新教材適用2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第8章成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析8.2一元線性回歸模型及其應(yīng)用學(xué)案新人教A版選擇性必修第三冊

8.2一元線性回來模型及其應(yīng)用學(xué)習(xí)目標(biāo)1．結(jié)合詳細(xì)實例，了解一元線性回來模型的含義，了解模型參數(shù)的統(tǒng)計意義．了解最小二乘法原理．駕馭一元線性回來模型參數(shù)的最小二乘估計方法，會運用相關(guān)的統(tǒng)計軟件．2．針對實際問題，會用一元線性回來模型進行預(yù)料．3．了解隨機誤差、殘差、殘差圖的概念．核心素養(yǎng)1．通過對散點圖、線性回來的分析，培育數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)．2．借助回來模型的建立，培育數(shù)學(xué)建模、數(shù)據(jù)分析及數(shù)學(xué)運算素養(yǎng).學(xué)問點1一元線性回來模型一元線性回來模型的完整表達(dá)式為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Y＝bx＋a＋e，,E(e)＝0，D(e)＝σ2.))其中Y稱為_因變量__或_響應(yīng)變量__，x稱為自變量或_說明__變量；a，b為模型的未知參數(shù)，e是Y與bx＋a之間的_隨機誤差__.想一想：具有相關(guān)關(guān)系的兩個變量，其樣本點散布在某一條直線y＝bx＋a的旁邊，可以用一次函數(shù)y＝bx＋a來描述兩個變量之間的關(guān)系嗎？提示：不能．練一練：下列說法不正確的是(C)A．在回來模型中，變量間的關(guān)系是非確定性關(guān)系，因變量不能由自變量唯一確定B．在函數(shù)模型中，變量間的關(guān)系是確定性關(guān)系，因變量由自變量唯一確定C．在回來模型中，變量x和y都是一般變量D．在回來模型中，回來系數(shù)可能是正的也可能是負(fù)的[解析]在回來模型中，x是說明變量，y是響應(yīng)變量，當(dāng)說明變量取值肯定時，響應(yīng)變量的取值帶有肯定的隨機性．學(xué)問點2最小二乘法與閱歷回來方程(1)最小二乘法＝x＋稱為Y關(guān)于x的閱歷回來方程，也稱閱歷回來函數(shù)或閱歷回來公式，其圖形稱為_閱歷回來直線__.這種求閱歷回來方程的方法叫做最小二乘法，求得的，叫做b，a的最小二乘估計．(2)閱歷回來方程的系數(shù)計算公式閱歷回來方程的計算公式的計算公式＝x＋＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)(xi－\x\to(x))(yi－\x\to(y)),\i\su(i＝1,n,)(xi－\x\to(x))2)＝eq\f(\i\su(i＝1,n,x)iyi－n\x\to(x)\x\to(y),\i\su(i＝1,n,x)\o\al(2,i)－n\x\to(x)2)＝eq\x\to(y)－eq\x\to(x)(3)閱歷回來方程的性質(zhì)①閱歷回來方程肯定過點(eq\x\to(x)，eq\x\to(y))；②一次函數(shù)＝x＋的單調(diào)性由的符號確定，函數(shù)遞增的充要條件是>0；③的實際意義：當(dāng)x增大一個單位時，增大個單位．練一練：假如記錄了x，y的幾組數(shù)據(jù)分別為(0,1)，(1,3)，(2,5)，(3,7)，那么y關(guān)于x的閱歷回來方程必過點(D)A．(2,2) B．(1.5,2)C．(1,2) D．(1.5,4)[解析]因為eq\x\to(x)＝eq\f(0＋1＋2＋3,4)＝1.5，eq\x\to(y)＝eq\f(1＋3＋5＋7,4)＝4，所以閱歷回來方程必過點(1.5,4)．學(xué)問點3殘差與殘差分析(1)殘差對于響應(yīng)變量Y，通過觀測得到的數(shù)據(jù)稱為_觀測值__，通過閱歷回來方程得到的稱為_預(yù)料值__，_觀測值__減去_預(yù)料值__稱為殘差．(2)殘差分析_殘差__是隨機誤差的估計結(jié)果，通過對殘差的分析可以推斷模型刻畫數(shù)據(jù)的效果，以及推斷原始數(shù)據(jù)中是否存在可疑數(shù)據(jù)等，這方面工作稱為_殘差分析__.(3)對模型刻畫數(shù)據(jù)效果的分析①殘差圖法：在殘差圖中，假如殘差比較勻稱地集中在以_橫軸為對稱軸的水平帶狀區(qū)域內(nèi)__，則說明閱歷回來方程較好地刻畫了兩個變量的關(guān)系；②殘差平方和法：殘差平方和eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))(yi－i)2越小，模型的擬合效果越好；③R2法：可以用R2＝1－來比較兩個模型的擬合效果，R2越_大__，模型擬合效果越好，R2越_小__，模型擬合效果越差．練一練：甲、乙、丙、丁四位同學(xué)在建立變量x，y的回來模型時，分別選擇了4種不同模型，計算可得它們的確定系數(shù)R2分別如表：甲乙丙丁R20.980.780.500.85哪位同學(xué)建立的回來模型擬合效果最好(A)A．甲 B．乙C．丙 D．丁[解析]確定系數(shù)R2越大，表示回來模型的擬合效果越好.題|型|探|究題型一求閱歷回來方程典例1隨著網(wǎng)絡(luò)的普及，網(wǎng)上購物的方式已經(jīng)受到越來越多年輕人的青睞，某家網(wǎng)絡(luò)店鋪商品的成交量x(單位：件)與店鋪的閱讀量y(單位；次)之間的對應(yīng)數(shù)據(jù)如下表所示：x/件24568y/次3040506070(1)依據(jù)表中數(shù)據(jù)畫出散點圖；(2)依據(jù)表中的數(shù)據(jù)，求出y關(guān)于x的閱歷回來方程；(3)當(dāng)這種商品的成交量突破100件(含100件)時，預(yù)料這家店鋪的閱讀量至少為多少？[分析]以橫軸表示成交量，縱軸表示閱讀量，畫出散點圖，若散點圖顯示兩變量線性相關(guān)，則依據(jù)公式求解閱歷回來方程，再利用閱歷回來方程進行估計．[解析](1)散點圖如圖所示．(2)依據(jù)散點圖可得，變量x與y之間具有線性相關(guān)關(guān)系．依據(jù)數(shù)據(jù)可知，eq\x\to(x)＝5，eq\x\to(y)＝50，eq\o(∑,\s\up6(５),\s\do4(i＝1))xiyi＝1390，eq\o(∑,\s\up6(５),\s\do4(i＝1))xeq\o\al(2,i)＝145，代入公式得＝＝eq\f(1390－5×5×50,145－5×52)＝7，＝eq\x\to(y)－eq\x\to(x)＝50－7×5＝15.故所求的閱歷回來方程是＝7x＋15.(3)依據(jù)上面求出的閱歷回來方程，當(dāng)成交量突破100件(含100件)，即x＝≥100時，≥715，所以預(yù)料這家店鋪的閱讀量至少為715次．[規(guī)律方法]閱歷回來分析的步驟(1)收集樣本數(shù)據(jù)，設(shè)為(xi，yi)(i＝1,2，…，n)(數(shù)據(jù)一般由題目給出)．(2)作出散點圖，確定x，y具有線性相關(guān)關(guān)系．(3)計算eq\x\to(x)，eq\x\to(y)，eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))xeq\o\al(2,i)，eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))xiyi.(4)代入公式計算相關(guān)系數(shù)，確定相關(guān)性的強弱．(5)代入公式計算，，寫出閱歷回來方程＝x＋.(6)利用閱歷回來方程進行預(yù)料．對點訓(xùn)練?佩戴頭盔是一項對家庭與社會負(fù)責(zé)的表現(xiàn)，某市對此不斷進行平安教化．下表是該市某主干路口連續(xù)4年監(jiān)控設(shè)備抓拍到的駕駛員不戴頭盔的統(tǒng)計數(shù)據(jù)：年度2024202420242024年度序號x1234不戴頭盔人數(shù)y125010501000900(1)請利用所給數(shù)據(jù)求不戴頭盔人數(shù)y與年度序號x之間的閱歷回來方程＝x＋；(2)估算該路口2024年不戴頭盔的人數(shù)．[解析](1)由表中數(shù)據(jù)知，eq\x\to(x)＝eq\f(1＋2＋3＋4,4)＝eq\f(5,2)，eq\x\to(y)＝eq\f(1250＋1050＋1000＋900,4)＝1050，所以＝eq\f(\i\su(i＝1,4,x)iyi－4\x\to(x)\x\to(y),\i\su(i＝1,4,x)\o\al(2,i)－4\x\to(x)2)＝eq\f(9950－10500,30－25)＝－110，所以＝eq\x\to(y)－eq\x\to(x)＝1050－(－110)×eq\f(5,2)＝1325，故所求回來直線方程為＝－110x＋1325.(2)令x＝5，則＝－110×5＋1325＝775，則估算該路口2024年不戴頭盔的人數(shù)為775人．題型二R2的求解與回來模型的擬合典例2我國在第七十五屆聯(lián)合國大會上提出：“中國將提高國家自主貢獻(xiàn)力度，實行更加有力的政策和措施，二氧化碳排放力爭于2030年前達(dá)到峰值，努力爭取2060年前實現(xiàn)碳中和．”削減碳排放，實現(xiàn)碳中和，人人都可出一份力．某中學(xué)數(shù)學(xué)老師組織開展了題為“家庭燃?xì)庠钚o的最佳角度”的數(shù)學(xué)建?；顒樱囼灱僭O(shè)：①燒開一壺水有諸多因素，本建模的變量設(shè)定為燃?xì)庥昧颗c旋鈕的旋轉(zhuǎn)角度，其他因素假設(shè)一樣；②由生活常識知，旋轉(zhuǎn)角度很小或很大，一壺水甚至不能燒開或造成燃?xì)馍莩?，因此旋轉(zhuǎn)角度設(shè)定在10°到90°之間，建模試驗中選取5個代表性數(shù)據(jù)：18°，36°，54°，72°，90°.某數(shù)學(xué)建模小組收集了“燒開一壺水”的試驗數(shù)據(jù)，如表：項目旋轉(zhuǎn)角度起先燒水時燃?xì)獗矶葦?shù)/dm3水燒開時燃?xì)獗矶葦?shù)/dm318°9080921036°8958908054°8819895872°8670881990°84988670以x表示旋轉(zhuǎn)角度，y表示燃?xì)庥昧浚?1)用列表法整理數(shù)據(jù)(x，y)；x(旋轉(zhuǎn)角度：度)1836547290y(燃?xì)庥昧浚篸m3)(2)假定x，y線性相關(guān)，試求閱歷回來方程＝x＋；(注：計算結(jié)果精確到小數(shù)點后三位)(3)計算(2)中所求模型的確定系數(shù)，評價此模型的擬合效果．(注：計算結(jié)果精確到小數(shù)點后兩位)參考數(shù)據(jù)：eq\i\su(i＝1,5,y)i＝712，eq\i\su(i＝1,5,)(xi－eq\x\to(x))(yi－eq\x\to(y))＝1998，eq\i\su(i＝1,5,)(xi－eq\x\to(x))2＝3240，eq\i\su(i＝1,5,)(yi－eq\x\to(y))2＝1501.2，eq\i\su(i＝1,5,)(yi－i)2≈269.1.[解析](1)整理數(shù)據(jù)如表：x(旋轉(zhuǎn)角度：度)1836547290y(燃?xì)庥昧浚篸m3)130122139149172(2)eq\x\to(x)＝54，eq\x\to(y)＝142.4，＝eq\f(\i\su(i＝1,5,)(xi－\x\to(x))(yi－\x\to(y)),\i\su(i＝1,5,)(xi－\x\to(x))2)＝eq\f(1998,3240)≈0.617，≈142.4－0.617×54＝109.082，故回來直線方程為＝0.617x＋109.082.(3)計算(2)中所求模型的確定系數(shù)R2＝1－＝1－eq\f(269.1,1501.2)≈0.82.此模型的擬合效果較好．[規(guī)律方法]確定系數(shù)R2、殘差圖在回來分析中的作用(1)確定系數(shù)R2是用來刻畫回來效果的，由R2＝可知，R2越大，意味著殘差平方和越小，也就是說模型的擬合效果就越好；(2)殘差圖也是用來刻畫回來效果的，推斷依據(jù)是殘差點比較勻稱地分布在水平帶狀區(qū)域中，帶狀區(qū)域越窄，說明模型擬合精度越高，回來方程預(yù)料的精度也越高．對點訓(xùn)練?某運動員訓(xùn)練次數(shù)與訓(xùn)練成果之間的數(shù)據(jù)關(guān)系如表：次數(shù)(x)3033353739444650成果(y)3034373942464851(1)作出散點圖；(2)求出閱歷回來方程；(3)作出殘差圖；(4)計算R2，并說明運動員的訓(xùn)練次數(shù)對成果的影響占百分之幾．[解析](1)作出該運動員訓(xùn)練次數(shù)x與成果y的散點圖，如圖所示．由散點圖可知，它們之間具有相關(guān)關(guān)系．(2)eq\x\to(x)＝39.25，eq\x\to(y)＝40.875，eq\i\su(i＝1,8,x)eq\o\al(2,i)＝12656，eq\i\su(i＝1,8,x)iyi＝13180，所以＝eq\f(\i\su(i＝1,8,x)iyi－8\x\to(x)\x\to(y),\i\su(i＝1,8,x)\o\al(2,i)－8\x\to(x)2)≈1.0415，＝eq\x\to(y)－eq\x\to(x)＝－0.003875，所以閱歷回來方程為＝1.0415x－0.003875.(3)殘差分析：下面的表格列出了運動員訓(xùn)練次數(shù)和成果的原始數(shù)據(jù)以及相應(yīng)的殘差數(shù)據(jù).xy＝y(tǒng)－3030－1.24113334－0.365635370.551437390.468439421.385444460.177946480.09495051－1.0711作殘差圖如圖所示．由圖可知，殘差點比較勻稱地分布在水平帶狀區(qū)域內(nèi)，說明選擇的模型比較合適．(4)計算R2≈0.9855，說明白該運動的訓(xùn)練次數(shù)對成果的影響占98.55%.題型三非線性閱歷回來問題典例3某公交公司推出掃碼支付實惠乘車活動，活動設(shè)置了一段時間的推廣期，由于推廣期內(nèi)實惠力度較大，吸引了越來越多的人起先運用掃碼支付．某線路公交車隊統(tǒng)計了活動剛推出一周內(nèi)每一天運用掃碼支付的人次，用x表示推出的天數(shù)，y表示每天運用掃碼支付的人次(一人次等于十人)，統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表：x1234567y611213466101196依據(jù)以上數(shù)據(jù)，繪制了如圖所示的散點圖．(1)依據(jù)散點圖推斷，在推廣期內(nèi)，＝x＋與＝c·dx(c，d均為大于零的常數(shù))哪一個相宜作為掃碼支付的人次y關(guān)于活動推出天數(shù)x的閱歷回來方程類型？(給出推斷即可，不必說明理由)(2)依據(jù)(1)的推斷結(jié)果及表中的數(shù)據(jù)，求y關(guān)于x的閱歷回來方程，并預(yù)料活動推出后第8天運用掃碼支付的人數(shù)．參考數(shù)據(jù)：eq\x\to(y)eq\x\to(v)eq\i\su(i＝1,7,x)iyieq\i\su(i＝1,7,x)ivi100.5462.141.54253550.123.47其中vi＝lgyi，eq\x\to(v)＝eq\f(1,7)eq\i\su(i＝1,7,v)i.[分析]由散點圖可推斷x，y之間的關(guān)系符合指數(shù)型函數(shù)模型，選擇＝c·dx進行擬合，然后取對數(shù)，進而求出閱歷回來方程．[解析](1)依據(jù)散點圖推斷＝c·dx相宜作為掃碼支付的人次y關(guān)于活動推出天數(shù)x的閱歷回來方程類型．(2)＝c·dx，兩邊同時取常用對數(shù)得lg＝lg(c·dx)＝lgc＋lgd·x.設(shè)lg＝v.∴v＝lgc＋lgd·x.∴eq\x\to(x)＝4，eq\x\to(v)＝1.54，eq\i\su(i＝1,7,x)eq\o\al(2,i)＝140，eq\i\su(i＝1,7,x)ivi＝50.12.∴l(xiāng)gd＝eq\f(\i\su(i＝1,7,x)ivi－7\x\to(x)\x\to(v),\i\su(i＝1,7,x)\o\al(2,i)－7\x\to(x)2)＝eq\f(50.12－7×4×1.54,140－7×42)＝eq\f(7,28)＝0.25.把點(4,1.54)代入v＝lgc＋lgd·x，得lgc＝0.54，∴v＝0.54＋0.25x，∴l(xiāng)g＝0.54＋0.25x，∴y關(guān)于x的閱歷回來方程為＝100.54＋0.25x＝100.54×100.25x＝3.47×100.25x.把x＝8代入，得＝3.47×102＝347(人次)．故預(yù)料活動推出后第8天運用掃碼支付的人數(shù)為3470.[規(guī)律方法]求非線性閱歷回來方程的方法(1)非線性閱歷回來方程的求解，一般可以依據(jù)散點圖選取合適的非線性回來模型，或依據(jù)已知條件選取擬合程度較好的非線性回來模型，再通過變換，轉(zhuǎn)化為求線性閱歷回來方程，最終還原即可．(2)非線性閱歷回來方程常見形式有以下幾種：＝a＋b(x－c)2，＝a＋bln(x－c)，＝a＋beq\r(x－c)，＝a＋eq\f(b,x)和＝abcx.其中＝a＋b(x－c)2，＝a＋bln(x－c)，＝a＋beq\r(x－c)，＝a＋eq\f(b,x)可通過變量替換(換元)求解；＝abcx可通過先兩邊取對數(shù)，再變量替換(換元)求解．對點訓(xùn)練?某公司為確定下一年度投入某種產(chǎn)品的宣揚費，需了解年宣揚費x(單位：千元)對年銷售量y(單位：t)和年利潤z(單位：千元)的影響．對近8年的年宣揚費xi和年銷售量yi(i＝1,2，…，8)的數(shù)據(jù)作了初步處理，得到下面的散點圖及一些統(tǒng)計量的值．eq\x\to(x)eq\x\to(y)eq\x\to(w)eq\i\su(i＝1,8,)(xi－eq\x\to(x))2eq\i\su(i＝1,8,)(wi－eq\x\to(w))2eq\i\su(i＝1,8,)(xi－eq\x\to(x))(yi－eq\x\to(y))eq\i\su(i＝1,8,)(wi－eq\x\to(w))(yi－eq\x\to(y))46.65636.8289.81.61469108.8表中wi＝eq\r(xi)，eq\x\to(w)＝eq\f(1,8)eq\i\su(i＝1,8,w)i.(1)依據(jù)散點圖推斷，y＝a＋bx與y＝c＋deq\r(x)哪一個相宜作為年銷售量y關(guān)于年宣揚費x的回來方程類型？(給出推斷即可，不必說明理由)(2)依據(jù)(1)的推斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于x的回來方程；(3)已知這種產(chǎn)品的年利潤z與x，y的關(guān)系為z＝0.2y－x.依據(jù)(2)的結(jié)果回答下列問題：①年宣揚費x＝49時，年銷售量及年利潤的預(yù)報值是多少？②年宣揚費x為何值時，年利潤的預(yù)報值最大？附：對于一組數(shù)據(jù)(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，其回來直線＝＋u的斜率和截距的最小二乘估計分別為＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)(ui－\x\to(u))(vi－\x\to(v)),\i\su(i＝1,n,)(ui－\x\to(u))2)，＝eq\x\to(v)－eq\x\to(u).[解析](1)由散點圖可以推斷，y＝c＋deq\r(x)相宜作為年銷售量y關(guān)于年宣揚費x的回來方程類型．(2)令w＝eq\r(x)，先建立y關(guān)于w的閱歷回來方程．由于＝eq\f(\i\su(i＝1,8,)(wi－\x\to(w))(yi－\x\to(y)),\i\su(i＝1,8,)(wi－\x\to(w))2)＝eq\f(108.8,1.6)＝68，＝eq\x\to(y)－eq\x\to(w)＝563－68×6.8＝100.6，所以y關(guān)于w的閱歷回來方程為＝100.6＋68w，因此y關(guān)于x的閱歷回來方