北京市大興區(qū)2024-2025學(xué)年高三數(shù)學(xué)下學(xué)期摸底檢測(cè)試卷含解析

大興區(qū)2024～2024學(xué)年度其次學(xué)期高三年級(jí)摸底檢測(cè)（大興區(qū)2024～2024學(xué)年度高三數(shù)學(xué)下學(xué)期摸底檢測(cè)第一部分（選擇題共40分）一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)。（1）已知集合，集合，則（

）（A） （B）（C） （D）（2）若復(fù)數(shù)z滿意，則（

）（A）1（B）5（C）7 （D）（3）若為隨意角，則滿意的一個(gè)值為（

）（A）2 （B）4（C）6 （D）8（4）在人類中，雙眼皮由顯性基因限制，單眼皮由隱性基因限制．當(dāng)一個(gè)人的基因型為或時(shí)，這個(gè)人就是雙眼皮，當(dāng)一個(gè)人的基因型為時(shí)，這個(gè)人就是單眼皮．隨機(jī)從父母的基因中各選出一個(gè)或者基因遺傳給孩子組合成新的基因．依據(jù)以上信息，則“父母均為單眼皮”是“孩子為單眼皮”的（

）（A）充分不必要條件 （B）必要不充分條件

（C）充要條件 （D）既不充分也不必要條件（5）已知三個(gè)函數(shù)，，，則（

）（A）定義域都為R （B）值域都為R（C）在其定義域上都是增函數(shù) （D）都是奇函數(shù)（6）雙曲線的漸近線與直線交于A，B兩點(diǎn)，且|AB|=4，那么雙曲線C的離心率為（

）（A） （B）（C） （D）（7）設(shè)是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，為其前項(xiàng)和.已知，，若存在使得的乘積最大，則的一個(gè)可能值是（

）（A） （B）（C） （D）（8）一次數(shù)學(xué)考試共有8道推斷題，每道題5分，滿分40分．規(guī)定正確的畫√，錯(cuò)誤的畫×．甲、乙、丙、丁四名同學(xué)的解答及得分狀況如表所示，則m的值為（）

題號(hào)學(xué)生12345678得分甲×√×√××√×30乙××√√√××√25丙√×××√√√×25丁×√×√√×√√m（A） （B）（C） （D）（9）點(diǎn)P在函數(shù)y＝ex的圖象上．若滿意到直線y＝x+a的距離為的點(diǎn)P有且僅有3個(gè)，則實(shí)數(shù)a的值為（）（A） （B）（C） （D）（10）如圖，正方體的棱長(zhǎng)為2，點(diǎn)為底面的中心，點(diǎn)在側(cè)面的邊界及其內(nèi)部運(yùn)動(dòng)．若，則面積的最大值為（

）（A） （B）（C） （D）其次部分（非選擇題共110分）二、填空題共5小題，每小題5分，共25分。（11）在的二項(xiàng)綻開式中，常數(shù)項(xiàng)為____15____．（用數(shù)字作答）（12）能說(shuō)明“若，則方程表示的曲線為橢圓或雙曲線”是錯(cuò)誤的一組的值是_____.（13）在中，，，，則的面積為．（14）矩形中，，，為的中點(diǎn).

當(dāng)點(diǎn)在邊上時(shí)，的值為_____；當(dāng)點(diǎn)沿著，與邊運(yùn)動(dòng)時(shí)，的最小值為______.

（15）曲線，點(diǎn)P在曲線C上．給出下列三個(gè)結(jié)論：曲線C關(guān)于y軸對(duì)稱；曲線C上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍是[﹣2，2]；若，，則存在點(diǎn)P，使的面積大于．

其中，全部正確結(jié)論的序號(hào)是_____．三、解答題共6小題，共85分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程。（16）（本小題14分）已知函數(shù)同時(shí)滿意下列四個(gè)條件中的三個(gè)：；②；③最大值為2；④最小正周期為（Ⅰ）給出函數(shù)的解析式，并說(shuō)明理由；

（Ⅱ）求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間（17）（本小題14分）如圖，四邊形為正方形，，，，，.（Ⅰ）求證：平面；

（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值.（18）（本小題14分）為了增加學(xué)生的冬奧會(huì)學(xué)問(wèn)，弘揚(yáng)奧林匹克精神，北京市多所中小學(xué)校開展了模擬冬奧會(huì)各項(xiàng)競(jìng)賽的活動(dòng).為了了解學(xué)生在越野滑輪和旱地冰壺兩項(xiàng)中的參與狀況，在北京市中小學(xué)學(xué)校中隨機(jī)抽取了10所學(xué)校，10所學(xué)校的參與人數(shù)如下：（Ⅰ）現(xiàn)從這10所學(xué)校中隨機(jī)選取2所學(xué)校進(jìn)行調(diào)查.求選出的2所學(xué)校參與越野滑輪人數(shù)都超過(guò)40人的概率；

（Ⅱ）現(xiàn)有一名旱地冰壺教練在這10所學(xué)校中隨機(jī)選取2所學(xué)校進(jìn)行指導(dǎo)，記X為教練選中參與旱地冰壺人數(shù)在30人以上的學(xué)校個(gè)數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；

（Ⅲ）某校聘請(qǐng)了一名越野滑輪教練，對(duì)高山滑降、轉(zhuǎn)彎、八字登坡滑行這3個(gè)動(dòng)作進(jìn)行技術(shù)指導(dǎo).規(guī)定：這3個(gè)動(dòng)作中至少有2個(gè)動(dòng)作達(dá)到“優(yōu)”，總考核記為“優(yōu)”.在指導(dǎo)前，該校甲同學(xué)3個(gè)動(dòng)作中每個(gè)動(dòng)作達(dá)到“優(yōu)”的概率為0.1.在指導(dǎo)后的考核中，甲同學(xué)總考核成果為“優(yōu)”.能否認(rèn)為甲同學(xué)在指導(dǎo)后總考核達(dá)到“優(yōu)”的概率發(fā)生了改變？請(qǐng)說(shuō)明理由.（19）（本小題15分）已知橢圓的焦距和長(zhǎng)半軸長(zhǎng)都為2.過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)作斜率為的直線與橢圓相交于兩點(diǎn).（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)是橢圓的左頂點(diǎn)，直線分別與直線相交于點(diǎn).求證：以為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn).（20）（本小題14分）已知函數(shù).（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；

（Ⅱ）若在區(qū)間上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（Ⅲ）當(dāng)時(shí)，試寫出方程根的個(gè)數(shù).(只需寫出結(jié)論)（21）（本小題14分）設(shè)集合，其中是正整數(shù)，記．對(duì)于，若存在整數(shù)k，滿意，則稱整除，設(shè)是滿意整除的數(shù)對(duì)的個(gè)數(shù)．（Ⅰ）若，，寫出，的值;（Ⅱ）求的最大值;（Ⅲ）設(shè)A中最小的元素為a，求使得取到最大值時(shí)的全部集合A．大興區(qū)2024～2024學(xué)年度其次學(xué)期高三年級(jí)摸底檢測(cè)高三數(shù)學(xué)參考答案與評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)一、選擇題（共10小題，每小題4分，共40分）12345678910DBDACDABCC二、填空題（共5小題，每小題5分，共25分）（11）15（12）（答案不唯一，滿意或即可）（13）6（14）；（15）①②（只寫對(duì)一個(gè)3分）三、解答題（共6小題，共85分）（16）（本小題14分）解：（Ⅰ）若函數(shù)滿意條件③，則，這與沖突，所以不能滿意條件③…………2分所以應(yīng)滿意條件①②④由條件①得，且，所以…………4分由條件②得…………6分再由條件④得，且所以…………8分所以…………9分（Ⅱ）由…………2分得…………4分所以的單調(diào)遞減區(qū)間為…………5分（17）（本小題14分）解：（Ⅰ）證明：因?yàn)?，，所以，………?分又因?yàn)?，且，………?分所以平面.…………5分（Ⅱ）（方法一）因?yàn)樗倪呅螢檎叫?，平面，，所以倆倆垂直，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，…………2分則，，，，…………4分，，.設(shè)平面的法向量為，…………5分則，即，令，則，.所以平面的法向量為.…………7分設(shè)直線與平面所成的角為，所以.…………9分所以直線與平面所成角的正弦值為.（方法二）因?yàn)槠矫?，所以?因?yàn)樗倪呅螢檎叫?，所?如圖建立空間直角坐標(biāo)系，…………2分則，，，，…………4分，，.設(shè)平面的法向量為，…………5分則，即，令，則，.所以平面的法向量為.…………7分設(shè)直線與平面所成的角為，所以.…………9分所以直線與平面所成角的正弦值為.（18）（本小題14分）解：（Ⅰ）設(shè)“選出的兩所學(xué)校參與越野滑輪人數(shù)都超過(guò)40人”的事務(wù)為A，…………1分則…………4分（Ⅱ）X的全部可能取值為0，1，2，參與旱地冰壺人數(shù)在30人以上的學(xué)校共4所.…………1分，，.X的分布列為：X012P…………5分.…………7分（Ⅲ）答案不唯一.答案示例1：可以認(rèn)為甲同學(xué)在指導(dǎo)后總考核為“優(yōu)”的概率發(fā)生了改變.理由如下：指導(dǎo)前，甲同學(xué)總考核為“優(yōu)”的概率為：.指導(dǎo)前，甲同學(xué)總考核為“優(yōu)”的概率特別小，一旦發(fā)生，就有理由認(rèn)為指導(dǎo)后總考核達(dá)到“優(yōu)”的概率發(fā)生了改變.答案示例2：無(wú)法確定.理由如下：指導(dǎo)前，甲同學(xué)總考核為“優(yōu)”的概率為：.雖然概率特別小，但是也可能發(fā)生，所以，無(wú)法確定總考核達(dá)到“優(yōu)”的概率發(fā)生了改變.…3分（19）（本小題15分）解：（Ⅰ）由已知得，，…………2分所以…………4分所以橢圓的方程為…………5分（Ⅱ），，設(shè)直線的方程為…………1分由消元得：…………2分設(shè)，則…………3分又直線的方程為，令得同理可得…………5分所以直線的斜率為直線的斜率為…………6分所以…………9分所以，即以為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn).…………10分注：第（Ⅱ）問(wèn)，用以下方法證明相應(yīng)給分用①；②為線段的中點(diǎn)，證；③以為直徑的圓的方程；（20）（本小題14分）解：（Ⅰ），所以所以…………2分所以切線斜率，又…………4分所以切線方程為…………5分（Ⅱ）…………1分因?yàn)樵趨^(qū)間上單調(diào)遞增所以對(duì)，都有恒成立即，恒成立，等價(jià)于…………2分設(shè)，，則…………3分令，得…………4分當(dāng)改變時(shí)，改變狀況如下表：減函數(shù)微小值增函數(shù)所以，函數(shù)的最小值為所以，實(shí)數(shù)的取值范圍是…………6分（Ⅲ）個(gè)…………3分（21）（本小題14分）解：（Ⅰ）依據(jù)條件所給定義，，所以……