2025版新教材高中數(shù)學(xué)第三章圓錐曲線的方程3.2雙曲線3.2.2雙曲線的簡單幾何性質(zhì)第1課時雙曲線的簡單幾何性質(zhì)課時作業(yè)新人教A版選擇性必修第一冊

第1課時雙曲線的簡潔幾何性質(zhì)必備學(xué)問基礎(chǔ)練進階訓(xùn)練第一層1．[2024·河南商丘高二檢測]雙曲線eq\f(x2,2)－y2＝－1的焦點坐標(biāo)為()A．(－3，0)，(3，0)B．(0，－3)，(0，3)C．(－eq\r(3)，0)，(eq\r(3)，0)D．(0，－eq\r(3))，(0，eq\r(3))2．下列雙曲線中，以(2，0)為一個焦點，以(1，0)為一個頂點的雙曲線方程是()A．eq\f(x2,4)－y2＝1B．eq\f(x2,3)－y2＝1C．x2－eq\f(y2,3)＝1D．x2－y2＝13．若雙曲線C兩條漸近線方程是y＝±x，則雙曲線C的離心率是()A．eq\r(2)B．eq\r(3)C．2D．eq\r(5)4．[2024·福建廈門外國語學(xué)校高二測試]若雙曲線eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的離心率為2，則其兩條漸近線所成的銳角為()A．eq\f(π,3)B．eq\f(π,4)C．eq\f(π,6)D．eq\f(2π,3)5．[2024·重慶九龍坡高二測試]若雙曲線C：eq\f(x2,m)－y2＝1的焦距為2eq\r(2)，則雙曲線C的漸近線方程為()A．x±y＝0B．2x±y＝0C．x±eq\r(3)y＝0D．x±eq\r(7)y＝06．[2024·江蘇南通高二檢測](多選)設(shè)雙曲線C：eq\f(x2,3)－eq\f(y2,b2)＝1(b>0)的焦點為F1，F(xiàn)2，若點P(2，1)在雙曲線C上，則()A．雙曲線C的離心率為2B．雙曲線C的漸近線方程為y＝±xC．||PF1|－|PF2||＝2eq\r(3)D．PF1·PF2＝27．雙曲線eq\f(y2,9)－x2＝1的實軸長為________．8．[2024·湖北華中師大附中高二檢測]已知雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一條漸近線為y＝eq\r(3)x，一個焦點為(2，0)，則a＝________．關(guān)鍵實力綜合練進階訓(xùn)練其次層1．若離心率為eq\f(5,3)的雙曲線與橢圓eq\f(x2,40)＋eq\f(y2,15)＝1的焦點相同，則雙曲線的方程是()A．eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1B．eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝1C．eq\f(y2,9)－eq\f(x2,16)＝1D．eq\f(y2,16)－eq\f(x2,9)＝12．已知冪函數(shù)y＝x－1的圖象是等軸雙曲線C，且它的焦點在直線y＝x上，則下列曲線中，與曲線C的實軸長相等的雙曲線是()A．eq\f(x2,2)＋eq\f(y2,2)＝1B．eq\f(x2,2)－eq\f(y2,2)＝1C．x2－y2＝1D．eq\f(x2,4)－eq\f(y2,4)＝13．已知雙曲線C：eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)的一個焦點與虛軸的兩個端點構(gòu)成等邊三角形，則C的漸近線方程為()A．y＝±eq\f(\r(2),2)xB．y＝±eq\f(\r(3),2)xC．y＝±eq\r(2)xD．y＝±eq\r(3)x4．[2024·福建廈門一中高二檢測]若雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,4)＝1的一條漸近線被圓(x－2)2＋y2＝4所截得的弦長為2eq\r(3)，則C的焦距為()A．8B．10C．12D．165．雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦點為F(3，0)，且點F到雙曲線C的一條漸近線的距離為1，則雙曲線C的離心率為()A．eq\f(3\r(2),4)B．eq\r(2)C．2eq\r(3)D．eq\f(2\r(3),3)6．[2024·江蘇宿遷高二測試](多選)雙曲線eq\f(y2,9)－eq\f(x2,16)＝1的焦點分別為F1，F(xiàn)2，點P在雙曲線上，下列結(jié)論正確的是()A．該雙曲線的離心率為eq\f(5,4)B．該雙曲線的漸近線方程為y＝±eq\f(3,4)xC．若PF1⊥PF2，則△PF1F2的面積為16D．點P到兩漸近線的距離乘積為eq\f(144,25)7．已知雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)過三點(－2eq\r(2)，0)，(－2，2)，(4，－2)中的兩點，則C的方程為________．8．設(shè)雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，P是漸近線上一點，且滿意|PF2|＝|F1F2|，PF2·F1F2＝0，則雙曲線C的離心率為________．9．[2024·山東煙臺高二測試]雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的離心率為e＝eq\r(5)，且過點M(－2，2eq\r(3)).(1)求a，b的值；(2)求與雙曲線C有相同漸近線，且過點P(eq\r(3)，2eq\r(5))的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．10．[2024·湖南益陽高二檢測]已知雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，點M在雙曲線C的右支上，且|MF1|－|MF2|＝2，離心率e＝2.(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若∠F1MF2＝60°，求△F1MF2的面積．核心素養(yǎng)升級練進階訓(xùn)練第三層1．[2024·山西呂梁高二檢測]已知雙曲線Γ：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦點為F(c，0)(c>0)，M是雙曲線的左支上的一點，線段MF與圓B：(x－eq\f(c,2))2＋y2＝eq\f(b2,64)相切于點D，且|MF|＝4|DF|，則雙曲線Γ的漸近線方程為()A．2x±y＝0B．2x±3y＝0C．2x±7y＝0D．4x±7y＝02．如圖1所示，雙曲線具有光學(xué)性質(zhì)：從雙曲線右焦點發(fā)出的光線經(jīng)過雙曲線鏡面反射，其反射光線的反向延長線經(jīng)過雙曲線的左焦點．若雙曲線E：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，從F2發(fā)出的光線經(jīng)過圖2中的A，B兩點反射后，分別經(jīng)過點C和D，且cos∠BAC＝－eq\f(3,5)，AB⊥BD，則E的離心率為________．3．已知雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，P是雙曲線的右支上一點．(1)求|PF1|的最小值；(2)若右支上存在點P滿意|PF1|＝4|PF2|，求雙曲線的離心率的取值范圍．第1課時雙曲線的簡潔幾何性質(zhì)必備學(xué)問基礎(chǔ)練1．答案：D解析：方程eq\f(x2,2)－y2＝－1可化為y2－eq\f(x2,2)＝1，所以雙曲線eq\f(x2,2)－y2＝－1的焦點在y軸上，且a＝1，b＝eq\r(2)，所以c＝eq\r(a2＋b2)＝eq\r(3)，所以雙曲線y2－eq\f(x2,2)＝1的焦點坐標(biāo)為(0，－eq\r(3))，(0，eq\r(3)).故選D.2．答案：C解析：因為雙曲線的一個焦點是(2，0)，故可設(shè)雙曲線方程為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1，且a2＋b2＝4；又(1，0)為一個頂點，故可得a＝1，解得b2＝3，則雙曲線方程為x2－eq\f(y2,3)＝1.故選C.3．答案：A解析：由漸近線方程可知eq\f(b,a)＝1，則eq\f(c,a)＝eq\r(1＋\f(b2,a2))＝eq\r(2).故選A.4．答案：A解析：因為雙曲線eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1的漸近線方程為y＝±eq\f(a,b)x，而e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(a2＋b2),a)＝2，所以eq\f(a,b)＝eq\f(\r(3),3)，故兩條漸近線中一條的傾斜角為eq\f(π,6)，一條的傾斜角為eq\f(5π,6)，它們所成的銳角為eq\f(π,3).故選A.5．答案：A解析：因為雙曲線C：eq\f(x2,m)－y2＝1的焦距為2eq\r(2)，所以c＝eq\r(2)，所以a2＋b2＝m＋1＝(eq\r(2))2，解得m＝1，所以a＝1，b＝1，所以雙曲線C的漸近線方程為y＝±eq\f(b,a)x＝±x，即x±y＝0.故選A.6．答案：BC解析：依題意，eq\f(4,3)－eq\f(1,b2)＝1，解得b＝eq\r(3)，雙曲線C：eq\f(x2,3)－eq\f(y2,3)＝1的實半軸長a＝eq\r(3)，半焦距c＝eq\r(6)，雙曲線C的離心率e＝eq\f(c,a)＝eq\r(2)，A不正確；雙曲線C的漸近線方程為y＝±x，B正確；||PF1|－|PF2||＝2a＝2eq\r(3)，C正確；F1(－eq\r(6)，0)，F(xiàn)2(eq\r(6)，0)，則PF1＝(－eq\r(6)－2，－1)，PF2＝(eq\r(6)－2，－1)，有PF1·PF2＝(－eq\r(6)－2)(eq\r(6)－2)＋(－1)·(－1)＝－1，D不正確．故選BC.7．答案：6解析：由eq\f(y2,9)－x2＝1得，a＝3，所以實軸長為2a＝6.8．答案：1解析：依題意雙曲線的漸近線y＝eq\f(b,a)x＝eq\r(3)x，eq\f(b,a)＝eq\r(3)，由焦點(2，0)得c＝2，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)＝\r(3),c＝2,a2＝c2－b2))，解得a＝1，b＝eq\r(3).關(guān)鍵實力綜合練1．答案：A解析：由題知在橢圓中c2＝40－15＝25，∴焦點坐標(biāo)為(－5，0)，(5，0)，∴在雙曲線中，焦點坐標(biāo)為(－5，0)，(5，0)，c＝5，∵e＝eq\f(c,a)＝eq\f(5,3)，∴a＝3，a2＝9，b2＝c2－a2＝16，故雙曲線的方程為eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1.故選A.2．答案：B解析：由雙曲線幾何性質(zhì)知，雙曲線的焦點在實軸上，實軸與雙曲線的交點A1(－1，－1)，A2(1，1)是雙曲線的頂點，故雙曲線C的實軸長＝|A1A2|＝2eq\r(2)，明顯選項A表示的是圓；選項B的雙曲線實軸長為2eq\r(2)；選項C雙曲線的實軸長為2；選項D的雙曲線實軸長為4.故選B.3．答案：C解析：由已知及雙曲線的對稱性可得tan30°＝eq\f(b,c)，所以c＝eq\r(3)b.所以a＝eq\r(c2－b2)＝eq\r(2)b，所以eq\f(a,b)＝eq\r(2)，所以C的漸近線方程為y＝±eq\f(a,b)x＝±eq\r(2)x.故選C.4．答案：A解析：由eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,4)＝1，則該雙曲線的漸近線方程為y＝±eq\f(2,a)x，不妨設(shè)直線2x－ay＝0被圓(x－2)2＋y2＝4所截得的弦長為2eq\r(3)，則4－(eq\f(4,\r(a2＋4)))2＝(eq\r(3))2，解得a2＝12，所以c2＝a2＋4＝16，所以c＝4.故該雙曲線的焦距為2c＝8.故選A.5．答案：A解析：因為雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦點為F(3，0)，且漸近線方程為bx±ay＝0，所以焦點F到漸近線的距離為d＝eq\f(3b,\r(a2＋b2))＝1，化簡得a2＝8b2，所以雙曲線的離心率e＝eq\r(1＋\f(b2,a2))＝eq\r(\f(9,8))＝eq\f(3\r(2),4).故選A.6．答案：BCD解析：由雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程可知：a2＝9?a＝3，b2＝16?b＝4，c2＝9＋16＝25?c＝5，A：e＝eq\f(c,a)＝eq\f(5,3)，故A錯誤；B：漸近線為y＝±eq\f(a,b)x?y＝±eq\f(3,4)x，故B正確；C：設(shè)|PF1|＝m，|PF2|＝n，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(|m－n|＝2a,m2＋n2＝（2c）2))?eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m2＋n2－2mn＝4a2,m2＋n2＝4c2))?2mn＝4c2－4a2?mn＝32，S△PF1F2＝eq\f(1,2)mn＝16，故C正確；D：設(shè)P(x0，y0)，則eq\f(yeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0)),9)－eq\f(xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0)),16)＝1?16yeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0))－9xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0))＝144，雙曲線漸近線為3x＋4y＝0，3x－4y＝0，∴點P到兩漸近線的距離乘積為eq\f(|3x0＋4y0|,5)·eq\f(|3x0－4y0|,5)＝eq\f(|9xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0))－16yeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0))|,25)＝eq\f(144,25)，故D正確．故選BCD.7．答案：eq\f(x2,8)－eq\f(y2,4)＝1解析：依據(jù)雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的對稱性可知，點(－2eq\r(2)，0)，(4，－2)在雙曲線圖象上，將其代入雙曲線方程，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(8,a2)＝1，,\f(16,a2)－\f(4,b2)＝1，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2＝8，,b2＝4.))所以雙曲線C：eq\f(x2,8)－eq\f(y2,4)＝1.8．答案：eq\r(5)解析：不妨設(shè)P在第一象限，因為PF2·F1F2＝0，則P(c，eq\f(bc,a))，依題意eq\f(bc,a)＝2c，所以eq\f(b,a)＝2，離線率e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1＋\f(b2,a2))＝eq\r(5).9．解析：(1)因為離心率為e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(a2＋b2),a)＝eq\r(1＋\f(b2,a2))＝eq\r(5)，所以b2＝4a2.又因為點Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，2\r(3)))在雙曲線C上，所以eq\f(4,a2)－eq\f(12,b2)＝1.聯(lián)立上述方程，解得a2＝1，b2＝4，即a＝1，b＝2.(2)設(shè)所求雙曲線的方程為x2－eq\f(y2,4)＝λeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(λ≠0))，由雙曲線經(jīng)過點Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3)，2\r(5)))，得3－eq\f(20,4)＝λ，即λ＝－2.所以雙曲線的方程為x2－eq\f(y2,4)＝－2，其標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(y2,8)－eq\f(x2,2)＝1.10．解析：(1)由題意|MF1|－|MF2|＝2a，∴2a＝2?a＝1，又e＝eq\f(c,a)＝2?c＝2，∴b2＝c2－a2＝3，故雙曲線C的方程為x2－eq\f(y2,3)＝1.(2)令|MF1|＝m，|MF2|＝n，則由雙曲線定義可得m－n＝2，①由三角形余弦定理得m2＋n2－2mn·cos60°＝4c2＝16，②①2－②有mn＝12，∴△F1MF2的面積S＝eq\f(1,2)mn·sin60°＝3eq\r(3).核心素養(yǎng)升級練1．答案：D解析：設(shè)雙曲線的左焦點為F′(如圖所示)，由|BF|＝eq\f(c,2)，|BF′|＝eq\f(3,2)c，可知|F′F|＝4|BF|，又由|MF|＝4|DF|，可知BD∥MF′，有F′M⊥MF，|MF′|＝4×eq\f(b,8)＝eq\f(b,2)，|MF|＝2a＋eq\f(b,2)，在Rt△MFF′中，4c2＝eq\f(1,4)b2＋(2a＋eq\f(1,2)b)2，得eq\f(b,a)＝eq\f(4,7)，故雙曲線Γ的漸近線方程為y＝±eq\f(4,7)x.故選D.2．答案：eq\f(\r(17),3)解析：由cos∠BAC＝－eq\f(3,5)，AB⊥BD，則cos∠BAF1＝eq\f(3,5)，∠ABF1＝eq