高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題二三角函數(shù)與解三角形第4講平面向量數(shù)量積的最值與范圍問(wèn)題含答案及解析

第4講平面向量數(shù)量積的最值與范圍問(wèn)題（新高考專用）目錄目錄【真題自測(cè)】 2【考點(diǎn)突破】 3【考點(diǎn)一】求參數(shù)的最值(范圍) 3【考點(diǎn)二】求向量模、夾角的最值(范圍) 4【考點(diǎn)三】求向量數(shù)量積的最值(范圍) 5【專題精練】 7考情分析：平面向量中的最值與范圍問(wèn)題，是高考的熱點(diǎn)與難點(diǎn)問(wèn)題，主要考查求向量的模、數(shù)量積、夾角及向量的系數(shù)等的最值、范圍．解決這類問(wèn)題的一般思路是建立求解目標(biāo)的函數(shù)關(guān)系，通過(guò)函數(shù)的值域解決問(wèn)題，同時(shí)，平面向量兼具“數(shù)”與“形”的雙重身份，數(shù)形結(jié)合也是解決平面向量中的最值與范圍問(wèn)題的重要方法．真題自測(cè)真題自測(cè)一、單選題1．（2023·全國(guó)·高考真題）已知的半徑為1，直線PA與相切于點(diǎn)A，直線PB與交于B，C兩點(diǎn)，D為BC的中點(diǎn)，若，則的最大值為（

）A． B．C． D．2．（2022·北京·高考真題）在中，．P為所在平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且，則PA?PB的取值范圍是（

）A． B． C． D．二、填空題3．（2024·天津·高考真題）在邊長(zhǎng)為1的正方形中，點(diǎn)為線段的三等分點(diǎn)，，則；為線段上的動(dòng)點(diǎn)，為中點(diǎn)，則的最小值為．4．（2022·天津·高考真題）在中，點(diǎn)D為AC的中點(diǎn)，點(diǎn)E滿足.記，用表示，若，則的最大值為5．（2022·浙江·高考真題）設(shè)點(diǎn)P在單位圓的內(nèi)接正八邊形的邊上，則的取值范圍是．6．（2021·天津·高考真題）在邊長(zhǎng)為1的等邊三角形ABC中，D為線段BC上的動(dòng)點(diǎn)，且交AB于點(diǎn)E．且交AC于點(diǎn)F,則的值為；的最小值為．7．（2021·浙江·高考真題）已知平面向量滿足.記向量在方向上的投影分別為x，y，在方向上的投影為z，則的最小值為.考點(diǎn)突破考點(diǎn)突破【考點(diǎn)一】求參數(shù)的最值(范圍)一、單選題1．（23-24高一下·河北滄州·階段練習(xí)）如圖，在中，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作直線分別交于點(diǎn)，，且，則的最小值為（

）

A．1 B．2 C．4 D．2．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）在中，點(diǎn)F為線段BC上任一點(diǎn)（不含端點(diǎn)），若，則的最小值為（

）A．9 B．8 C．4 D．2二、多選題3．（2024·山西晉中·模擬預(yù)測(cè)）在中，為邊上一點(diǎn)且滿足，若為邊上一點(diǎn)，且滿足，，為正實(shí)數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．的最小值為1 B．的最大值為C．的最大值為12 D．的最小值為44．（2024·江蘇·二模）在長(zhǎng)方形ABCD中，，，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為邊BC和CD上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)（含端點(diǎn)），且，設(shè)，，則（

）A．， B．為定值C．的最小值50 D．的最大值為三、填空題5．（2024·天津·一模）已知平行四邊形的面積為，，且.若F為線段上的動(dòng)點(diǎn)，且，則實(shí)數(shù)的值為；的最小值為.6．（2024·上海松江·二模）已知正三角形的邊長(zhǎng)為2，點(diǎn)滿足，且，，，則的取值范圍是.規(guī)律方法：利用共線向量定理及推論(1)a∥b?a＝λb(b≠0)．(2)eq\o(OA,\s\up6(→))＝λeq\o(OB,\s\up6(→))＋μeq\o(OC,\s\up6(→))(λ，μ為實(shí)數(shù))，則A，B，C三點(diǎn)共線?λ＋μ＝1.【考點(diǎn)二】求向量模、夾角的最值(范圍)一、單選題1．（2024·河北石家莊·二模）在平行四邊形中，，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．2．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知向量，滿足，，則的最小值為（

）A． B． C．8 D．2二、多選題3．（2024·甘肅武威·模擬預(yù)測(cè)）已知是同一平面內(nèi)的四點(diǎn)，且，則（

）A．當(dāng)點(diǎn)在直線的兩側(cè)時(shí)，B．當(dāng)點(diǎn)在直線的同側(cè)時(shí)，C．當(dāng)點(diǎn)在直線的兩側(cè)時(shí)，的最小值為3D．當(dāng)點(diǎn)在直線的同側(cè)時(shí)，4．（23-24高一下·四川成都·期中）已知向量滿足：為單位向量，且和相互垂直，又對(duì)任意不等式恒成立，若，則（

）A． B．C．當(dāng)時(shí)，最小 D．的最小值為三、填空題5．（2023·天津河西·一模）在梯形中，，且，，分別為線段和的中點(diǎn)，若，，用，表示．若，則余弦值的最小值為．6．（23-24高三上·天津?qū)幒印て谀┰谄叫兴倪呅沃?，，是的中點(diǎn)，，若設(shè)，則可用，表示為；若的面積為，則的最小值為．規(guī)律方法：找兩向量的夾角時(shí)，要注意“共起點(diǎn)”以及向量夾角的取值范圍是[0，π]．若向量a，b的夾角為銳角，包括a·b>0和a，b不共線；若向量a，b的夾角為鈍角，包括a·b<0和a，b不共線．【考點(diǎn)三】求向量數(shù)量積的最值(范圍)一、單選題1．（23-24高三下·江西·開(kāi)學(xué)考試）如圖，已知圓的半徑為2，弦長(zhǎng)，為圓上一動(dòng)點(diǎn)，則的取值范圍為（

）

A． B．C． D．2．（2024·江西·一模）如圖，正六邊形的邊長(zhǎng)為，半徑為1的圓O的圓心為正六邊形的中心，若點(diǎn)M在正六邊形的邊上運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)A，B在圓O上運(yùn)動(dòng)且關(guān)于圓心O對(duì)稱，則的取值范圍為（

）A． B．5,7 C． D．二、多選題3．（2024·山東濰坊·二模）已知向量，，為平面向量，，，，，則（

）A． B．的最大值為C． D．若，則的最小值為4．（2024·福建龍巖·一模）已知點(diǎn)與圓是圓上的動(dòng)點(diǎn)，則（

）A．的最大值為B．過(guò)點(diǎn)的直線被圓截得的最短弦長(zhǎng)為C．D．的最小值為三、填空題5．（2024·天津·二模）在四邊形中，為中點(diǎn)．記，用表示；若，則的最大值為．6．（2024·天津·一模）在中，，則；若點(diǎn)為所在平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且滿足，則的取值范圍是．規(guī)律方法：向量數(shù)量積最值(范圍)問(wèn)題的解題策略(1)形化：利用平面向量的幾何意義將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面幾何中的最值或范圍問(wèn)題，然后根據(jù)平面圖形的特征直接進(jìn)行判斷．(2)數(shù)化：利用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)中的函數(shù)最值與值域、不等式的解集或方程有解等問(wèn)題，然后利用函數(shù)、不等式或方程的有關(guān)知識(shí)來(lái)解決．專題精練專題精練一、單選題1．（23-24高三上·北京昌平·期末）已知點(diǎn)在圓上，點(diǎn)的坐標(biāo)為為原點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．2．（2024·河南鄭州·二模）在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)，，動(dòng)點(diǎn)P滿足，則的最大值為（

）A． B． C． D．3．（2024·北京平谷·模擬預(yù)測(cè)）已知，，P是曲線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最大值是（

）A．2 B． C． D．4．（23-24高三上·湖南長(zhǎng)沙·階段練習(xí)）在等腰中，的外接圓圓心為，點(diǎn)在優(yōu)弧上運(yùn)動(dòng)，則的最小值為（

）A．4 B．2 C． D．5．（2024·江蘇揚(yáng)州·模擬預(yù)測(cè)）已知菱形的邊長(zhǎng)為，動(dòng)點(diǎn)在邊上（包括端點(diǎn)），則的取值范圍是（

）A． B． C． D．6．（2023·北京海淀·三模）已知為單位向量，向量滿足，，則的最大值為（

）A．1 B．2 C． D．47．（2024·安徽·模擬預(yù)測(cè)）已知是圓O：的直徑，M，N是圓O上兩點(diǎn)，且，則的最小值為（

）A．0 B．-2 C．-4 D．8．（2024·遼寧·模擬預(yù)測(cè)）在矩形中，，為中點(diǎn)，為平面內(nèi)一點(diǎn)，.則的取值范圍為（

）A． B．C． D．二、多選題9．（23-24高一下·重慶·階段練習(xí)）的內(nèi)角A，B、C的對(duì)邊分別為a，b，c，若，則（

）A． B．C．角A的最大值為 D．面積的最大值為10．（2024·河南·三模）已知平面向量，則下列說(shuō)法正確的有（

）A．一定可以作為一個(gè)基底B．一定有最小值C．一定存在一個(gè)實(shí)數(shù)使得D．的夾角的取值范圍是11．（2024·福建泉州·模擬預(yù)測(cè)）在平面直角坐標(biāo)系中，已知是動(dòng)點(diǎn)．下列命題正確的是（

）A．若，則的軌跡的長(zhǎng)度等于2B．若，則的軌跡方程為C．若，則的軌跡與圓沒(méi)有交點(diǎn)D．若，則的最大值為3三、填空題12．（23-24高三下·安徽·階段練習(xí)）已知正方形的邊長(zhǎng)為2，中心為，四個(gè)半圓的圓心均為正方形各邊的中點(diǎn)（如圖），若在上，且，則的最大值為．13．（22-23高二下·上海浦東新·期末）古希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯與歐幾里得、阿基米德齊名.他發(fā)現(xiàn)：“平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)、的距離之比為定值（且）的點(diǎn)的軌跡是圓”.后來(lái)人們將這個(gè)圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡(jiǎn)稱阿氏圓，在平面直角坐標(biāo)系中，、，點(diǎn)滿足，則的最小值為.14．（2023·山東·二模）已知直線過(guò)圓的圓心，且與圓相交于，兩點(diǎn)，為橢圓上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最大值與最小值之和為．

第4講平面向量數(shù)量積的最值與范圍問(wèn)題（新高考專用）目錄目錄【真題自測(cè)】 2【考點(diǎn)突破】 10【考點(diǎn)一】求參數(shù)的最值(范圍) 10【考點(diǎn)二】求向量模、夾角的最值(范圍) 15【考點(diǎn)三】求向量數(shù)量積的最值(范圍) 21【專題精練】 27考情分析：平面向量中的最值與范圍問(wèn)題，是高考的熱點(diǎn)與難點(diǎn)問(wèn)題，主要考查求向量的模、數(shù)量積、夾角及向量的系數(shù)等的最值、范圍．解決這類問(wèn)題的一般思路是建立求解目標(biāo)的函數(shù)關(guān)系，通過(guò)函數(shù)的值域解決問(wèn)題，同時(shí)，平面向量兼具“數(shù)”與“形”的雙重身份，數(shù)形結(jié)合也是解決平面向量中的最值與范圍問(wèn)題的重要方法．真題自測(cè)真題自測(cè)一、單選題1．（2023·全國(guó)·高考真題）已知的半徑為1，直線PA與相切于點(diǎn)A，直線PB與交于B，C兩點(diǎn)，D為BC的中點(diǎn)，若，則的最大值為（

）A． B．C． D．2．（2022·北京·高考真題）在中，．P為所在平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且，則PA?PB的取值范圍是（

）A． B． C． D．二、填空題3．（2024·天津·高考真題）在邊長(zhǎng)為1的正方形中，點(diǎn)為線段的三等分點(diǎn)，，則；為線段上的動(dòng)點(diǎn)，為中點(diǎn)，則的最小值為．4．（2022·天津·高考真題）在中，點(diǎn)D為AC的中點(diǎn)，點(diǎn)E滿足.記，用表示，若，則的最大值為5．（2022·浙江·高考真題）設(shè)點(diǎn)P在單位圓的內(nèi)接正八邊形的邊上，則的取值范圍是．6．（2021·天津·高考真題）在邊長(zhǎng)為1的等邊三角形ABC中，D為線段BC上的動(dòng)點(diǎn)，且交AB于點(diǎn)E．且交AC于點(diǎn)F,則的值為；的最小值為．7．（2021·浙江·高考真題）已知平面向量滿足.記向量在方向上的投影分別為x，y，在方向上的投影為z，則的最小值為.參考答案：題號(hào)12答案AD1．A【分析】由題意作出示意圖，然后分類討論，利用平面向量的數(shù)量積定義可得，或然后結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)即可確定的最大值.【詳解】如圖所示，，則由題意可知:，由勾股定理可得

當(dāng)點(diǎn)位于直線異側(cè)時(shí)或PB為直徑時(shí)，設(shè)，則：，則當(dāng)時(shí)，有最大值.

當(dāng)點(diǎn)位于直線同側(cè)時(shí)，設(shè)，則：，，則當(dāng)時(shí)，有最大值.綜上可得，的最大值為.故選：A.【點(diǎn)睛】本題的核心在于能夠正確作出示意圖，然后將數(shù)量積的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)求最值的問(wèn)題，考查了學(xué)生對(duì)于知識(shí)的綜合掌握程度和靈活處理問(wèn)題的能力.2．D【分析】依題意建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，表示出PA，PB，根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)表示、輔助角公式及正弦函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得；【詳解】解：依題意如圖建立平面直角坐標(biāo)系，則，，，因?yàn)?，所以在以為圓心，為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，設(shè)，，所以PA=3?cos所以PA，其中，，因?yàn)椋?，即PA?PB∈故選：D

3．【分析】解法一：以為基底向量，根據(jù)向量的線性運(yùn)算求，即可得，設(shè)，求，結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算律求的最小值；解法二：建系標(biāo)點(diǎn)，根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算求，即可得，設(shè)，求，結(jié)合數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算求的最小值.【詳解】解法一：因?yàn)?，即，則，可得，所以；由題意可知：，因?yàn)闉榫€段上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)，則，又因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，則，可得，又因?yàn)?，可知：?dāng)時(shí)，取到最小值；解法二：以B為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，可得，因?yàn)?，則，所以；因?yàn)辄c(diǎn)在線段上，設(shè)，且為中點(diǎn)，則，可得，則，且，所以當(dāng)時(shí)，取到最小值為；故答案為：；.4．【分析】法一：根據(jù)向量的減法以及向量的數(shù)乘即可表示出，以為基底，表示出，由可得，再根據(jù)向量夾角公式以及基本不等式即可求出．法二：以點(diǎn)為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，由可得點(diǎn)的軌跡為以為圓心，以為半徑的圓，方程為，即可根據(jù)幾何性質(zhì)可知，當(dāng)且僅當(dāng)與相切時(shí)，最大，即求出．【詳解】方法一：，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，而，所以．故答案為：；．方法二：如圖所示，建立坐標(biāo)系：，，，所以點(diǎn)的軌跡是以為圓心，以為半徑的圓，當(dāng)且僅當(dāng)與相切時(shí)，最大，此時(shí)．故答案為：；．5．【分析】根據(jù)正八邊形的結(jié)構(gòu)特征，分別以圓心為原點(diǎn)，所在直線為軸，所在直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，即可求出各頂點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)，再根據(jù)平面向量模的坐標(biāo)計(jì)算公式即可得到，然后利用即可解出．【詳解】以圓心為原點(diǎn)，所在直線為軸，所在直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示：則,，設(shè),于是，因?yàn)?，所以，故的取值范圍?故答案為：．6．1【分析】設(shè)，由可求出；將化為關(guān)于的關(guān)系式即可求出最值.【詳解】設(shè)，，為邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，，，，為邊長(zhǎng)為的等邊三角形，，，，，所以當(dāng)時(shí)，的最小值為.故答案為：1；.7．【分析】設(shè)，由平面向量的知識(shí)可得，再結(jié)合柯西不等式即可得解.【詳解】由題意，設(shè)，則，即，又向量在方向上的投影分別為x，y，所以，所以在方向上的投影，即,所以，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵是由平面向量的知識(shí)轉(zhuǎn)化出之間的等量關(guān)系，再結(jié)合柯西不等式變形即可求得最小值.考點(diǎn)突破考點(diǎn)突破【考點(diǎn)一】求參數(shù)的最值(范圍)一、單選題1．（23-24高一下·河北滄州·階段練習(xí)）如圖，在中，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作直線分別交于點(diǎn)，，且，則的最小值為（

）

A．1 B．2 C．4 D．2．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）在中，點(diǎn)F為線段BC上任一點(diǎn)（不含端點(diǎn)），若，則的最小值為（

）A．9 B．8 C．4 D．2二、多選題3．（2024·山西晉中·模擬預(yù)測(cè)）在中，為邊上一點(diǎn)且滿足，若為邊上一點(diǎn)，且滿足，，為正實(shí)數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．的最小值為1 B．的最大值為C．的最大值為12 D．的最小值為44．（2024·江蘇·二模）在長(zhǎng)方形ABCD中，，，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為邊BC和CD上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)（含端點(diǎn)），且，設(shè)，，則（

）A．， B．為定值C．的最小值50 D．的最大值為三、填空題5．（2024·天津·一模）已知平行四邊形的面積為，，且.若F為線段上的動(dòng)點(diǎn)，且，則實(shí)數(shù)的值為；的最小值為.6．（2024·上海松江·二模）已知正三角形的邊長(zhǎng)為2，點(diǎn)滿足，且，，，則的取值范圍是.參考答案：題號(hào)1234答案AABDAC1．A【分析】計(jì)算得，再利用三點(diǎn)共線結(jié)論得系數(shù)和為1，即，再利用基本不等式求出最值即可.【詳解】因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，且，所以.因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.故選：A.2．A【分析】根據(jù)向量共線定理得推論得到，再利用基本不等式“1”的妙用求解最小值.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)F為線段BC上任一點(diǎn)（不含端點(diǎn)），所以，故，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，故選：A3．BD【分析】根據(jù)三點(diǎn)公式求得，結(jié)合基本不等式判斷即可.【詳解】因?yàn)?，所以，又，因?yàn)?、、三點(diǎn)共線，所以，又，為正實(shí)數(shù)，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號(hào)，故A錯(cuò)誤，B正確；，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號(hào)，故C錯(cuò)誤，D正確.故選：BD4．AC【分析】根據(jù)題設(shè)結(jié)合的位置可確定參數(shù)范圍，判斷A；取特殊位置計(jì)算的值，可判斷B；根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律結(jié)合三角恒等變換可判斷C；舉出反例可判斷D.【詳解】對(duì)于A，由題意知當(dāng)E和B重合時(shí)，，此時(shí)取最小值，取到最大值1；當(dāng)F和D重合時(shí)，，此時(shí)取最小值，取到最大值1，A正確；對(duì)于B，當(dāng)E和B重合時(shí)，，；當(dāng)分別位于的中點(diǎn)時(shí)，滿足，此時(shí)，，由此可知不為定值，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，由，得，即,即，即，設(shè)，，則，（為輔助角，），當(dāng)時(shí)，取到最小值50，即的最小值50，C正確，對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，則，故D錯(cuò)誤，故選：AC【點(diǎn)睛】難點(diǎn)點(diǎn)睛：解答本題的難點(diǎn)是選項(xiàng)C的判斷，解答時(shí)要利用向量的加減以及向量數(shù)量積的運(yùn)算律結(jié)合三角代換以及恒等變換進(jìn)行求解.5．/0.5【分析】根據(jù)題意，利用平面向量的線性運(yùn)算即可求出第一空，建立平面直角坐標(biāo)系，依據(jù)條件建立方程，結(jié)合基本不等式求解第二空即可.【詳解】因?yàn)樗?，由共線，則，解得作，以為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)且，則，而的面積為，則，故，則，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”，所以的最小值為故答案為：；.6．【分析】取的中點(diǎn)，由題意可得，從而推得三點(diǎn)共線，進(jìn)而得出，即可得出答案.【詳解】取的中點(diǎn)，則，又，又因?yàn)?，故三點(diǎn)共線，即點(diǎn)在中線上運(yùn)動(dòng)，在正三角形中，，又，，則，故.故答案為：規(guī)律方法：利用共線向量定理及推論(1)a∥b?a＝λb(b≠0)．(2)eq\o(OA,\s\up6(→))＝λeq\o(OB,\s\up6(→))＋μeq\o(OC,\s\up6(→))(λ，μ為實(shí)數(shù))，則A，B，C三點(diǎn)共線?λ＋μ＝1.【考點(diǎn)二】求向量模、夾角的最值(范圍)一、單選題1．（2024·河北石家莊·二模）在平行四邊形中，，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．2．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知向量，滿足，，則的最小值為（

）A． B． C．8 D．2二、多選題3．（2024·甘肅武威·模擬預(yù)測(cè)）已知是同一平面內(nèi)的四點(diǎn)，且，則（

）A．當(dāng)點(diǎn)在直線的兩側(cè)時(shí)，B．當(dāng)點(diǎn)在直線的同側(cè)時(shí)，C．當(dāng)點(diǎn)在直線的兩側(cè)時(shí)，的最小值為3D．當(dāng)點(diǎn)在直線的同側(cè)時(shí)，4．（23-24高一下·四川成都·期中）已知向量滿足：為單位向量，且和相互垂直，又對(duì)任意不等式恒成立，若，則（

）A． B．C．當(dāng)時(shí)，最小 D．的最小值為三、填空題5．（2023·天津河西·一模）在梯形中，，且，，分別為線段和的中點(diǎn)，若，，用，表示．若，則余弦值的最小值為．6．（23-24高三上·天津?qū)幒印て谀┰谄叫兴倪呅沃?，，是的中點(diǎn)，，若設(shè)，則可用，表示為；若的面積為，則的最小值為．參考答案：題號(hào)1234答案AAACDABD1．A【分析】根據(jù)向量的運(yùn)算律及數(shù)量積定義計(jì)算即可.【詳解】設(shè)與同方向的單位向量，與同方向的單位向量，與同方向的單位向量，由題意，所以，所以，即，所以，所以，因?yàn)?，所以，所以，?故選：A2．A【分析】設(shè)且，建立直角坐標(biāo)系，得到，求得，得到，結(jié)合基本不等式和函數(shù)上的單調(diào)性，即可求解.【詳解】解：建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)且，因?yàn)?，可得，則，所以，又因?yàn)橄蛄繚M足，可得，解得，所以，，則，設(shè)，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)，所以，又因?yàn)樵谏蠟閱握{(diào)遞增函數(shù)，所以，即的最小值為.故選：A.3．ACD【分析】依據(jù)在直線的同側(cè)或兩側(cè)分類研究，在兩側(cè)時(shí)由數(shù)量積和模的運(yùn)算計(jì)算結(jié)果，可判斷A、C；在同側(cè)時(shí)利用數(shù)量積的三角形式求解可判斷B，結(jié)合平面向量基本定理，判斷答案D.【詳解】設(shè)，由，，得；由，得，，當(dāng)點(diǎn)在直線的兩側(cè)時(shí)，如圖①，，所以，即，故A正確；因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，的最小值為3，故C正確；當(dāng)點(diǎn)在直線的同側(cè)時(shí)，如圖②，，所以，故B錯(cuò)誤；設(shè)，則，即解得，所以，即，故D正確．故選：ACD.4．ABD【分析】根據(jù)條件得到，再數(shù)形結(jié)合，得到，從而判斷出選項(xiàng)A正確；再利用選項(xiàng)A的結(jié)果，得到，利用夾角公式，即可求得，從而得出選項(xiàng)B正確；由得到，即可判斷出選項(xiàng)C和D的正誤，從而得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)闉閱挝幌蛄?，且和相互垂直，所以，得到，?duì)于選項(xiàng)A，如圖，設(shè)，，則，，又對(duì)任意不等式恒成立，所以，故選項(xiàng)A正確，對(duì)于選項(xiàng)B，由選項(xiàng)A知，，得到，所以，又，所以，所以選項(xiàng)B正確，又因?yàn)?，，，，所以，?dāng)時(shí)，，即，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤，選項(xiàng)D正確，故選：ABD.5．【分析】空（1）使用向量線性運(yùn)算求解即可；空（2）以與為基底，用數(shù)量積的形式表示出，再由基本不等式求解即可.【詳解】如圖，由已知，.∴.設(shè)，即與的夾角為，，若，則，∴，又∵，，∴由基本不等式，∴.當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立.故答案為：，.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解決本題第2空的關(guān)鍵，是用以為夾角的兩個(gè)向量作為基底，將垂直關(guān)系轉(zhuǎn)化為數(shù)量積的形式，再借助基本不等式求解.6．【分析】根據(jù)題意，利用平面向量的線性運(yùn)算法則，以及向量數(shù)量積的運(yùn)算公式以及模的運(yùn)算公式，結(jié)合基本不等式，即可求解.【詳解】如圖所示，根據(jù)向量的運(yùn)算法則，可得，設(shè)，因?yàn)榈拿娣e為，可得，即，又由，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為.故答案為：；.規(guī)律方法：找兩向量的夾角時(shí)，要注意“共起點(diǎn)”以及向量夾角的取值范圍是[0，π]．若向量a，b的夾角為銳角，包括a·b>0和a，b不共線；若向量a，b的夾角為鈍角，包括a·b<0和a，b不共線．【考點(diǎn)三】求向量數(shù)量積的最值(范圍)一、單選題1．（23-24高三下·江西·開(kāi)學(xué)考試）如圖，已知圓的半徑為2，弦長(zhǎng)，為圓上一動(dòng)點(diǎn)，則的取值范圍為（

）

A． B．C． D．2．（2024·江西·一模）如圖，正六邊形的邊長(zhǎng)為，半徑為1的圓O的圓心為正六邊形的中心，若點(diǎn)M在正六邊形的邊上運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)A，B在圓O上運(yùn)動(dòng)且關(guān)于圓心O對(duì)稱，則的取值范圍為（

）A． B．5,7 C． D．二、多選題3．（2024·山東濰坊·二模）已知向量，，為平面向量，，，，，則（

）A． B．的最大值為C． D．若，則的最小值為4．（2024·福建龍巖·一模）已知點(diǎn)與圓是圓上的動(dòng)點(diǎn)，則（

）A．的最大值為B．過(guò)點(diǎn)的直線被圓截得的最短弦長(zhǎng)為C．D．的最小值為三、填空題5．（2024·天津·二模）在四邊形中，為中點(diǎn)．記，用表示；若，則的最大值為．6．（2024·天津·一模）在中，，則；若點(diǎn)為所在平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且滿足，則的取值范圍是．參考答案：題號(hào)1234答案CBBCDACD1．C【分析】取的中點(diǎn)，連接、，根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律得到，再求出即可求出的范圍，從而得解.【詳解】取的中點(diǎn)，連接、，

則，又，所以，，即，所以，．故的取值范圍為．故選：C2．B【分析】根據(jù)題意，由平面向量數(shù)量積的運(yùn)算化簡(jiǎn)，可得，再由的范圍，即可得到結(jié)果.【詳解】由題意可得，，當(dāng)與正六邊形的邊垂直時(shí)，，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到正六邊形的頂點(diǎn)時(shí)，，所以，則，即.故選：B3．BCD【分析】對(duì)A，設(shè)，根據(jù)可得，從而可得的范圍；對(duì)B，化簡(jiǎn)，根據(jù)點(diǎn)到圓上的點(diǎn)的距離求解最大值即可；對(duì)C，化簡(jiǎn)，再結(jié)合滿足圓的方程求范圍即可；對(duì)D，根據(jù)滿足圓的方程進(jìn)行三角換元求解最值即可.【詳解】對(duì)A，設(shè)，根據(jù)有，即，為圓心為1,0，半徑為的圓，又的幾何意義為原點(diǎn)到圓上的距離，則，故A錯(cuò)誤；對(duì)B，，則轉(zhuǎn)化為求圓上的點(diǎn)到12,1的距離最大值，為，故B正確；對(duì)C，，因?yàn)椋?，故C正確；對(duì)D，因?yàn)?，故，又因?yàn)?，故，，故?dāng)時(shí)，取最小值取最小值，故D正確.故選：BCD4．ACD【分析】對(duì)A利用圓外點(diǎn)到圓上點(diǎn)距離最值模型即可判斷；對(duì)B，利用弦長(zhǎng)公式即可判斷；對(duì)C，根據(jù)投影向量與向量數(shù)量積之間的關(guān)系即可即可；對(duì)D，根據(jù)向量共線定理并結(jié)合向量減法的線性運(yùn)算轉(zhuǎn)化為圓心到直線的距離即可.【詳解】對(duì)A，圓的圓心坐標(biāo)，半徑，將原點(diǎn)代入圓的方程有，則原點(diǎn)在圓外，則，則，故A正確；對(duì)B，將B2,1代入圓方程得，則點(diǎn)在圓內(nèi)，設(shè)圓心到過(guò)點(diǎn)的直線距離為，則,而被截的弦長(zhǎng)為，則弦長(zhǎng)最短為，故B錯(cuò)誤；對(duì)C，作出在上投影向量，則，因?yàn)椋?，則，故C正確；

對(duì)D，對(duì)與共線，則的最小值為點(diǎn)到直線的距離，易知直線的方程為，則點(diǎn)到直線的距離，故D正確.故選：ACD.

5．【分析】利用給定的基底，利用向量的線性運(yùn)算求出；利用數(shù)量積的運(yùn)算律及定義，余弦定理、基本不等式求出最大值即得.【詳解】由是中點(diǎn)，，得；在四邊形中，令，由，得，由，得，在中，由余弦定理得，，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，由，得，，因此，所以的最大值為.故答案為：；6．【分析】借助模長(zhǎng)與數(shù)量積的關(guān)系即可得，取中點(diǎn)，借助向量的線性運(yùn)算可得，逐項(xiàng)計(jì)算即可得其取值范圍.【詳解】，故，，取中點(diǎn)，則，，，故，故.故答案為：；.規(guī)律方法：向量數(shù)量積最值(范圍)問(wèn)題的解題策略(1)形化：利用平面向量的幾何意義將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面幾何中的最值或范圍問(wèn)題，然后根據(jù)平面圖形的特征直接進(jìn)行判斷．(2)數(shù)化：利用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)中的函數(shù)最值與值域、不等式的解集或方程有解等問(wèn)題，然后利用函數(shù)、不等式或方程的有關(guān)知識(shí)來(lái)解決．專題精練專題精練一、單選題1．（23-24高三上·北京昌平·期末）已知點(diǎn)在圓上，點(diǎn)的坐標(biāo)為為原點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．2．（2024·河南鄭州·二模）在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)，，動(dòng)點(diǎn)P滿足，則的最大值為（

）A． B． C． D．3．（2024·北京平谷·模擬預(yù)測(cè)）已知，，P是曲線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最大值是（

）A．2 B． C． D．4．（23-24高三上·湖南長(zhǎng)沙·階段練習(xí)）在等腰中，的外接圓圓心為，點(diǎn)在優(yōu)弧上運(yùn)動(dòng)，則的最小值為（

）A．4 B．2 C． D．5．（2024·江蘇揚(yáng)州·模擬預(yù)測(cè)）已知菱形的邊長(zhǎng)為，動(dòng)點(diǎn)在邊上（包括端點(diǎn)），則的取值范圍是（

）A． B． C． D．6．（2023·北京海淀·三模）已知為單位向量，向量滿足，，則的最大值為（

）A．1 B．2 C． D．47．（2024·安徽·模擬預(yù)測(cè)）已知是圓O：的直徑，M，N是圓O上兩點(diǎn)，且，則的最小值為（

）A．0 B．-2 C．-4 D．8．（2024·遼寧·模擬預(yù)測(cè)）在矩形中，，為中點(diǎn)，為平面內(nèi)一點(diǎn)，.則的取值范圍為（

）A． B．C． D．二、多選題9．（23-24高一下·重慶·階段練習(xí)）的內(nèi)角A，B、C的對(duì)邊分別為a，b，c，若，則（

）A． B．C．角A的最大值為 D．面積的最大值為10．（2024·河南·三模）已知平面向量，則下列說(shuō)法正確的有（

）A．一定可以作為一個(gè)基底B．一定有最小值C．一定存在一個(gè)實(shí)數(shù)使得D．的夾角的取值范圍是11．（2024·福建泉州·模擬預(yù)測(cè)）在平面直角坐標(biāo)系中，已知是動(dòng)點(diǎn)．下列命題正確的是（

）A．若，則的軌跡的長(zhǎng)度等于2B．若，則的軌跡方程為C．若，則的軌跡與圓沒(méi)有交點(diǎn)D．若，則的最大值為3三、填空題12．（23-24高三下·安徽·階段練習(xí)）已知正方形的邊長(zhǎng)為2，中心為，四個(gè)半圓的圓心均為正方形各邊的中點(diǎn)（如圖），若在上，且，則的最大值為．13．（22-23高二下·上海浦東新·期末）古希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯與歐幾里得、阿基米德齊名.他發(fā)現(xiàn)：“平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)、的距離之比為定值（且）的點(diǎn)的軌跡是圓”.后來(lái)人們將這個(gè)圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡(jiǎn)稱阿氏圓，在平面直角坐標(biāo)系中，、，點(diǎn)滿足，則的最小值為.14．（2023·山東·二模）已知直線過(guò)圓的圓心，且與圓相交于，兩點(diǎn)，為橢圓上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最大值與最小值之和為．參考答案：題號(hào)12345678910答案DCDDCCCABCDBC題號(hào)11答案ACD1．D【分析】設(shè)，利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算結(jié)合直線與圓的位置關(guān)系可得結(jié)果.【詳解】設(shè)，因點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以，則，設(shè)，即，依題意，求t的范圍即求直線與圓有公共點(diǎn)時(shí)在y軸上截距的范圍，即圓心到的距離，解得，所以的取值范圍為，故選：D.2．C【分析】設(shè)出點(diǎn)Px,y，利用數(shù)量積的坐標(biāo)表示得到點(diǎn)的軌跡，結(jié)合直線與圓的關(guān)系進(jìn)行求解即可.【詳解】設(shè)Px,y，則，，則，即，化為，則點(diǎn)的軌跡為以為圓心，半徑為2的圓，又，所以三點(diǎn)共線，顯然當(dāng)直線與此圓相切時(shí)，的值最大.又,則,則.故選：C.3．D【分析】根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可得，再利用直線與圓的位置關(guān)系數(shù)形結(jié)合即可得解.【詳解】因?yàn)?，即，則曲線表示以坐標(biāo)原點(diǎn)O為圓心，半徑為1的上半圓，并記為，設(shè)點(diǎn)Px,y，則，所以，令，則，故直線（斜率為，縱截距為）與曲線有公共點(diǎn)，如圖所示：

直線過(guò)點(diǎn)，則，即，直線與曲線相切，則，解得或（舍去），所以，則，所以的最大值為.故選：D.4．D【分析】根據(jù)題意，由正弦定理可得圓的外接圓直徑，從而可得，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【詳解】由已知，所以圓的外接圓直徑為，因?yàn)椋裕?，因?yàn)椋?，所以時(shí)，取到最小值．故選：D．5．C【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，利用向量積的坐標(biāo)計(jì)算將目標(biāo)式化簡(jiǎn)，求出取值范圍即可.【詳解】如圖，作，以為原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，易知，，，設(shè)，且x∈0,2，故，，故，而，.故選：C6．C【分析】設(shè)，，根據(jù)求出，再根據(jù)得到，最后根據(jù)向量模的坐標(biāo)表示及二次函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得.【詳解】依題意設(shè)，，由，所以，則，又，且，所以，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即的最大值為.故選：C7．C【分析】取的中點(diǎn)C，結(jié)合垂徑定理與數(shù)量積的運(yùn)算表示出