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文檔簡介

排列、組合與二項式定理

一、選擇題

1.二項式(x2+2]的展開式中的常數(shù)項為()

A.480B.240C.120D.15

2.一個三位自然數(shù)百位,十位,個位上的數(shù)字依次為。,瓦c,當(dāng)且僅當(dāng)a>b,b<c時稱為

“凹數(shù)”(如213,3如等),若a/ce{1,2,3,4},且。,瓦?;ゲ幌嗤?,則這個三位數(shù)為“凹數(shù)”

的概率為()

A」15B.—C.-17D.—

624324

3.在(3-《)5的展開式中,含義的項的系數(shù)為()

A.15B.-15C.270D.-270

4.在(2x-if的展開式中,4的系數(shù)為()

A.-80B.-40C.40D.80

5.在(x+l)(x+2)(x+〃zXx+〃)的展開式中,含丁的項的系數(shù)是7,則加+〃=()

A.lB.2C.3D.4

6.11+4)1+”7展開式中/項的系數(shù)為()

A.42B.35C.7D.1

7.在高考的任一考場中,都安排6行5列共30名考生,考號機選,考場使用A卷和

3卷兩種答卷以防作弊,且每名考生拿到A卷和3卷都是均等的,且相鄰考生答卷不

相同,甲乙兩名同學(xué)在同一考場,已知甲乙同列的情況下,則他們都拿到A卷的概率

()

1323

A.-B.—C.-D.-

51055

8.甲、乙、丙、丁、戊共5名同學(xué)進行數(shù)學(xué)建模比賽,決出了第1名到第5名的名次

(無并列情況).甲、乙、丙去詢問成績.老師對甲說:“你不是最差的.”對乙說:“很遺

憾,你和甲都沒有得到冠軍.”對丙說:“你不是第2名.”從這三個回答解題思路,5名同

學(xué)可能的名次排列情況種數(shù)為()

A.44B.46C.48D.54

二、多項選擇題

9.某學(xué)校高一年級數(shù)學(xué)課外活動小組中有男生7人,女生3人,則下列說法正確的是()

A.從中選2人,1人做正組長,1人做副組長,共有100種不同的選法

B.從中選2人參加數(shù)學(xué)競賽,其中男、女生各1人,共有21種不同的選法

C.從中選1人參加數(shù)學(xué)競賽,共有10種不同的選法

D.若報名參加學(xué)校的足球隊、羽毛球隊,每人限報其中的1個隊,共有100種不同的報名

方法

10.某人設(shè)計一項單人游戲,規(guī)則如下:先將一棋子放在如圖所示正方形ABCD(邊

長為2個單位)的頂點A處,然后通過擲骰子來確定棋子沿正方形的邊按逆時針方向

行走的單位,如果擲出的點數(shù)為中=1,2,…,6),則棋子就按逆時針方向行走,個單

位,一直循環(huán)下去.某人拋擲三次骰子后棋子恰好又回到點A處,則()

A.三次骰子后所走的步數(shù)可以是12

B.三次骰子的點數(shù)之和只可能有兩種結(jié)果

C.三次骰子的點數(shù)之和超過10的走法有6種

D.回到點A處的所有不同走法共有27種

11.若則x的值可能為()

A.3B.4C.5D.6

三、填空題

12.卜+W]的展開式中的常數(shù)項為.

13.二項式[盯一回j的展開式中的常數(shù)項為..

14.在(ax-4^展開式中爐的系數(shù)為—270,則a的值為.

四、解答題

15.已知6件不同的產(chǎn)品中有2件次品,4件正品,現(xiàn)對這6件產(chǎn)品一一進行測試,直

至確定出所有次品則測試終止.(以下請用數(shù)字表示結(jié)果)

(1)若恰在第2次測試時,找到第一件次品,且第4次測試時,才找到最后一件次

品,則共有多少種不同的測試情況?

(2)若至多測試4次就能找到所有次品,則共有多少種不同的測試情況?

16.75600有多少個正約數(shù)?有多少個正奇約數(shù)?

17.現(xiàn)有9件產(chǎn)品,其中4件一等品,3件二等品,2件三等品,從中抽取3件產(chǎn)品.

(1)試問共有多少種不同的抽法?

(2)抽出的3件產(chǎn)品中一等品、二等品、三等品各1件的抽法共有多少種?

(3)抽出的3件產(chǎn)品中至少有1件二等品的抽法共有多少種?

18.某次介紹會需要安排6個產(chǎn)品的介紹順序,其中3個產(chǎn)品來自A公司,2個產(chǎn)品來自

3公司,1個產(chǎn)品來自C公司.

(1)求3公司的2個產(chǎn)品的介紹順序相鄰的方案數(shù);

(2)求同一個公司產(chǎn)品的介紹順序不相鄰,C公司的產(chǎn)品既不是第一個介紹,也不是最后一

個介紹的方案數(shù).

19.一個口袋內(nèi)有4個不同的紅球,6個不同的白球,

(1)從中任取4個球,紅球的個數(shù)不比白球少的取法有多少種?

(2)若取一個紅球記,取一個白球記,從中任取5個球,使總分不少于的取法有多少

種?

參考答案

1.答案:B

解析:因為=*4=15x16=240.故選B.

2.答案:C

解析:試題解題思路:由于a,Z?,ce{l,2,3,4卜且仇c互不相同,故可得4x3x2=24個三

位數(shù).若》=1,則“凹數(shù)”有:213,214,312,314,412,413共6個;若b=2,則“凹數(shù)”有:

324,423共2個.所以這個三位數(shù)為“凹數(shù)”的概率為有P=§=■1.

243

3.答案:A

5r

解析:設(shè)二項展開式的第廠+1項為:7;+1=C;x3-(-^)\

由立=2r=4-

2

所以含好的項的系數(shù)為:Cjx35-4=15.

故選:A.

4.答案:A

解析:由二項式(2x-仔的通項為C;(2x)'j(-iy可得,

當(dāng)5—左=4,即左=1時,展開式中含有一項,

此時C;(2x)4(-1?=-16C*x4=-80x4,

因此一的系數(shù)為—80.

故選:A.

5.答案:D

解析:由題意可知展開式中含丁的項:/+2/+如3+依3=a+2+加+〃)/=7f

二加+〃=4,

故選:D.

6.答案:A

解析:(1+4的展開式通項為&=C;./(廠=0,1,2,...,7),

因為]+:}1+“7=(1+%)7+獷3(1+力7,

在廠=0,1,2,…,7)中,令\=3,可得J項的系數(shù)為C:=35;

在/G4=&〃-3億=0,1,2一.,7)中,令左—3=3,得左=6,可得/項的系數(shù)為

C;=7.

所以,11+(}1+力7展開式中/項的系數(shù)為35+7=42.

故選:A.

7.答案:A

解析:由于甲乙同列,則甲乙的座位選擇有A:=30種,若甲乙拿到A卷時,甲乙的座

位選擇有A;=6種,故概率為9=上

305

故選:A

8.答案:B

解析:解法一:多重限制的排列問題:

甲、乙都不是第一名且甲不是最后一名,且丙不是最后一名,即甲的限制最多,故以

甲為優(yōu)先元素分類計數(shù),

甲的排位有可能是第二、三、四3種情況:

①甲排第二位,乙排第三、四、五位,包含丙的余下3人有A;種排法,則有

lx3xA;=18;

②甲排第三、四位,乙排第二位,包含丙的余下3人有A;種排法,則有

2xlxA;=12;

③甲排第三、四位,乙不排第一、二位,即有2種排法,丙不排第二位,有2種排

法,余下2人有A;種排法,則有2x2x2xA:=16;

綜上,該5名同學(xué)可能的名次排情況種數(shù)為..種.

解法二:間接法:

甲不排首尾,有三種情況,再排乙,也有3種情況,包含丙的余下3人有A;種排法,

共有3x3xA;=3x3x3x2x1=54種不同的情況;

但如果丙是第二名,則甲有可能是第三、四名2種情況;再排乙,也有2種情況;余

下2人有A;種排法,故共有2x2xA;=2x2x2xl=8種不同的情況;

從而該5名同學(xué)可能的名次排情況種數(shù)為54-8=46種.

故選:B.

9.答案:BC

解析:對于A,選1人做正組長,1人做副組長需要分兩步,

先選正組長有10種選法,再選副組長有9種選法,則共有10x9=90種不同的選法,故A

錯誤;

對于B,從中選2人參加數(shù)學(xué)競賽,其中男、女生各1人,則共有7x3=21種不同的選法,

故B正確;

對于C選1人參加數(shù)學(xué)競賽,既可以選男生,也可以選女生,則共有7+3=10種不同的選

法,故C正確;

對于D,每人報名都有2種選擇,共有10人,則共有2"=1024種不同的報名方法,故D錯

誤.

故選:BC.

10.答案:BCD

解析:A、B:由題意知正方形ABCD(邊長為2個單位)的周長是8,拋擲三次骰子

后棋子恰好又回到點A處的表示三次骰子的點數(shù)之和是8,16,故A錯誤,B正確;

C、D:列舉出在點數(shù)中三個數(shù)字能夠使得和為8,16的125,134,116,224,233,

466,556,

共有7種組合,前2種組合125,134,每種情況可以排列出A;=6種結(jié)果,共有

2A;=2x6=12種結(jié)果;,116,224,233,466,556各有3種結(jié)果,共有5x3=15種

結(jié)果,其中點數(shù)之和超過10的走法為466,556,共有3x2=6種,故C正確;根據(jù)分

類計數(shù)原理知共有12+15=27種結(jié)果,故D正確;

故選:BCD.

11.答案:BD

解析:由C賓T=C鎮(zhèn),知2x—l=x+3或2x—l+x+3=20,所以尤=4或x=6,

故選:BD.

12.答案:252

解析:[x+W]的展開式的通項公式=cn*",

當(dāng)8—4r=0即r=2時,T.=x32=x9=252

3&2x1

故,+W]的展開式中的常數(shù)項為252.

故答案為:252

13.答案:280

故答案為:280.

14.答案:-3

5-1

解析:因為展開式的通項為C;(內(nèi)廣=(-1)=5fC;.J2,=O』,2,3,4,5,

令5-1『=2,解得廠=2,

33

因為一的系數(shù)為(—I)?aCj=10?=-270,解得a=-3.

故答案為:―3.

15.答案:(1)24

(2)114

解析:(1)需測試4次,按順序可看作為4個位置,

兩件次品置于第二,四位,有放法數(shù)A;=2;

其余二個位置放二個正品,有放法數(shù)A:=12

由乘法原理方法數(shù)為:2x12=24種不同的測試情況;

(2)至多4次可分為恰好2次,恰好3次,恰好4次找到所有次品,

恰好2次,即前2次測試都是次品,方法數(shù)為A;=2;

恰好3次,即第3次是次品,前2次中有1次是次品,方法數(shù)為C;A;C;=16;

恰好4次,即第4次是次品,前3次中有1次是次品,方法數(shù)為C;A;A;=72;

也可以是前四次全是正品,方法數(shù)為A:=24,

故共有2+16+72+24=114種不同的測試情況.

16.答案:有120個正約數(shù),24個正奇約數(shù).

解析:因為75600=24x33x52x7,

所以75600的每個約數(shù)都可以寫成2,RR"的形式,其中0WzW4,0<j<3,

0<k<2,0</<1,且3k,/eN,

所以75600的正約數(shù)的個數(shù)為5x4x3x2=120個;

75600的正奇約數(shù)的個數(shù)為4x3x2=24個.

17.答案:(1)84

(2)24

⑶64

解析:⑴從9件產(chǎn)品中抽取3件產(chǎn)品共有C;=84種;

⑵從9件產(chǎn)品中抽取3件產(chǎn)品,其中一等品、二等品、三等品各1件有C;C;C;=24種;

(3)“抽出的3件產(chǎn)品中至少有1件二等品”的對立事件是“抽取的3件產(chǎn)品沒有一件二等

品”,

因此抽出的3件產(chǎn)品中至少有1件二等品共有C;-C:=64種.

18.答案:(1)240

⑵96

解析:(1)將3公司的2個產(chǎn)品的介紹順序捆綁在一起,

與其他4個產(chǎn)品進行全排列,共有=2x5x4x3x2x1=240^,

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