2025初中數(shù)學(xué)專項復(fù)習(xí)：圓的重難點(diǎn)題型匯編（十三大題型）含答案

2025初中數(shù)學(xué)專項復(fù)習(xí)圓的重難點(diǎn)題

型匯編（一）（十三大題型）含答案

圓的望奉支殿型匯編

（考點(diǎn)歸納）

【題型01：垂徑定理及應(yīng)用】

【題型02:點(diǎn)與圓的位置關(guān)系的判定】

【題型03:直線與圓的位置關(guān)系的判定】

【題型04：切線判定與性質(zhì)綜合】

【題型05:圓周角定理】

【題型06：圓內(nèi)接四邊形】

【題型07：三角形的內(nèi)切圓及切線長】

【題型08：三角形的外接圓】

【題型09:正多邊形與圓的綜合】

【題型10:弧長和扇形的面積】

【題型11：圓錐的側(cè)面積】

【題型12:圓錐的側(cè)面最短路徑問題】

【題型13:不規(guī)則圖形的陰影面積】

【題型01：垂徑定理及應(yīng)用】

（考點(diǎn)精講）

【題型01:垂徑定理及應(yīng)用】

1.如圖，是一個圓弧形拱橋的截面示意圖.點(diǎn)P是拱橋余的中點(diǎn)，橋下水面的寬度人口=24山,點(diǎn)P到

水面4B的距離PH=8nz.點(diǎn)R，E均在卷上，兩=血，4R〃AB且=10山,在點(diǎn)￡處

各裝有一個照明燈，圖中△RCD和△烏斯分別是這兩個燈的光照范圍.兩燈可以分別繞點(diǎn)H，B左

右轉(zhuǎn)動，且光束始終照在水面上.即ZCPQ,乙膽尸可分別繞點(diǎn)尸i，B按順（逆）時針方向旋轉(zhuǎn)

（照明燈的大小忽略不計），線段CD,EF在上,此時，線段ED是這兩燈照在水面上的重疊部

分的水面寬度.

（1）求圓弧形拱橋所在圓的半徑.

（2）求照明燈R距離水面的高度.

（3）已知ACP.D=/砥尸=90°,在這兩個燈的照射下，當(dāng)整個水面AB都被燈光照到時,求這兩個燈

照在水面上的重疊部分的水面寬度.

?M

2.將一小球放在長方體盒子中，小球的一部分露在盒外，其截面如圖所示，已知即=8,CD=8,則此小

球的半徑是（)

A.3B.4D.6

3.如圖是一個在建隧道的橫截面,它的形狀是以點(diǎn)。為圓心的圓的一部分，OM是。。中弦CD的中

點(diǎn)，EAf經(jīng)過圓心。交。O于點(diǎn)E,且CD=8m,EAf=8m,則。。的半徑為（）m.

4.某地欲搭建一橋，橋的底部兩端間的距離AB=L稱跨度，橋面最高點(diǎn)到AB的距離CD=h稱拱高,

當(dāng)力和拉確定時,有兩種設(shè)計方案可供選擇;①拋物線型;②圓弧型.已知這座橋的跨度l=20米，拱

高拉=5米.

（1）如圖1,若設(shè)計成拋物線型，以AB所在直線為立軸，入口的垂直平分線為y軸建立坐標(biāo)系,求此函

數(shù)表達(dá)式；

（2）如圖2,若設(shè)計成圓弧型，求該圓弧所在圓的半徑；

（3）現(xiàn)有一艘寬為15米的貨船，船艙頂部為方形，并高出水面2.2米.從以上兩種方案中，任選一種方

案，判斷此貨船能否順利通過你所選方案的橋？并說明理由.

【題型02:點(diǎn)與圓的位置關(guān)系的判定】

5.在。。所在平面內(nèi)有一點(diǎn)P,若OP=6,。0半徑為5,則點(diǎn)P與。。的位置關(guān)系是（）

A.點(diǎn)P在。。內(nèi)B.點(diǎn)P在。。外C.點(diǎn)P在。。上D.無法判斷

6.在Rt/\ABC中，90°,8。=5,AC=12,以點(diǎn)8為圓心，12為半徑畫圓，則點(diǎn)A與。8的位置關(guān)

系是（）

A.點(diǎn)A在。口外B.點(diǎn)A在。8上C.點(diǎn)人在。B內(nèi)D.無法確定

7.若。。的直徑為4cm,點(diǎn)4到圓心。的距離為2cm,則點(diǎn)/與。O的位置關(guān)系為（）

A.點(diǎn)/在圓內(nèi)B.點(diǎn)4在圓上C.點(diǎn)A在圓外D.不能確定

8.若。O的半徑為6,圓心O的坐標(biāo)為（0,0）,點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3,4）,則點(diǎn)P與。O的位置關(guān)系是（）

A.點(diǎn)P在。。內(nèi)B.點(diǎn)P在。。上C.點(diǎn)P在。。外D.不能確定

【題型03:直線與圓的位置關(guān)系的判定】

9.已知。。的半徑為2,直線Z上有一點(diǎn)M.若。W=2,則直線Z與。。的位置關(guān)系是（）

A.相交B.相離或相交C.相離或相切D.相交或相切

10.已知OO的半徑為3cm,圓心O到直線Z的距離為2cm，則，與。O的交點(diǎn)個數(shù)為（）

A.0B.1C.2D.3

11.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以點(diǎn)（3,4）為圓心，4為半徑的圓一定（）

A.與①軸相交，與夕軸相切B.與c軸相離，與夕軸相交

C.與力軸相切，與y軸相交D.與土軸相切，與y軸相離

12.已知平面內(nèi)有OO與直線4B,。。的半徑為3cm，點(diǎn)O到直線48的距離為3cm（）

A.相切B.相交C.相離D.不能判斷

【題型04：切線判定與性質(zhì)綜合】

13.如圖，CD是電ZVIBC斜邊上的中線，以CD為直徑作。O,分別交AC、BC于點(diǎn)、M、N,過點(diǎn)河作

AB,交于點(diǎn)E.

（1）求證：上㈤是。。的切線;

⑵若CD=5,4。=8,求ME的長.

14.如圖，已知O是△ABC邊AB上的一點(diǎn)，以。為圓心、OB為半徑的。。與邊AC相切于點(diǎn)。，且BC

=C?，連接OC,交。。于點(diǎn)E,連接BE并延長，交AC于點(diǎn)?

(1)求證是。。切線；

(2)求證:OA-AB=AD-ACi

⑶若AC=16,tanZBAC=暫，尸是AC中點(diǎn)，求即的長.

0

15.如圖，在四邊形ABCD中，AO平分ABAD.點(diǎn)。在AC上，以點(diǎn)O為圓心，OA為半徑，作。。與

相切于點(diǎn)B,BO延長線交。。于點(diǎn)瓦交入。于點(diǎn)兄連接入耳?！辏?

（1）求證：CD是。O的切線；

（2）若AE=OE=8,求人戶的長.

16.如圖，在△ABC中，48=4。，以48為直徑的OO交AC于點(diǎn)。（點(diǎn)。與點(diǎn)A不重合），交于點(diǎn)

瓦過點(diǎn)E作斤G，于點(diǎn)尸，交人口的延長線于點(diǎn)G.

（1）求證：FG是。。的切線；

（2）如圖1,若CF=1,跳;=3；求。。的半徑;

⑶如圖2,連接AB,OD,交點(diǎn)為H,當(dāng)AH=EH=7n時,求線段EG的長.

【題型05:圓周角定理】

17.如圖，點(diǎn)A、B、C在。。上，乙4cB=55°,則乙4OB的度數(shù)是（）

A.80°B.90°C.100°D.110°

18.如圖，已知點(diǎn)48。在。。上，且ZAOB=2ABOC,若ACAB=20°,則AACB的度數(shù)為（

A.40°B.50°D.80°

19.如圖，為。。的直徑，。，。為。。上兩點(diǎn).若NBCD=35°,則乙的大小為（）

A.35°B.45°D.65°

20.如圖，AC為。O的直徑，點(diǎn)8,。在。。上，/ABD=60°,CD=2,則4D的長為（）

B

A.2B.2V2C.2V3D.4

【題型06:JI內(nèi)接四邊形】

21.如圖，四邊形4BCD內(nèi)接于。O,若乙8。。=100°,則NC的度數(shù)為（）

A.50°B.100°D.150°

22.如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于。。，點(diǎn)C是防的中點(diǎn)，乙4=40°,則NCBO的度數(shù)為（）

23.如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于。O,連接若區(qū)方=就，乙4。。=125°,則的度數(shù)是（

24.如圖，在。O的內(nèi)接四邊形4BCD中，4B=4D,/E=130°,則/。的度數(shù)為

【題型07：三角形的內(nèi)切圓級切線長】

25.如圖，在RtZSABC中，NC=90°,其內(nèi)切圓分別與AC、相切于點(diǎn)。、E、F,若AB=4,BE

6,則CD的長為（）

26.如圖，AB、47、8。是。O的切線，切點(diǎn)分別為P、C、D若48=5,47=3,則的長是（）

27.如圖，在一張電△ABC紙片中，//CB=90°,BC=3,AC=4,O是它的內(nèi)切圓.小明用剪刀沿著。

O的切線Le剪下一塊三角形則△4DE的周長為（）

28.如圖，P為。O外一點(diǎn)，PA.PB分別切。。于點(diǎn)/、8,CD切。。于點(diǎn)E,分別交RI、P8于點(diǎn)C、

。，若融=8,則△PCD的周長為

A

29.如圖，以正方形ABCD的邊為直徑作半圓O,過點(diǎn)。作直線切半圓于點(diǎn)尸，交AD邊于點(diǎn)E,若

/\CDE的周長為12，則四邊形ABCE周長為

30.如圖，在Rt/\ABC中，NC=90°,4ABC的內(nèi)切圓。。與分別相切于點(diǎn)。、E、尸，若。

。的半徑為2,AD??？?24,則AB的長=.

【題型08：三角形的外接圓】

31.如圖，在△ABC中，NA=60°,8C=473cm，則A4BC的外接圓的直徑是cm.

32.在如圖所示的方格紙中，每個小正方形的邊長為1,每個小正方形的頂點(diǎn)都叫作格點(diǎn)，4。兩點(diǎn)皆在

格點(diǎn)上，在此方格紙上另找兩格點(diǎn)8,。,使得△ABC的外心為O,則的長為（）

A.4B.5C.V10D.2V5

33.如圖，。是△ABC的外心，NABC=42°,NACB=72°,則ZBOC=

A.123°D.無法確定

【題型09:正多邊形與圓的綜合】

34.如圖，AB是。。的內(nèi)接正打邊形的一邊，點(diǎn)。在。。上，乙4cB=18°，則n=

35.正多邊形的一部分如圖所示，若/ACB=20°,則該正多邊形的邊數(shù)為（）

36.如圖，已知正六邊形ABCDE尸的外接圓半徑為2cm,則該正六邊形的邊心距是（)

A.1cmD.V3cm

37.如圖，正六邊形48cCEF內(nèi)接于（DO,連接80.則NCDB的度數(shù)是（

10

B\E

D

A.90°B.60°C.45°D.30°

38.正六邊形結(jié)構(gòu)在自然界是廣泛存在的.如圖,將一個正六邊形放在平面直角坐標(biāo)系中，其中心與原點(diǎn)

重合.若正六邊形的邊長是2,則點(diǎn)口的坐標(biāo)為（）

A.(1.V3)D.(2,2V3)

【題型10:弧長和扇形的面積】

39.如圖，弧三角形的外圍由以正三角形的頂點(diǎn)為圓心，以正三角形的邊長為半徑的三段等弧組成.已知

正三角形的邊長為1,則弧三角形的周長等于（）

40.抖空竹在民間流行的歷史至少在600年以上，是國家級的非物質(zhì)文化遺產(chǎn)之一.如圖AC,分別

與。O相切于點(diǎn)C,。,延長AC,BD交于點(diǎn)尸.若NP=120°,。O的半徑為8cm，則圖中CD的長

為cm.（結(jié)果保留兀）

41.如圖①是小區(qū)圍墻上的花窗，其形狀是扇形的一部分，圖②是其幾何示意圖（陰影部分為花窗）.通過

測量得到扇形AOB的圓心角為90°,04=，點(diǎn)C,。分別為。4,的中點(diǎn)，則花窗的面積為

m2.（結(jié)果保留兀）

O

圖①圖②

42.如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,4ABC的頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為4（2,3）,8（2,1）,。（5,1）,把A4BC繞著

點(diǎn)A按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到4AEF,點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)為E,點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)為F.

（1）在圖中畫出△AER；

（2）點(diǎn)。的運(yùn)動路徑長為；

（3）旋轉(zhuǎn)過程中線段BC掃過的面積為

【題型11，圓錐的便面積】

43.如圖，已知圓錐的母線長為6,圓錐的底面半徑與母線的比為1:3,則該圓錐的側(cè)面積是（）

A.24V27IB.16兀C.12兀D.24兀

44.小李同學(xué)在數(shù)學(xué)綜合實踐活動中，用一塊扇形材料制作了一個圓錐模型（如圖所示），經(jīng)過小黃同學(xué)測

量得圓錐底面直徑為12cm，圓錐的高為8cm,則根據(jù)測量數(shù)據(jù)推算，該圓錐模型的側(cè)面積為

cm29.

45.如圖，圓錐的底面半徑OC=4cm,母線長AC=8cm,則圓錐的側(cè)面積為

46.若圓錐的底面半徑為3,側(cè)面積為36兀，則這個圓錐的母線長為.

【題型12:圓錐的側(cè)面最短路徑問題】

47.【綜合與實踐】

主題:制作圓錐形生日帽.

素材:一張圓形紙板、裝飾彩帶.

步驟1：如圖1,將一個底面半徑為r的圓錐側(cè)面展開，可得到一個半徑為，、圓心角為"的扇形.制作

圓錐形生日帽時,要先確定扇形的圓心角度數(shù)，再度量裁剪材料.

步驟2：如圖2,把剪好的紙板粘合成圓錐形生日帽，

圖1圖2備用圖

(1)現(xiàn)在需要制作一個r=10cm,I=30cm的生日帽，請幫忙計算出所需扇形紙板的圓心角度數(shù)；

(2)為了使(1)中所制作的生日帽更美觀,要粘貼彩帶進(jìn)行裝飾，其中需要粘貼一條從點(diǎn)A處開始，繞

側(cè)面一周又回到點(diǎn)A的彩帶(彩帶寬度忽略不計)，求彩帶長度的最小值.

13

48.如圖，有一個圓錐形糧堆，正三角形ABC的邊長為6山,糧堆母線AC的中點(diǎn)F處有一只老鼠正在吃

糧食，此時小貓正在B處，它要沿圓錐側(cè)面P處捉老鼠,小貓所經(jīng)過的最短路程是m.

49.如圖所示，已知圓錐底面半徑r=5cm,母線長為20cm.

(1)求它的側(cè)面展開圖的圓心角；

(2)若一甲蟲從A點(diǎn)出發(fā)沿著圓錐側(cè)面繞行到母線S4的中點(diǎn)請你動腦筋想一想它所走的最短路

線是多少？

【題型13:不規(guī)則圖形的陰影面積】

50.如圖，RtZVLBC中，NC=90°,BC=2,乙4=30°,以點(diǎn)A為圓心、人。為半徑畫弧，交AB于點(diǎn)E,以

點(diǎn)口為圓心、為半徑畫弧，交AB于點(diǎn)F,則陰影部分的面積為（）

A.萼-2V3D.2代一半

O4

51.如圖，在aABCD中，E為邊中點(diǎn).以。為圓心，CD為半徑畫弧，恰好經(jīng)過點(diǎn)以。為圓心,

CE為半徑畫弧，與AD相切于點(diǎn)F.若BC=4,則陰影部分的面積為.（結(jié)果保留兀）

52.如圖,正方形4BCD的邊長為2,以人為圓心，AB為半徑畫弧.連接AC,以人為圓心，AC為半徑畫

弧交的延長線于點(diǎn)E,則圖中陰影部分的面積是.

53.如圖，在長方形ABC?中，48=5,AD=3,以點(diǎn)。為圓心，AD長為半徑畫弧，交線段CD延長線于

點(diǎn)E,點(diǎn)尸為邊上一點(diǎn)，若CF=2B尸,連接即，則圖中陰影部分的面積為（結(jié)果保留兀）.

（&妁■率立題型忙編

（考點(diǎn)歸納）

【典型01:垂徑定理及應(yīng)用】

【題型02:點(diǎn)與19的位置關(guān)系的判定】

【題型03:直線與圓的位置關(guān)系的判定】

【題型04：切線判定與性質(zhì)綜合】

【題型05:圓周角定理】

【題型06:11內(nèi)接四娜】

【題型07：三角形的內(nèi)切圓及切線長】

【題型08：三角形的外接圓】

【題型09:正多邊形與圓的綜合】

【題型10:孤長和扇形的面積】

【題型11:圓錐的側(cè)面積】

【典型12:圓錐的■!面最短路徑問題】

【題型13:不規(guī)則圖形的陰影面積】

【題型01:垂徑定理及應(yīng)用】

（考點(diǎn)精講）

【題型01:垂徑定理及應(yīng)用】

1.如圖，是一個圓弧形拱橋的截面示意圖.點(diǎn)P是拱橋叁的中點(diǎn)，橋下水面的寬度48=24小,點(diǎn)P

到水面AB的距離PH=87n.點(diǎn)A,A均在檢上，用=兩，〃AB且HE=10m,在點(diǎn)冏，R

處各裝有一個照明燈，圖中4PCD和△EEF分別是這兩個燈的光照范圍.兩燈可以分別繞點(diǎn)P1,

8左右轉(zhuǎn)動,且光束始終照在水面上.即4CPQ,/ERF可分別繞點(diǎn)8，?按順（逆）時針方向

旋轉(zhuǎn)（照明燈的大小忽略不計），線段CD,即在上,此時，線段ED是這兩燈照在水面上的重

疊部分的水面寬度.

（1）求圓弧形拱橋所在圓的半徑.

（2）求照明燈E距離水面的高度.

（3）已知/CRD=/四斤=90°,在這兩個燈的照射下，當(dāng)整個水面都被燈光照至U時，求這兩個燈

照在水面AB上的重疊部分的水面寬度.

【答案】（1）圓弧型拱橋所在圓的半徑為13米

(2)照明燈呂距離水面的高度為7米.

(3)這兩個燈照在水面48上的重疊部分的水面寬度為4m或箸m.

【分析】本題主要考查了垂徑定理、勾股定理、等腰直角三角形、解直角三角形等知識點(diǎn)，正確作出作輔助

線、構(gòu)造直角三角形解決問題成為解題的關(guān)鍵.

(1)設(shè)交招R于K,圓心為O,連接HO,AO,PQ,過/作RT_L于T,根據(jù)垂徑定理可得，AH=

BH=；AB=12,然后運(yùn)用勾股定理列方程求解即可；

(2)根據(jù)題意得出RK=RK=5,勾股定理求得OK的長，進(jìn)而可得/T=KH=7;

(3)當(dāng)整個水面AB都被燈光照到時，分①。與人重合，F(xiàn)與B重合，②當(dāng)E與人重合，。與B重合兩種

情況分別畫出圖形，解直角三角形即可解答.

【詳解】⑴解:如圖：設(shè)交R呂于K,圓心為O,連接H。，4。，呂。,過為作RT_L于T,

。??點(diǎn)點(diǎn)P是拱橋AB的中點(diǎn)，

：.PH_LABf

O,P,H共線,Af/=BH=十AB=12,

設(shè)。。半徑為r,則OH=OP-PH=(r-8),

在RtAAHO中，AH2+OH2=OA2,

122+(r—8)2=r2,解得：r=13,

圓弧型拱橋所在圓的半徑為13米.

(2)解:如圖：設(shè)交丹丹于K,圓心為連接〃O,AO,/。,過/作/T_LAB于T,則四邊形PTHK

是矩形，

?.?儂=儂，且/￡=10,

P[K=RK=5,

：.OK=JOH—RM=V132-52=12,

：.PK=OP-OK=13-12=1,

:.KH=PH—PK=8—1=7,

.?.BT=KH=7,即照明燈R距離水面的高度為7米.

(3)解：當(dāng)整個水面AB都被燈光照到時，

①如圖：當(dāng)。與4重合，F(xiàn)與B重合時，

由(2)可得呂T=KH=7

AT^AH-TH=12-5=7,

:.AT=PiT=7,

：.乙BAT=45°,

?/4JPQ=90°,即ZAP1D=90°,

/.AAPQ是等腰直角三角形，

AD=2AT=14,即CD=14;

：.DB=AB-AD=24-14=10,

同理可得BE=14,即FE=14,

：.DE=EF—DB=14-10=4,

這兩個燈照在水面AB上的重疊部分的水面寬度為4m;

②如圖：當(dāng)E與人重合，。與B重合，

,:AT=PiT=7m=P2M,PXP2=10

：.AM=AT+TF=17,

2222

：.AP2=y/AM+P2M=V17+7=V338,

..AMAP2

.COSAP2AM=—=~,

?17=V338

"V338—AF，

根據(jù)對稱性可得：BC=管，

,CF=AF+BC-4B=嚕+嚕-24=等，

171717

/.這兩個燈照在水面4B上的重疊部分的水面寬度為等m.

綜上所述，這兩個燈照在水面AB上的重疊部分的水面寬度為4m或等m.

2.將一小球放在長方體盒子中，小球的一部分露在盒外，其截面如圖所示，已知EF=8,CD=8,則此小

球的半徑是（

A.3B.4D.6

【答案】B

【分析】本題主要考查了垂徑定理，矩形的判定與性質(zhì)及勾股定理的知識，解題的關(guān)鍵是正確作出輔助線

構(gòu)造直南三角形.

取EF的中點(diǎn)M,作MN_LAD交于點(diǎn)N,則經(jīng)過球心O,連接OF,由垂徑定理求出=4,設(shè)

OF^x,則OM=8—2，然后在Rt^MOF中利用勾股定理求得OF的長即可.

【詳解】解:如圖，取EF的中點(diǎn)河，作兒W_LAD交于點(diǎn)N,則上W經(jīng)過球心O,連接OF,

?.?四邊形/BCD是矩形，

/C=/D=90°,

四邊形CD7WN是矩形，

：.MN=CD=8,

■：MN±AD,EF=8,

：.MF=4.

設(shè)OF=①，則OM=8—x,

.?.在五/AMOF中，OM?+昕2=。干2,即（g-’y+dZu/,

解得：2=5,

故選B.

3.如圖是一個在建隧道的橫截面，它的形狀是以點(diǎn)。為圓心的圓的一部分，是。。中弦CD的中

點(diǎn)，經(jīng)過圓心。交。。于點(diǎn)瓦且CD=8m,EM=8m，則。O的半徑為（）m.

E

A.5B.6.5C.7.5D.8

【答案】A

【分析】本題主要考查了垂徑定理，勾股定理的運(yùn)用，理解垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦，平分弦所在

的弧是解答關(guān)鍵.

連接OC,根據(jù)垂徑定理得到EM_LCD,CM=DM=方⑺,再勾股定理得到OC2=CM2+OM2來求

解.

【詳解】解:連接OC,

???河是。。中弦CD的中點(diǎn)，CD=8m,

:.EM_LCD,CM=DM=CD=

設(shè)OO的半徑為rrm,f\

則OE=OC=a;(7n),I

/.OM=EM-OE=8—x(m).|)

?：OC2=CM2+OM2,CMD

:x2=42+(8—a;)2,

解得：re=5,

即。。的半徑為5m.

故選：4

4.某地欲搭建一橋,橋的底部兩端間的距離AB=L稱跨度，橋面最高點(diǎn)到AB的距離CD=h稱拱高,

當(dāng)L和％確定時,有兩種設(shè)計方案可供選擇;①拋物線型;②圓弧型.已知這座橋的跨度L=20米,

拱高%=5米.

(1)如圖1,若設(shè)計成拋物線型，以AB所在直線為宓軸，的垂直平分線為y軸建立坐標(biāo)系,求此函

數(shù)表達(dá)式；

(2)如圖2,若設(shè)計成圓弧型，求該圓弧所在圓的半徑；

(3)現(xiàn)有一艘寬為15米的貨船，船艙頂部為方形，并高出水面2.2米.從以上兩種方案中，任選一種

方案，判斷此貨船能否順利通過你所選方案的橋？并說明理由.

【答案】⑴y=-白城+5

⑵12.5米

⑶①若設(shè)計成拋物線型時，貨船不能順利通過該橋;②若設(shè)計成圓弧型時，貨船能順利通過該橋;理由見

解析

［分析】（1）根據(jù)題意設(shè)拋物線的解析式為y=a@+10）（x-10）,將點(diǎn)（0,5）代入，求出a的值，即可確定

函數(shù)的解析式；

（2）設(shè)圓心為O,連接OC紀(jì)AB于E點(diǎn)，連接AO,在RtAAEO中,AO2=102+（OA-5）2,解得AO=

12.5,即可求該圓弧所在圓的半徑12.5米；

⑶①若設(shè)計成拋物線型時，當(dāng)/=7.5時，？/=獸，由粵米V2.2米，可知貨船不能順利通過該橋；

1616

②若設(shè)計成圓弧型時，設(shè)EG=7.5米，過點(diǎn)G作FH±AB交弧BC于點(diǎn)F,過點(diǎn)。作OH，咫交于H

點(diǎn)，連接OF,在RtAOHF中，125=7.52+FH2,求出FH=10米，可得FG=2.5米，再由2.5米,2.2米,

即可判斷貨船能順利通過該橋.

【詳解】（1）解：?.?48=20,

4—10,0）,3（10,0）,

'.'h=5,

AC(O,5),

設(shè)拋物線的解析式為y=a(x+10)(x—10),

A—100a=5,

解得Q二-擊,

拋物線的解析式為y(^+10)(a;-10)=—4■力?+5,

即。=一/d+5；

⑵解:設(shè)圓心為O,連接OC交AB于E點(diǎn)，連接49,

???AB=20,

/.AE—10,

h=5,

:,CE=5,

在Rt^AEO中，AO2=AE2+OE2,

：.人。2=102+(。人一5)2,

解得49=12.5,

/.該圓弧所在圓的半徑12.5米；

（3）解:①若設(shè)計成拋物線型時，當(dāng)rr=7.5時，y——^-x2+5=——x7.52+5=黑,

2U2016

???里?米V2.2米，

16

貨船不能順利通過該橋；

②若設(shè)計成圓弧型時，

設(shè)EG=7.5米，

過點(diǎn)G作FH,AB交弧BC于點(diǎn)F,過點(diǎn)。作OH，交于H點(diǎn),

連接OF,

.?.OH=EG=7.5米，

在Rt/XOHF中，OF?=OH2+FH2,

.?.12.52=7.52+Fff2,

O

：.FH=10^,

'：GH=OE=12.5—5=7.5米，

/.FG=2.5米，

???2.5米>2.2米，

貨船能順利通過該橋.

【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用，垂徑定理，勾股定理，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，圓的性質(zhì)，垂徑

定理，勾股定理是解題的關(guān)鍵.

【題型02:點(diǎn)與圓的位置關(guān)系的判定】

5.在。。所在平面內(nèi)有一點(diǎn)P,若0P=6,半徑為5,則點(diǎn)P與。。的位置關(guān)系是（）

A.點(diǎn)P在。。內(nèi)B.點(diǎn)P在。。外C.點(diǎn)P在。O上D.無法判斷

【答案】B

【分析】本題考查了點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，由點(diǎn)到圓心的距離d與圓的半徑r進(jìn)行判定，掌握點(diǎn)與圓的位置關(guān)

系的判定方法是解題的關(guān)鍵.根據(jù)題意，點(diǎn)到圓心的距離d與圓的半徑r,當(dāng)d>r時，點(diǎn)在圓夕卜；當(dāng)d=r

時，點(diǎn)在圓上；當(dāng)時，點(diǎn)在園內(nèi)；由此即可求解.

【詳解】解：設(shè)點(diǎn)到圓心的距離為d,圓的半徑為T,

：.d=6,r=5,

?：d>r,

.?.點(diǎn)P在。。外，

故選：B.

6.在R力△ABC中，ZC=90°,BC=5,AC=12,以點(diǎn)B為圓心，12為半徑畫圓，則點(diǎn)A與。B的位置

關(guān)系是（）

A.點(diǎn)4在。8外B.點(diǎn)人在。B上C.點(diǎn)人在。B內(nèi)D.無法確定

【答案】A

【分析】本題考查了點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，利用勾股定理求得=13邊的長，然后通過比較AB與半徑的長

即可得到結(jié)論，解題的關(guān)鍵是確定圓的半徑和點(diǎn)與圓心之間的距離之間的大小關(guān)系.

【詳解】解：?.?在IttZVLBC中，/C=90°,BC=5,4。=12,

AB=y/BC2+AC2=V52+122=13,

VAB=13>12,

.?.點(diǎn)A在<3B外，

故選：A.

7.若。O的直徑為4cm,點(diǎn)4到圓心O的距離為2cm,則點(diǎn)A與。O的位置關(guān)系為（）

A.點(diǎn)4在圓內(nèi)B.點(diǎn)A在圓上C.點(diǎn)A在圓外D.不能確定

【答案】B

【分析】本題考查了點(diǎn)與圓的位置關(guān)系.根據(jù)題意得出d=r,從而即可得出答案.

【詳解】解：???0O的直徑為4cm，所以半徑為2cm,點(diǎn)A到圓心。的距離為2cm,

d=r,

.?.點(diǎn)力與。O的位置關(guān)系為：點(diǎn)A在圓上，

故選：B.

8.若。O的半徑為6,圓心O的坐標(biāo)為（0,0）,點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3,4）,則點(diǎn)P與。O的位置關(guān)系是

（）

A.點(diǎn)P在。。內(nèi)B.點(diǎn)P在。。上C.點(diǎn)P在。。外D.不能確定

【答案】力

【分析】本題考查的是點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，熟知設(shè)⑷。的半徑為r,點(diǎn)P到圓心的距離OP=d,當(dāng)時,

點(diǎn)在圓內(nèi)是解答此題的關(guān)鍵.先根據(jù)勾股定理求出OP的長，再與圓的半徑相比較即可.

【詳解】解：；圓心。的坐標(biāo)為（0,0）,點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3,4）,

.-.OP=V32+42=5.

???。。的半徑為6,且6>5,

.?.點(diǎn)P在圓內(nèi).

故選：人

【題型03:直線與圓的位置關(guān)系的判定】

9.已知。。的半徑為2,直線Z上有一點(diǎn)若0M=2,則直線，與。。的位置關(guān)系是（）

A.相交B.相離或相交C.相離或相切D.相交或相切

【答案】。

【分析】本題考查了直線和圓的位置關(guān)系，熟練掌握直線和圓的位置關(guān)系與數(shù)量之間的聯(lián)系是解題的關(guān)

鍵.

直線和圓的位置關(guān)系與數(shù)量之間的聯(lián)系：若則直線與圓相交;若d=r,則直線于圓相切；若d>r,

則直線與圓相離.

【詳解】解：因為垂線段最短，所以圓心到直線的距離小于等于2.

此時和半徑2的大小不確定，則直線和圓相交、相切都有可能.

故選：D.

10.已知。。的半徑為3cm，圓心O到直線2的距離為2cm,則Z與。。的交點(diǎn)個數(shù)為（）

A.0B.1C.2D.3

【答案】。

【分析】本題主要考查了圓與直線的位置關(guān)系，圓與直線的位置關(guān)系有相離，相交，相切，熟悉三種位置關(guān)

系對應(yīng)的公共點(diǎn)的個數(shù)是解本題的關(guān)鍵.圓的半徑為了圓心到直線的距離為d,當(dāng)d>??1時，圓與直線相

離，直線與圓沒有交點(diǎn)，當(dāng)d=T時，圓與直線相切，直線與圓有一個交點(diǎn)，當(dāng)?時，圓與直線相交，直線

與圓有兩個交點(diǎn)，根據(jù)原理可得答案.

【詳解】解：的半徑為3cm，圓心O到直線Z的距離d,為2cm,

：.d<r,

/.圓與直線/相交，直線，與圓有兩個交點(diǎn)，

故選：C.

11.在平面直角坐標(biāo)系力。"中，以點(diǎn)（3,4）為圓心，4為半徑的圓一定（）

A.與c軸相交，與0軸相切B.與刀軸相離，與9軸相交

C.與c軸相切，與“軸相交D.與刀軸相切，與"軸相離

【答案】。

【分析】本題主要考查對直線與圓的位置關(guān)系，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)等知識點(diǎn)的理解和掌握，能熟練地運(yùn)用直

線與圓的位置關(guān)系定理進(jìn)行判斷是解此題的關(guān)鍵，首先畫出圖形，根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)得，到圓心到多軸的距離

是4,到9軸的距離是3,根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系，即可求出答案.

【詳解】解：圓心到c軸的距離是4,到g軸的距離是3,

/.圓與c軸相切，與9軸相交，

故選：C.

12.已知平面內(nèi)有。O與直線的半徑為3cm，點(diǎn)。到直線48的距離為3cm()

A.相切B.相交C.相離D.不能判斷

【答案】A

【分析】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系，正確的理解題意是解題的關(guān)鍵.根據(jù)點(diǎn)O到直線AB的距離與

圓的半徑大小作比較即可.

【詳解】解：?.?點(diǎn)。到直線AB的距離為3cm，且。O的半徑為3cm,

.?.點(diǎn)O到直線的距離等于。。的半徑，

/.直線AB與＜30的位置關(guān)系是相切，

故選：A.

【題型04：切線判定與性質(zhì)綜合】

13.如圖，CD是電ZVIBC斜邊上的中線，以CD為直徑作。O,分別交AC、BC于點(diǎn)M、N,過點(diǎn)河作

ME_LAB,交AB于點(diǎn)、E.

(1)求證：ME是。O的切線；

⑵若CD=5,AC=8,求ME的長.

【答案】(1)見解析

⑵ME=2.4

【分析】本題考查了切線的判定，相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形斜邊的中線等

于斜邊的一半，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識.

⑴連接O河，先證出。W7/AD,再證明ME_L（W即可；

⑵由平行線分線段成比例定理可求力河=4,由直角三角形斜邊中線的性質(zhì)可求AB=2CD=10,由勾股

定理求出石。的長，然后證明4AME?AABC即可求解.

【詳解】（1）解:連接OM,

???CD是斜邊上的中線，

:?CD=AD=BD,

.??/1=乙4,

?.?OC=OM,

：.Zl=Z2

??.Z2=ZA,

：.OM//AD,

?：ME_LABf

???OAl,又O河是。O的半徑，

???AiE是。。的切線.

⑵解：???OM〃AD,

.CM=OC

"'AM~~ODf

???OC=OD,

：.AM=CM=yAC=4,

???CD是R/A4BC斜邊上的中線.

：.CD=^-AB,

：.4B=2CD=10,

在Rt/\ABC中，BC=NAB—AC?=V102-82=6,

?：ME±AB,

??.AAEM=90°,

：.ZAEM=AACB

又ZA=ZA,

???"ME?dABC

.AM_=AB

“ME一佞,

?4=10

「ME6'

:?ME=2.4.

14.如圖，已知。是△ABC邊AB上的一點(diǎn)，以。為圓心、OB為半徑的。。與邊人。相切于點(diǎn)。，且

BC=CD,連接OC,交。。于點(diǎn)瓦連接BE并延長，交于點(diǎn)尸.

ADFC

（1）求證：8C是。O切線;

⑵求證：OA-AB=AD-AC；

（3）若AC=16,tanZBAC=力，尸是AC中點(diǎn)，求即的長.

O

【答案】（1）見解析

（2）見解析

⑼25

【分析】（1）連接OD,由切線的性質(zhì)可知/。。。=90°.證明△OBCZZXODC得出2OBC=NODC=

90°,即OB_LCB,說明BC是圓。的切線；

（2）證明△AOD?AACB得出空^=坐,整理得AO-AB^AC-AD；

ACAB

⑶設(shè)AB=3力，則＞BC=4力.由勾股定理求出力的值，得出48二學(xué)"，由tanzlBAC=??

55AD

=士，可設(shè)OD=4g,則OB=4y,AD=3y,即可求出04=59,從而得出AB=9y=，解出g的值，即

35

可求出06=粵，即。。半徑為粵.由直角三角形斜邊中線的性質(zhì)得出AF=CF=BF=^-AC=8f

15152

結(jié)合等邊對等角，得出/ABF=/B4F,進(jìn)而可證△QBE?△FR4,得出馨=票，代入數(shù)據(jù)，即可求

ABJ3r

出3后=裝■，最后由EF=BF—EF求解即可.

25

【詳解】⑴證明：如圖，連接OD,

???4。與圓。相切于點(diǎn)。,

/.OD，AC,即AODC=90°,

■：BC=CD,BC=DC,CO=CO,

：.△OB%△ODC(SSS),

/LOBC=2ODC=90°,即08_LCB,

.?.BC是圓。的切線；

(2)證明：?.?CD_L/C,

/ADO=90°.

?.?/OBC=90°,

ZADO=NABC.

又???ABAC^ADAO,

???/XAOD?/XACB,

.AO=AD

**AC-ABJ

???AO-AB=AC-AD\

(3)解：???NO8C=90°,

tan/BAC=',

A.1DO

設(shè)AB=3力，則BC—^x.

vAB2+BC2=AC2,

(3①y+(4力尸=162,

解得：■(舍去負(fù)值)，

5

.?.AB=冬,BC=磐.

55

?：OD_LAC,

??tanZBAC=-y^-=弓,

設(shè)OD=4y,

則OB=4g,AD=3g,

OA=y/OD2+ADi=5y,

A8=OA+OB=9g=F

解得：y—~^,

15

/.03=粵，即。。半徑為粵.

1515

???F是AC中點(diǎn)，

??.AF=CF=BF=8,

??.ZABF=ZBAF.

,：OB=OE,

：./OBE=NOEB,

???/ABF=ABAF=NOBE=Z.OEB,

：./\OBE-/\FBA,

64

?BE_OB艮口BE_15

??AB-BF坐―8，

5

解得：助=崇，

:.EF=BF-EF=8-嗓=噲.

2525

【點(diǎn)睛】本題考查切線的性質(zhì)與判定，三角形全等的判定與性質(zhì)，三角形相似的判定和性質(zhì)，等腰三角形的

性質(zhì)，直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，勾股定理，解直角三角形等知識.在解圓的相關(guān)題型中，連接常用的

輔助線是解題關(guān)鍵.

15.如圖，在四邊形4BCD中，49平分乙B4D.點(diǎn)。在AC上，以點(diǎn)O為圓心，OA為半徑，作。。與

相切于點(diǎn)B,60延長線交。O于點(diǎn)瓦交AD于點(diǎn)連接

（1）求證：CD是0O的切線；

（2）若4￡；=下=8,求4F的長.

【答案】（1）見解析

（2）AF=4V3

【分析】本題考查了圓的切線的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，圓周角

等知識，掌握圓的相關(guān)性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

（1）連接QD,根據(jù)圓的切線的性質(zhì)，得到ZCBO=90°,根據(jù)角平分線的定義以及等邊對等角的性質(zhì)，得到

/043=/>180=/0人?=/0￡!4,進(jìn)而得出/BOC=/DOC,推出ABOCZADOC\SAS）,得到

NCBO=ZGDO=90°,即可證明結(jié)論；

⑵根據(jù)同弧所對的圓周角相等，得到ADAE=NABO，進(jìn)而得出ABAO=AOAD=NDAE,再根據(jù)直徑

所對的圓周角是直角，得出ABAO=AOAD=NDAE=NABO=30°,NAFE=90°,由30度角所對的直

角邊等于斜邊一半，得到=4,再結(jié)合勾股定理求解即可.

【詳解】（1）證明：如圖，連接OD.

為圓。的切線，

.?.ZCBO=90°.

???AO平分/BAD,

：.ZOAB^ZOAF.

?：OA^OB^O