2025屆高中數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專練：排列、組合與二項(xiàng)式定理

排列、組合與二項(xiàng)式定理

一、選擇題

1.甲同學(xué)計劃分別從3份不同的語文試卷、5份不同的數(shù)學(xué)試卷中各任選1份試卷練

習(xí)，則不同的選法共有（）

A.8種B.15種C.35種D.53種

2.J_2+116的展開式中,Q的系數(shù)為（）

（）Jb-

A.60B.120C.-60D.-120

3.一個三位自然數(shù)百位，十位，個位上的數(shù)字依次為瓦c,當(dāng)且僅當(dāng)a>b，〃<c時稱為

凹數(shù)”（如213,312等），若a,b,ce{l,2,3,4},且dc互不相同，則這個三位數(shù)為“凹數(shù)

的概率為（）

A，!B-i

、6

4.yfx--的展開式中有理項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)為（）

I

A.0B.1C.2D.3

5.“四書五經(jīng)”是我國9部經(jīng)典名著《大學(xué)》《論語》《中庸》《孟子》《周易》《尚

書》《詩經(jīng)》《禮記》《春秋》的合稱.為弘揚(yáng)中國傳統(tǒng)文化，某校計劃在讀書節(jié)活動期

間舉辦“四書五經(jīng)”知識講座,每部名著安排1次講座，若要求《大學(xué)》、《論語》、《周

易》均不相鄰，則排法種數(shù)為（）

A.A：A；B.A：A；C.A：A；A；D.A；A：

6.2024年3月22日國家文物局在北京公布2023年《全國十大考古新發(fā)現(xiàn)》，安徽省

皖南地區(qū)郎溪縣磨盤山遺址成功入選并排名第三，經(jīng)初步確認(rèn)，該遺址現(xiàn)存馬家浜文化區(qū)

、松澤文化區(qū)、良渚文化區(qū)、錢山漾文化區(qū)四大區(qū)域，總面積約6萬平方米.該遺址延續(xù)時

間長、譜系完整,是長江下游地區(qū)少有的連續(xù)時間近4000年的中心性聚落.對認(rèn)識多元化

一體中華文明在皖南地區(qū)的演進(jìn)方式具有重要的價值，南京大學(xué)歷史學(xué)院趙東升教授團(tuán)

隊現(xiàn)在對該遺址四大區(qū)域進(jìn)行考古發(fā)掘,現(xiàn)安排包含甲、乙在內(nèi)的6名研究生同學(xué)到這4

個區(qū)域做考古志愿者，每人去1個區(qū)域，每個區(qū)域至少安排1個人，則甲、乙兩人安排在相

同區(qū)域的方法種數(shù)為（）

A.96B.144C.240D.360

二、多項(xiàng)選擇題

23

7.設(shè)（3%-2）（1+%）6=%+axx+a2x+a3x+…+%%‘,則下列結(jié)論正確的是（）

A.a0=—2

B.4=85

C.q+%+生+%=32

D.4+2q+2~g+2%3—,+2,%=2916

8.某人設(shè)計一項(xiàng)單人游戲，規(guī)則如下：先將一棋子放在如圖所示正方形ABCD（邊長

為2個單位）的頂點(diǎn)A處，然后通過擲骰子來確定棋子沿正方形的邊按逆時針方向行

走的單位，如果擲出的點(diǎn)數(shù)為幣=1,2,…,6）,則棋子就按逆時針方向行走，?個單位，

一直循環(huán)下去.某人拋擲三次骰子后棋子恰好又回到點(diǎn)A處，則（）

A.三次骰子后所走的步數(shù)可以是12

B.三次骰子的點(diǎn)數(shù)之和只可能有兩種結(jié)果

C.三次骰子的點(diǎn)數(shù)之和超過10的走法有6種

D.回到點(diǎn)A處的所有不同走法共有27種

三、填空題

9.已知［+x-￡|12x+J的展開式中常數(shù)項(xiàng)為80,則。=.

10.某學(xué)校開設(shè)了4門體育類選修課和4門藝術(shù)類選修課，學(xué)生需從這8門課中選修2

門或3門課，并且每類選修課至少選修1門，則不同的選課方案共有種

（用數(shù)字作答）.

11.2024年7月14S13時,2024年巴黎奧運(yùn)會火炬開始在巴黎傳遞，其中某段火炬?zhèn)?/p>

遞活動由包含甲、乙、丙在內(nèi)的5名火炬手分四棒完成，若甲傳遞第一棒，最后一棒由2

名火炬手共同完成，且乙、丙不共同傳遞火炬，則不同的火炬?zhèn)鬟f方案種數(shù)為.

四、解答題

12.電影《志愿軍雄兵出擊》講述了在極其簡陋的裝備和極寒嚴(yán)酷環(huán)境下，中國人民志

愿軍憑著鋼鐵意志和英勇無畏的精神取得入朝作戰(zhàn)第一階段戰(zhàn)役的勝利,著名的“松骨

峰戰(zhàn)斗”在該電影中就有場景.現(xiàn)有3名男生和4名女生相約一起去觀看該影片,他們的

座位在同一排且連在一起.(列出算式，并計算出結(jié)果)

(1)女生必須坐在一起的坐法有多少種？

(2)女生互不相鄰的坐法有多少種？

(3)甲、乙兩位同學(xué)相鄰且都不與丙同學(xué)相鄰的坐法有多少種？

13.現(xiàn)有9件產(chǎn)品，其中4件一等品,3件二等品,2件三等品，從中抽取3件產(chǎn)品.

(1)試問共有多少種不同的抽法？

(2)抽出的3件產(chǎn)品中一等品、二等品、三等品各1件的抽法共有多少種？

(3)抽出的3件產(chǎn)品中至少有1件二等品的抽法共有多少種？

參考答案

1.答案：B

解析：根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，不同的選法共有3x5=15種.

故選：B

2.答案：A

解析：由題意"二+J中含4的項(xiàng)為則4的系數(shù)為60,

\b)b26\b)b2b2

故選：A.

3.答案：C

解析：試題解題思路：由于a,/?,CG{1,2,3,4},且瓦?；ゲ幌嗤?故可得4x3x2=24個三

位數(shù).若人1,則“凹數(shù)”有:213,214,312,314,412,413共6個;若〃=2,則“凹數(shù)”有:

324,423共2個.所以這個三位數(shù)為“凹數(shù)”的概率為有p=色=’

243

4.答案：C

解析：(次-\612-5r

J3

的展開式的通項(xiàng)為4+1=C>(-=(-1)，C46

I7

當(dāng)廠=0或r=6時，為有理項(xiàng)，

故選：C.

5.答案：B

解析：先排《中庸》《孟子》《尚書》《詩經(jīng)》《禮記》《春秋》這6次經(jīng)典名著的

講座，共有A。種排法;再從7個空位中選3個，排《大學(xué)》《論語》《周易》這3次講座,

有A；種排法，故總共有

A;A；種排法;故選:B.

6.答案：C

解析：先將6名同學(xué)分成4組:一種方式是甲、乙組成一組，再從另外4人任選2人組成

一組，其余的一人一組;另一種方式是甲、乙與另外4人中的1人組成一組,其余的一人一

組.再把4組人分到4個區(qū)域，所以安排方法種數(shù)為?+C；)A：=240.故選C.

7.答案：ACD

解析：令％=0,則/=-2,故選項(xiàng)A正確；

(1+》)6的展開式的通項(xiàng)為&1=(2"(廠=0,1,2廣.,6),

又7；=20d,心=15必,從而(3x-2)(1+%)6的展開式中x3的系數(shù)為3xl5+(-2)x20=5,

故選項(xiàng)B錯誤；

令x=1,1^%+q+a,H—?+ci-j=(3x1—2),(1+1)，=64,

令尤=一1,得4-4+/一47=0，

兩式相減得2(%+/+%+%)=64,所以％+/+“5+%=32，故選項(xiàng)C正確；

令尤=2得4+2q+22a2+2,3+…+27％=(3x2—2>(1+2)6=2916,故選項(xiàng)D正確；

8.答案：BCD

解析：A、B：由題意知正方形ABC。(邊長為2個單位)的周長是8,拋擲三次骰子

后棋子恰好又回到點(diǎn)A處的表示三次骰子的點(diǎn)數(shù)之和是8,16,故A錯誤，B正確；

C、D：列舉出在點(diǎn)數(shù)中三個數(shù)字能夠使得和為8,16的125,134,116,224,233,

466,556,

共有7種組合，前2種組合125,134,每種情況可以排列出A；=6種結(jié)果，共有

2A；=2x6=12種結(jié)果；，116,224,233,466,556各有3種結(jié)果，共有5x3=15種

結(jié)果，其中點(diǎn)數(shù)之和超過10的走法為466,556,共有3x2=6種，故C正確；根據(jù)分

類計數(shù)原理知共有12+15=27種結(jié)果，故D正確；

故選：BCD.

9.答案：-工

2

解析：由+展開式的通項(xiàng)公式為&=G(2x)5]1]=25-CF力，令

5-2r=0,無整數(shù)解,令5—2r=—1,解得r=3,7；=—,令5—2r=l,解得r=2,

X

l=80x,，+x-412/工]展開式中的常數(shù)項(xiàng)為40-80a=80,解得a=-故答

案為-L

2

10.答案：64

解析：法一：由題意，可分三類：第一類，體育類選修課和藝術(shù)類選修課各選修1

門，有C；C；種方案；第二類，在體育類選修課中選修1門，在藝術(shù)類選修課中選修2

門，有C；C；種方案；第三類，在體育類選修課中選修2門，在藝術(shù)類選修課中選修1

門，有C；C；種方案.綜上，不同的選課方案共有C；C；+C；C；+C；C；=64（種）.

法二：若學(xué)生從這8門課中選修2門課，則有C；-瑪-Cj=16（種）選課方案；若學(xué)

生從這8門課中選修3門課，則有C；-C；-C；=48（種）選課方案.綜上，不同的選課

方案共有16+48=64（種）.

11.答案：10

解析：共有（C—l）xA；=10（種）不同的傳遞方案.

12.答案：（1）576

（2）144

（3）960

解析：（1）先將4