知DG⊥平面ABEF.以G為坐標(biāo)原點(diǎn),GF的方向?yàn)閤軸正方向,|GF|為單位長,建立空間直角坐標(biāo)系G-xyz.由(1)知∠DFE為二面角D-AF-E的平面角,故∠DFE=60°,設(shè)|DF|=2,則|DG|=3,A(1,4,0),B(-3,4,0),E(-3,0,0),D(0,0,3).由已知得AB∥EF,所以AB∥平面EFDC.又平面ABCD∩平面EFDC=CD,故AB∥CD,CD∥EF.由BE∥AF,可得BE⊥平面EFDC,所以∠CEF為二面角C-BE-F的平面角,所以∠CEF=60°,從而可得C(-2,0,3).所以EC=(1,0,3),EB=(0,4,0),AC=(-3,-4,3),AB=(-4,0,0).設(shè)n=(x,y,z)是平面BCE的一個法向量,則n不妨取z=-1,則n=(3,0,-1).設(shè)m是平面ABCD的一個法向量,則m取z=4,則m=(0,3,4),所以cos<n,m>=n·m|故二面角E-BC-A的余弦值為-219B組1.BC由已知可得,四棱錐P-ABCD為正四棱錐,∵正四棱錐外接球的表面積為81π∴正四棱錐外接球的半徑R=94如圖,(第1題)連接AC,BD交于點(diǎn)E,設(shè)球心為O,連接PO,BO,則E在PO(或其延長線)上,PO=BO=R,BE=12BD=12×2∵R=94,∴OE=R∴PE=R-OE=94-74=1當(dāng)PE=12時,PA=2+PA與底面ABCD夾角的正弦值為12當(dāng)PE=4時,PA=16+2=32,PA與底面ABCD夾角的正弦值為43∴PA與底面ABCD夾角的正弦值為132.B以D為坐標(biāo)原點(diǎn),建立空間直角坐標(biāo)系如圖,則B(1,2,0),C1(0,2,2),A(1,0,0),E(0,2,1),(第2題)∴BC1=(-1,0,2),AE=(-1,2,1).∴cos<BC∴異面直線BC1與AE夾角的余弦值為30103.D設(shè)AC,BD相交于點(diǎn)O,連接OF,如圖.(第3題)∵四邊形ABCD為菱形,∴O為AC的中點(diǎn),AC⊥BD.∵F為PC的中點(diǎn),∴OF∥PA.又PA⊥平面ABCD,∴OF⊥平面ABCD.以O(shè)為原點(diǎn),OB,OC,OF所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz.設(shè)PA=AD=AC=1,則BD=3,∴B32,0,0,F0,0,12,C0,12,0,D-32,0,0.∴OC=0,12,0,且OC為平面BDF的一個法向量.由BC=-32,12,0,FB=32,0,-12,可求得平面BCF的一個法向量為n=(1,3,3).∵cos<n,OC>=217,從而sin<n,OC>=277,∴tan<n,OC>=2334.A由題意知m>0.以A為坐標(biāo)原點(diǎn),過點(diǎn)A在平面ABC內(nèi)作垂直于AC的直線為x軸,分別以AC,AA1所在直線為y軸、z軸,建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz,如圖.(第4題)則A1(0,0,3),C(0,2,0),B(3,1,0),D32,32,0,E0,2mm+1,3m+1,則AD=32,32設(shè)平面ADE的一個法向量為n=(x,y,z),則n令x=3,則y=-1,z=2m3,∴n=3,-1,2m3.取平面ADC的一個法向量為m=由二面角E-AD-C的余弦值為1010,得|cos<n,m>|=1010,所以2m33+1+4m29=1010,5.125平面xOy的一個法向量為n=(0,0,1)設(shè)平面α的法向量為u=(x,y,z),則有-3x+4y=0,-3x+az=0,從而3x=4y=az,取|cos<n,u>|=1a又因?yàn)閍>0,所以a=1256.(1)證明如圖①,連接AC1,設(shè)O為A1C,AC1的交點(diǎn),由題意可知O為AC1的中點(diǎn),連接OM,OE,MD,則MD=12AC,OE=12AC,∴MD=OE,∴四邊形MDEO為平行四邊形,即DE∥MO.又DE?平面A1MC,MO?①②(第6題)(2)解建立如圖②所示的空間直角坐標(biāo)系,設(shè)PA=a(0≤a<4),則D(0,0,0),A(3,0,0),P(3,0,a),A1(3,0,4),B(0,1,0),則DP=(3,0,a),PB=(-3,1,-a).設(shè)平面PBC的一個法向量為n1=(x1,y1,z1),則n1·不妨取x1=a,則n1=(a,0,-3).同理,A1D=(-3,0,-4),A1B=(-設(shè)平面BCA1的一個法向量為n2=(x2,y2,z2),則n2·A1D=0,則n2=(4,0,-3).由圖易得所求二面角為銳角,設(shè)為θ,則cosθ=n1·n2|n1||n故存在點(diǎn)P,使得二面角A1-BC-P的平面角余弦值為71938,此時PA=7.(1)證明∵PE∥BC,PE?平面ABC,BC?平面ABC,∴PE∥平面ABC.∵A∈平面ABC,A∈平面PEA,令平面ABC∩平面PEA=l,∴A∈l.∵PE?平面PEA,∴PE∥l.已知MN∥平面ABC,同理可證,MN∥l.∴MN∥PE.∵M(jìn)是AE的中點(diǎn),∴N是PA的中點(diǎn).(2)解∵平面PCBE⊥平面ABC,平面PCBE∩平面ABC=BC,PC⊥BC,∴PC⊥平面ABC,從而PC⊥AC.∵在梯形PCBE中,PE∥BC,∴PC與BE相交.∵AC⊥BE,∴AC⊥平面PCBE.∵BC?平面PCBE,∴AC⊥BC.∴CA,CB,CP兩兩垂直.(第7題