重慶市2023-2024學年高三數學上學期12月月考試題含解析

Page31高2024級高三數學上期第二次月考試題一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，則（）A. B.C. D.2.已知復數滿足，則（）A.5 B. C.13 D.3.已知p：，q：，則p是q的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件4.已知，則的值為（）A. B. C. D.5.已知單位向量滿足，其中，則在上的投影向量是（）A. B. C. D.6.已知數列的前項和為，首項，且滿足，則的值為（）A.4093 B.4094 C.4095 D.40967.已知函數，圖像上每一點的橫坐標縮短到原來的，得到的圖像，的部分圖像如圖所示，若，則等于（）A. B. C. D.8.設，則（）A. B.C D.二、選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.已知非零向量，下列命題正確的是（）A.若，則B.與向量共線的單位向量是C.“”是“與的夾角是銳角”的充分不必要條件D.若是平面的一組基底，則也能作為該平面的一組基底10.設，則下列結論正確的是（）A B.C. D.11.設函數則下列結論正確的是（）A.在上單調遞增；B.若且則；C.若在上有且僅有2個不同的解，則的取值范圍為；D.存在，使得的圖象向左平移個單位長度后得到函數為奇函數.12.如圖，在棱長為2的正方體中，E是線段的中點，點M，N滿足，其中，則（）A.存在，使得B.的最小值為C.當時，直線與平面所成角的正弦值為D.當時，過E，M，N三點的平面截正方體得到的截面多邊形面積為三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知一個圓錐的側面積為，它的側面展開圖是一個半圓，則此圓錐的體積為___________.14.已知，則________.15.設函數，則使得成立的的取值范圍是__________.16.在等腰梯形中，，，為的中點.將沿折起，使點到達點的位置，則三棱錐外接球的表面積為_________；當時，三棱錐外接球的球心到平面的距離為_________.四、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．17.已知等差數列滿足，且成等比數列．（1）求的通項公式；（2）記為數列前項的乘積，若，求的最大值．18（1）求函數的中心對稱點；（2）先將函數的圖象上的點的橫坐標縮小到原來的，縱坐標保持不變，再把所得的圖象向右平移個單位，得到函數，解關于的不等式.19.如圖，為正三角形，平面平面，點分別為的中點，點在線段上，且．（1）證明：直線與直線相交；（2）求平面與平面夾角余弦值．20.2023年9月8日，第19屆亞運會火炬?zhèn)鬟f啟動儀式在杭州西湖景區(qū)涌金公園廣場成功舉行．火炬?zhèn)鬟f首日傳遞從杭州西湖涌金公園廣場出發(fā)，沿南山路—湖濱路—環(huán)城西路—北山街—西泠橋—孤山路傳遞，在“西湖十景”之一的平湖秋月收火．杭州亞運會火炬首日傳遞共有106棒火炬手參與．（1）組委會從全省火炬手中隨機抽取了100名火炬手進行信息分析，得到如下表格：性別年齡總計滿50周歲未滿50周歲男154560女53540總計20801000.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828根據小概率值獨立性檢驗，試判斷全省火炬手的性別與年齡滿或未滿50周歲是否有關聯；（2）在全省的火炬手中，男性占比72%，女性占比28%，且50%的男性火炬手和25%的女性火炬手喜歡觀看足球比賽．某電視臺隨機選取一位喜歡足球比賽的火炬手做訪談，請問這位火炬手是男性的概率為多少？21.在中，角的對邊分別為且，（1）求；（2）求邊上中線長的取值范圍．22.設函數.（1）求函數在處的切線方程；（2）若為函數的兩個不等于1的極值點，設，記直線的斜率為，求證：.

榮昌中學高2024級高三上期第二次月考數學試題一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由對數函數單調性結合指數函數性質可化簡集合A，B，后由集合交集定義可得答案.【詳解】因為，則A，因為，，則，所以.故選：B.2.已知復數滿足，則（）A.5 B. C.13 D.【答案】B【解析】【分析】設，利用復數的運算法則和復數相等，建立的方程組，直接求出，從而可求出結果.【詳解】設，則，所以，解得或，所以.故選：B.3.已知p：，q：，則p是q的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】【分析】令,結合該函數的奇偶性，單調性判斷不等式是否成立.【詳解】令，，且，故為奇函數，時，遞增，則也遞增，又為奇函數，則在上遞增，，若，則，則，即即；，若，則等價于，即，由在上遞增，則，即，故p是q的充要條件，故選：C.4.已知，則的值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先求出，再求，再化簡即得解.【詳解】解：由得，所以，所以.故選：B5.已知單位向量滿足，其中，則在上的投影向量是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據投影向量的計算公式求值即可.【詳解】因為單位向量滿足，所以，由投影向量計算公式可知在上的投影向量是，即故，而，故.故選：D6.已知數列的前項和為，首項，且滿足，則的值為（）A.4093 B.4094 C.4095 D.4096【答案】A【解析】【詳解】由遞推公式確定通項公式，再求即可.【解答】，故，又，所以是首項為，公比為的等比數列，所以，則故選：A7.已知函數，圖像上每一點的橫坐標縮短到原來的，得到的圖像，的部分圖像如圖所示，若，則等于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用向量數量積的定義可得，從而可得，進而得出，即，求出.【詳解】根據，可得，故，所以，故的周期為24，所以，，故選：A．8.設，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據，判斷的大小，由，構造函數，利用導數判斷單調性，即可得到.【詳解】由不等式可得，即；，設，因為，所以在上單調遞增，所以當，所以，即.所以.故選：C二、選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.已知非零向量，下列命題正確的是（）A.若，則B.與向量共線的單位向量是C.“”是“與的夾角是銳角”的充分不必要條件D.若是平面的一組基底，則也能作為該平面的一組基底【答案】AD【解析】【分析】利用向量共線定理判斷A；求出與向量共線的單位向量判斷B；舉例說明判斷C；利用平面的一個基底的意義判斷D.【詳解】對于A，非零向量，由，得存在非零實數，使得，則，即，A正確；對于B，與共線的單位向量是，B錯誤；對于C，當與同向共線時，滿足，而與的夾角為0，不是銳角，C錯誤；對于D，是平面的一組基底，則不共線，假設向量共線，則存在實數，使得，即，顯然不同時為0，于是共線，與不共線矛盾，即假設是錯的，因此向量不共線，D正確.故選：AD10.設，則下列結論正確的是（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】【分析】先判斷出，利用不等式性質及基本不等式一一驗證：對于A：利用作差法比較；對于B：利用基本不等式判斷；對于C：利用作差法比較；對于D：利用基本不等式判斷.【詳解】因為，所以∵，∴，對于A：，因為，所以，即，故A錯誤；對于B：由基本不等式,所以，故B正確；對于C：，因為所以，所以，故C錯誤；對于D：由基本不等式，，而，所以.故選：BD【點睛】（1）要證明一個命題為真命題，需要嚴格的證明；要判斷一個命題為假命題，舉一個反例就可以了.（2）利用基本不等式的條件：一正二定三相等.11.設函數則下列結論正確的是（）A.在上單調遞增；B.若且則；C.若在上有且僅有2個不同的解，則的取值范圍為；D.存在，使得的圖象向左平移個單位長度后得到函數為奇函數.【答案】AD【解析】【分析】由，選項A：利用正弦函數性質判斷；選項B：利用正弦函數的性質判斷；選項C：利用正弦函數的圖象判斷；選項D：【詳解】，選項A：，得，因為，有，所以在上單調遞增；故A正確；選項B：可知，故B錯誤；選項C：已知，若有且僅有2個不同的解，如圖所示：可得，解得，故C錯誤；選項D：，可知當時，滿足為奇函數，故D正確；故選：AD.12.如圖，在棱長為2的正方體中，E是線段的中點，點M，N滿足，其中，則（）A.存在，使得B.的最小值為C.當時，直線與平面所成角的正弦值為D.當時，過E，M，N三點的平面截正方體得到的截面多邊形面積為【答案】BCD【解析】【分析】建立空間直角坐標系，利用向量法對ABC選項進行分析，通過畫正方體的截面判斷D選項的正確性，從而確定正確答案.【詳解】建立如圖所示空間直角坐標系，,所以即，即，，，由于，所以，所以不存在，使得，A選項錯誤.，,所以當即時，取得最小值，B選項正確.當時，,，設平面的法向量為，則，取，故，設直線與平面所成角為，則，所以C選項正確.當時，是的中點，是上靠近的三等分點，設，根據正方體的性質可知三點共線.連接并延長，交于，則，過作，交于，連接并延長，交于，則，連接，則，所以四邊形是平行四邊形，再根據正方體的性質可知四邊形是矩形，所以E，M，N三點的平面截正方體得到的截面多邊形為矩形，，所以截面多邊形的面積為，D選項正確.故選：BCD【點睛】方法點睛：作截面的三種方法:①直接法:截面的定點在幾何體的棱上；②平行線法:截面與幾何體的兩個平行平面相交，或者截面上有一條直線與幾何體的某個面平行；③延長交線得交點:截面上的點中至少有兩個點在幾何體的同一平面上三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知一個圓錐的側面積為，它的側面展開圖是一個半圓，則此圓錐的體積為___________.【答案】【解析】【分析】設圓錐的底面半徑為，母線長為，分析得出，由圓錐的側面積計算出、的值，可求得圓錐的高，再利用圓錐的體積公式可求得結果.【詳解】設圓錐的底面半徑為，母線長為，則圓錐的底面圓周長為，可得，圓錐的側面積為，解得，，所以，圓錐的高為，因此，該圓錐的體積為.故答案為：.14.已知，則________.【答案】【解析】【分析】設，由誘導公式及倍角公式得，求解即可.【詳解】設，則，，所以.故答案為：15.設函數，則使得成立的的取值范圍是__________.【答案】【解析】【分析】先判斷函數的奇偶性與單調性，然后利用函數的性質解不等式，即可求解.【詳解】因為，所以，所以函數的定義域為且，又，∴偶函數.當時，令，∵，∴在上是增函數，易知函數在上是增函數，∴在上是增函數.又為偶函數，∴，∴由，得，解得，故答案為：.【點睛】本題主要考查了函數的奇偶性與單調性及其應用，其中解答中根據根據的解析式得到函數的奇偶性和單調性是解答的關鍵，著重考查化歸與轉化能力和運算求解能力，屬于中檔試題．16.在等腰梯形中，，，為的中點.將沿折起，使點到達點的位置，則三棱錐外接球的表面積為_________；當時，三棱錐外接球的球心到平面的距離為_________.【答案】①.②.【解析】【分析】由題可得三棱錐外接球的球心為O，利用球的表面積公式即求，然后利用等積法可求O到平面的距離.【詳解】∵等腰梯形中，，，為的中點，∴為等邊三角形，，∴三棱錐外接球的球心為O，半徑為1，∴；連與交于，則OC⊥MD，OC⊥MB，，所以為二面角的平面角，又，又，∴二面角為，∴到平面的距離為，在中，，，設球心O到平面的距離h，由，得，∴，解得，所以三棱錐外接球的球心到平面的距離為.故答案為：；.四、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．17.已知等差數列滿足，且成等比數列．（1）求的通項公式；（2）記為數列前項乘積，若，求的最大值．【答案】17.或18.【解析】【分析】（1）利用，和成等比數列結合等差數列和等比數列知識，從而求出首項和公差，從而求解.（2）根據（1）中結果并結合題意進行分情況討論，從而求解.【小問1詳解】設的公差為，由，得：；由成等比數列，得：，即：，整理得：.由，解得：或.所以：的通項公式為或.【小問2詳解】因為，所以：，得：當時，；當時，.從而，又因為：，所以：的最大值為.故的最大值為.18（1）求函數的中心對稱點；（2）先將函數的圖象上的點的橫坐標縮小到原來的，縱坐標保持不變，再把所得的圖象向右平移個單位，得到函數，解關于的不等式.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）將的表達式展開,化簡可得,令,可求得函數的中心對稱點;（2）先求得的表達式,再由,可得,求解即可.【詳解】（1）令,則,故函數的中心對稱點為.（2）,的圖象上的點的橫坐標縮小到原來的，縱坐標保持不變，得到,所得的圖象向右平移個單位，得到,即.則,則,即.所以不等式的解集為.【點睛】本題考查了三角函數的恒等變換,考查了三角函數的對稱中心,考查了三角函數的平移變換,考查了不等式的解法,屬于中檔題.19.如圖，為正三角形，平面平面，點分別為的中點，點在線段上，且．（1）證明：直線與直線相交；（2）求平面與平面夾角的余弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）根據題意，取中點，連接，即可證明共面，且其長度不相等，即可證明；（2）解法1：由條件可得為平面與平面的夾角，結合余弦定理，代入計算，即可得到結果；解法2：根據題意，建立空間直角坐標系，結合空間向量的坐標運算，代入計算，即可得到結果.【小問1詳解】證明：取中點，連接，則，因為平面平面，所以，所以，則四邊形為平行四邊形，所以．因為點在線段上，且，所以是的中點，又因為點是的中點，所以，所以，即共面，且長度不等，所以直線與直線相交．【小問2詳解】解法1：由（1）知，平面即為平面．因為平面，且平面，所以，因為為正三角形，點是的中點，所以，又平面平面，所以平面．又，所以平面，所以（或其補角）為平面與平面的夾角．不妨設，則，所以，即平面與平面夾角的余弦值為．解法2：因為平面，所以，因為為正三角形，所以，所以平面，又，所以平面．以為原點，以所在直線分別為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系．不妨設，則，所以，設平面的一個法向量為，則即?。O平面的一個法向量為，則即取．設平面與平面的夾角為，則．所以，平面與平面夾角的余弦值為．20.2023年9月8日，第19屆亞運會火炬?zhèn)鬟f啟動儀式在杭州西湖景區(qū)涌金公園廣場成功舉行．火炬?zhèn)鬟f首日傳遞從杭州西湖涌金公園廣場出發(fā)，沿南山路—湖濱路—環(huán)城西路—北山街—西泠橋—孤山路傳遞，在“西湖十景”之一的平湖秋月收火．杭州亞運會火炬首日傳遞共有106棒火炬手參與．（1）組委會從全省火炬手中隨機抽取了100名火炬手進行信息分析，得到如下表格：性別年齡總計滿50周歲未滿50周歲男154560女53540總計20801000.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828根據小概率值的獨立性檢驗，試判斷全省火炬手的性別與年齡滿或未滿50周歲是否有關聯；（2）在全省的火炬手中，男性占比72%，女性占比28%，且50%的男性火炬手和25%的女性火炬手喜歡觀看足球比賽．某電視臺隨機選取一位喜歡足球比賽的火炬手做訪談，請問這位火炬手是男性的概率為多少？【答案】（1）全省火炬手性別與年齡滿或未滿50周歲相互獨立（沒有關聯）（2）【解析】【分析】（1）根據列聯表中的數據，求得的值，結合附表，即可得到結論；（2）設表示火炬手為男性，表示火炬手喜歡足球，結合條件概率和全概率公式，即可求解.【小問1詳解】解：零假設為：：全省火炬手性別與年齡滿或未滿50周歲相互獨立（沒有關聯），根據列聯表中的數據，計算得，所以根據小概率值的獨立性檢驗，沒有充分證據推斷不成立，因此可以認定為成立，全省火炬手性別與年齡滿或未滿50周歲相互獨立（沒有關聯）．【小問2詳解】解：設表示火炬手為男性，表示火炬手喜歡足球，則，所以這位火炬手是男性的概率約為．21.在中，角的對邊分別為且