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文檔簡介
2024學(xué)年上海市川沙中學(xué)高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期中考試卷
一、填空題(本大題共12題,1-6每題4分,7-12每題5分,共54分)
1,已知集合“=(一1'3),8=(1,4),則-8=
2.不等式Ix-11<2的解集是.
3.已知馬=1+1,Z2=2+3I(其中,?為虛數(shù)單位),貝ijZ+z2=
4.已知二項(xiàng)式(“+")展開式中,Xz項(xiàng)的系數(shù)為80,則。=.
5.已知一組數(shù)據(jù)6,7,8,9,〃?的平均數(shù)是8,則這組數(shù)據(jù)的方差是.
6.若數(shù)列{%}為首項(xiàng)為3,公比為2的等比數(shù)列,則$6=.
7.某船在海平面A處測得燈塔B在北偏東30°方向,與A相距6.0海里,船由A向正北方向航行8.1海
里到達(dá)C處,這時(shí)燈塔B與船相距海里.(精確到0.1海里)
8.已知函數(shù)/(》)="/+回+"+1|為偶函數(shù),則不等式/(X)〉°的解集為.
9.在VZ8C中,三個(gè)內(nèi)角A、B、C所對的邊分別為a、b、c,若V/8C的面積LBC=2百,a+b=6,
acosB+bcosA3「
---------------二2cosC
c,則°=.
2y2
10.雙曲線x/的右焦點(diǎn)為大(2夜,0),點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0,1),點(diǎn)P為雙曲線左支
上的動(dòng)點(diǎn),且4/P片周長的最小值為8,則雙曲線的離心率為.
/--\7irr
一工___=-_2_-a—b
11.己知見名。是平面向量,值與己是單位向量,且'/2,若b-勖吧+15=0,則的最小
值為.
12.已知定義在R上的函數(shù)存在導(dǎo)數(shù),對任意的實(shí)數(shù)x,都有/(x)-/(-x)=2x,且當(dāng)xe(0,+oo)
時(shí),/'(x)>l恒成立,若不等式a)22a-1恒成立,則實(shí)數(shù)0的取值范圍是.
二、選擇題(本大題共4題,第13、14題每題4分,第15、16題每題5分,共18分)
13.若實(shí)數(shù)'滿足?!?〉0,下列不等式中恒成立的是()
A.a+b>2y[abB.a+b<2>fabC.—+2Z)>2\fabD.—+2b<2y[ab
14.設(shè)aeR,貝U“a=1”是“直線ax+2y=0與直線x+(a+l)y+2=0平行”的()
A.充分不必要條件B,必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條
件
15.設(shè){an}是等差數(shù)列.下列結(jié)論中正確的是
A若可+%〉0,則。2+。3〉0B.若+。3<0,則+。2<0
C,若0<%<。2,則。2〉D,若q<0,貝—4])(出一名)>0
16.在正方體48co-481G3中,點(diǎn)尸,。分別是線段48],4G上的點(diǎn)(不為端點(diǎn)),給出如下兩個(gè)
命題:
①對任意點(diǎn)P,均存在點(diǎn)0,使得
②存在點(diǎn)尸,對任意的。,均有「。,£?與,貝I]()
A.①②均正確B.①②均不正確
C.①正確,②不正確D.①不正確,②正確
三、解答題(本大題共5題,共14+14+14+18+18=78分)
17.如圖,在三棱錐Z—BCD中,平面4a0,平面頗,4?=Z。,。為AD的中點(diǎn).
A*
/J\
...人…、....
^^******^\
C
(1)求證:AOLCD;
(2)9DLDC,BD=DC,A0=B0,求異面直線8C與2。所成的角的大小.
18.設(shè)xeA,函數(shù)/(x)=cosx+sinx,g(x)=cosx-sinx.
(1)求函數(shù)E(X)=〃X>g(x)+/2(X)的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間;
1,2
(2)若/(x)=2g(x),求—,+sm>——的值.
cosx-sinxcosx
19.已知某單位甲、乙、丙三個(gè)部門的員工人數(shù)分別為24,16,16.現(xiàn)采用分層抽樣的方法從中抽取7人,
2
進(jìn)行睡眠時(shí)間的調(diào)查.
(I)應(yīng)從甲、乙、丙三個(gè)部門的員工中分別抽取多少人?
(II)若抽出的7人中有4人睡眠不足,3人睡眠充足,現(xiàn)從這7人中隨機(jī)抽取3人做進(jìn)一步的身體檢查.
(i)用X表示抽取的3人中睡眠不足的員工人數(shù),求隨機(jī)變量X的分布列與數(shù)學(xué)期望;
(ii)設(shè)/為事件“抽取的3人中,既有睡眠充足的員工,也有睡眠不足的員工”,求事件/發(fā)生的概率.
20.設(shè)常數(shù)/>2.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知點(diǎn)尸(2,0),直線/:X」,曲線「:J?=(0w%yz0),
/與x軸交于點(diǎn)/、與:r交于點(diǎn)&p、。分別是曲線r與線段上的動(dòng)點(diǎn).
(1)用f表示點(diǎn)2到點(diǎn)廠距離;
(2)設(shè)/=3,I尸01=2,線段。。的中點(diǎn)在直線FP上,求△/。戶的面積;
(3)設(shè)右8,是否存在以尸尸、尸。為鄰邊的矩形EPE0,使得點(diǎn)E在T上?若存在,求點(diǎn)尸的坐標(biāo);若
不存在,說明理由.
21.已知函數(shù)/(x)=x-l-alnx,aeR.
(1)當(dāng)。=1時(shí),求/(x)的嚴(yán)格增區(qū)間;
(2)若/(x)30恒成立,求。的值;
(3)對于任意正整數(shù)〃,是否存在整數(shù)機(jī),使得不等式(1+;)(1+城)…(1+羨)〈加成立?若存在,請
求出加的最小值;若不存在,請說明理由.
3
2024學(xué)年上海市川沙中學(xué)高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期中考試卷
一、填空題(本大題共12題,1-6每題4分,7-12每題5分,共54分)
1,已知集合“=(一1'3),8=(1,4),則-8=
【答案】(1,3)
【解析】
【分析】根據(jù)交集運(yùn)算求解.
【詳解】因?yàn)?=(—1,3),8=(1,4),
所以/c5=(l,3),
故答案為:(1,3)
2.不等式|x-11<2的解集是.
【答案】(-1,3)
【解析】
【分析】根據(jù)絕對值的意義直接求解即可.
【詳解】???|x-l|<2,
:.—2<x—1<2,
解得—1<x<3,
所以不等式的解集為(-1,3).
故答案為:(-1,3)
3.已知Z=l+i,z2=2+3i(其中z?為虛數(shù)單位),則句+%=.
【答案】3-2i##-2i+3
【解析】
【分析】由共輾復(fù)數(shù)的概念及復(fù)數(shù)的加法求4+的即可.
【詳解】由題設(shè),Z[+W=l+i+2-3i=3-2i-
故答案為:3-2i
4.已知二項(xiàng)式(x+a)s展開式中,V項(xiàng)的系數(shù)為80,則。=.
【答案】2
4
【解析】
【分析】根據(jù)二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式,將f項(xiàng)的系數(shù)表達(dá)式求出等于80,
再求解關(guān)于。的方程即可.
【詳解】(x+af的展開式的通項(xiàng)為(+1=仁/一%,,
令5-r=2,得r=3,
則X2項(xiàng)的系數(shù)=80,解得a=2;
故答案為:2.
5.已知一組數(shù)據(jù)6,7,8,9,優(yōu)的平均數(shù)是8,則這組數(shù)據(jù)的方差是.
【答案】2
【解析】
【分析】由一組數(shù)據(jù)6,7,8,9,%的平均數(shù)是8,先求出%=10,由此能求出這組數(shù)據(jù)的方差.
【詳解】:一組數(shù)據(jù)6,7,8,9,機(jī)的平均數(shù)是8,
—(6+7+8+9+ni)=8,解得〃?=10,
.?.這組數(shù)據(jù)的方差屋=([(6-8)2+(7-8)2+(8-8)2+(9-8)2+(10-8)2]=2.
故答案為:2
【點(diǎn)睛】本題考查一組數(shù)據(jù)的方差的求法,是基礎(chǔ)題,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意平均數(shù)、方差計(jì)算公式
的合理運(yùn)用.
6.若數(shù)列{%}為首項(xiàng)為3,公比為2的等比數(shù)列,則其=.
【答案】189
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件,利用等比數(shù)列前〃項(xiàng)和公式計(jì)算即得.
【詳解】由數(shù)列{2}為首項(xiàng)為3,公比為2的等比數(shù)列,得$6=3(1一26)=]89.
故答案為:189
7.某船在海平面A處測得燈塔B在北偏東30。方向,與A相距6.0海里,船由A向正北方向航行8.1海
里到達(dá)C處,這時(shí)燈塔B與船相距—海里.(精確到0.1海里)
【答案】4.2
【解析】
5
【詳解】由余弦定理得燈塔B與船相距J8.F+62—2x6x8.1xcos30°<4.2
8.已知函數(shù)/(x)=a/+|x+a+l|為偶函數(shù),則不等式/(x)〉0的解集為.
【答案】(―1,O)U(O,1)
【解析】
【分析】由函數(shù)為偶函數(shù)求出。,再解不等式即可.
【詳解】由函數(shù)/(工)=辦2+〔》+〃+1](xG.R)為偶函數(shù),
則f(-1)=/⑴,即a+時(shí)=a++2],
解得a=-1,
此時(shí)f(x)=-x2+|x|,
因?yàn)?(—x)=—/(x),
所以函數(shù)/(久)是偶函數(shù),符合題意,
由/(x)〉0即一Y+IXI〉0,即TX「+|XI〉0,
解得-1cx<1且xw0,
所以不等式的解集為(-1,O)U(O,1).
故答案為:(-1,0)U(0,1)
9.在V4BC中,三個(gè)內(nèi)角A、8、。所對的邊分別為a、b、c,若V48C的面積=2百,a+b=6,
tzcosS+Z)COSTIC「
---------------二2cosC,貝!jc=
【答案】2g
【解析】
zyccqZ?_i_ACCSA
【分析】由正弦定理、誘導(dǎo)公式、兩角和的正弦公式化簡---------------=2cosC,由。的范圍特殊
c
角的三角函數(shù)值求出C,代入三角形的面積公式列出方程,利用余弦定理列出方程,變形后整體代入求
出c的值.
【詳角軍】由"C°s5+"c°s4=2cosc可得acosB+/?cosZ=2ccosC,
c
在VABC中,由正弦定理得:sin^cosS+sinScos^=2sinCcosC
/.sinQ+5)=2sinCcosC,
6
A.B=7i—C,
sin(Z+B)=sinC=2sinCcosC,
sinCw0,.\cosC=—,
2
由0<C<〃得,c=-
3
由S=2百得!。6$也。=2A/3,
△zAlzR>C“2
得ab=8,
?「Q+b=6,
2
由余弦定理得/=/+^2_2^cosC={a+b)-lab-labcosC=36-16-8=12
解得c=2A/3,
故答案為:2c.
10.雙曲線1-。=1(?!?)〉0)的右焦點(diǎn)為片(2拒,0),點(diǎn)八的坐標(biāo)為(0,1),點(diǎn)尸為雙曲線左支
上的動(dòng)點(diǎn),且△力?片周長的最小值為8,則雙曲線的離心率為.
【答案】2亞
【解析】
【分析】根據(jù)片的周長為/=]/△|+1期|+|/尸|,結(jié)合雙曲線的定義,轉(zhuǎn)化為/=3+2“+1尸工|+|/司,
當(dāng)4P,與三點(diǎn)共線時(shí),周長/取得最小值求解.
【詳解】設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)為£卜2拒,0),又以片|=3,
所以A/尸有的周長為/=|“周+|附|+卜尸|=3+附|+舊尸|,
由雙曲線的定義得|「耳卜|尸周=2%即忸周=歸閭+2。,即/=3+2a+|產(chǎn)用+|仍,
當(dāng)4P,與三點(diǎn)共線時(shí),周長/取得最小值,此時(shí)|尸劇+|/尸同4瑪|=3,
所以3+24+3=8,解得a=l,所以e=£=20.
a
故答案為:2后
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛:本題主要考查雙曲線的定義以及幾何性質(zhì),理解三點(diǎn)共線時(shí)兩線段距離和取得最
7
小值是解題的關(guān)鍵,考查方程思想和運(yùn)算能力,屬于中檔題.
I'I'
11.已知。區(qū)c是平面向量,。與己是單位向量,且卜,c)=5,若片_8沆"+15=0,則。一6的最小
值為.
【答案】V17-1
【解析】
I'r
【分析】把條件的二次方程分解成兩個(gè)向量的積,得到這兩個(gè)向量互相垂直,結(jié)合圖形確定a-6的最
小值.
【詳解】如下圖所示,設(shè)厲=2礪=3,*歷=花次=G
1/S2-8S-C+15=0且,|=1|=1
/.b-86-c+15c=0
/.e-30).(B-5C)=0
.?.(S-35)±(S-5C)
/.DB=b-3c,EB=b-5c
???點(diǎn)5在以方為圓心,DE為直徑的圓上
又BA=Q-B
當(dāng)點(diǎn)2為圓廠和線段E4的交點(diǎn)的時(shí)候,|互最短
.-.|a-6|=V42+l2-1=V17-1
故答案為:V17-1
12.已知定義在R上的函數(shù)/(x)存在導(dǎo)數(shù),對任意的實(shí)數(shù)x,都有/(x)-/(-x)=2x,且當(dāng)xe(0,+8)
8
時(shí),/'(x)>l恒成立,若不等式/(a)-/(l-a)22a-1恒成立,則實(shí)數(shù)。的取值范圍是.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件,構(gòu)造函數(shù)g(x)=〃x)-x,利用導(dǎo)數(shù)及函數(shù)的奇偶性求解不等式即可得答案.
【詳解】由/(x)—/(—x)=2x,得/(x)—x=/(—x)—(—x),
記g(x)=/(x)-x,則有g(shù)(x)=g(—x),即g(x)為偶函數(shù),
又當(dāng)xe(0,+oo)時(shí),g'(x)=/'(x)-1〉0恒成立,即g(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增,
由/(a)-/(I一a)22a-1,得f{a}-a>/(l-a)-(l-a),
于是g(a)2g(l-a),gpg(|a|)>g(|l-a|),
因此I。以1一a|,即/Ni+I—Za,解得
2
所以實(shí)數(shù)。的取值范圍是
故答案為:]件001
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛:變形給定等式,構(gòu)造函數(shù)并探討函數(shù)性質(zhì)是求解不等式的關(guān)鍵.
二、選擇題(本大題共4題,第13、14題每題4分,第15、16題每題5分,共18分)
13.若實(shí)數(shù)。、6滿足a〉b〉O,下列不等式中恒成立的是()
A.a+b>2y[abB.a+b<2y[abC.—+2b>2s[abD.—+2b<2y[ab
【答案】A
【解析】
【分析】利用作差法可判斷各選項(xiàng)中不等式的正誤.
【詳解】因?yàn)閍〉b〉O,則a+b—2碗=(后—花丁〉0,故a+Z?〉24K,A對B錯(cuò);
>26—2荷—jg—6j>0,即尹2/^而,
a
當(dāng)且僅當(dāng)一二26時(shí),即當(dāng)。=4b時(shí),等號成立,CD都錯(cuò).
2
9
故選:A.
14.設(shè)aeR,則“a=1”是“直線"+2y=0與直線x+(a+l)y+2=0平行”的()
A,充分不必要條件B,必要不充分條件C.充要條件D,既不充分也不必要條
件
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)兩直線平行列出方程,求出:a=-2或1,驗(yàn)證后均符合要求,從而得到“a=1”是“直
線ax+2y=0與直線x+(a+1)>+2=0平行”的充分不必要條件.
【詳解】當(dāng)a=l時(shí),x+2y=0與x+2y+2=0的斜率相等,故平行,充分性成立,
若“直線ax+2y=0與直線x+(a+l)y+2=0平行”,則滿足a(a+l)—2=0,
解得:a=-2或1,經(jīng)驗(yàn)證,:a=-2或1時(shí),兩直線不重合,故:a=-2或1,兩直線平行,故必要
性不成立.
故選:A
15.設(shè){an}是等差數(shù)列,下列結(jié)論中正確的是
A,若為+。2〉0,則+。3〉0B,若%+生<0,則%+<0
C.若0</<。2,則〉J%%D.若%<0,貝!](%一一%)>0
【答案】C
【解析】
【詳解】先分析四個(gè)答案,A舉一反例q=2,電=一1,。3=-4,/+。2〉0而。2+。3<0,A錯(cuò)誤,B
舉同樣反例%=2,電=一1,%=-4,%+。3<°,而%+出〉0,B錯(cuò)誤,
D選項(xiàng),—q=—%)(%—%)=~d~V0,故D錯(cuò),
下面針對C進(jìn)行研究,{%}是等差數(shù)列,若0<%<的,則%>o,設(shè)公差為d,則d〉0,數(shù)列各項(xiàng)均
為正,由于出?一%%=(%+d)2一%(%+2d)=a:+2%d+1?-a;-2a/=fiP>0,貝!]
a;>%%=>/>J%%,
故選C.
考點(diǎn):本題考點(diǎn)為等差數(shù)列及作差比較法,以等差數(shù)列為載體,考查不等關(guān)系問題,重點(diǎn)是對知識本質(zhì)
10
的考查.
16.在正方體48co-4名。。1中,點(diǎn)尸,。分別是線段/用,4G上的點(diǎn)(不為端點(diǎn)),給出如下兩個(gè)
命題:
①對任意點(diǎn)尸,均存在點(diǎn)0,使得尸。
②存在點(diǎn)尸,對任意的。,均有尸。,£(四,則()
A.①②均正確B.①②均不正確
C.①正確,②不正確D.①不正確,②正確
【答案】D
【解析】
【分析】建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法來確定正確答案.
【詳解】設(shè)正方體的邊長為1,以。為原點(diǎn)建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系,
C(0,1,0),^(0,0,1),CD;=(0,-1,1),呂(W),西
設(shè)尸(1戶,力,。(丁,1一%1),0<x<l,0<J<1,Pg=(j-l,l-x-v,l-x),
①西質(zhì)=(0,_1,1).3_1,1—/一)
=x+y-l+l-x=ye(O,l),所以尸。與不垂直,①錯(cuò)誤
②函屈=(1,1,1).(11-八—)
=y-l+l-x-v+l-x=-2x+l,令-2x+l=0,解得x=L
'2
所以對任意的0,存在尸,使得尸。,。呂,此時(shí)尸是2片的中點(diǎn),②正確.
故選:D
三、解答題(本大題共5題,共14+14+14+18+18=78分)
17.如圖,在三棱錐/—BCD中,平面4a0,平面8切,4?=4。,。為AD的中點(diǎn).
11
(1)求證:AOLCD,
(2)若AD,DC,8D=DC,Z0=8。,求異面直線BC與所成的角的大小.
【答案】(1)證明見解析;
⑵
3
【解析】
【分析】(1)利用面面垂直的性質(zhì)、線面垂直的性質(zhì)推理即得.
(2)分別取4B,ZC的中點(diǎn)M,N,利用幾何法求出異面直線3C與所成的角.
【小問1詳解】
在三棱錐Z—BCD中,由28=2。,。為8。的中點(diǎn),得49J_5£),
而平面4a0,平面BC。,平面4aoe平面BCZ)=5。,NOu平面48。,
因此平面8cD,又CDu平面BCD,
所以49J_CD.
【小問2詳解】
分別取48,ZC的中點(diǎn)M,N,連接0M,0N,MN,子是MN/1BC,0MI/AD,
則N0MN是異面直線BC與AD所成的角或其補(bǔ)角,
由(1)知,AOLBD,又AO=BO,AB=AD,
TVTT
則NADB=ZABD=-,于是ABAD=—,
42
令A(yù)B=AD=2,則DC=5。=2后,又BDLDC,
12
則有BC=^BD2+DC2=4,
OC=YJDC2+0D2=Vio>又/OJ■平面8C。,OCu平面BCD,
則/O_LOC,49=0,AC=slAO2+OC2=2>/3?
由M,N分別為48,ZC的中點(diǎn),^MN=-BC=2,OM=-AD=\,ON=-AC=43,
222
7TOM171
顯然;W?=4=。河2+狽2,即有NMON=—,cosZOMN=----=-,則N07W=-,
2MN23
jr
所以異面直線BC與AD所成的角的大小一.
3
18.設(shè)xeR,函數(shù)/(x)=cosx+sinx,g(x)=cosx-sinx.
(1)求函數(shù)/(%)=/卜)名卜)+/2(》)的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間;
(2)若/(x)=2g(x),求—J+sin-x——的值.
cosx-sinxcosx
3TZ"7T
【答案】(1)最小正周期為",單調(diào)遞增區(qū)間是k7T--,k7r+-(左eZ);
_ooJ
⑵U
6
【解析】
【分析】(1)根據(jù)題意利用二倍角的三角函數(shù)公式與輔助角公式,化簡得尸(x)=Csin[2x+?1+l.再
由三角函數(shù)的周期公式與正弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間公式加以計(jì)算,可得函數(shù)E(x)的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)
間;
(2)根據(jù)/(x)=2g(x)算出3sinx=cosx,從而得出tanx=;.再利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系進(jìn)
行“弦化切”,可得所求分式的值.
【詳解】(1)F(x)=(cosx+sinx)(cosx-sinx)+(cosx+sinx)
=cos2x-sin2x+1+2sinxcosx=sin2x+cos2x+1=后sin[2x++1,
所以,函數(shù)歹(x)的最小正周期為九.
13
._,TC_TCJr
由2k兀----<2x-\——<2左乃+5■(左wZ),得左不一—<x<k7i+—(kEZ),
2488v7
所以函數(shù)/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是kji-,k7i+—(keZ].
88v7
(2)由題意,cosx+sinx二2(cosx-sinx),3sinx=cosx,
所以,tanx=』.
3
所以,J+sNx―cos2x+2sin2xl+2tan2x11
cosx-sinxcosxcos2x-sinxcosx1-tanx6
【點(diǎn)睛】本題考查sinx型函數(shù)最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間,以及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系,屬于中檔題.
19.已知某單位甲、乙、丙三個(gè)部門的員工人數(shù)分別為24,16,16.現(xiàn)采用分層抽樣的方法從中抽取7人,
進(jìn)行睡眠時(shí)間的調(diào)查.
(I)應(yīng)從甲、乙、丙三個(gè)部門的員工中分別抽取多少人?
(II)若抽出的7人中有4人睡眠不足,3人睡眠充足,現(xiàn)從這7人中隨機(jī)抽取3人做進(jìn)一步的身體檢查.
⑴用X表示抽取的3人中睡眠不足的員工人數(shù),求隨機(jī)變量X的分布列與數(shù)學(xué)期望;
(ii)設(shè)/為事件“抽取的3人中,既有睡眠充足的員工,也有睡眠不足的員工”,求事件/發(fā)生的概率.
【答案】(I)從甲、乙、丙三個(gè)部門的員工中分別抽取3人,2人,2人.(ID&)答案見解析;(ii)
6
7-
【解析】
【詳解】分析:(I)由分層抽樣的概念可知應(yīng)從甲、乙、丙三個(gè)部門的員工中分別抽取3人,2人,2
人.
(II)(z)隨機(jī)變量X的所有可能取值為0,1,2,3.且分布列為超幾何分布,即尸(心無)=
12
(仁0,1,2,3).據(jù)此求解分布列即可,計(jì)算相應(yīng)的數(shù)學(xué)期望為£(萬)=亍.
(拓)由題意結(jié)合題意和互斥事件概率公式可得事件/發(fā)生的概率為.
7
詳解:(I)由已知,甲、乙、丙三個(gè)部門的員工人數(shù)之比為3:2:2,
由于采用分層抽樣的方法從中抽取7人,
因此應(yīng)從甲、乙、丙三個(gè)部門的員工中分別抽取3人,2人,2人.
(II)(力隨機(jī)變量X的所有可能取值為0,1,2,3.
14
C”
P(X=k)=go,1,2,3).
1
所以,隨機(jī)變量x的分布列為
X0123
112184
P
35353535
12
隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望£(x)=oxLJ+2x竺+3」=
353535357
(萬)設(shè)事件3為“抽取的3人中,睡眠充足的員工有1人,睡眠不足的員工有2人”;
事件C為“抽取的3人中,睡眠充足的員工有2人,睡眠不足的員工有1人”,
則/=3UC,且2與C互斥,
由(z)知,P(B尸P(X=2),P(C)=P(X=l),
6
故P(A)=P(BUQ=P(X=2)+P(X=1)=-.
所以,事件/發(fā)生的概率為9.
7
點(diǎn)睛:本題主要在考查超幾何分布和分層抽樣.超幾何分布描述的是不放回抽樣問題,隨機(jī)變量為抽到的
某類個(gè)體的個(gè)數(shù).超幾何分布的特征是:①考查對象分兩類;②已知各類對象的個(gè)數(shù);③從中抽取若干
個(gè)個(gè)體,考查某類個(gè)體個(gè)數(shù)X的概率分布,超幾何分布主要用于抽檢產(chǎn)品、摸不同類別的小球等概率模
型,其實(shí)質(zhì)是古典概型.進(jìn)行分層抽樣的相關(guān)計(jì)算時(shí),常利用以下關(guān)系式巧解:(1)
樣本容勤該層抽取的個(gè)體數(shù)
;(2)總體中某兩層的個(gè)體數(shù)之比=樣本中這兩層抽取的個(gè)體數(shù)
總體的個(gè)數(shù)乂該層的個(gè)體數(shù)
之比.
20.設(shè)常數(shù)/>2.在平面直角坐標(biāo)系xQy中,已知點(diǎn)打2,0),直線hx=t,曲線F:/=8x(0WxV20),
/與x軸交于點(diǎn)/、與r交于點(diǎn)反p、。分別是曲線r與線段上的動(dòng)點(diǎn).
(1)用f表示點(diǎn)2到點(diǎn)廠距離;
(2)設(shè)/=3,I尸01=2,線段O。的中點(diǎn)在直線FP上,求尸的面積;
(3)設(shè)尸8,是否存在以尸尸、尸。為鄰邊的矩形尸尸£。,使得點(diǎn)E在:T上?若存在,求點(diǎn)尸的坐標(biāo);若
不存在,說明理由.
【答案】⑴\BF\=t+2.(2)述;
(3)存在,
6
15
【解析】
【分析】(1)方法一:設(shè)出臺點(diǎn)坐標(biāo),根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式求解出忸目的值,
方法二:根據(jù)拋物線的定義,即可求得忸目的值;
(2)根據(jù)拋物線的性質(zhì),求得。點(diǎn)坐標(biāo),即可求得。。的中點(diǎn)坐標(biāo),即可求得直線PR的方程,代入拋
物線方程,即可求得P點(diǎn)坐標(biāo),則△ZQP的面積可求;
(3)設(shè)P,E坐標(biāo),根據(jù)kpF-kFQ=-l求得直線QF的方程和。點(diǎn)坐標(biāo),再根據(jù)麗+畫=而求得E
點(diǎn)坐標(biāo),貝ij根據(jù)(48+為了=8(誓+6)可求得尸點(diǎn)坐標(biāo).
僅8
【詳解】解:(1)方法一:由題意可知:設(shè)B(t,2⑤),貝iJ|RF|=J?-2)2+8l=4+2,.,.\BF\=t+2;
法二:由題意設(shè)萬),由拋物線的性質(zhì)可知:[8尸|=/+曰=/+2,.?.|AF|=7+2;
(2)VF(2,0),|尸。|=2,t=3,2(3,0),則
;?|=加0『殲=拒,二。(3,6),設(shè)。。的中點(diǎn)。,
V30
a同o
D(-,—).kpF=$——=一百,則直線尸尸方程:j=-V3(x-2),
229一2
2
聯(lián)立<—步"一",整理得:3x2-20x+12=0)解得:x=~,x=6(舍去),
/=8x3
???△NQP的面積S=g?|/0Hx/_x/=gxGxg=y;
22k=%=8%]6_V2
(3)存在,設(shè)尸(-^-,為),,則"才方一]6且尸尸"L?,?左尸。=—-一~,
88,O一2雙
直線好方程為發(fā)守"-2),.j=4(8—2)=七,。⑶竺”),
又因?yàn)樗倪呅蜤PE0為矩形,所以而+匝=而,則E(?+6,48+4
84yo
16
+6),解得:%即尸
7
存在以郎、尸。為鄰邊的矩形EPE。,使得點(diǎn)E在「上,且P《,
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛:解答本題第三問的關(guān)鍵在于利用矩形EPE0的兩個(gè)特點(diǎn)去分析問
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